Encontrar y calcular logaritmos del examen. Método de reemplazo de variables. Logaritmos decimales y naturales

Los vídeos finales de una larga serie de lecciones sobre la solución. ecuaciones logarítmicas. Esta vez trabajaremos principalmente con la ODZ del logaritmo; es precisamente debido a una consideración incorrecta (o incluso ignorando) el dominio de definición que surgen la mayoría de los errores al resolver este tipo de problemas.

En esta breve lección en video, veremos el uso de fórmulas para sumar y restar logaritmos, y también abordaremos las ecuaciones racionales fraccionarias, con las que muchos estudiantes también tienen problemas.

¿De qué hablaremos? La fórmula principal que me gustaría entender es la siguiente:

log a (f g ) = log a f + log a g

Esta es una transición estándar del producto a la suma de logaritmos y viceversa. Probablemente conozcas esta fórmula desde el principio de estudiar logaritmos. Sin embargo, hay un problema.

Mientras las variables a, f y g sean números ordinarios, no surgen problemas. Esta fórmula funciona muy bien.

Sin embargo, tan pronto como aparecen funciones en lugar de f y g, surge el problema de expandir o estrechar el dominio de definición dependiendo de en qué dirección transformar. Juzgue usted mismo: en el logaritmo escrito a la izquierda, el dominio de definición es el siguiente:

fg > 0

Pero en la cantidad escrita a la derecha, el dominio de la definición ya es algo diferente:

f > 0

gramo > 0

Este conjunto de requisitos es más estricto que el original. En el primer caso, estaremos satisfechos con la opción f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 se ejecuta).

Entonces, al pasar de la construcción de la izquierda a la de la derecha, se produce un estrechamiento del dominio de definición. Si al principio teníamos una suma y la reescribimos en forma de producto, entonces el dominio de definición se expande.

Es decir, en el primer caso podríamos perder raíces, y en el segundo podríamos obtener raíces de más. Esto debe tenerse en cuenta a la hora de resolver ecuaciones logarítmicas reales.

Entonces, la primera tarea:

A la izquierda vemos la suma de logaritmos usando la misma base. Por tanto, se pueden sumar estos logaritmos:

Como puedes ver, a la derecha reemplazamos el cero usando la fórmula:

a = log b b a

Reorganicemos nuestra ecuación un poco más:

registro 4 (x − 5) 2 = registro 4 1

Ante nosotros está la forma canónica de la ecuación logarítmica, podemos tachar el signo logarítmico e igualar los argumentos:

(x − 5) 2 = 1

|x − 5| = 1

Tenga en cuenta: ¿de dónde vino el módulo? Déjame recordarte que la raíz de un cuadrado exacto es igual al módulo:

Luego resolvemos la ecuación clásica con módulo:

|f | = gramo (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒x 1 = 5 − 1 = 4; x2 = 5 + 1 = 6

Aquí hay dos respuestas candidatas. ¿Son una solución a la ecuación logarítmica original? ¡De ninguna manera!

No tenemos derecho a dejar todo así y escribir la respuesta. Observa el paso en el que reemplazamos la suma de logaritmos con un logaritmo del producto de los argumentos. El problema es que en las expresiones originales tenemos funciones. Por lo tanto, deberá exigir:

x(x − 5) > 0; (x − 5)/x > 0.

Cuando transformamos el producto, obteniendo un cuadrado exacto, los requisitos cambiaron:

(x − 5) 2 > 0

¿Cuándo se cumple este requisito? ¡Sí, casi siempre! Excepto en el caso en que x − 5 = 0. Es decir la desigualdad se reducirá a un punto perforado:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Como puede ver, el alcance de la definición se ha ampliado, de eso hablamos al comienzo de la lección. En consecuencia, pueden aparecer raíces adicionales.

¿Cómo se puede evitar que aparezcan estas raíces adicionales? Es muy simple: miramos nuestras raíces obtenidas y las comparamos con el dominio de definición de la ecuación original. Contemos:

x (x − 5) > 0

Resolveremos usando el método del intervalo:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Marcamos los números resultantes en la línea. Faltan todos los puntos porque la desigualdad es estricta. Tome cualquier número mayor que 5 y sustitúyalo:

Nos interesan los intervalos (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Si marcamos nuestras raíces en el segmento, veremos que x = 4 no nos conviene, porque esta raíz se encuentra fuera del dominio de definición de la ecuación logarítmica original.

Volvemos a la totalidad, tachamos la raíz x = 4 y anotamos la respuesta: x = 6. Esta es la respuesta final a la ecuación logarítmica original. Eso es todo, problema resuelto.

Pasemos a la segunda ecuación logarítmica:

Resolvámoslo. Tenga en cuenta que el primer término es una fracción y el segundo es la misma fracción, pero invertida. No te asustes por la expresión lgx: es solo un logaritmo decimal, podemos escribirlo:

lgx = registro 10 x

Como tenemos dos fracciones invertidas, propongo introducir una nueva variable:

Por lo tanto, nuestra ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Como puedes ver, el numerador de la fracción es un cuadrado exacto. Una fracción es igual a cero cuando su numerador es cero y su denominador es distinto de cero:

(t − 1) 2 = 0; t ≠ 0

Resolvamos la primera ecuación:

t - 1 = 0;

t = 1.

Este valor satisface el segundo requisito. Por tanto, podemos decir que hemos resuelto completamente nuestra ecuación, pero sólo con respecto a la variable t. Ahora recordemos qué es t:

Obtenemos la proporción:

logx = 2 logx + 1

2 logx − logx = −1

log x = −1

Llevamos esta ecuación a su forma canónica:

logx = registro 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Como resultado, obtuvimos una raíz única, que, en teoría, es la solución a la ecuación original. Sin embargo, vayamos a lo seguro y escribamos el dominio de definición de la ecuación original:

Por tanto, nuestra raíz cumple todos los requisitos. Hemos encontrado una solución a la ecuación logarítmica original. Respuesta: x = 0,1. El problema esta resuelto.

Solo hay un punto clave en la lección de hoy: cuando use la fórmula para pasar de un producto a una suma y viceversa, asegúrese de tener en cuenta que el alcance de la definición puede reducirse o ampliarse dependiendo de en qué dirección se realice la transición.

¿Cómo entender lo que está pasando: contracción o expansión? Muy simple. Si antes las funciones estaban juntas, pero ahora están separadas, entonces el alcance de la definición se ha reducido (porque hay más requisitos). Si al principio las funciones estaban separadas y ahora están juntas, entonces el ámbito de definición se amplía (se imponen menos requisitos al producto que a los factores individuales).

Teniendo en cuenta esta observación, me gustaría señalar que la segunda ecuación logarítmica no requiere estas transformaciones en absoluto, es decir, no sumamos ni multiplicamos argumentos en ninguna parte. Sin embargo, aquí me gustaría llamar su atención sobre otra técnica maravillosa que puede simplificar significativamente la solución. Se trata de sobre cambiar una variable.

Sin embargo, recordemos que ninguna sustitución nos libera del ámbito de la definición. Es por eso que después de encontrar todas las raíces, no fuimos perezosos y volvimos a la ecuación original para encontrar su ODZ.

A menudo, al reemplazar una variable, ocurre un error molesto cuando los estudiantes encuentran el valor de t y piensan que la solución está completa. ¡De ninguna manera!

Una vez que hayas encontrado el valor de t, debes volver a la ecuación original y ver qué queríamos decir exactamente con esta letra. Como resultado, tendremos que resolver una ecuación más, que, sin embargo, será mucho más sencilla que la original.

Este es precisamente el objetivo de introducir una nueva variable. Dividimos la ecuación original en dos intermedias, cada una de las cuales tiene una solución mucho más simple.

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas "anidadas"

Hoy continuaremos estudiando ecuaciones logarítmicas y analizaremos construcciones cuando un logaritmo está bajo el signo de otro logaritmo. Resolveremos ambas ecuaciones usando la forma canónica.

Hoy continuaremos estudiando ecuaciones logarítmicas y analizaremos construcciones cuando un logaritmo está bajo el signo de otro. Resolveremos ambas ecuaciones usando la forma canónica. Permítanme recordarles que si tenemos la ecuación logarítmica más simple de la forma log a f (x) = b, entonces para resolver dicha ecuación realizamos los siguientes pasos. Primero que nada, necesitamos reemplazar el número b:

b = iniciar sesión a a b

Nota: a b es un argumento. De manera similar, en la ecuación original, el argumento es la función f(x). Luego reescribimos la ecuación y obtenemos esta construcción:

log a f (x) = log a a b

Luego podemos realizar el tercer paso: deshacernos del signo del logaritmo y simplemente escribir:

f(x) = ab

Como resultado, obtenemos una nueva ecuación. En este caso, no se imponen restricciones a la función f (x). Por ejemplo, también puede ocupar su lugar una función logarítmica. Y luego obtendremos nuevamente una ecuación logarítmica, que nuevamente reduciremos a su forma más simple y resolveremos mediante la forma canónica.

Sin embargo, basta de letras. Resolvamos el verdadero problema. Entonces, tarea número 1:

registro 2 (1 + 3 registro 2 x ) = 2

Como puedes ver, tenemos una ecuación logarítmica simple. El papel de f (x) es la construcción 1 + 3 log 2 x, y el papel del número b es el número 2 (el papel de a también lo desempeñan dos). Reescribamos estos dos de la siguiente manera:

Es importante entender que los dos primeros dos nos llegaron de la base del logaritmo, es decir, si hubiera 5 en la ecuación original, entonces obtendríamos que 2 = log 5 5 2. En general, la base depende únicamente del logaritmo dado originalmente en el problema. Y en nuestro caso este es el número 2.

