Área lateral de la fórmula del cilindro. Tutorial: Cilindro

Un cilindro es una figura formada por una superficie cilíndrica y dos círculos dispuestos en paralelo. Calcular el área de un cilindro es un problema de la rama geométrica de las matemáticas, que se resuelve de forma bastante sencilla. Hay varios métodos para resolverlo, que como resultado siempre se reducen a una fórmula.

Cómo encontrar el área de un cilindro - reglas de cálculo

• Para averiguar el área del cilindro, debe agregar dos áreas base con el área de la superficie lateral: S \u003d lado S. + 2 S principal. En una versión más detallada, esta fórmula se ve así: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• El área de la superficie lateral de un cuerpo geométrico dado se puede calcular si se conocen su altura y el radio del círculo subyacente a la base. En este caso, puede expresar el radio de la circunferencia, si se da. La altura se puede encontrar si el valor de la generatriz se especifica en la condición. En este caso, la generatriz será igual a la altura. La fórmula para la superficie lateral de un cuerpo dado se ve así: S= 2 π rh.
• El área de la base se calcula mediante la fórmula para encontrar el área de un círculo: S osn= π r 2 . En algunos problemas, puede que no se dé el radio, pero se da la circunferencia. Con esta fórmula, el radio se expresa con bastante facilidad. С=2π r, r= С/2π. También hay que recordar que el radio es la mitad del diámetro.
• Al realizar todos estos cálculos, el número π generalmente no se traduce en 3.14159 ... Solo necesita agregarlo al lado valor numérico, que se obtuvo como resultado de los cálculos.
• Además, solo es necesario multiplicar el área encontrada de la base por 2 y agregar al número resultante el área calculada de la superficie lateral de la figura.
• Si el problema indica que el cilindro tiene una sección axial y esta es un rectángulo, entonces la solución será ligeramente diferente. En este caso, el ancho del rectángulo será el diámetro del círculo que se encuentra en la base del cuerpo. La longitud de la figura será igual a la generatriz oa la altura del cilindro. Es necesario calcular los valores deseados y sustituir en una fórmula ya conocida. En este caso, el ancho del rectángulo debe dividirse por dos para encontrar el área de la base. Para encontrar la superficie lateral, la longitud se multiplica por dos radios y por el número π.
• Puede calcular el área de un cuerpo geométrico dado a través de su volumen. Para hacer esto, debe derivar el valor faltante de la fórmula V=π r 2 h.
• No hay nada difícil en calcular el área de un cilindro. Solo necesita conocer las fórmulas y poder derivar de ellas las cantidades necesarias para los cálculos.

Cilindro (cilindro circular): un cuerpo que consta de dos círculos, combinados por transferencia paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos. Los círculos se llaman bases del cilindro, y los segmentos que conectan los puntos correspondientes de los círculos de los círculos se llaman generadores del cilindro.

Las bases del cilindro son iguales y se encuentran en planos paralelos, y los generadores del cilindro son paralelos e iguales. La superficie de un cilindro consta de bases y una superficie lateral. La superficie lateral está formada por generadores.

Un cilindro se dice recto si sus generadores son perpendiculares a los planos de la base. Se puede considerar un cilindro como un cuerpo obtenido al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados como eje. Hay otros tipos de cilindros: elípticos, hiperbólicos, parabólicos. Un prisma también se considera como una especie de cilindro.

La figura 2 muestra un cilindro inclinado. Las circunferencias de centro O y O 1 son sus bases.

El radio de un cilindro es el radio de su base. La altura del cilindro es la distancia entre los planos de las bases. El eje de un cilindro es una recta que pasa por los centros de las bases. Es paralelo a los generadores. La sección de un cilindro por un plano que pasa por el eje del cilindro se llama sección axial. El plano que pasa por la generatriz de un cilindro recto y perpendicular a la sección axial trazada por esta generatriz se denomina plano tangente al cilindro.

