Ecuaciones de grados superiores en matemáticas. Ecuaciones de potencias superiores

Trifanova Marina Anatolievna
Profesora de Matemáticas, Gimnasio N° 48 (multiperfil)

El propósito trino de la lección.:

Educativo:
sistematización y generalización de conocimientos sobre la resolución de ecuaciones. grados superiores.
Desarrollando:
promover el desarrollo pensamiento lógico, la capacidad de trabajar de forma independiente, las habilidades de control mutuo y autocontrol, la capacidad de hablar y escuchar.
Criando:
desarrollo del hábito del empleo constante, educación de la capacidad de respuesta, el trabajo duro, la precisión.

tipo de lección:

una lección en la aplicación compleja de conocimientos, habilidades y habilidades.

Formulario de lección:

minuto físico, diversas formas trabajar.

Equipo:

notas de referencia, tarjetas de tareas, matriz de seguimiento de lecciones.

DURANTE LAS CLASES

I. Momento organizacional

1. Comunicar el propósito de la lección a los estudiantes.
2. Examen tarea(Anexo 1). Trabajar con resumen de referencia(Apéndice 2).

Las ecuaciones y respuestas para cada uno están escritas en la pizarra. Los estudiantes verifican sus respuestas y dan breve análisis resuelve cada ecuación o responde las preguntas del profesor ( estudio frontal). Autocontrol: los estudiantes se dan calificaciones a sí mismos y entregan cuadernos al maestro para verificar la corrección de las calificaciones o su aprobación. Grados escolares escritos en la pizarra:

“5+” - 6 ecuaciones;
“5” - 5 ecuaciones;
“4” - 4 ecuaciones;
“3” - 3 ecuaciones.

Preguntas del profesor para la tarea:

1 ecuación

1. ¿Cuál es el cambio de variables en la ecuación?
2. ¿Qué ecuación se obtiene después del cambio de variables?

2 ecuación

1. ¿Qué polinomio dividió a ambos lados de la ecuación?
2. ¿Qué sustitución de variables se obtuvo?

3 ecuación

1. ¿Qué polinomios deben multiplicarse para simplificar la solución de esta ecuación?

4 ecuación

1. Nombra la función f(x).
2. ¿Cómo se encontraron las otras raíces?

5 ecuación

1. ¿Cuántos intervalos se obtuvieron para resolver la ecuación?

6 ecuación

1. ¿Cómo se podría resolver esta ecuación?
2. ¿Qué solución es más racional?

II. El trabajo en grupo es la parte principal de la lección.

La clase se divide en 4 grupos. A cada grupo se le entrega una tarjeta con preguntas teóricas y prácticas (Apéndice 3): "Desarme el método propuesto para resolver la ecuación y explíquelo usando este ejemplo".

1. Trabajo en grupo 15 minutos.
2. Se escriben ejemplos en la pizarra (la pizarra está dividida en 4 partes).
3. El informe grupal dura entre 2 y 3 minutos.
4. El profesor corrige los informes de los grupos y ayuda en caso de dificultad.

El trabajo en grupo continúa en las tarjetas No. 5 - 8. Para cada ecuación, se dan 5 minutos para la discusión en el grupo. Luego, en la pizarra hay un informe sobre esta ecuación: un breve análisis de la solución. Es posible que la ecuación no esté completamente resuelta: se está refinando en casa, pero en clase se discute toda la secuencia de su solución.

III. Trabajo independiente. Anexo 4.

1. Cada estudiante recibe una tarea individual.
2. El trabajo dura 20 minutos.
3. 5 minutos antes del final de la lección, el profesor da respuestas abiertas para cada ecuación.
4. Los estudiantes cambian de cuaderno en círculo y verifican las respuestas con un amigo. Dar calificaciones.
5. Los cuadernos se entregan al profesor para que revise y corrija las notas.

IV. Resumen de la lección.

Tarea.

Completa la solución de ecuaciones incompletas. Prepárese para el corte de control.

Calificación.

El texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
Versión completa El trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de trabajo" en formato PDF.

Introducción

La solución de ecuaciones algebraicas de grados superiores con una incógnita es uno de los problemas matemáticos más antiguos y difíciles. Los matemáticos más destacados de la antigüedad se ocuparon de estos problemas.

Resolver ecuaciones de enésimo grado también es una tarea importante para las matemáticas modernas. El interés por ellas es bastante grande, ya que estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con la búsqueda de raíces de ecuaciones que no están consideradas en el currículo escolar de matemáticas.

Problema: la falta de habilidades entre los estudiantes para resolver ecuaciones de grados superiores de diversas formas les impide prepararse con éxito para la certificación final en matemáticas y olimpiadas matemáticas, capacitándose en una clase de matemáticas especializada.

Los hechos anteriores determinaron Relevancia de nuestro trabajo "Solución de Ecuaciones de Grados Superiores".

La posesión de las formas más sencillas de resolver ecuaciones de n-ésimo grado reduce el tiempo para completar la tarea, de la que dependen el resultado del trabajo y la calidad del proceso de aprendizaje.