Entonces, reescribimos nuestra ecuación logarítmica teniendo en cuenta el hecho de que los dos de la derecha en realidad también son un logaritmo. Obtenemos:

registro 2 (1 + 3 registro 2 x ) = registro 2 4

Pasemos al último paso de nuestro esquema: deshacernos de la forma canónica. Se podría decir que simplemente tachamos los signos del registro. Sin embargo, desde un punto de vista matemático, es imposible "tachar log"; sería más correcto decir que simplemente equiparamos los argumentos:

1 + 3 registro 2 x = 4

Desde aquí podemos encontrar fácilmente 3 log 2 x:

3 registro 2 x = 3

iniciar sesión 2 x = 1

Hemos obtenido nuevamente la ecuación logarítmica más simple, volvamos a llevarla a la forma canónica. Para ello necesitamos realizar los siguientes cambios:

1 = registro 2 2 1 = registro 2 2

¿Por qué hay un dos en la base? Porque en nuestra ecuación canónica de la izquierda hay un logaritmo precisamente en base 2. Reescribimos el problema teniendo en cuenta este hecho:

registro 2 x = registro 2 2

Nuevamente nos deshacemos del signo del logaritmo, es decir, simplemente igualamos los argumentos. Tenemos derecho a hacer esto porque las bases son las mismas y no se realizaron más acciones adicionales ni por la derecha ni por la izquierda:

¡Eso es todo! El problema esta resuelto. Hemos encontrado una solución a la ecuación logarítmica.

¡Nota! Aunque la variable x aparece en el argumento (es decir, existen requisitos para el dominio de definición), no impondremos ningún requisito adicional.

Como dije arriba, este cheque es redundante si la variable aparece en un solo argumento de un solo logaritmo. En nuestro caso, x realmente aparece sólo en el argumento y sólo bajo un signo de registro. Por lo tanto, no se requieren controles adicionales.

Sin embargo, si no confías este método, entonces puedes verificar fácilmente que x = 2 es de hecho una raíz. Basta con sustituir este número en la ecuación original.

Pasemos a la segunda ecuación, es un poco más interesante:

registro 2 (registro 1/2 (2x − 1) + registro 2 4) = 1

Si denotamos la expresión dentro del logaritmo grande con la función f (x), obtenemos la ecuación logarítmica más simple con la que comenzamos la videolección de hoy. Por tanto, podemos aplicar la forma canónica, para lo cual tendremos que representar la unidad en la forma log 2 2 1 = log 2 2.

Reescribamos nuestra gran ecuación:

registro 2 (registro 1/2 (2x − 1) + registro 2 4) = registro 2 2

Alejémonos del signo del logaritmo, equiparando los argumentos. Tenemos derecho a hacerlo, porque tanto en la izquierda como en la derecha las bases son las mismas. Además, tenga en cuenta que log 2 4 = 2:

iniciar sesión 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

iniciar sesión 1/2 (2x − 1) = 0

Ante nosotros nuevamente está la ecuación logarítmica más simple de la forma log a f (x) = b. Pasemos a la forma canónica, es decir, representamos el cero en la forma log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Reescribimos nuestra ecuación y nos deshacemos del signo logarítmico, igualando los argumentos:

registro 1/2 (2x − 1) = registro 1/2 1

2x-1 = 1

Nuevamente recibimos una respuesta de inmediato. No se requieren comprobaciones adicionales porque en la ecuación original solo un logaritmo contiene la función como argumento.

Por lo tanto, no se requieren controles adicionales. Podemos decir con seguridad que x = 1 es la única raíz de esta ecuación.

Pero si en el segundo logaritmo hubiera alguna función x en lugar de cuatro (o 2x no estuviera en el argumento, sino en la base), entonces sería necesario verificar el dominio de definición. De lo contrario, existe una alta probabilidad de encontrar raíces adicionales.

¿De dónde vienen estas raíces adicionales? Este punto debe entenderse muy claramente. Eche un vistazo a las ecuaciones originales: en todas partes la función x está bajo el signo del logaritmo. En consecuencia, dado que anotamos log 2 x, automáticamente establecemos el requisito x > 0. De lo contrario, esta entrada simplemente no tiene sentido.

Sin embargo, a medida que resolvemos la ecuación logarítmica, nos deshacemos de todos los signos logarítmicos y obtenemos construcciones simples. No se establecen restricciones aquí, porque la función lineal se define para cualquier valor de x.

Es este problema, cuando la función final está definida en todas partes y siempre, pero la original no está definida en todas partes ni siempre, es la razón por la que muy a menudo surgen raíces adicionales al resolver ecuaciones logarítmicas.

Pero repito una vez más: esto ocurre sólo en una situación en la que la función está en varios logaritmos o en la base de uno de ellos. En los problemas que estamos considerando hoy, en principio no hay problemas para ampliar el dominio de la definición.

Casos de diferentes motivos.

Esta lección está dedicada a diseños más complejos. Los logaritmos en las ecuaciones actuales ya no se resolverán de inmediato; primero será necesario realizar algunas transformaciones.

Comenzamos resolviendo ecuaciones logarítmicas con bases completamente diferentes, que no son potencias exactas entre sí. No dejes que estos problemas te asusten: no son más difíciles de resolver que los diseños más simples que comentamos anteriormente.

Pero antes de pasar directamente a los problemas, permítanme recordarles la fórmula para resolver las ecuaciones logarítmicas más simples utilizando la forma canónica. Considere un problema como este:

iniciar sesión f (x) = b

Es importante que la función f (x) sea solo una función, y que el papel de los números a y b sean números (sin ninguna variable x). Por supuesto, literalmente en un minuto veremos casos en los que en lugar de las variables a y b hay funciones, pero no se trata de eso ahora.

Como recordamos, el número b debe ser reemplazado por un logaritmo de la misma base a, que está a la izquierda. Esto se hace de forma muy sencilla:

b = iniciar sesión a a b

Por supuesto, las palabras "cualquier número b" y "cualquier número a" significan valores que satisfacen el alcance de la definición. En particular, en esta ecuación estamos hablando solo de la base a > 0 y a ≠ 1.

Sin embargo, este requisito se cumple automáticamente, porque el problema original ya contiene un logaritmo en base a; seguramente será mayor que 0 y no igual a 1. Por lo tanto, continuamos resolviendo la ecuación logarítmica:

log a f (x) = log a a b

Esta notación se llama forma canónica. Su conveniencia radica en el hecho de que podemos deshacernos inmediatamente del signo de registro equiparando los argumentos:

f(x) = ab

Es esta técnica la que usaremos ahora para resolver ecuaciones logarítmicas con base variable. ¡Entonces vamos!

registro 2 (x 2 + 4x + 11) = registro 0,5 0,125

¿Que sigue? Alguien ahora dirá que es necesario calcular el logaritmo correcto, reducirlos a la misma base o algo más. De hecho, ahora necesitamos llevar ambas bases a la misma forma: 2 o 0,5. Pero aprendamos la siguiente regla de una vez por todas:

Si una ecuación logarítmica contiene decimales, asegúrese de convertir estas fracciones de notación decimal a notación ordinaria. Esta transformación puede simplificar enormemente la solución.

Dicha transición debe realizarse inmediatamente, incluso antes de realizar cualquier acción o transformación. Echemos un vistazo:

registro 2 (x 2 + 4x + 11) = registro 1/2 1/8

¿Qué nos aporta semejante registro? Podemos representar 1/2 y 1/8 como potencias con exponente negativo:

Ante nosotros está la forma canónica. Igualamos los argumentos y obtenemos el clásico. ecuación cuadrática:

x2 + 4x + 11 = 8

x2 + 4x + 3 = 0

Tenemos ante nosotros la siguiente ecuación cuadrática, que se puede resolver fácilmente utilizando las fórmulas de Vieta. En la escuela secundaria, deberías ver demostraciones similares literalmente de forma oral:

(x + 3)(x + 1) = 0

x1 = −3

x2 = −1

¡Eso es todo! La ecuación logarítmica original ha sido resuelta. Tenemos dos raíces.

Permítanme recordarles que en este caso no es necesario determinar el dominio de definición, ya que la función con la variable x está presente en un solo argumento. Por lo tanto, el alcance de la definición se realiza automáticamente.

Entonces, la primera ecuación está resuelta. Pasemos al segundo:

registro 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = registro 3 1/9

registro 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = registro 3 9 −1

Ahora observa que el argumento del primer logaritmo también se puede escribir como una potencia con exponente negativo: 1/2 = 2 −1. Luego puedes quitar las potencias de ambos lados de la ecuación y dividir todo por −1:

Y ahora hemos completado un paso muy importante para resolver la ecuación logarítmica. Quizás alguien no se dio cuenta de algo, así que déjame explicarte.

Mire nuestra ecuación: tanto a la izquierda como a la derecha hay un signo logarítmico, pero a la izquierda hay un logaritmo en base 2, y a la derecha hay un logaritmo en base 3. Tres no es una potencia entera de dos y, a la inversa, no se puede escribir que 2 es 3 en grados enteros.

En consecuencia, se trata de logaritmos con bases diferentes que no se pueden reducir entre sí simplemente sumando potencias. La única forma de resolver este tipo de problemas es deshacerse de uno de estos logaritmos. En este caso, dado que todavía estamos considerando problemas bastante simples, simplemente se calculó el logaritmo de la derecha y obtuvimos la ecuación más simple, exactamente de la que hablamos al comienzo de la lección de hoy.

Representemos el número 2, que está a la derecha, como log 2 2 2 = log 2 4. Y luego nos deshacemos del signo del logaritmo, después de lo cual simplemente nos queda una ecuación cuadrática:

registro 2 (5x 2 + 9x + 2) = registro 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x − 2 = 0

Tenemos ante nosotros una ecuación cuadrática ordinaria, pero no se reduce porque el coeficiente de x 2 es diferente de la unidad. Por tanto, lo resolveremos usando un discriminante:

re = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (−9 − 11)/10 = −2

¡Eso es todo! Hemos encontrado ambas raíces, lo que significa que hemos obtenido una solución a la ecuación logarítmica original. De hecho, en el problema original, la función con variable x está presente en un solo argumento. En consecuencia, no se requieren comprobaciones adicionales en el dominio de definición: ambas raíces encontradas ciertamente cumplen con todas las restricciones posibles.