Un plano perpendicular al eje del cilindro corta su superficie lateral a lo largo de un círculo igual a la circunferencia de la base.

Un prisma inscrito en un cilindro es un prisma cuyas bases son polígonos iguales inscritos en las bases del cilindro. Sus bordes laterales son generatrices del cilindro. Se dice que un prisma está circunscrito cerca de un cilindro si sus bases son polígonos iguales circunscritos cerca de las bases del cilindro. Los planos de sus caras tocan la superficie lateral del cilindro.

El área de la superficie lateral del cilindro se puede calcular multiplicando la longitud de la generatriz por el perímetro de la sección del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El área de la superficie lateral de un cilindro recto se puede encontrar a partir de su desarrollo. El desarrollo del cilindro es un rectángulo de altura h y longitud P, que es igual al perímetro de la base. Por lo tanto, el área de la superficie lateral del cilindro es igual al área de su desarrollo y se calcula mediante la fórmula:

En particular, para un cilindro circular recto:

P = 2πR y Sb = 2πRh.

Cuadrado superficie completa Un cilindro es igual a la suma de las áreas de su superficie lateral y sus bases.

Para un cilindro circular recto:

S pags = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Hay dos fórmulas para encontrar el volumen de un cilindro inclinado.

Puede encontrar el volumen multiplicando la longitud de la generatriz por el área de la sección transversal del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El volumen de un cilindro inclinado es igual al producto del área de la base y la altura (la distancia entre los planos en los que se encuentran las bases):

V = Sh = S l sen α,

donde l es la longitud de la generatriz y α es el ángulo entre la generatriz y el plano de la base. Para un cilindro recto h = l.

La fórmula para encontrar el volumen de un cilindro circular es la siguiente:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,

donde d es el diámetro de la base.

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La estereometría es una rama de la geometría que estudia las formas en el espacio. Las figuras principales en el espacio son un punto, una línea y un plano. En estereometría aparece el nuevo tipo disposición mutua de líneas: líneas que se cruzan. Esta es una de las pocas diferencias significativas entre la geometría sólida y la planimetría, ya que en muchos casos los problemas de estereometría se resuelven considerando diferentes planos en los que se cumplen las leyes planimétricas.

En la naturaleza que nos rodea, hay muchos objetos que son modelos físicos de esta figura. Por ejemplo, muchas partes de las máquinas tienen forma de cilindro o alguna combinación de ellas, y las majestuosas columnas de templos y catedrales, hechas en forma de cilindro, enfatizan su armonía y belleza.

Griego − kyulindros. término antiguo. En la vida cotidiana: un rollo de papiro, un rodillo, una pista de patinaje (verbo - torcer, rodar).

En Euclides, un cilindro se obtiene girando un rectángulo. Para Cavalieri, por el movimiento de la generatriz (con una guía arbitraria - "cilindro").

El propósito de este ensayo es considerar un cuerpo geométrico: un cilindro.

Para lograr este objetivo, se deben considerar las siguientes tareas:

− dar definiciones de un cilindro;

- considerar los elementos del cilindro;

− estudiar las propiedades del cilindro;

- considerar los tipos de sección del cilindro;

- derivar la fórmula para el área de un cilindro;

− derivar la fórmula para el volumen de un cilindro;

− resolver problemas utilizando un cilindro.

1.1. Definición de cilindro

Considere alguna línea (curva, línea quebrada o línea mixta) l que se encuentra en algún plano α y alguna línea recta S que interseca este plano. A través de todos los puntos de la línea dada l trazamos líneas paralelas a la línea S; la superficie α formada por estas rectas se denomina superficie cilíndrica. La recta l se llama guía de esta superficie, las rectas s 1 , s 2 , s 3 ,... son sus generadoras.