Objetivo del trabajo: estudio de métodos conocidos para resolver ecuaciones de grados superiores e identificar los más accesibles para ellos aplicación práctica.

Con base en este objetivo, se presenta lo siguiente tareas:

Estudiar la literatura y los recursos de Internet sobre este tema;

Familiarizarse con los hechos históricos relacionados con este tema;

Describir varias formas de resolver ecuaciones de grados superiores.

comparar el grado de dificultad de cada uno de ellos;

Familiarizar a los compañeros con los métodos para resolver ecuaciones de grados superiores;

Crear un conjunto de ecuaciones para la aplicación práctica de cada uno de los métodos considerados.

Objeto de estudio- ecuaciones de grados superiores con una variable.

Tema de estudio- formas de resolver ecuaciones de grados superiores.

Hipótesis: No existe una forma general y un algoritmo único que permita encontrar soluciones a ecuaciones de enésimo grado en un número finito de pasos.

Métodos de búsqueda:

- biblio método gráfico(análisis de literatura sobre el tema de investigación);

- método de clasificación;

- método de análisis cualitativo.

Importancia teórica La investigación consiste en la sistematización de métodos de resolución de ecuaciones de grados superiores y descripción de sus algoritmos.

Significado práctico- material presentado sobre este tema y desarrollo guía de estudio para estudiantes sobre este tema.

1. ECUACIONES DE LAS POTENCIAS SUPERIORES

1.1 El concepto de ecuación de enésimo grado.

Definición 1. Una ecuación de enésimo grado es una ecuación de la forma

a 0 xⁿ+a 1 X norte -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a norte -1 x+a n = 0, donde los coeficientes a 0, a 1, a 2…, a norte -1, a n - cualquier número real, y ,a 0 ≠ 0 .

Polinomio a 0 xⁿ+a 1 X norte -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a norte -1 x+a n se llama polinomio de enésimo grado. Los coeficientes se distinguen por nombres: a 0 - coeficiente senior; a n es un miembro gratuito.

Definición 2. Soluciones o raíces de una ecuación dada son todos los valores de la variable X, que convierten esta ecuación en una verdadera igualdad numérica o, para la cual el polinomio a 0 xⁿ+a 1 X norte -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a norte -1 x+a n tiende a cero. Un valor tan variable X también llamada raíz de un polinomio. Resolver una ecuación significa encontrar todas sus raíces o establecer que no las hay.

Si a 0 = 1, entonces dicha ecuación se llama ecuación racional entera reducida n th grado.

Para las ecuaciones de tercer y cuarto grado, existen fórmulas de Cardano y Ferrari que expresan las raíces de estas ecuaciones en términos de radicales. Resultó que en la práctica rara vez se utilizan. Por tanto, si n ≥ 3 y los coeficientes del polinomio son números reales arbitrarios, entonces encontrar las raíces de la ecuación no es una tarea fácil. Sin embargo, en muchos casos especiales este problema se soluciona hasta el final. Detengámonos en algunos de ellos.

1.2 Hechos históricos soluciones de ecuaciones de grados superiores

Ya en la antigüedad la gente se dio cuenta de lo importante que era aprender a resolver ecuaciones algebraicas. Hace unos 4.000 años, los científicos babilónicos dominaron la solución de una ecuación cuadrática y resolvieron sistemas de dos ecuaciones, una de las cuales era de segundo grado. Con la ayuda de ecuaciones de grados superiores, se resolvieron diversos problemas de agrimensura, arquitectura y asuntos militares, a ellos se les redujeron muchas y diversas cuestiones de la práctica y las ciencias naturales, ya que el lenguaje exacto de las matemáticas permite expresar simplemente hechos y relaciones que, siendo afirmadas lenguaje simple Puede parecer confuso y complejo.

Una fórmula universal para encontrar las raíces de una ecuación algebraica. enésimo no graduado. A muchos, por supuesto, se les ocurrió la tentadora idea de encontrar fórmulas para cualquier potencia de n que expresaran las raíces de la ecuación en términos de sus coeficientes, es decir, que resolvieran la ecuación en radicales.

Sólo en el siglo XVI los matemáticos italianos lograron avanzar más: encontrar fórmulas para n = 3 y n = 4. Al mismo tiempo, Escipión, Dahl, Ferro y sus alumnos Fiori y Tartaglia se ocupaban de la cuestión de la Solución general de ecuaciones de 3er grado.

En 1545 se publicó el libro del matemático italiano D. Cardano "El gran arte, o sobre las reglas del álgebra", donde, junto con otras cuestiones de álgebra, formas comunes soluciones de ecuaciones cúbicas, así como un método para resolver ecuaciones de cuarto grado, descubierto por su alumno L. Ferrari.

F. Viet realizó una exposición completa de cuestiones relacionadas con la solución de ecuaciones de tercer y cuarto grado.

En los años 20 del siglo XIX, el matemático noruego N. Abel demostró que las raíces de ecuaciones de quinto grado no se pueden expresar mediante radicales.