Este podría ser el final de la lección en video de hoy, pero en conclusión me gustaría decir nuevamente: asegúrese de convertir todas las fracciones decimales a fracciones ordinarias al resolver ecuaciones logarítmicas. En la mayoría de los casos, esto simplifica enormemente su solución.

Rara vez, muy raramente, te encuentras con problemas en los que deshacerse de las fracciones decimales sólo complica los cálculos. Sin embargo, en tales ecuaciones, por regla general, inicialmente está claro que no es necesario deshacerse de las fracciones decimales.

En la mayoría de los demás casos (especialmente si estás empezando a practicar la resolución de ecuaciones logarítmicas), no dudes en deshacerte de los decimales y convertirlos en decimales. Porque la práctica demuestra que de esta forma simplificará significativamente la solución y los cálculos posteriores.

Sutilezas y trucos de la solución.

Hoy pasaremos a problemas más complejos y resolveremos una ecuación logarítmica, que no se basa en un número, sino en una función.

E incluso si esta función es lineal, será necesario realizar pequeños cambios en el esquema de solución, cuyo significado se reduce a requisitos adicionales impuestos al dominio de definición del logaritmo.

Tareas complejas

Este tutorial será bastante largo. En él analizaremos dos ecuaciones logarítmicas bastante serias, al resolverlas muchos estudiantes cometen errores. Durante mi práctica como tutor de matemáticas, constantemente me encontré con dos tipos de errores:

1. La aparición de raíces adicionales debido a la expansión del dominio de definición de logaritmos. Para evitar errores tan ofensivos, simplemente supervise cuidadosamente cada transformación;
2. Pérdida de raíces debido a que el estudiante olvidó considerar algunos casos “sutiles”: estas son las situaciones en las que nos centraremos hoy.

Este última lección, dedicado a ecuaciones logarítmicas. Será largo, analizaremos ecuaciones logarítmicas complejas. Ponte cómodo, prepárate un té y comencemos.

La primera ecuación parece bastante estándar:

Iniciar sesión x + 1 (x - 0,5) = Iniciar sesión x - 0,5 (x + 1)

Observemos inmediatamente que ambos logaritmos son copias invertidas entre sí. Recordemos la maravillosa fórmula:

log a b = 1/log b a

Sin embargo, esta fórmula tiene una serie de limitaciones que surgen si en lugar de los números a y b existen funciones de la variable x:

b > 0

1 ≠ a > 0

Estos requisitos se aplican a la base del logaritmo. Por otro lado, en una fracción debemos tener 1 ≠ a > 0, ya que no sólo la variable a está en el argumento del logaritmo (por lo tanto a > 0), sino que el logaritmo mismo está en el denominador de la fracción. . Pero log b 1 = 0, y el denominador debe ser distinto de cero, por lo que a ≠ 1.

Por tanto, las restricciones sobre la variable a permanecen. ¿Pero qué pasa con la variable b? Por un lado, la base implica b > 0, por otro lado, la variable b ≠ 1, porque la base del logaritmo debe ser distinta de 1. En total, del lado derecho de la fórmula se deduce que 1 ≠ b > 0.

Pero aquí está el problema: el segundo requisito (b ≠ 1) falta en la primera desigualdad, que trata del logaritmo izquierdo. En otras palabras, al realizar esta transformación debemos comprobar por separado, que el argumento b es diferente de uno!

Entonces, veámoslo. Apliquemos nuestra fórmula:

1 ≠ x − 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Entonces ya obtuvimos que de la ecuación logarítmica original se deduce que tanto a como b deben ser mayores que 0 y no iguales a 1. Esto significa que podemos invertir fácilmente la ecuación logarítmica:

Sugiero introducir una nueva variable:

Iniciar sesión x + 1 (x − 0,5) = t

En este caso, nuestra construcción se reescribirá de la siguiente manera:

(t 2 − 1)/t = 0

Observa que en el numerador tenemos la diferencia de cuadrados. Revelamos la diferencia de cuadrados usando la fórmula de multiplicación abreviada:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Una fracción es igual a cero cuando su numerador es cero y su denominador es distinto de cero. Pero el numerador contiene un producto, por lo que igualamos cada factor a cero:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Como vemos, ambos valores de la variable t nos convienen. Sin embargo, la solución no termina ahí, porque no necesitamos encontrar t, sino el valor de x. Volvemos al logaritmo y obtenemos:

iniciar sesiónx + 1 (x − 0,5) = 1;

Iniciar sesiónx + 1 (x − 0,5) = −1.

Pongamos cada una de estas ecuaciones en forma canónica:

iniciar sesión x + 1 (x − 0,5) = iniciar sesión x + 1 (x + 1) 1

Iniciar sesión x + 1 (x − 0,5) = Iniciar sesión x + 1 (x + 1) −1

Nos deshacemos del signo del logaritmo en el primer caso y equiparamos los argumentos:

x - 0,5 = x + 1;

x − x = 1 + 0,5;

Tal ecuación no tiene raíces, por lo tanto, la primera ecuación logarítmica tampoco tiene raíces. Pero con la segunda ecuación todo es mucho más interesante:

(x − 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Resolviendo la proporción obtenemos:

(x − 0,5)(x + 1) = 1

Permítanme recordarles que al resolver ecuaciones logarítmicas es mucho más conveniente usar todas las fracciones decimales como las ordinarias, así que reescribamos nuestra ecuación de la siguiente manera:

(x − 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x − 1/2x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2x − 3/2 = 0.

Tenemos ante nosotros la siguiente ecuación cuadrática, se puede resolver fácilmente usando las fórmulas de Vieta:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x1 = −1,5;

x2 = 1.

Obtuvimos dos raíces: son candidatas para resolver la ecuación logarítmica original. Para comprender qué raíces se encuentran realmente en la respuesta, volvamos al problema original. Ahora comprobaremos cada una de nuestras raíces para ver si encajan dentro del dominio de definición:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > −1.

Estos requisitos equivalen a una doble desigualdad:

1 ≠ x > 0,5

Desde aquí vemos inmediatamente que la raíz x = −1,5 no nos conviene, pero x = 1 nos conviene bastante bien. Por tanto x = 1 es la solución final de la ecuación logarítmica.

Pasemos a la segunda tarea:

registro x 25 + registro 125 x 5 = registro 25 x 625

A primera vista, puede parecer que todos los logaritmos tienen bases diferentes y argumentos diferentes. ¿Qué hacer con tales estructuras? En primer lugar, ten en cuenta que los números 25, 5 y 625 son potencias de 5:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

Ahora aprovechemos la maravillosa propiedad del logaritmo. El punto es que puedes extraer potencias de un argumento en forma de factores:

log a b n = n ∙ log a b

Esta transformación también está sujeta a restricciones en el caso de que b se reemplace por una función. Pero para nosotros b es sólo un número y no surgen restricciones adicionales. Reescribamos nuestra ecuación:

2 ∙ iniciar sesión x 5 + iniciar sesión 125 x 5 = 4 ∙ iniciar sesión 25 x 5

Hemos obtenido una ecuación con tres términos que contienen el signo logarítmico. Además, los argumentos de los tres logaritmos son iguales.

Es hora de invertir los logaritmos para llevarlos a la misma base: 5. Dado que la variable b es una constante, no se producen cambios en el dominio de definición. Simplemente reescribimos:

Como era de esperar, aparecieron los mismos logaritmos en el denominador. Sugiero reemplazar la variable:

iniciar sesión 5 x = t

En este caso, nuestra ecuación se reescribirá de la siguiente manera:

Escribamos el numerador y abramos los corchetes:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t − 4t 2 − 12t = −t 2 + 12

Volvamos a nuestra fracción. El numerador debe ser cero:

Y el denominador es distinto de cero:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Los últimos requisitos se cumplen automáticamente, ya que todos están "atados" a números enteros y todas las respuestas son irracionales.

Entonces, se resolvió la ecuación racional fraccionaria, se encontraron los valores de la variable t. Volvamos a resolver la ecuación logarítmica y recordemos qué es t:

Reducimos esta ecuación a forma canónica y obtenemos un número con grado irracional. No dejes que esto te confunda, incluso estos argumentos pueden equipararse:

Tenemos dos raíces. Más precisamente, dos respuestas candidatas: verifiquemos que cumplan con el dominio de definición. Como la base del logaritmo es la variable x, requerimos lo siguiente:

1 ≠ x > 0;

Con el mismo éxito afirmamos que x ≠ 1/125, de lo contrario la base del segundo logaritmo se convertirá en la unidad. Finalmente, x ≠ 1/25 para el tercer logaritmo.

En total, recibimos cuatro restricciones:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Ahora la pregunta es: ¿nuestras raíces satisfacen estos requisitos? ¡Por supuesto que satisfacen! Porque 5 elevado a cualquier potencia será mayor que cero y el requisito x > 0 se satisface automáticamente.

Por otro lado, 1 = 5 0, 1/25 = 5 −2, 1/125 = 5 −3, lo que significa que estas restricciones para nuestras raíces (que, permítanme recordarles, tienen un número irracional en el exponente) también están satisfechos, y ambas respuestas son soluciones al problema.

Entonces, tenemos la respuesta final. Hay dos puntos clave en esta tarea:

1. Tenga cuidado al invertir un logaritmo cuando se intercambian el argumento y la base. Tales transformaciones imponen restricciones innecesarias al alcance de la definición.
2. No tengas miedo de transformar logaritmos: no solo se pueden revertir, sino también expandir usando la fórmula de la suma y, en general, cambiar usando cualquier fórmula que hayas estudiado al resolver expresiones logarítmicas. Sin embargo, recuerde siempre: algunas transformaciones amplían el alcance de la definición y otras lo reducen.