Si la guía es una línea quebrada, entonces dicha superficie cilíndrica consta de una serie de tiras planas encerradas entre pares de líneas paralelas y se denomina superficie prismática. Las generatrices que pasan por los vértices de la polilínea guía se denominan aristas de la superficie prismática, las franjas planas entre ellas se denominan caras.

Si cortamos cualquier superficie cilíndrica con un plano arbitrario que no sea paralelo a sus generadores, obtenemos una línea que también se puede tomar como guía para esta superficie. Entre las guías destaca una que se obtiene a partir de la sección de la superficie por un plano perpendicular a los generadores de la superficie. Tal sección se llama sección normal, y la guía correspondiente se llama guía normal.

Si la guía es una línea cerrada (convexa) (línea discontinua o curva), entonces la superficie correspondiente se denomina superficie prismática o cilíndrica cerrada (convexa). De las superficies cilíndricas, la más simple tiene su círculo guía normal. Disequemos una superficie prismática convexa cerrada por dos planos paralelos entre sí, pero no paralelos a los generadores.

En las secciones obtenemos polígonos convexos. Ahora bien, la parte de la superficie prismática encerrada entre los planos α y α", y las dos placas poligonales formadas en estos planos, limitan el cuerpo, llamado cuerpo prismático - el prisma.

Un cuerpo cilíndrico: un cilindro se define de manera similar a un prisma:
Un cilindro es un cuerpo limitado lateralmente por una superficie cilíndrica cerrada (convexa), y desde los extremos por dos bases planas paralelas. Ambas bases del cilindro son iguales, y todos los generadores del cilindro también son iguales entre sí, es decir segmentos que forman una superficie cilíndrica entre los planos de las bases.

Un cilindro (más precisamente, un cilindro circular) es un cuerpo geométrico, que consta de dos círculos que no se encuentran en el mismo plano y se combinan por transferencia paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos (Fig. 1) .

Los círculos se llaman bases del cilindro, y los segmentos que conectan los puntos correspondientes de los círculos de los círculos se llaman generadores del cilindro.

Como la traslación paralela es movimiento, las bases del cilindro son iguales.

Dado que durante la traslación paralela el plano pasa a un plano paralelo (o a sí mismo), las bases del cilindro se encuentran en planos paralelos.

Dado que, durante la traslación paralela, los puntos se desplazan a lo largo de líneas paralelas (o coincidentes) la misma distancia, entonces los generadores del cilindro son paralelos e iguales.

La superficie de un cilindro consta de bases y una superficie lateral. La superficie lateral está compuesta por generadores.

Un cilindro se dice recto si sus generadores son perpendiculares a los planos de las bases.

Un cilindro recto se puede visualizar como un cuerpo geométrico que describe un rectángulo a medida que gira alrededor del lado como un eje (Fig. 2).

Arroz. 2 − Cilindro recto

A continuación, consideraremos solo un cilindro recto, llamándolo simplemente cilindro por brevedad.

El radio de un cilindro es el radio de su base. La altura de un cilindro es la distancia entre los planos de sus bases. El eje de un cilindro es una recta que pasa por los centros de las bases. Es paralelo a los generadores.

Un cilindro se llama equilátero si su altura es igual al diámetro de su base.

Si las bases del cilindro son planas (y por lo tanto los planos que las contienen son paralelos), se dice que el cilindro está parado sobre un plano. Si las bases de un cilindro que se encuentra sobre un plano son perpendiculares a la generatriz, entonces el cilindro se llama recto.

En particular, si la base de un cilindro que se encuentra sobre un plano es un círculo, entonces se habla de un cilindro circular (redondo); si es una elipse, entonces elíptica.

1. 3. Secciones del cilindro

La sección del cilindro por un plano paralelo a su eje es un rectángulo (Fig. 3, a). Dos de sus lados son generatrices del cilindro, y los otros dos son cuerdas paralelas de las bases.

A) b)

V) GRAMO)

Arroz. 3 - Secciones del cilindro

En particular, el rectángulo es la sección axial. Esta es una sección del cilindro por un plano que pasa por su eje (Fig. 3, b).