Durante el estudio se encontró que ciencia moderna Hay muchas formas de resolver ecuaciones de enésimo grado.

El resultado de la búsqueda de métodos para resolver ecuaciones de grados superiores que no pueden resolverse mediante los métodos considerados en currículum escolar, se han convertido en métodos basados ​​en la aplicación del teorema de Vieta (para ecuaciones de grado n>2), los teoremas de Bezout, los esquemas de Horner, así como las fórmulas de Cardano y Ferrari para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas.

El artículo presenta métodos para resolver ecuaciones y sus tipos, que se han convertido en un descubrimiento para nosotros. Estos incluyen: el método de coeficientes indefinidos, la asignación del grado completo, ecuaciones simétricas.

2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES INTEGRADAS DE POTENCIAS SUPERIORES CON COEFICIENTES INTEGRADOS

2.1 Solución de ecuaciones de 3er grado. Fórmula D. Cardano

Considere ecuaciones de la forma X 3 +px+q=0. Transformemos la ecuación. vista general a la vista: X 3 +px 2 +qx+r=0. Anotemos la fórmula de la suma del cubo; Añádalo a la igualdad original y reemplácelo con y. Obtenemos la ecuación: y 3 + (q -) (y -) + (r - =0. Después de las transformaciones tenemos: y 2 +py + q=0. Ahora, escribamos nuevamente la fórmula de la suma del cubo:

(a+b) 3 =un 3 + 3a 2 b+3ab 2 +b 3 = un 3 +b 3 + 3ab (a + b), reemplazar ( a+b)en X, obtenemos la ecuación X 3 - 3abx - (un 3 +b 3) = 0. Ahora está claro que la ecuación original es equivalente al sistema: y resolviendo el sistema, obtenemos:

Hemos obtenido una fórmula para resolver la ecuación anterior de tercer grado. Lleva el nombre del matemático italiano Cardano.

Considere un ejemplo. Resuelve la ecuación: .

Tenemos R= 15 y q= 124, luego usando la fórmula de Cardano calculamos la raíz de la ecuación

Conclusión: esta fórmula es buena, pero no adecuada para resolver todas las ecuaciones cúbicas. Sin embargo, es voluminoso. Por lo tanto, rara vez se utiliza en la práctica.

Pero quien domine esta fórmula podrá utilizarla al resolver ecuaciones de tercer grado en el examen.

2.2 teorema de Vieta

Por el curso de matemáticas conocemos este teorema de una ecuación cuadrática, pero pocas personas saben que también se utiliza para resolver ecuaciones de grados superiores.

Considere la ecuación:

factorizar el lado izquierdo de la ecuación, dividir por ≠ 0.

Transformamos el lado derecho de la ecuación a la forma

; De esto se deduce que podemos escribir las siguientes igualdades en el sistema:

Las fórmulas derivadas por Vieta para ecuaciones cuadráticas y demostradas por nosotros para ecuaciones de tercer grado también son válidas para polinomios de grados superiores.

Resolvamos la ecuación cúbica:

Conclusión: Por aquí universal y bastante fácil de entender para los estudiantes, ya que el teorema de Vieta les resulta familiar del plan de estudios escolar durante n = 2. Al mismo tiempo, para encontrar las raíces de ecuaciones utilizando este teorema, es necesario tener buenas habilidades computacionales.

2.3 Teorema de Bezout

Este teorema lleva el nombre del matemático francés del siglo XVIII J. Bezout.

Teorema. Si la ecuación a 0 xⁿ+a 1 X norte -1 +a 2 xⁿ - ²+…+a norte -1 x+a n = 0, en el que todos los coeficientes son números enteros y el término libre es diferente de cero, tiene una raíz entera, entonces esta raíz es un divisor del término libre.

Considerando que en el lado izquierdo de la ecuación el polinomio enésimo grado, entonces el teorema tiene otra interpretación.

Teorema. Al dividir un polinomio de enésimo grado con respecto a X en un binomio x-a resto es igual al valor divisible en x = un. (carta a puede denotar cualquier número real o imaginario, es decir cualquier número complejo).

Prueba: dejar f(x)) denota un polinomio arbitrario de enésimo grado con respecto a la variable x, y sea, cuando se divide por un binomio ( x-a) sucedió en privado q(x), y en el resto R. Es obvio que q(x) habrá algún polinomio (n - 1) grado relativamente X, y el resto R será un valor constante, es decir independiente de X.

si el resto R fuera un polinomio de primer grado en x, entonces esto significaría que no se realizó la división. Entonces, R de X no depende. Por definición de división, obtenemos la identidad: f(x)=(xa)q(x)+R.

La igualdad es cierta para cualquier valor de x, por lo que también es cierta para x=un, obtenemos: f(a)=(a-a)q(a)+R. Símbolo fa) denota el valor del polinomio f (X) en x=a, q(a) denota un valor q(x) en x=a. Resto R permaneció como era antes R de X no depende. Trabajar ( x-a) q(a) = 0, ya que el multiplicador ( x-a) = 0, y el multiplicador q(a) hay un número determinado. Por tanto, de la igualdad obtenemos: f(a)=R, h.t.d.