Todos estamos familiarizados con las ecuaciones. clases primarias. Allí también aprendimos a resolver los ejemplos más simples, y debemos admitir que encuentran su aplicación incluso en Matemáticas avanzadas. Todo es sencillo con las ecuaciones, incluidas las ecuaciones cuadráticas. Si tiene problemas con este tema, le recomendamos encarecidamente que lo revise.

Probablemente también hayas repasado los logaritmos. Sin embargo, consideramos importante contar de qué se trata para quienes aún no lo saben. Un logaritmo equivale a la potencia a la que se debe elevar la base para obtener el número a la derecha del signo del logaritmo. Pongamos un ejemplo a partir del cual todo le quedará claro.

Si elevas 3 a la cuarta potencia, obtienes 81. Ahora sustituye los números por analogía y finalmente entenderás cómo se resuelven los logaritmos. Ahora sólo queda combinar los dos conceptos comentados. Al principio, la situación parece extremadamente complicada, pero tras un examen más detenido, el peso vuelve a su lugar. Estamos seguros de que después de este breve artículo no tendrás problemas en esta parte del Examen Estatal Unificado.

Hoy en día existen muchas formas de resolver este tipo de estructuras. Te contamos las tareas más sencillas, efectivas y aplicables en el caso del Examen Estatal Unificado. La resolución de ecuaciones logarítmicas debe comenzar desde el principio. ejemplo sencillo. Las ecuaciones logarítmicas más simples constan de una función y una variable.

Es importante señalar que x está dentro del argumento. A y b deben ser números. En este caso, puedes simplemente expresar la función en términos de un número elevado a una potencia. Se parece a esto.

Por supuesto, resolver una ecuación logarítmica usando este método te llevará a la respuesta correcta. El problema para la gran mayoría de estudiantes en este caso es que no entienden qué viene de dónde. Como resultado, hay que aguantar errores y no conseguir los puntos deseados. El error más ofensivo será si mezclas las letras. Para resolver la ecuación de esta manera, debes memorizar esta fórmula escolar estándar porque es difícil de entender.

Para hacerlo más fácil, puedes recurrir a otro método: la forma canónica. La idea es extremadamente simple. Vuelve tu atención al problema. Recuerda que la letra a es un número, no una función o variable. A no es igual a uno y mayor que cero. No hay restricciones en b. Ahora, de todas las fórmulas, recordemos una. B se puede expresar de la siguiente manera.

De esto se deduce que todas las ecuaciones originales con logaritmos se pueden representar en la forma:

Ahora podemos eliminar los logaritmos. El resultado es un diseño sencillo, que ya hemos visto anteriormente.

La conveniencia de esta fórmula radica en el hecho de que se puede utilizar en una amplia variedad de casos, y no solo para los diseños más simples.

¡No te preocupes por OOF!

Muchos matemáticos experimentados notarán que no hemos prestado atención al dominio de la definición. La regla se reduce al hecho de que F(x) es necesariamente mayor que 0. No, no hemos pasado por alto este punto. Ahora estamos hablando de otra gran ventaja de la forma canónica.

Aquí no habrá raíces adicionales. Si una variable solo aparecerá en un lugar, entonces no es necesario un alcance. Se hace automáticamente. Para verificar este juicio, intente resolver varios ejemplos simples.

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas con diferentes bases.

Estas ya son ecuaciones logarítmicas complejas y el enfoque para resolverlas debe ser especial. Aquí rara vez es posible limitarnos a la notoria forma canónica. Comencemos nuestra historia detallada. Tenemos la siguiente construcción.

Presta atención a la fracción. Contiene el logaritmo. Si ves esto en una tarea, vale la pena recordar un truco interesante.

¿Qué significa? Cada logaritmo se puede representar como el cociente de dos logaritmos con una base conveniente. Y esta fórmula tiene caso especial, que es aplicable con este ejemplo (es decir, si c=b).

Esta es exactamente la fracción que vemos en nuestro ejemplo. De este modo.

Básicamente, le dimos la vuelta a la fracción y obtuvimos una expresión más conveniente. ¡Recuerda este algoritmo!

Ahora necesitamos que la ecuación logarítmica no contenga diferentes razones. Representemos la base como una fracción.

En matemáticas existe una regla según la cual se puede derivar un título a partir de una base. Los siguientes resultados de construcción.

Parecería que ¿qué nos impide ahora convertir nuestra expresión en la forma canónica y simplemente resolverla? No es tan simple. No debe haber fracciones antes del logaritmo. ¡Arreglemos esta situación! Se permite utilizar fracciones como grados.

Respectivamente.

Si las bases son iguales, podemos eliminar los logaritmos e igualar las expresiones mismas. De esta manera la situación será mucho más sencilla de lo que era. Lo que quedará es una ecuación elemental que cada uno de nosotros sabía cómo resolver en octavo o incluso séptimo grado. Puedes hacer los cálculos tú mismo.

Hemos obtenido la única raíz correcta de esta ecuación logarítmica. Los ejemplos de resolución de una ecuación logarítmica son bastante simples, ¿no? Ahora podrás resolver por tu cuenta incluso los problemas más difíciles. tareas complejas para preparar y aprobar el Examen Estatal Unificado.

¿Cuál es el resultado?

En el caso de cualquier ecuación logarítmica, partimos de una muy regla importante. Es necesario actuar de tal manera que se lleve la expresión al máximo. vista sencilla. En este caso, tendrás más posibilidades no sólo de resolver la tarea correctamente, sino también de hacerlo de la forma más sencilla y lógica posible. Así es exactamente como siempre trabajan los matemáticos.

No recomendamos encarecidamente buscar caminos difíciles, especialmente en este caso. Recuerda algunos reglas simples, que te permitirá transformar cualquier expresión. Por ejemplo, reduzca dos o tres logaritmos a la misma base o obtenga una potencia de la base y gane con esto.

También vale la pena recordar que resolver ecuaciones logarítmicas requiere práctica constante. Poco a poco irás avanzando hacia estructuras cada vez más complejas, lo que te llevará a resolver con seguridad todas las variantes de los problemas del Examen Estatal Unificado. Prepárese con mucha antelación para sus exámenes y ¡buena suerte!

Con este vídeo comienzo una larga serie de lecciones sobre ecuaciones logarítmicas. Ahora tienes tres ejemplos frente a ti, a partir de los cuales aprenderemos a resolver los problemas más simples, que se llaman: protozoos.

Iniciar sesión 0,5 (3x − 1) = −3

Iniciar sesión (x + 3) = 3 + 2 Iniciar sesión 5

Permítanme recordarles que la ecuación logarítmica más simple es la siguiente:

iniciar sesión f (x) = b

En este caso, es importante que la variable x esté presente solo dentro del argumento, es decir, solo en la función f (x). Y los números a y b son solo números, y en ningún caso son funciones que contienen la variable x.

Métodos básicos de solución.

Hay muchas maneras de resolver este tipo de estructuras. Por ejemplo, la mayoría de los profesores de la escuela ofrecen este método: expresa inmediatamente la función f (x) usando la fórmula f ( x ) = a b . Es decir, cuando se encuentre con la construcción más simple, podrá pasar inmediatamente a la solución sin acciones ni construcciones adicionales.

Sí, por supuesto, la decisión será correcta. Sin embargo, el problema con esta fórmula es que la mayoría de los estudiantes no entiendo, de dónde viene y por qué elevamos la letra a a la letra b.

Como resultado, a menudo veo errores muy molestos cuando, por ejemplo, se intercambian estas letras. Esta fórmula hay que entenderla o abarrotarla, y el segundo método conduce a errores en los momentos más inoportunos y cruciales: durante los exámenes, pruebas, etc.

Es por eso que sugiero a todos mis alumnos que abandonen la fórmula escolar estándar y utilicen el segundo enfoque para resolver ecuaciones logarítmicas, que, como probablemente habrán adivinado por el nombre, se llama forma canónica.

La idea de la forma canónica es sencilla. Veamos nuevamente nuestro problema: a la izquierda tenemos log a, y con la letra a nos referimos a un número, y en ningún caso una función que contenga la variable x. En consecuencia, esta letra está sujeta a todas las restricciones que se imponen sobre la base del logaritmo. a saber:

1 ≠ a > 0

Por otro lado, de la misma ecuación vemos que el logaritmo debe ser igual al número b, y no se imponen restricciones a esta letra, porque puede tomar cualquier valor, tanto positivo como negativo. Todo depende de qué valores tome la función f(x).

Y aquí recordamos nuestra maravillosa regla de que cualquier número b se puede representar como un logaritmo elevado a la base a de a elevado a b:

b = iniciar sesión a a b

¿Cómo recordar esta fórmula? Sí, muy sencillo. Escribamos la siguiente construcción:

b = b 1 = b iniciar sesión a a

Eso sí, en este caso surgen todas las restricciones que anotamos al principio. Ahora usemos la propiedad básica del logaritmo e introduzcamos el multiplicador b como la potencia de a. Obtenemos:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Como resultado, la ecuación original se reescribirá de la siguiente manera:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Eso es todo. Nueva caracteristica ya no contiene un logaritmo y se puede resolver utilizando técnicas algebraicas estándar.

Por supuesto, ahora alguien objetará: ¿por qué fue necesario idear algún tipo de fórmula canónica, por qué realizar dos pasos adicionales innecesarios si fue posible pasar inmediatamente del diseño original a la fórmula final? Sí, aunque sólo sea porque la mayoría de los estudiantes no entienden de dónde viene esta fórmula y, como resultado, cometen errores regularmente al aplicarla.