La sección del cilindro por un plano paralelo a la base es un círculo (Fig. 3, c).

La sección transversal del cilindro con un plano no paralelo a la base y su eje es un óvalo (Fig. 3d).

Teorema 1. Un plano paralelo al plano de la base del cilindro corta su superficie lateral a lo largo de un círculo igual a la circunferencia de la base.

Prueba. Sea β un plano paralelo al plano de la base del cilindro. La traslación paralela en la dirección del eje del cilindro, que combina el plano β con el plano de la base del cilindro, combina la sección de la superficie lateral por el plano β con la circunferencia de la base. El teorema ha sido probado.

El área de la superficie lateral del cilindro.

El área de la superficie lateral del cilindro se toma como el límite al que tiende el área de la superficie lateral prisma recto inscrito en un cilindro cuando el número de lados de la base de este prisma aumenta indefinidamente.

Teorema 2. El área de la superficie lateral del cilindro es igual al producto de la circunferencia de su base y la altura (S lado.c = 2πRH, donde R es el radio de la base del cilindro, H es la altura del cilindro).

A) b)
Arroz. 4 - El área de la superficie lateral del cilindro.

Prueba.

Sean P n y H, respectivamente, el perímetro de la base y la altura de un prisma regular n-gonal inscrito en un cilindro (Fig. 4, a). Entonces el área de la superficie lateral de este prisma es S lado.c − P n H. Supongamos que el número de lados del polígono inscrito en la base crece indefinidamente (Fig. 4, b). Entonces el perímetro P n tiende a la circunferencia C = 2πR, donde R es el radio de la base del cilindro, y la altura H no cambia. Así, el área de la superficie lateral del prisma tiende al límite 2πRH, es decir, el área de la superficie lateral del cilindro es igual al lado S.c = 2πRH. El teorema ha sido probado.

La superficie total del cilindro.

El área total de la superficie de un cilindro es la suma de las áreas de la superficie lateral y las dos bases. El área de cada base del cilindro es igual a πR 2, por lo tanto, el área de la superficie completa del cilindro S full se calcula mediante la fórmula S side.c \u003d 2πRH + 2πR 2.

Arroz. 5 − Superficie total del cilindro

Si la superficie lateral del cilindro se corta a lo largo de la generatriz FT (Fig. 5, a) y se despliega para que todas las generatrices estén en el mismo plano, como resultado obtenemos un rectángulo FTT1F1, que se denomina desarrollo de la superficie lateral del cilindro. El lado FF1 del rectángulo es un desarrollo de la circunferencia de la base del cilindro, por lo tanto, FF1=2πR, y su lado FT es igual a la generatriz del cilindro, es decir, FT = H (Fig. 5, b). Así, el área FT∙FF1=2πRH del desarrollo del cilindro es igual al área de su superficie lateral.

1.5. Volumen del cilindro

Si el cuerpo geométrico es simple, es decir, se puede dividir en un número finito pirámides triangulares, entonces su volumen es igual a la suma de los volúmenes de estas pirámides. Para un cuerpo arbitrario, el volumen se define de la siguiente manera.

Un cuerpo dado tiene volumen V si existen cuerpos simples y los cuerpos simples contenidos en él con volúmenes tan poco diferentes de V como se quiera.

Apliquemos esta definición para encontrar el volumen de un cilindro con radio base R y altura H.

Al derivar la fórmula para el área de un círculo, se construyeron dos n-gonos (uno que contiene un círculo, el otro contenido en un círculo) de tal manera que sus áreas con un aumento ilimitado en n se acerquen al área de un círculo indefinidamente. Construyamos tales polígonos para el círculo en la base del cilindro. Sea P un polígono que contiene un círculo y P" un polígono contenido en un círculo (Fig. 6).