Ejemplo 1 Encuentra el resto de la división de un polinomio. X 3 - 3X 2 + 6X- 5 por binomio

X- 2. Por el teorema de Bezout : R=f(2) = 23-322 + 62-5=3. Respuesta: R= 3.

Tenga en cuenta que el teorema de Bézout no es tan importante en sí mismo, sino por sus consecuencias. (Anexo 1)

Detengámonos en la consideración de algunos métodos para aplicar el teorema de Bezout a la solución. tareas practicas. Cabe señalar que al resolver ecuaciones utilizando el teorema de Bezout, es necesario:

Encuentra todos los divisores enteros del término libre;

De estos divisores, encuentra al menos una raíz de la ecuación;

Divide el lado izquierdo de la ecuación por (Ja);

Escribe el producto del divisor y el cociente en el lado izquierdo de la ecuación;

Resuelve la ecuación resultante.

Considere el ejemplo de resolver la ecuación x. 3 + 4X 2 +x- 6 = 0 .

Solución: encuentra los divisores del término libre ±1 ; ± 2; ± 3; ± 6. Calcula los valores de x= 1, 1 3 + 41 2 + 1-6=0. Divide el lado izquierdo de la ecuación por ( X- 1). Realizamos la división con una “esquina”, obtenemos:

Conclusión: El teorema de Bezout, una de las vías que consideramos en nuestro trabajo, se estudia en el programa de actividades extraescolares. Es difícil de entender, porque para dominarlo es necesario conocer todas sus consecuencias, pero al mismo tiempo, el teorema de Bezout es uno de los principales asistentes de los estudiantes en el examen.

2.4 Esquema de Horner

Para dividir un polinomio por un binomio x-α Puedes utilizar un truco especial y sencillo inventado por matemáticos ingleses del siglo XVII, más tarde llamado esquema de Horner. Además de encontrar las raíces de las ecuaciones, el esquema de Horner facilita el cálculo de sus valores. Para hacer esto, es necesario sustituir el valor de la variable en el polinomio Pn (x)=un 0 xn+a 1 X n-1 +a 2 xⁿ - ²++…++ un norte -1 x+a norte. (1)

Considere la división del polinomio (1) por el binomio X-α.

Expresamos los coeficientes del cociente incompleto b. 0 xⁿ - ¹+ b 1 xⁿ - ²+ b 2 xⁿ - ³+…+ mn -1 y el resto r en términos de los coeficientes del polinomio Pn( X) y número α. b 0 =un 0 , b 1 = α b 0 +a 1 , b 2 = α b 1 +a 2 …, mn -1 =

= α mn -2 +a norte -1 = α mn -1 +a norte .

Los cálculos según el esquema de Horner se presentan en la siguiente tabla:

Porque el r=Pn(α), entonces α es la raíz de la ecuación. Para comprobar si α es una raíz múltiple, el esquema de Horner ya se puede aplicar al cociente b 0 x+ b 1 x+…+ mn -1 según la tabla. Si en la columna debajo de bn -1 obtenemos 0 nuevamente, por lo que α es una raíz múltiple.

Considere un ejemplo: resuelva la ecuación X 3 + 4X 2 +x- 6 = 0.

Apliquemos al lado izquierdo de la ecuación la factorización del polinomio del lado izquierdo de la ecuación, el esquema de Horner.

Solución: encuentra los divisores del término libre. ± 1; ±2; ± 3; ± 6.

Los coeficientes del cociente son los números 1, 5, 6 y el resto es r = 0.

Medio, X 3 + 4X 2 + X - 6 = (X - 1) (X 2 + 5X + 6) = 0.

De aquí: X- 1 = 0 o X 2 + 5X + 6 = 0.

X = 1, X 1 = -2; X 2 = -3. Respuesta: 1,- 2, - 3.

Conclusión: así, en una ecuación, hemos mostrado el uso de dos varias maneras factorizaciones de polinomios. En nuestra opinión, el esquema de Horner es el más práctico y económico.

2.5 Solución de ecuaciones de 4º grado. Método Ferrari

El alumno de Cardano, Ludovic Ferrari, descubrió una forma de resolver una ecuación de cuarto grado. El método Ferrari consta de dos pasos.

Etapa I: la ecuación de la forma se representa como producto de dos trinomios cuadrados, esto se desprende de que la ecuación es de 3er grado y al menos una solución.

Etapa II: las ecuaciones resultantes se resuelven mediante factorización, sin embargo, para encontrar la factorización requerida, hay que resolver ecuaciones cúbicas.

La idea es representar las ecuaciones como A 2 =B 2 donde A= X 2+s,

Función B-lineal de X. Luego queda resolver las ecuaciones A = ±B.

Para mayor claridad, considere la ecuación: Separamos el cuarto grado, obtenemos: Para cualquier d La expresión será un cuadrado perfecto. Sumando a ambos lados de la ecuación obtenemos

En el lado izquierdo hay un cuadrado completo, puedes recoger d de modo que el lado derecho de (2) se convierte en un cuadrado perfecto. Imaginemos que lo hemos conseguido. Entonces nuestra ecuación se ve así:

Encontrar la raíz más adelante no será difícil. Para elegir lo correcto d es necesario que el discriminante del lado derecho de (3) desaparezca, es decir

Entonces para encontrar d, es necesario resolver esta ecuación de 3er grado. Esta ecuación auxiliar se llama disolvente.

Podemos encontrar fácilmente la raíz entera del resolutivo: re= 1

Sustituyendo la ecuación en (1), obtenemos

Conclusión: el método Ferrari es universal, pero complicado y engorroso. Al mismo tiempo, si el algoritmo de solución es claro, entonces las ecuaciones de cuarto grado se pueden resolver mediante este método.

2.6 Método de coeficientes indeterminados

El éxito de resolver la ecuación de cuarto grado mediante el método Ferrari depende de si resolvemos el resolutivo, la ecuación de tercer grado, lo cual, como sabemos, no siempre es posible.

La esencia del método de coeficientes indefinidos es que se adivina el tipo de factores en los que se descompone un polinomio dado, y los coeficientes de estos factores (también polinomios) se determinan multiplicando los factores e igualando los coeficientes a las mismas potencias de la variable.

Ejemplo: resuelve la ecuación:

Supongamos que el lado izquierdo de nuestra ecuación se puede descomponer en dos trinomios cuadrados con coeficientes enteros tales que la igualdad idéntica

Obviamente, los coeficientes delante de ellos deben ser iguales a 1 y los términos libres deben ser iguales a uno. + 1, el otro tiene 1.

Los coeficientes que enfrentan X. Denotémoslos por A y para determinarlos multiplicamos ambos trinomios del lado derecho de la ecuación.

Como resultado, obtenemos:

Igualar los coeficientes a las mismas potencias X en los lados izquierdo y derecho de la igualdad (1), obtenemos un sistema para encontrar y

Resolviendo este sistema tendremos

Entonces nuestra ecuación es equivalente a la ecuación

Resolviendolo obtenemos las siguientes raíces: .

El método de coeficientes indefinidos se basa en las siguientes afirmaciones: cualquier polinomio de cuarto grado en la ecuación se puede descomponer en el producto de dos polinomios de segundo grado; Dos polinomios son idénticamente iguales si y sólo si sus coeficientes son iguales a las mismas potencias. X.

2.7 Ecuaciones simétricas

Definición. Una ecuación de la forma se llama simétrica si los primeros coeficientes de la izquierda de la ecuación son iguales a los primeros coeficientes de la derecha.

Vemos que los primeros coeficientes de la izquierda son iguales a los primeros coeficientes de la derecha.

Si dicha ecuación tiene un grado impar, entonces tiene raíz X= - 1. A continuación, podemos reducir el grado de la ecuación dividiéndola por ( x+ 1). Resulta que al dividir la ecuación simétrica por ( x+ 1) se obtiene una ecuación simétrica de grado par. La prueba de la simetría de los coeficientes se presenta a continuación. (Apéndice 6) Nuestra tarea es aprender a resolver ecuaciones simétricas de grado par.

Por ejemplo: (1)

Resolvemos la ecuación (1), dividimos por X 2 (al grado medio) = 0.

Agrupamos los términos con simétricos.

) + 3(X+ . Denotar en= X+ , elevamos ambas partes al cuadrado, por lo tanto = en 2 entonces 2( en 2 o 2 en 2 + 3 resolviendo la ecuación, obtenemos en = , en= 3. A continuación, volvemos al reemplazo. X+ = y X+ = 3. Obtenemos las ecuaciones y La primera no tiene solución y la segunda tiene dos raíces. Respuesta:.

Conclusión: este tipo de ecuación no se encuentra a menudo, pero si la encuentra, se puede resolver fácil y simplemente sin tener que recurrir a cálculos engorrosos.

2.8 Extracción del título completo

Considere la ecuación.

El lado izquierdo es el cubo de la suma (x + 1), es decir

Extraemos la raíz de tercer grado de ambas partes: , luego obtenemos

¿Dónde está la única raíz?

RESULTADOS DEL ESTUDIO

Como resultado del trabajo, llegamos a las siguientes conclusiones:

Gracias a la teoría estudiada, conocimos varios métodos para resolver ecuaciones completas de grados superiores;

La fórmula de D. Cardano es difícil de utilizar y da una alta probabilidad de cometer errores en el cálculo;

− el método de L. Ferrari permite reducir la solución de la ecuación de cuarto grado a cúbica;

− El teorema de Bezout se puede utilizar tanto para ecuaciones cúbicas como para ecuaciones de cuarto grado; es más comprensible e ilustrativo cuando se aplica a la resolución de ecuaciones;

El esquema de Horner ayuda a reducir y simplificar significativamente los cálculos al resolver ecuaciones. Además de encontrar las raíces, el esquema de Horner facilita el cálculo de los valores de los polinomios del lado izquierdo de la ecuación;

De particular interés fue la solución de ecuaciones mediante el método de coeficientes indefinidos, la solución de ecuaciones simétricas.

Durante trabajo de investigación Se encontró que los estudiantes se familiarizan con los métodos más simples para resolver ecuaciones de alto grado en clases optativas de matemáticas, a partir del noveno o décimo grado, así como en cursos especiales de escuelas de matemáticas itinerantes. Este hecho establecido como resultado de una encuesta entre profesores de matemáticas de MBOU "Escuela Secundaria No. 9" y estudiantes que mostraron un mayor interés en la materia "matemáticas".

Los métodos más populares para resolver ecuaciones de grados superiores, que se encuentran al resolver problemas olímpicos, competitivos y como resultado de la preparación de los estudiantes para los exámenes, son métodos basados ​​​​en la aplicación del teorema de Bezout, el esquema de Horner y la introducción de una nueva variable. .

Demostración de los resultados del trabajo de investigación, es decir. formas de resolver ecuaciones que no se estudian en el plan de estudios escolar en matemáticas, compañeros interesados.

Conclusión

Habiendo estudiado los aspectos educativos y literatura cientifica, Recursos de Internet en foros educativos para jóvenes.

En general, una ecuación que tiene un grado superior a 4 no se puede resolver en radicales. Pero a veces todavía podemos encontrar las raíces del polinomio de la izquierda en la ecuación de mayor grado, si lo representamos como producto de polinomios de grado no mayor a 4. La solución de este tipo de ecuaciones se basa en la descomposición de un polinomio en factores, por lo que te recomendamos revisar este tema antes de estudiar este artículo.

La mayoría de las veces, uno tiene que lidiar con ecuaciones de grados superiores con coeficientes enteros. En estos casos, podemos intentar encontrar raíces racionales, y luego factorizar el polinomio para luego convertirlo a una ecuación de menor grado, que será fácil de resolver. En el marco de este material, consideraremos solo esos ejemplos.

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Ecuaciones de grado superior con coeficientes enteros

Todas las ecuaciones de la forma a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , podemos reducir a una ecuación del mismo grado multiplicando ambos lados por a n n - 1 y cambiando la variable de la forma y = a n x:

un norte x norte + un norte - 1 x norte - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + segundo norte - 1 y norte - 1 + … + segundo 1 y + segundo 0 = 0

Los coeficientes resultantes también serán números enteros. Por lo tanto, necesitaremos resolver la ecuación reducida de enésimo grado con coeficientes enteros, que tiene la forma x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0.

Calculamos las raíces enteras de la ecuación. Si la ecuación tiene raíces enteras, debes buscarlas entre los divisores del término libre a 0. Anotémoslos y sustituyámoslos en la igualdad original uno por uno, comprobando el resultado. Una vez que hemos obtenido una identidad y encontrado una de las raíces de la ecuación, podemos escribirla en la forma x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 . Aquí x 1 es la raíz de la ecuación, y P n - 1 (x) es el cociente de x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 dividido por x - x 1 .

Sustituye los divisores restantes en P n - 1 (x) = 0 , comenzando con x 1 , ya que las raíces se pueden repetir. Después de obtener la identidad, se considera encontrada la raíz x 2 y la ecuación se puede escribir como (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) = 0. Aquí P n - 2 (x ) será el cociente de dividir P n - 1 (x) por x - x 2 .

Seguimos clasificando los divisores. Encuentre todas las raíces enteras y denote su número como m. Después de eso, la ecuación original se puede representar como x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 . Aquí P n - m (x) es un polinomio de n - m -ésimo grado. Para el cálculo es conveniente utilizar el esquema de Horner.

Si nuestra ecuación original tiene coeficientes enteros, no podemos terminar con raíces fraccionarias.

Como resultado, obtuvimos la ecuación P n - m (x) = 0, cuyas raíces se pueden encontrar de cualquier forma conveniente. Pueden ser irracionales o complejos.

mostremos en ejemplo específico cómo se aplica dicho esquema de solución.

Ejemplo 1

Condición: encuentra la solución de la ecuación x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 .

Solución

Comencemos por encontrar raíces enteras.

Tenemos una intersección igual a menos tres. Tiene divisores iguales a 1, -1, 3 y -3. Sustituyémoslos en la ecuación original y veamos cuál de ellos dará identidades como resultado.

Para x igual a uno, obtenemos 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 = 0, lo que significa que uno será la raíz de esta ecuación.

Ahora dividamos el polinomio x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 por (x - 1) en una columna:

Entonces x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

Obtuvimos una identidad, lo que significa que encontramos otra raíz de la ecuación, igual a - 1.

Dividimos el polinomio x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 por (x + 1) en una columna:

lo entendemos

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Sustituimos el siguiente divisor en la ecuación x 2 + x + 3 = 0, comenzando desde - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Las igualdades resultantes serán incorrectas, lo que significa que la ecuación ya no tiene raíces enteras.

Las raíces restantes serán las raíces de la expresión x 2 + x + 3 .

D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

De esto se deduce que este trinomio cuadrado no tiene raíces reales, pero sí conjugadas complejas: x = - 1 2 ± i 11 2 .

Aclaremos que en lugar de dividir en columnas se puede utilizar el esquema de Horner. Esto se hace así: después de haber determinado la primera raíz de la ecuación, completamos la tabla.

En la tabla de coeficientes podemos ver inmediatamente los coeficientes del cociente de la división de polinomios, lo que significa x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Después de encontrar la siguiente raíz, igual a - 1, obtenemos lo siguiente:

Respuesta: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± i 11 2.

Ejemplo 2

Condición: resuelve la ecuación x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0.

Solución

El miembro libre tiene divisores 1 , - 1 , 2 , - 2 , 3 , - 3 , 4 , - 4 , 6 , - 6 , 12 , - 12 .

Revisémoslos en orden:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

Entonces x = 2 será la raíz de la ecuación. Divida x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 entre x - 2 usando el esquema de Horner:

Como resultado, obtenemos x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 .

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

Entonces 2 volverá a ser una raíz. Dividir x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 por x - 2:

Como resultado, obtenemos (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Verificar los divisores restantes no tiene sentido, ya que la igualdad x 2 + 3 x + 3 = 0 es más rápida y conveniente de resolver usando el discriminante.

Resolvamos la ecuación cuadrática:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

Obtenemos un par de raíces conjugadas complejas: x = - 3 2 ± i 3 2 .

Respuesta: x = - 3 2 ± yo 3 2 .

Ejemplo 3

Condición: encuentra las raíces reales de la ecuación x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0.

Solución

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

Realizamos la multiplicación 2 3 de ambas partes de la ecuación:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

Reemplazamos las variables y = 2 x:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

Como resultado, obtuvimos una ecuación estándar de cuarto grado, que se puede resolver de acuerdo con el esquema estándar. Comprobamos los divisores, dividimos y al final obtenemos que tiene 2 raíces reales y \u003d - 2, y \u003d 3 y dos complejas. No presentaremos aquí la solución completa. En virtud del reemplazo, las raíces reales de esta ecuación serán x = y 2 = - 2 2 = - 1 y x = y 2 = 3 2 .

Respuesta: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

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Métodos de resolución de ecuaciones: n n n Reemplazo de la ecuación h(f(x)) = h(g(x)) por la ecuación f(x) = g(x) Factorización. Introducción de una nueva variable. Funcional - método gráfico. Selección de raíces. Aplicación de fórmulas Vieta.

Reemplazando la ecuación h(f(x)) = h(g(x)) por la ecuación f(x) = g(x). El método se puede aplicar sólo cuando y = h(x) es una función monótona que toma cada uno de sus valores una vez. Si la función no es monótona, entonces es posible la pérdida de raíces.

Resuelve la ecuación (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ función creciente, así de la ecuación (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ puedes pasar a la ecuación 3 x + 2 = 5 x - 9, de donde encontramos x = 5,5 Respuesta: 5,5.

Factorización. La ecuación f(x)g(x)h(x) = 0 puede ser reemplazada por el conjunto de ecuaciones f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Una vez resueltas las ecuaciones de este conjunto, es necesario tomar aquellas raíces que pertenecen al dominio de definición de la ecuación original y descartar el resto como superfluas.

Resolver la ecuación x³ - 7 x + 6 = 0 Representando el término 7 x como x + 6 x, obtenemos secuencialmente: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6(x - 1) = 0 x (x - 1)(x + 1) - 6(x - 1) = 0 (x - 1)(x² + x - 6) = 0 Ahora el problema se reduce a resolver un conjunto de ecuaciones x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. Respuesta: 1, 2, - 3.

Introducción de una nueva variable. Si la ecuación y(x) = 0 se puede transformar a la forma p(g(x)) = 0, entonces necesitas introducir una nueva variable u = g(x), resolver la ecuación p(u) = 0, y luego resuelve el conjunto de ecuaciones g( x) = u 1; g(x) = u2; … ; g(x) = un , donde u 1, u 2,… , un son las raíces de la ecuación p(u) = 0.

Resolver la ecuación Una característica de esta ecuación es la igualdad de los coeficientes de su lado izquierdo, equidistantes de sus extremos. Estas ecuaciones se llaman recíprocas. Como 0 no es la raíz de esta ecuación, dividir por x² da

Introduzcamos una nueva variable. Luego obtenemos una ecuación cuadrática, por lo que la raíz y 1 = - 1 puede ignorarse. Obtenemos la respuesta: 2, 0, 5.

Resuelve la ecuación 6(x² - 4)² + 5(x² - 4)(x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 Esta ecuación se puede resolver como homogénea. Divide ambos lados de la ecuación por (x² - 7 x +12)² (está claro que los valores de x tales que x² - 7 x +12=0 no son soluciones). Ahora indiquemos que tenemos desde aquí la respuesta:

Funcional - método gráfico. Si una de las funciones y \u003d f (x), y \u003d g (x) aumenta y la otra disminuye, entonces la ecuación f (x) \u003d g (x) no tiene raíces o tiene una raíz.