Pero esta secuencia de acciones, que consta de tres pasos, te permite resolver la ecuación logarítmica original, incluso si no entiendes de dónde viene la fórmula final. Por cierto, esta entrada se llama fórmula canónica:

log a f (x) = log a a b

La conveniencia de la forma canónica también radica en el hecho de que puede usarse para resolver una clase muy amplia de ecuaciones logarítmicas, y no solo las más simples que estamos considerando hoy.

Ejemplos de soluciones

Ahora veamos ejemplos reales. Entonces, decidamos:

Iniciar sesión 0,5 (3x − 1) = −3

Reescribámoslo así:

registro 0,5 (3x − 1) = registro 0,5 0,5 −3

Muchos estudiantes tienen prisa e intentan elevar inmediatamente el número 0,5 a la potencia que nos llegó del problema original. De hecho, cuando ya esté bien capacitado para resolver este tipo de problemas, podrá realizar este paso inmediatamente.

Sin embargo, si recién estás comenzando a estudiar este tema, es mejor no apresurarse a ninguna parte para evitar cometer errores ofensivos. Entonces tenemos la forma canónica. Tenemos:

3x − 1 = 0,5 −3

Esta ya no es una ecuación logarítmica, sino lineal con respecto a la variable x. Para resolverlo, veamos primero el número 0,5 elevado a −3. Tenga en cuenta que 0,5 es 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Convierte todas las fracciones decimales a fracciones comunes al resolver una ecuación logarítmica.

Reescribimos y obtenemos:

3x-1 = 8
3x = 9
x = 3

Eso es todo, tenemos la respuesta. El primer problema ha sido resuelto.

Segunda tarea

Pasemos a la segunda tarea:

Como vemos, esta ecuación ya no es la más sencilla. Aunque solo sea porque hay una diferencia a la izquierda y ni un solo logaritmo en una base.

Por lo tanto, debemos deshacernos de alguna manera de esta diferencia. En este caso, todo es muy sencillo. Echemos un vistazo más de cerca a las bases: a la izquierda está el número debajo de la raíz:

Recomendación general: en todas las ecuaciones logarítmicas, trate de deshacerse de los radicales, es decir, de las entradas con raíces y pase a funciones de potencia, simplemente porque los exponentes de estas potencias se eliminan fácilmente del signo del logaritmo y, en última instancia, tales una entrada simplifica y acelera significativamente los cálculos. Escribámoslo así:

Recordemos ahora la notable propiedad del logaritmo: las potencias se pueden derivar tanto del argumento como de la base. En el caso de causales ocurre lo siguiente:

log a k b = 1/k loga b

En otras palabras, el número que estaba en la potencia base se adelanta y al mismo tiempo se invierte, es decir, se vuelve número recíproco. En nuestro caso, el grado base fue 1/2. Por tanto, podemos sacarlo como 2/1. Obtenemos:

5 2 iniciar sesión 5 x − iniciar sesión 5 x = 18
10 registro 5 x − registro 5 x = 18

Tenga en cuenta: bajo ninguna circunstancia debe deshacerse de los logaritmos en este paso. Recuerde las matemáticas de 4º y 5º grado y el orden de las operaciones: primero se realiza la multiplicación, y solo luego la suma y la resta. En este caso, restamos uno de los mismos elementos de 10 elementos:

9 registro 5 x = 18
iniciar sesión 5 x = 2

Ahora nuestra ecuación se ve como debería. Este diseño más simple, y lo resolvemos usando la forma canónica:

registro 5 x = registro 5 5 2
x = 5 2
x = 25

Eso es todo. El segundo problema ha sido resuelto.

Tercer ejemplo

Pasemos a la tercera tarea:

Iniciar sesión (x + 3) = 3 + 2 Iniciar sesión 5

Permítanme recordarles la siguiente fórmula:

registro b = registro 10 b

Si por alguna razón está confundido por la notación log b , al realizar todos los cálculos simplemente puede escribir log 10 b . Puedes trabajar con logaritmos decimales de la misma manera que con otros: toma potencias, suma y representa cualquier número en la forma lg 10.

Son estas propiedades las que usaremos ahora para resolver el problema, ya que no es el más simple que escribimos al comienzo de nuestra lección.

Primero, tenga en cuenta que el factor 2 delante de lg 5 se puede sumar y se convierte en una potencia de base 5. Además, el término libre 3 también se puede representar como un logaritmo; esto es muy fácil de observar en nuestra notación.

Juzgue usted mismo: cualquier número se puede representar como log en base 10:

3 = registro 10 10 3 = registro 10 3

Reescribamos el problema original teniendo en cuenta los cambios obtenidos:

Iniciar sesión (x − 3) = Iniciar sesión 1000 + Iniciar sesión 25
registro (x − 3) = registro 1000 25
registro (x − 3) = registro 25.000

Tenemos nuevamente ante nosotros la forma canónica, y la obtuvimos sin pasar por la etapa de transformación, es decir, la ecuación logarítmica más simple no apareció por ningún lado.

Esto es exactamente de lo que hablé al comienzo de la lección. La forma canónica permite resolver una clase más amplia de problemas que la fórmula escolar estándar que ofrecen la mayoría de los profesores de escuela.

Bueno, eso es todo, nos deshacemos del signo del logaritmo decimal y obtenemos una construcción lineal simple:

x + 3 = 25.000
x = 24.997

¡Todo! El problema esta resuelto.

Una nota sobre el alcance

Aquí me gustaría hacer una observación importante sobre el alcance de la definición. Seguramente ahora habrá alumnos y profesores que dirán: “¡Cuando resolvamos expresiones con logaritmos, debemos recordar que el argumento f(x) debe ser mayor que cero!” En este sentido, surge una pregunta lógica: ¿por qué no exigimos que se cumpliera esta desigualdad en ninguno de los problemas considerados?

No te preocupes. En estos casos, no aparecerán raíces adicionales. Y este es otro gran truco que te permite acelerar la solución. Solo sepa que si en el problema la variable x aparece solo en un lugar (o mejor dicho, en un solo argumento de un solo logaritmo), y en ningún otro lugar en nuestro caso aparece la variable x, entonces escriba el dominio de definición. No hay necesidad, porque se ejecutará automáticamente.

Juzgue usted mismo: en la primera ecuación obtuvimos que 3x − 1, es decir, el argumento debería ser igual a 8. Esto automáticamente significa que 3x − 1 será mayor que cero.

Con el mismo éxito podemos escribir que en el segundo caso x debería ser igual a 5 2, es decir, ciertamente es mayor que cero. Y en el tercer caso, donde x + 3 = 25.000, es decir, de nuevo, obviamente mayor que cero. En otras palabras, el alcance se satisface automáticamente, pero sólo si x aparece sólo en el argumento de un solo logaritmo.

Eso es todo lo que necesitas saber para resolver los problemas más simples. Esta regla por sí sola, junto con las reglas de transformación, le permitirá resolver una clase muy amplia de problemas.

Pero seamos honestos: para comprender finalmente esta técnica, para aprender a aplicar la forma canónica de la ecuación logarítmica, no basta con ver una lección en video. Por lo tanto, descarga ahora mismo las opciones de soluciones independientes que se adjuntan a esta videolección y comienza a resolver al menos uno de estos dos trabajos independientes.

Te llevará literalmente unos minutos. Pero el efecto de dicho entrenamiento será mucho mayor que si simplemente vieras esta lección en video.

Espero que esta lección te ayude a comprender las ecuaciones logarítmicas. Utilice la forma canónica, simplifique expresiones utilizando las reglas para trabajar con logaritmos y no tendrá miedo de ningún problema. Eso es todo lo que tengo por hoy.

Teniendo en cuenta el dominio de la definición.

Ahora hablemos del dominio de definición de la función logarítmica y de cómo esto afecta la solución de ecuaciones logarítmicas. Considere una construcción de la forma

iniciar sesión f (x) = b

Esta expresión se llama la más simple: contiene solo una función, y los números a y b son solo números, y en ningún caso una función que dependa de la variable x. Se puede solucionar de forma muy sencilla. Sólo necesitas usar la fórmula:

b = iniciar sesión a a b

Esta fórmula es una de las propiedades clave del logaritmo, y al sustituirla en nuestra expresión original obtenemos lo siguiente:

log a f (x) = log a a b

f(x) = ab

Esta es una fórmula familiar de los libros de texto escolares. Muchos estudiantes probablemente tendrán una pregunta: dado que en la expresión original la función f (x) está bajo el signo logarítmico, se le imponen las siguientes restricciones:

f(x) > 0

Esta limitación se aplica porque el logaritmo de los números negativos no existe. Entonces, ¿tal vez, como resultado de esta limitación, debería introducirse una verificación de las respuestas? ¿Quizás sea necesario insertarlos en la fuente?

No, en las ecuaciones logarítmicas más simples no es necesario realizar comprobaciones adicionales. Y es por eso. Eche un vistazo a nuestra fórmula final:

f(x) = ab

El hecho es que el número a es en cualquier caso mayor que 0; este requisito también lo impone el logaritmo. El número a es la base. En este caso, no se imponen restricciones al número b. Pero esto no importa, porque no importa a qué potencia elevemos un número positivo, igual obtendremos un número positivo en la salida. Por tanto, el requisito f (x) > 0 se satisface automáticamente.

Lo que realmente vale la pena comprobar es el dominio de la función bajo el signo de registro. Puede haber estructuras bastante complejas y definitivamente debes vigilarlas durante el proceso de solución. Echemos un vistazo.

Primera tarea:

Primer paso: convierte la fracción de la derecha. Obtenemos:

Nos deshacemos del signo del logaritmo y obtenemos la ecuación irracional habitual:

De las raíces obtenidas, solo nos conviene la primera, ya que la segunda raíz menos que cero. La única respuesta será el número 9. Eso es todo, el problema está solucionado. No se requieren comprobaciones adicionales para garantizar que la expresión bajo el signo del logaritmo sea mayor que 0, porque no solo es mayor que 0, sino que según la condición de la ecuación es igual a 2. Por lo tanto, el requisito "mayor que cero ”se cumple automáticamente.

Pasemos a la segunda tarea:

Todo es lo mismo aquí. Reescribimos la construcción, reemplazando el triple:

Nos deshacemos de los signos de logaritmo y obtenemos una ecuación irracional:

Cuadramos ambos lados teniendo en cuenta las restricciones y obtenemos:

4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2

4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 −4 + ​​​​6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Resolvemos la ecuación resultante mediante el discriminante:

re = 49 − 24 = 25

x1 = −1

x2 = −6

Pero x = −6 no nos conviene, porque si sustituimos este número en nuestra desigualdad, obtenemos:

−6 + 4 = −2 < 0

En nuestro caso se requiere que sea mayor que 0 o, en casos extremos, igual. Pero x = −1 nos conviene:

−1 + 4 = 3 > 0

La única respuesta en nuestro caso será x = −1. Esa es la solución. Volvamos al principio de nuestros cálculos.

La principal conclusión de esta lección es que no es necesario verificar las restricciones de una función en ecuaciones logarítmicas simples. Porque durante el proceso de solución todas las restricciones se satisfacen automáticamente.

Sin embargo, esto no significa en modo alguno que deba olvidarse por completo de la comprobación. En el proceso de trabajar en una ecuación logarítmica, es posible que se convierta en una irracional, que tendrá sus propias restricciones y requisitos para el lado derecho, como hemos visto hoy en dos ejemplos diferentes.

Siéntase libre de resolver estos problemas y tenga especial cuidado si el argumento tiene una raíz.

Ecuaciones logarítmicas con diferentes bases.

Seguimos estudiando ecuaciones logarítmicas y analizamos dos técnicas más bastante interesantes con las que está de moda resolver más diseños complejos. Pero primero recordemos cómo se resuelven los problemas más simples:

iniciar sesión f (x) = b

En esta entrada a y b son números, y en la función f(x) la variable x debe estar presente, y solo allí, es decir, x solo debe estar en el argumento. Transformaremos tales ecuaciones logarítmicas usando la forma canónica. Para hacer esto, tenga en cuenta que

b = iniciar sesión a a b

Además, a b es precisamente un argumento. Reescribamos esta expresión de la siguiente manera:

log a f (x) = log a a b

Esto es exactamente lo que estamos tratando de lograr, de modo que haya un logaritmo en base a tanto a la izquierda como a la derecha. En este caso, podemos, en sentido figurado, tachar los signos logarítmicos, y desde un punto de vista matemático podemos decir que simplemente estamos equiparando los argumentos:

f(x) = ab

Como resultado, obtendremos una nueva expresión que será mucho más fácil de resolver. Apliquemos esta regla a nuestros problemas de hoy.

Entonces, el primer diseño:

En primer lugar, observo que a la derecha hay una fracción cuyo denominador es log. Cuando veas una expresión como esta, es una buena idea recordar una maravillosa propiedad de los logaritmos:

Traducido al ruso, esto significa que cualquier logaritmo se puede representar como el cociente de dos logaritmos con cualquier base c. Por supuesto 0< с ≠ 1.

Entonces: esta fórmula tiene un maravilloso caso especial, cuando la variable c es igual a la variable b. En este caso obtenemos una construcción como:

Esta es exactamente la construcción que vemos en el signo de la derecha de nuestra ecuación. Reemplacemos esta construcción con log a b, obtenemos:

En otras palabras, en comparación con la tarea original, intercambiamos el argumento y la base del logaritmo. En cambio, tuvimos que invertir la fracción.

Recordamos que cualquier grado se puede derivar de la base según la siguiente regla:

En otras palabras, el coeficiente k, que es la potencia de la base, se expresa como una fracción invertida. Representémoslo como una fracción invertida:

El factor fraccionario no se puede dejar delante, porque en este caso no podremos representar esta entrada como forma canónica (después de todo, en la forma canónica no hay ningún factor adicional antes del segundo logaritmo). Por lo tanto, agreguemos la fracción 1/4 al argumento como una potencia:

Ahora equiparamos argumentos cuyas bases son las mismas (y nuestras bases son realmente las mismas), y escribimos:

x + 5 = 1

x = −4

Eso es todo. Obtuvimos la respuesta a la primera ecuación logarítmica. Tenga en cuenta: en el problema original, la variable x aparece solo en un registro y aparece en su argumento. Por lo tanto, no es necesario comprobar el dominio y nuestro número x = −4 es, de hecho, la respuesta.

Ahora pasemos a la segunda expresión:

Iniciar sesión 56 = Iniciar sesión 2 Iniciar sesión 2 7 − 3 Iniciar sesión (x + 4)

Aquí, además de los logaritmos habituales, tendremos que trabajar con log f (x). ¿Cómo resolver tal ecuación? A un estudiante no preparado le puede parecer que se trata de una tarea difícil, pero en realidad todo se puede resolver de forma elemental.

Observe de cerca el término lg 2 log 2 7. ¿Qué podemos decir al respecto? Las bases y argumentos de log y lg son los mismos, y esto debería dar algunas ideas. Recordemos una vez más cómo se quitan las potencias bajo el signo del logaritmo:

log a b n = nlog a b

En otras palabras, lo que era una potencia de b en el argumento se convierte en un factor delante del propio log. Apliquemos esta fórmula a la expresión lg 2 log 2 7. No te asustes con lg 2: esta es la expresión más común. Puedes reescribirlo de la siguiente manera:

Para él son válidas todas las reglas que se aplican a cualquier otro logaritmo. En particular, el factor anterior se puede sumar al grado del argumento. Anotémoslo:

Muy a menudo, los estudiantes no ven esta acción directamente, porque no es bueno ingresar un registro bajo el signo de otro. De hecho, esto no tiene nada de criminal. Además, obtenemos una fórmula que es fácil de calcular si recuerdas una regla importante:

Esta fórmula puede considerarse tanto como una definición como una de sus propiedades. En cualquier caso, si estás convirtiendo una ecuación logarítmica, debes conocer esta fórmula tal como conocerías la representación logarítmica de cualquier número.

Volvamos a nuestra tarea. Lo reescribimos teniendo en cuenta que el primer término a la derecha del signo igual será simplemente igual a lg 7. Tenemos:

lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)

Movamos LG 7 hacia la izquierda y obtenemos:

lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)

Restamos las expresiones de la izquierda porque tienen la misma base:

lg (56/7) = −3lg (x + 4)

Ahora echemos un vistazo más de cerca a la ecuación que obtuvimos. Es prácticamente la forma canónica, pero hay un factor −3 a la derecha. Agreguémoslo al argumento lg correcto:

registro 8 = registro (x + 4) −3

Ante nosotros está la forma canónica de la ecuación logarítmica, por lo que tachamos los signos lg y equiparamos los argumentos:

(x + 4) −3 = 8

x + 4 = 0,5

¡Eso es todo! Resolvimos la segunda ecuación logarítmica. En este caso, no se requieren comprobaciones adicionales, porque en el problema original x estaba presente en un solo argumento.

Lo enumeraré de nuevo puntos clave Esta lección.

La fórmula principal que se enseña en todas las lecciones de esta página dedicada a la resolución de ecuaciones logarítmicas es la forma canónica. Y no se asuste por el hecho de que la mayoría de los libros de texto escolares le enseñan a resolver estos problemas de manera diferente. Esta herramienta funciona de manera muy efectiva y le permite resolver una clase de problemas mucho más amplia que los más simples que estudiamos al comienzo de nuestra lección.

Además, para resolver ecuaciones logarítmicas será útil conocer las propiedades básicas. A saber:

1. La fórmula para pasar a una base y el caso especial cuando realizamos el registro inverso (esto nos fue muy útil en el primer problema);
2. Fórmula para sumar y restar potencias del signo del logaritmo. En este caso, muchos estudiantes se quedan estancados y no ven que el título sacado e introducido puede contener en sí mismo log f (x). Nada de malo con eso. Podemos introducir un registro según el signo del otro y al mismo tiempo simplificar significativamente la solución del problema, que es lo que observamos en el segundo caso.

En conclusión, me gustaría agregar que no es necesario verificar el dominio de definición en cada uno de estos casos, porque en todas partes la variable x está presente en un solo signo de log, y al mismo tiempo está en su argumento. Como consecuencia, todos los requisitos del alcance se cumplen automáticamente.

Problemas con la base variable.

Hoy veremos ecuaciones logarítmicas, que para muchos estudiantes parecen no estándar, si no completamente irresolubles. Estamos hablando de expresiones basadas no en números, sino en variables e incluso funciones. Resolveremos este tipo de construcciones utilizando nuestra técnica estándar, es decir, mediante la forma canónica.

Primero, recordemos cómo se resuelven los problemas más simples, a partir de números ordinarios. Entonces, la construcción más simple se llama

iniciar sesión f (x) = b

Para resolver este tipo de problemas podemos utilizar la siguiente fórmula:

b = iniciar sesión a a b

Reescribimos nuestra expresión original y obtenemos:

log a f (x) = log a a b

Luego igualamos los argumentos, es decir escribimos:

f(x) = ab

De esta forma, nos deshacemos del signo de registro y solucionamos el problema habitual. En este caso, las raíces obtenidas de la solución serán las raíces de la ecuación logarítmica original. Además, un registro cuando tanto el izquierdo como el derecho están en el mismo logaritmo con la misma base se llama precisamente forma canónica. Es a ese récord que intentaremos reducir los diseños actuales. Entonces vamos.