Arroz. 7 - Cilindro con un prisma descrito e inscrito en él

Construimos dos prismas rectos con bases P y P "y altura H igual a la altura del cilindro. El primer prisma contiene un cilindro, y el segundo prisma está contenido en un cilindro. Dado que con un aumento ilimitado en n, las áreas de las bases de los prismas se acercan indefinidamente al área de la base del cilindro S, luego sus volúmenes se acercan indefinidamente a S H. Según la definición, el volumen de un cilindro

V = SH = πR 2 H.

Entonces, el volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura.

Tarea 1.

La sección axial de un cilindro es un cuadrado de área Q.

Encuentra el área de la base del cilindro.

Dado: cilindro, cuadrado - sección axial del cilindro, S cuadrado = Q.

Encuentre: S cilindro principal.

El lado del cuadrado es . Es igual al diámetro de la base. entonces el area de la base es .

Respuesta: S cilindro principal. =

Tarea 2.

Un prisma hexagonal regular está inscrito en un cilindro. Encuentra el ángulo entre la diagonal de su cara lateral y el eje del cilindro si el radio de la base es igual a la altura del cilindro.

Dado: un cilindro, un prisma hexagonal regular inscrito en un cilindro, el radio de la base = la altura del cilindro.

Encuentre: el ángulo entre la diagonal de su cara lateral y el eje del cilindro.

Solución: Caras laterales los prismas son cuadrados, ya que el lado de un hexágono regular inscrito en un círculo es igual al radio.

Las aristas del prisma son paralelas al eje del cilindro, por lo que el ángulo entre la diagonal de la cara y el eje del cilindro es igual al ángulo entre la diagonal y la arista lateral. Y este ángulo es de 45°, ya que las caras son cuadrados.

Respuesta: el ángulo entre la diagonal de su cara lateral y el eje del cilindro = 45°.

Tarea 3.

La altura del cilindro es de 6 cm, el radio de la base es de 5 cm.

Encuentra el área de una sección dibujada paralelamente al eje del cilindro a una distancia de 4 cm de este.

Dado: H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.

Encontrar: S seg.

S seg. = KM×KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Triángulo OKM - isósceles (OK = OM = R = 5 cm),

el triángulo OEK es un triángulo rectángulo.

Del triángulo OEK, según el teorema de Pitágoras:

KM \u003d 2EK \u003d 2 × 3 \u003d 6,

S seg. \u003d 6 × 6 \u003d 36 cm 2.

Se cumple el propósito de este ensayo, se considera un cuerpo geométrico tal como un cilindro.

Se consideraron las siguientes tareas:

− se da la definición de un cilindro;

− se consideran elementos del cilindro;

− estudió las propiedades del cilindro;

− se consideran los tipos de sección del cilindro;

− se deriva la fórmula para el área de un cilindro;

− se obtiene la fórmula para el volumen de un cilindro;

− Los problemas se resuelven con el uso de un cilindro.

1. Pogorelov A. V. Geometría: un libro de texto para los grados 10 - 11 de instituciones educativas, 1995.

2. Beskin L. N. Estereometría. Guía del profesor escuela secundaria, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometría: Libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometría: libro de texto para los grados 10-11 de instituciones educativas, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometry: Stereometry: Grades 10 - 11: Textbook and problem book, 2000.

Un cilindro es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica. En el artículo hablaremos sobre cómo encontrar el área de un cilindro y, usando la fórmula, resolveremos varios problemas, por ejemplo.

Un cilindro tiene tres superficies: superior, inferior y superficie lateral.

La parte superior e inferior del cilindro son círculos y son fáciles de identificar.

Se sabe que el área de un círculo es igual a πr 2 . Por lo tanto, la fórmula para el área de dos círculos (parte superior e inferior del cilindro) se verá como πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

La tercera superficie lateral del cilindro es la pared curva del cilindro. Para representar mejor esta superficie, intentemos transformarla para obtener una forma reconocible. Imagine que un cilindro es una lata ordinaria que no tiene tapa superior ni fondo. Hagamos una incisión vertical en la pared lateral desde la parte superior hasta la parte inferior del frasco (Paso 1 en la figura) e intentemos abrir (enderezar) la figura resultante tanto como sea posible (Paso 2).