Resuelve la ecuación Es bastante obvio que x = 2 es la raíz de la ecuación. Demostremos que esta es la única raíz. Transformamos la ecuación a la forma. Notamos que la función aumenta y la función disminuye. Entonces la ecuación tiene una sola raíz. Respuesta: 2.

Selección de raíces n n n Teorema 1: Si un número entero m es raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces el término constante del polinomio es divisible por m. Teorema 2: El polinomio reducido con coeficientes enteros no tiene raíces fraccionarias. Teorema 3: – ecuación con coeficientes enteros Let. Si el número y la fracción donde p y q son números enteros es irreducible, es la raíz de la ecuación, entonces p es el divisor del término libre an, y q es el divisor del coeficiente en el término más alto a 0.

Teorema de Bezout. El resto al dividir cualquier polinomio por un binomio (x - a) es igual al valor del polinomio divisible en x = a. Consecuencias del teorema de Bezout n n n n La diferencia de potencias idénticas de dos números es divisible sin resto por la diferencia de los mismos números; La diferencia de potencias pares idénticas de dos números es divisible sin resto tanto por la diferencia de estos números como por su suma; La diferencia de potencias impares idénticas de dos números no es divisible por la suma de estos números; La suma de potencias iguales de dos no números es divisible por la diferencia de estos números; La suma de potencias impares idénticas de dos números es divisible sin resto por la suma de estos números; La suma de potencias pares idénticas de dos números no es divisible ni por la diferencia de estos números ni por su suma; El polinomio es divisible por el binomio (x - a) si y sólo si el número a es raíz de este polinomio; El número de raíces distintas de un polinomio distinto de cero no es mayor que su grado.

Resuelve la ecuación x³ - 5 x² - x + 21 = 0 El polinomio x³ - 5 x² - x + 21 tiene coeficientes enteros. Según el teorema 1, sus raíces enteras, si las hay, se encuentran entre los divisores del término libre: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Al verificar, nos aseguramos de que el número 3 sea una raíz. Según un corolario del teorema de Bezout, el polinomio es divisible por (x – 3). Por tanto, x³ - 5 x² - x + 21 = (x - 3) (x² - 2 x - 7). Respuesta:

Resuelve la ecuación 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 Según el teorema 1, sólo los números ± 1 pueden ser raíces enteras de la ecuación. La verificación muestra que estos números no son raíces. Como la ecuación no se reduce, puede tener raíces racionales fraccionarias. Encontrémoslos. Para hacer esto, multiplica ambos lados de la ecuación por 4: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 Sustituyendo 2 x = t, obtenemos t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0. Por Terem 2, todas las raíces racionales de esta ecuación reducida deben ser enteras. Se pueden encontrar entre los divisores del término constante: ± 1, ± 2, ± 4. En este caso, es adecuado t = - 1. Por tanto, el polinomio 2 x³ - 5 x² - x + 1 es divisible por ( x + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 = (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) Resolviendo la ecuación cuadrática 2 x² - 6 x + 2 = 0, tenemos encontrar las raíces restantes: Respuesta:

Resolver la ecuación 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 Según el Teorema 3 se deben buscar entre los números las raíces racionales de esta ecuación, sustituyéndolas una por una en la ecuación encontramos que satisfacen la ecuación. Agotan todas las raíces de la ecuación. Respuesta:

Encuentre la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 Según el teorema de Vieta Tenga en cuenta que de dónde

Especifique el método mediante el cual se puede resolver cada una de estas ecuaciones. Resuelve las ecuaciones n.° 1, 4, 15, 17.

Respuestas e instrucciones: 1. Introducción de una nueva variable. 2. Funcional - método gráfico. 3. Reemplazar la ecuación h(f(x)) = h(g(x)) por la ecuación f(x) = g(x). 4. Factorización. 5. Selección de raíces. 6 Funcionalmente - método gráfico. 7. Aplicación de fórmulas Vieta. 8. Selección de raíces. 9. Reemplazar la ecuación h(f(x)) = h(g(x)) por la ecuación f(x) = g(x). 10. Introducción de una nueva variable. 11. Factorización. 12. Introducción de una nueva variable. 13. Selección de raíces. 14. Aplicación de fórmulas de Vieta. 15. Funcional - método gráfico. 16. Factorización. 17. Introducción de una nueva variable. 18. Factorización.

1. Instrucción. Escribe la ecuación como 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x², divide ambos lados por x². Ingrese la variable Respuesta: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7, 5. 4. Indicación. Suma 6 y y - 6 y al lado izquierdo de la ecuación y escríbelo como (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - 3 años - 8). Respuesta:

14. Instrucción. Según el teorema de Vieta Dado que - son números enteros, entonces sólo los números - 1, - 2, - 3 pueden ser raíces de la ecuación Respuesta: 15. Respuesta: - 1. 17. Indicación. Divide ambos lados de la ecuación por x² y escríbelo como Ingresa una variable Respuesta: 1; 15; 2; 3.

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