Primera tarea:

Iniciar sesión x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Reemplace 1 con log x − 2 (x − 2) 1 . El grado que observamos en el argumento es en realidad el número b que estaba a la derecha del signo igual. Por lo tanto, reescribamos nuestra expresión. Obtenemos:

iniciar sesión x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = iniciar sesión x - 2 (x - 2)

¿Qué vemos? Ante nosotros está la forma canónica de la ecuación logarítmica, por lo que podemos equiparar los argumentos con seguridad. Obtenemos:

2x 2 − 13x + 18 = x − 2

Pero la solución no termina ahí, porque esta ecuación no es equivalente a la original. Después de todo, la construcción resultante consta de funciones que se definen en toda la recta numérica, y nuestros logaritmos originales no están definidos en todas partes ni siempre.

Por tanto, debemos escribir el dominio de definición por separado. No nos andemos con rodeos y primero anotemos todos los requisitos:

Primero, el argumento de cada uno de los logaritmos debe ser mayor que 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

En segundo lugar, la base no sólo debe ser mayor que 0, sino también diferente de 1:

x − 2 ≠ 1

Como resultado obtenemos el sistema:

Pero no se alarme: al procesar ecuaciones logarítmicas, dicho sistema se puede simplificar significativamente.

Juzgue usted mismo: por un lado, se nos exige que la función cuadrática sea mayor que cero y, por otro lado, esta función cuadrática se equipara a una determinada expresión lineal, para la cual también se requiere que sea mayor que cero.

En este caso, si requerimos que x − 2 > 0, entonces automáticamente se cumplirá el requisito 2x 2 − 13x + 18 > 0. Por lo tanto, podemos tachar con seguridad la desigualdad que contiene función cuadrática. Así, el número de expresiones contenidas en nuestro sistema se reducirá a tres.

Por supuesto, con el mismo éxito podríamos tachar la desigualdad lineal, es decir, tachar x − 2 > 0 y requerir que 2x 2 − 13x + 18 > 0. Pero estarás de acuerdo en que resolver la desigualdad lineal más simple es mucho más rápido. y más simple que el cuadrático, incluso con la condición de que como resultado de resolver todo este sistema obtengamos las mismas raíces.

En general, intente optimizar los cálculos siempre que sea posible. Y en el caso de ecuaciones logarítmicas, tacha las desigualdades más difíciles.

Reescribamos nuestro sistema:

He aquí un sistema de tres expresiones, dos de las cuales, de hecho, ya hemos tratado. Escribamos la ecuación cuadrática por separado y resolvámosla:

2x 2 − 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Ante nosotros tenemos un trinomio cuadrático reducido y, por tanto, podemos utilizar las fórmulas de Vieta. Obtenemos:

(x-5)(x-2) = 0

x1 = 5

x2 = 2

Ahora regresamos a nuestro sistema y encontramos que x = 2 no nos conviene, porque se requiere que x sea estrictamente mayor que 2.

Pero x = 5 nos conviene perfectamente: el número 5 es mayor que 2, y al mismo tiempo 5 no es igual a 3. Por tanto, la única solución a este sistema será x = 5.

Todo, el problema está resuelto, incluso teniendo en cuenta la ODZ. Pasemos a la segunda ecuación. Aquí nos esperan cálculos más interesantes e informativos:

El primer paso: como la última vez, llevamos todo este asunto a la forma canónica. Para ello, podemos escribir el número 9 de la siguiente manera:

No es necesario tocar la base con la raíz, pero es mejor transformar el argumento. Pasemos de la raíz a la potencia con exponente racional. Anotemos:

No permítanme reescribir toda nuestra ecuación logarítmica grande, sino equiparar inmediatamente los argumentos:

x3 + 10x2 + 31x + 30 = x3 + 9x2 + 27x + 27

x2 + 4x + 3 = 0

Ante nosotros tenemos un trinomio cuadrático recién reducido, usemos las fórmulas de Vieta y escribamos:

(x + 3)(x + 1) = 0

x1 = −3

x2 = −1

Entonces obtuvimos las raíces, pero nadie nos garantizó que encajarían en la ecuación logarítmica original. Después de todo, los signos de registro imponen restricciones adicionales (aquí deberíamos haber escrito el sistema, pero debido a la naturaleza engorrosa de toda la estructura, decidí calcular el dominio de definición por separado).

Antes que nada recuerda que los argumentos deben ser mayores que 0, a saber:

Estos son los requisitos impuestos por el alcance de la definición.

Notemos inmediatamente que dado que equiparamos las dos primeras expresiones del sistema entre sí, podemos tachar cualquiera de ellas. Tachemos el primero porque parece más amenazador que el segundo.

Además, tenga en cuenta que la solución a la segunda y tercera desigualdades serán los mismos conjuntos (el cubo de algún número es mayor que cero, si este número en sí es mayor que cero; de manera similar, con una raíz de tercer grado, estas desigualdades son completamente análogas, por lo que podemos tacharlo).

Pero con la tercera desigualdad esto no funcionará. Eliminemos el signo radical de la izquierda elevando ambas partes a un cubo. Obtenemos:

Entonces obtenemos los siguientes requisitos:

− 2 ≠ x > −3

¿Cuál de nuestras raíces: x 1 = −3 o x 2 = −1 cumple con estos requisitos? Obviamente, sólo x = −1, porque x = −3 no satisface la primera desigualdad (ya que nuestra desigualdad es estricta). Entonces, volviendo a nuestro problema, obtenemos una raíz: x = −1. Eso es todo, problema resuelto.

Una vez más, los puntos clave de esta tarea:

1. Siéntete libre de aplicar y resolver ecuaciones logarítmicas usando la forma canónica. Los estudiantes que hacen tal notación, en lugar de pasar directamente del problema original a una construcción como log a f (x) = b, cometen muchos menos errores que aquellos que se apresuran a alguna parte, saltándose pasos intermedios de los cálculos;
2. Tan pronto como aparece el logaritmo base variable, la tarea deja de ser la más sencilla. Por tanto, a la hora de resolverlo hay que tener en cuenta el dominio de definición: los argumentos deben ser mayores que cero, y las bases no sólo deben ser mayores que 0, sino que tampoco deben ser iguales a 1.

Los requisitos finales se pueden aplicar a las respuestas finales de diferentes maneras. Por ejemplo, puede resolver un sistema completo que contenga todos los requisitos para el dominio de definición. Por otro lado, primero puede resolver el problema en sí y luego recordar el dominio de definición, elaborarlo por separado en forma de sistema y aplicarlo a las raíces obtenidas.

Depende de usted qué método elegir al resolver una ecuación logarítmica en particular. En cualquier caso, la respuesta será la misma.

Ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita (x) y las expresiones con ella están bajo el signo de la función logarítmica. Resolver ecuaciones logarítmicas supone que ya estás familiarizado con y .
¿Cómo resolver ecuaciones logarítmicas?

La ecuación más simple es iniciar sesión x = b, donde a y b son algunos números, x es una incógnita.
Resolver una ecuación logarítmica es x = a b siempre que: a > 0, a 1.

Cabe señalar que si x está en algún lugar fuera del logaritmo, por ejemplo log 2 x = x-2, entonces dicha ecuación ya se llama mixta y se necesita un enfoque especial para resolverla.

El caso ideal es cuando te encuentras con una ecuación en la que solo los números están bajo el signo del logaritmo, por ejemplo x+2 = log 2 2. Aquí basta con conocer las propiedades de los logaritmos para resolverla. Pero esa suerte no ocurre a menudo, así que prepárate para cosas más difíciles.

Pero primero, comencemos con ecuaciones simples. Para resolverlos es recomendable tener un conocimiento muy general del logaritmo.

Resolver ecuaciones logarítmicas simples

Estas incluyen ecuaciones del tipo log 2 x = log 2 16. A simple vista se puede ver que al omitir el signo del logaritmo obtenemos x = 16.

Para resolver una ecuación logarítmica más compleja, generalmente se reduce a resolver una ecuación algebraica ordinaria o a resolver una ecuación logarítmica simple log a x = b. En las ecuaciones más simples esto sucede en un solo movimiento, por eso se llaman más simples.

El método anterior de eliminar logaritmos es una de las principales formas de resolver ecuaciones y desigualdades logarítmicas. En matemáticas, esta operación se llama potenciación. Existen ciertas reglas o restricciones para este tipo de operación:

• los logaritmos tienen las mismas bases numéricas
• Los logaritmos en ambos lados de la ecuación son libres, es decir sin coeficientes ni otros tipos diversos de expresiones.

Digamos que en la ecuación log 2 x = 2log 2 (1 - x) la potenciación no es aplicable; el coeficiente 2 de la derecha no lo permite. En el siguiente ejemplo, log 2 x+log 2 (1 - x) = log 2 (1+x) tampoco satisface una de las restricciones: hay dos logaritmos a la izquierda. ¡Si solo hubiera uno, sería un asunto completamente diferente!

En general, es posible eliminar logaritmos solo si la ecuación tiene la forma:

iniciar sesión (...) = iniciar sesión (...)

Absolutamente cualquier expresión se puede poner entre paréntesis; esto no tiene absolutamente ningún efecto sobre la operación de potenciación. Y después de eliminar los logaritmos, quedará una ecuación más simple: lineal, cuadrática, exponencial, etc., que espero que ya sepas resolver.

Tomemos otro ejemplo:

registro 3 (2x-5) = registro 3 x

Aplicamos potenciación, obtenemos:

iniciar sesión 3 (2x-1) = 2

Basado en la definición de logaritmo, es decir, que un logaritmo es el número al que se debe elevar la base para obtener una expresión que esté bajo el signo del logaritmo, es decir (4x-1), obtenemos:

Nuevamente recibimos una hermosa respuesta. Aquí lo hicimos sin eliminar los logaritmos, pero la potenciación también es aplicable aquí, porque se puede hacer un logaritmo a partir de cualquier número, y exactamente el que necesitamos. Este método es muy útil para resolver ecuaciones logarítmicas y especialmente desigualdades.

Resolvamos nuestra ecuación logarítmica log 3 (2x-1) = 2 usando potenciación:

Imaginemos el número 2 como un logaritmo, por ejemplo, este log 3 9, porque 3 2 =9.

Luego log 3 (2x-1) = log 3 9 y nuevamente obtenemos la misma ecuación 2x-1 = 9. Espero que todo quede claro.

Entonces vimos cómo resolver las ecuaciones logarítmicas más simples, que en realidad son muy importantes, porque resolver ecuaciones logarítmicas, incluso los más terribles y retorcidos, al final siempre se reduce a resolver las ecuaciones más simples.

En todo lo que hicimos arriba, nos perdimos uno muy punto importante, que jugará un papel decisivo en el futuro. El caso es que la solución de cualquier ecuación logarítmica, incluso la más elemental, consta de dos partes iguales. La primera es la solución de la ecuación en sí, la segunda es trabajar con el rango de valores permitidos (APV). Esta es exactamente la primera parte que dominamos. En los ejemplos anteriores, ODZ no afecta la respuesta de ninguna manera, por lo que no lo consideramos.

Tomemos otro ejemplo:

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

Exteriormente, esta ecuación no se diferencia de una elemental, que se puede resolver con mucho éxito. Pero no es así. No, por supuesto que lo resolveremos, pero lo más probable es que sea incorrecto, porque contiene una pequeña emboscada, en la que inmediatamente caen tanto los estudiantes de grado C como los estudiantes excelentes. Miremos más de cerca.

Digamos que necesitas encontrar la raíz de la ecuación o la suma de las raíces, si hay varias:

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

Usamos potenciación, aquí es aceptable. Como resultado, obtenemos una ecuación cuadrática ordinaria.

Encontrar las raíces de la ecuación:

Resultó dos raíces.

Respuesta: 3 y -1

A primera vista todo es correcto. Pero verifiquemos el resultado y sustituyámoslo en la ecuación original.

Empecemos con x 1 = 3:

registro 3 6 = registro 3 6

La verificación fue exitosa, ahora la cola es x 2 = -1:

registro 3 (-2) = registro 3 (-2)

¡Está bien, detente! Por fuera todo es perfecto. Una cosa: ¡no existen logaritmos de números negativos! Esto significa que la raíz x = -1 no es adecuada para resolver nuestra ecuación. Y por tanto la respuesta correcta será 3, no 2, como escribimos.

Aquí es donde ODZ desempeñó su papel fatal, del que nos habíamos olvidado.

Permítanme recordarles que el rango de valores aceptables incluye aquellos valores de x que están permitidos o tienen sentido para el ejemplo original.

Sin ODZ, cualquier solución, incluso una absolutamente correcta, de cualquier ecuación se convierte en una lotería: 50/50.

¿Cómo podríamos quedar atrapados resolviendo un ejemplo aparentemente elemental? Pero precisamente en el momento de la potenciación. Los logaritmos desaparecieron y con ellos todas las restricciones.

¿Qué hacer en este caso? ¿Se niega a eliminar los logaritmos? ¿Y negarse por completo a resolver esta ecuación?

No, nosotros, como verdaderos héroes de una canción famosa, ¡nos desviaremos!

Antes de comenzar a resolver cualquier ecuación logarítmica, escribiremos la ODZ. Pero después de eso, puedes hacer lo que tu corazón desee con nuestra ecuación. Habiendo recibido la respuesta, simplemente descartamos aquellas raíces que no están incluidas en nuestro ODZ y anotamos la versión final.

Ahora decidamos cómo grabar ODZ. Para hacer esto, examinamos cuidadosamente la ecuación original y buscamos lugares sospechosos en ella, como la división por x, la raíz par, etc. Hasta que hayamos resuelto la ecuación, no sabemos a qué es igual x, pero sabemos con certeza que hay x que, al sustituirlos, darán división por 0 o extracción. raíz cuadrada de un número negativo obviamente no son adecuadas como respuesta. Por lo tanto, tales x son inaceptables, mientras que el resto constituirá ODZ.

Usemos la misma ecuación nuevamente:

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

registro 3 (x 2 -3) = registro 3 (2x)

Como puedes ver, no hay división entre 0, raíces cuadradas Tampoco, pero hay expresiones con x en el cuerpo del logaritmo. Recordemos inmediatamente que la expresión dentro del logaritmo siempre debe ser >0. Escribimos esta condición en forma de ODZ:

Aquellos. Aún no hemos decidido nada, pero ya lo hemos escrito. condición requerida para toda la expresión sublogarítmica. La llave significa que estas condiciones deben ser verdaderas simultáneamente.

La ODZ está escrita, pero también es necesario resolver el sistema de desigualdades resultante, que es lo que haremos. Obtenemos la respuesta x > v3. Ahora sabemos con certeza cuál x no nos conviene. Y luego comenzamos a resolver la ecuación logarítmica en sí, que es lo que hicimos arriba.

Habiendo recibido las respuestas x 1 = 3 y x 2 = -1, es fácil ver que solo x1 = 3 nos conviene y lo anotamos como respuesta final.

Para el futuro, es muy importante recordar lo siguiente: resolvemos cualquier ecuación logarítmica en 2 etapas. El primero es resolver la ecuación en sí, el segundo es resolver la condición ODZ. Ambas etapas se realizan de forma independiente y se comparan sólo al escribir la respuesta, es decir. descarta todo lo innecesario y escribe la respuesta correcta.

Para reforzar el material recomendamos encarecidamente ver el vídeo:

El video muestra otros ejemplos de resolución de registros. ecuaciones y elaboración del método de intervalos en la práctica.

A esta pregunta, cómo resolver ecuaciones logarítmicas Eso es todo por ahora. Si algo lo decide el registro. las ecuaciones siguen sin estar claras o son incomprensibles, escriba sus preguntas en los comentarios.

Nota: La Academia de Educación Social (ASE) está lista para aceptar nuevos estudiantes.

(del griego λόγος - "palabra", "relación" y ἀριθμός - "número") números b Residencia en a(log α b) se llama tal número C, Y b= una c, es decir, registros log α b=C Y b=aC son equivalentes. El logaritmo tiene sentido si a > 0, a ≠ 1, b > 0.

En otras palabras logaritmo números b Residencia en A formulado como un exponente al que se debe elevar un número a para obtener el numero b(El logaritmo existe sólo para números positivos).

De esta formulación se deduce que el cálculo x= log α b, equivale a resolver la ecuación a x =b.

Por ejemplo:

Iniciar sesión 2 8 = 3 porque 8 = 2 3 .

Destaquemos que la formulación indicada del logaritmo permite determinar inmediatamente valor logaritmo, cuando el número bajo el signo del logaritmo actúa como una determinada potencia de la base. De hecho, la formulación del logaritmo permite justificar que si b=a c, entonces el logaritmo del número b Residencia en a es igual Con. También está claro que el tema de los logaritmos está estrechamente relacionado con el tema. potencias de un numero.

Calcular el logaritmo se llama logaritmo. Logaritmo es la operación matemática de tomar un logaritmo. Al tomar logaritmos, los productos de factores se transforman en sumas de términos.

Potenciación es la operación matemática inversa del logaritmo. Durante la potenciación, una base determinada se eleva hasta el grado de expresión sobre el cual se realiza la potenciación. En este caso, las sumas de términos se transforman en un producto de factores.

Muy a menudo, se utilizan logaritmos reales con bases 2 (binario), el número de Euler e ≈ 2,718 (logaritmo natural) y 10 (decimal).

En esta etapa es aconsejable considerar muestras de logaritmos iniciar sesión 7 2 , en √ 5, lg0.0001.

Y las entradas lg(-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 no tienen sentido, ya que en la primera de ellas se coloca un número negativo debajo del signo del logaritmo, en la segunda - un numero negativo en la base, y en el tercero, tanto un número negativo bajo el signo del logaritmo como uno en la base.

Condiciones para determinar el logaritmo.

Vale la pena considerar por separado las condiciones a > 0, a ≠ 1, b > 0, bajo las cuales obtenemos definición de logaritmo. Consideremos por qué se tomaron estas restricciones. Una igualdad de la forma x = log α nos ayudará con esto b, llamada identidad logarítmica básica, que se deriva directamente de la definición de logaritmo dada anteriormente.

Tomemos la condición a≠1. Dado que uno elevado a cualquier potencia es igual a uno, entonces la igualdad x=log α b sólo puede existir cuando b=1, pero log 1 1 será cualquier número real. Para eliminar esta ambigüedad, tomamos a≠1.

Demostremos la necesidad de la condición. a>0. En a=0 según la formulación del logaritmo sólo puede existir cuando b=0. Y en consecuencia entonces iniciar sesión 0 0 puede ser cualquier número real distinto de cero, ya que cero elevado a cualquier potencia distinta de cero es cero. Esta ambigüedad puede eliminarse mediante la condición a≠0. Y cuando a<0 Tendríamos que rechazar el análisis de los valores racionales e irracionales del logaritmo, ya que un grado con exponente racional e irracional se define sólo para bases no negativas. Es por esta razón que se estipula la condición a>0.

Y la última condición b>0 se deriva de la desigualdad a>0, ya que x=log α b, y el valor del grado con base positiva a siempre positivo.

Características de los logaritmos.

Logaritmos caracterizado por distintivo características, lo que llevó a su uso generalizado para facilitar significativamente los cálculos minuciosos. Al pasar “al mundo de los logaritmos”, la multiplicación se transforma en una suma mucho más sencilla, la división en resta y la exponenciación y la extracción de raíces se transforman, respectivamente, en multiplicación y división por el exponente.

Formulación de logaritmos y tabla de sus valores (para funciones trigonométricas) fue publicado por primera vez en 1614 por el matemático escocés John Napier. Las tablas logarítmicas, ampliadas y detalladas por otros científicos, se utilizaron ampliamente en cálculos científicos y de ingeniería y siguieron siendo relevantes hasta el uso de calculadoras electrónicas y computadoras.