Después de la divulgación completa del frasco resultante, veremos una figura familiar (Paso 3), se trata de un rectángulo. El área de un rectángulo es fácil de calcular. Pero antes de eso, volvamos por un momento al cilindro original. El vértice del cilindro original es un círculo, y sabemos que la circunferencia de un círculo se calcula mediante la fórmula: L = 2πr. Está marcado en rojo en la figura.

Cuando la pared lateral del cilindro se expande por completo, vemos que la circunferencia se convierte en la longitud del rectángulo resultante. Los lados de este rectángulo serán la circunferencia (L = 2πr) y la altura del cilindro (h). El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados - S = largo x ancho = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, hemos obtenido una fórmula para calcular el área de la superficie lateral de un cilindro.

La fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro.
lado S = 2prh

Superficie total de un cilindro

Finalmente, si sumamos el área de las tres superficies, obtenemos la fórmula para el área total de la superficie de un cilindro. El área de la superficie del cilindro es igual al área de la parte superior del cilindro + el área de la base del cilindro + el área de la superficie lateral del cilindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. A veces esta expresión se escribe con la fórmula idéntica 2πr (r + h).

La fórmula para el área de superficie total de un cilindro.
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r es el radio del cilindro, h es la altura del cilindro

Ejemplos de cálculo del área de superficie de un cilindro.

Para comprender las fórmulas anteriores, intentemos calcular el área de superficie de un cilindro usando ejemplos.

1. El radio de la base del cilindro es 2, la altura es 3. Determine el área de la superficie lateral del cilindro.

La superficie total se calcula mediante la fórmula: lado S. = 2prh

lado S = 2 * 3.14 * 2 * 3

lado S = 6,28 * 6

lado S = 37,68

El área de la superficie lateral del cilindro es 37.68.

2. ¿Cómo encontrar el área de la superficie de un cilindro si la altura es 4 y el radio es 6?

El área de superficie total se calcula mediante la fórmula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica.

El cilindro consta de una superficie lateral y dos bases. La fórmula para el área de superficie de un cilindro incluye un cálculo separado del área de las bases y la superficie lateral. Dado que las bases en el cilindro son iguales, su área total se calculará mediante la fórmula:

Consideraremos un ejemplo de cálculo del área de un cilindro después de conocer todas las fórmulas necesarias. Primero necesitamos la fórmula del área de la base de un cilindro. Dado que la base del cilindro es un círculo, debemos aplicar:
Recordamos que estos cálculos utilizan un número constante Π = 3,1415926, que se calcula como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Este número es una constante matemática. También consideraremos un ejemplo de cálculo del área de la base de un cilindro un poco más adelante.

Superficie del lado del cilindro

La fórmula del área de la superficie lateral de un cilindro es el producto de la longitud de la base por su altura:

Ahora considere un problema en el que necesitamos calcular el área total de un cilindro. En una figura dada, la altura es h = 4 cm, r = 2 cm Busquemos el área total del cilindro.
Primero, calculemos el área de las bases:
Ahora considere un ejemplo de cálculo del área de superficie lateral de un cilindro. Cuando se expande, es un rectángulo. Su área se calcula usando la fórmula anterior. Sustituye todos los datos en él:
El área total de un círculo es la suma del doble del área de la base y el lado:

Así, usando las fórmulas para el área de las bases y la superficie lateral de la figura, pudimos encontrar el área total de la superficie del cilindro.
La sección axial del cilindro es un rectángulo en el que los lados son iguales a la altura y el diámetro del cilindro.

La fórmula para el área de la sección axial de un cilindro se deriva de la fórmula de cálculo: