Altura de la pirámide triangular. Pirámide. Pirámide correcta

Aquí se recopila información básica sobre las pirámides y las fórmulas y conceptos relacionados. Todos ellos se estudian con un tutor en matemáticas como preparación para el examen.

Considere un plano, un polígono acostado en él y un punto S que no está acostado en él. Conecte S a todos los vértices del polígono. El poliedro resultante se llama pirámide. Los segmentos se llaman bordes laterales. El polígono se llama base y el punto S se llama vértice de la pirámide. Dependiendo del número n, la pirámide se llama triangular (n=3), cuadrangular (n=4), pentagonal (n=5) y así sucesivamente. Nombre alternativo para la pirámide triangular - tetraedro. La altura de una pirámide es la perpendicular trazada desde su vértice hasta el plano base.

Una pirámide se dice correcta si un polígono regular, y la base de la altura de la pirámide (la base de la perpendicular) es su centro.

comentario del tutor:
No confunda el concepto de "pirámide regular" y "tetraedro regular". En pirámide correcta las aristas laterales no son necesariamente iguales a las aristas de la base, y en un tetraedro regular las 6 aristas de las aristas son iguales. Esta es su definición. Es fácil probar que la igualdad implica que el centro P del polígono con una base de altura, por lo que un tetraedro regular es una pirámide regular.

¿Qué es un apotema?
La apotema de una pirámide es la altura de su cara lateral. Si la pirámide es regular, entonces todas sus apotemas son iguales. Lo opuesto no es verdad.

Tutor de matemáticas sobre su terminología: el trabajo con pirámides se construye en un 80% a través de dos tipos de triángulos:
1) Conteniendo apotema SK y altura SP
2) Que contiene el borde lateral SA y su proyección PA

Para simplificar las referencias a estos triángulos, es más conveniente que un tutor de matemáticas nombre el primero de ellos apotémico, y segundo costal. Desafortunadamente, no encontrará esta terminología en ninguno de los libros de texto, y el profesor tiene que introducirla unilateralmente.

Fórmula de volumen piramidal:
1) , donde es el área de la base de la pirámide, y es la altura de la pirámide
2), donde es el radio de la esfera inscrita, y es el área superficie completa pirámides.
3) , donde MN es la distancia de dos aristas que se cruzan, y es el área del paralelogramo formado por los puntos medios de las cuatro aristas restantes.

Propiedad base de la altura de la pirámide:

El punto P (ver figura) coincide con el centro de la circunferencia inscrita en la base de la pirámide si se cumple alguna de las siguientes condiciones:
1) Todas las apotemas son iguales
2) Todas las caras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las apotemas están igualmente inclinadas a la altura de la pirámide.
4) La altura de la pirámide está igualmente inclinada hacia todas las caras laterales.

comentario del tutor de matematicas: tenga en cuenta que todos los elementos están unidos por uno propiedad comun: de una forma u otra, las caras laterales participan en todas partes (las apotemas son sus elementos). Por lo tanto, el tutor puede ofrecer una formulación menos precisa, pero más conveniente para la memorización: el punto P coincide con el centro del círculo inscrito, la base de la pirámide, si hay alguna información igual sobre sus caras laterales. Para probarlo, basta mostrar que todos los triángulos apotémicos son iguales.

El punto P coincide con el centro del círculo circunscrito cerca de la base de la pirámide, si se cumple una de las tres condiciones:
1) Todos los bordes laterales son iguales
2) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas hacia la base
3) Todas las nervaduras laterales están igualmente inclinadas a la altura.

• apotema- la altura de la cara lateral de una pirámide regular, que se dibuja desde su parte superior (además, la apotema es la longitud de la perpendicular, que se baja desde la mitad de un polígono regular a 1 de sus lados);
• caras laterales (ASB, BSC, CDS, DSA) - triángulos que convergen en la parte superior;
• costillas laterales ( COMO , licenciatura , CS , D.S. ) - lados comunes de las caras laterales;
• cima de la piramide (v.S) - un punto que conecta los bordes laterales y que no se encuentra en el plano de la base;
• altura ( ENTONCES ) - un segmento de la perpendicular, que se dibuja a través de la parte superior de la pirámide hasta el plano de su base (los extremos de dicho segmento serán la parte superior de la pirámide y la base de la perpendicular);
• sección diagonal de una pirámide- sección de la pirámide, que pasa por la parte superior y la diagonal de la base;
• base (A B C D) es un polígono al que no pertenece la parte superior de la pirámide.

propiedades de la pirámide.

1. Cuando todos los bordes laterales tengan el mismo tamaño, entonces:

• cerca de la base de la pirámide es fácil describir un círculo, mientras que la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo;
• las nervaduras laterales forman ángulos iguales con el plano base;
• además, lo contrario también es cierto, es decir cuando las nervaduras laterales se forman con el plano base ángulos iguales, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo, lo que significa que todos los bordes laterales de la pirámide tienen el mismo tamaño.

2. Cuando las caras laterales tengan un ángulo de inclinación respecto al plano de la base del mismo valor, entonces:

• cerca de la base de la pirámide, es fácil describir un círculo, mientras que la parte superior de la pirámide se proyectará en el centro de este círculo;
• las alturas de las caras laterales son de igual longitud;
• el área de la superficie lateral es la mitad del producto del perímetro de la base y la altura de la cara lateral.

3. Se puede describir una esfera cerca de la pirámide si la base de la pirámide es un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellos. De este teorema concluimos que una esfera puede describirse tanto alrededor de cualquier triángulo como alrededor de cualquier pirámide regular.

4. Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en el 1er punto (condición necesaria y suficiente). Este punto se convertirá en el centro de la esfera.

La pirámide más simple.

Según el número de vértices de la base de la pirámide, se dividen en triangulares, cuadrangulares, etc.

La pirámide será triangular, cuadrangular, y así sucesivamente, cuando la base de la pirámide es un triángulo, un cuadrilátero, etc. Una pirámide triangular es un tetraedro, un tetraedro. Cuadrangular - pentaedro y así sucesivamente.

Definición. Cara lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la parte superior de la pirámide, y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).

Definición. costillas laterales son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como esquinas tiene un polígono.

Definición. altura de la pirámide es una perpendicular caída desde la parte superior a la base de la pirámide.

Definición. Apotema- esta es la perpendicular de la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.

Definición. Sección diagonal- esta es una sección de la pirámide por un plano que pasa por la parte superior de la pirámide y la diagonal de la base.

Definición. Pirámide correcta- Esta es una pirámide en la que la base es un polígono regular, y la altura desciende hasta el centro de la base.

Volumen y superficie de la pirámide

Fórmula. volumen piramidal a través del área de la base y la altura:

propiedades de la pirámide

Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede circunscribir un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, la perpendicular caída desde la parte superior pasa por el centro de la base (círculo).

Si todas las nervaduras laterales son iguales, entonces están inclinadas con respecto al plano base en los mismos ángulos.

Las nervaduras laterales son iguales cuando forman ángulos iguales con el plano base, o si se puede describir un círculo alrededor de la base de la pirámide.

Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en un ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro.

Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano base en un ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.

Propiedades de una pirámide regular

1. La parte superior de la pirámide es equidistante de todas las esquinas de la base.

2. Todos los bordes laterales son iguales.

3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en los mismos ángulos con respecto a la base.

4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.

5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.

6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diedros (planos).

7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera descrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por el medio de las aristas.

8. Una esfera se puede inscribir en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre la arista y la base.

9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.

La conexión de la pirámide con la esfera.

Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide cuando en la base de la pirámide se encuentra un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de las aristas laterales de la pirámide.

Una esfera siempre se puede describir alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.

Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.

La conexión de la pirámide con el cono.

Un cono se dice inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.

Se puede inscribir un cono en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales.

Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.

Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los lados de la pirámide son iguales entre sí.

Conexión de una pirámide con un cilindro.

Se dice que una pirámide está inscrita en un cilindro si la parte superior de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.

Un cilindro se puede circunscribir alrededor de una pirámide si un círculo se puede circunscribir alrededor de la base de la pirámide.

Un tetraedro tiene cuatro caras y cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.

Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triédrico.

El segmento que une el vértice del tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).

bimediano Se llama segmento a un segmento que une los puntos medios de aristas opuestas que no se tocan (KL).

Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cortan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad, y las medianas en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.

Definición. Pirámide de ángulo agudo es una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.

Definición. pirámide obtusa es una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.

Definición. tetraedro regular Un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. Todo en un tetraedro regular ángulos diedros(entre caras) y los ángulos triédricos (en el vértice) son iguales.

Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro al que tiene un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triédrico rectangular y las caras son triángulos rectángulos, y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre la que cae la apotema.

Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro en el que las caras laterales son iguales entre sí, y la base es un triángulo regular. Tal tetraedro tiene caras triángulos isósceles.

Definición. tetraedro ortocéntrico se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que se bajan desde la parte superior hasta la cara opuesta se cortan en un punto.

Definición. pirámide estrella Un poliedro cuya base es una estrella se llama.

Una pirámide triangular es una pirámide basada en un triángulo. La altura de esta pirámide es la perpendicular, que se baja desde la parte superior de la pirámide hasta sus bases.

Hallar la altura de una pirámide

¿Cómo encontrar la altura de una pirámide? ¡Muy simple! Para encontrar la altura de cualquier pirámide triangular, puedes usar la fórmula del volumen: V = (1/3)Sh, donde S es el área de la base, V es el volumen de la pirámide, h es su altura. A partir de esta fórmula, obtenga la fórmula de altura: para encontrar la altura de una pirámide triangular, debe multiplicar el volumen de la pirámide por 3 y luego dividir el valor resultante por el área de la base, será: h \u003d (3V ) / S. Dado que la base de una pirámide triangular es un triángulo, puede usar la fórmula para calcular el área de un triángulo. Si conocemos: el área del triángulo S y su lado z, entonces según la fórmula del área S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, donde h es la altura de la pirámide, γ es la arista del triángulo; el ángulo entre los lados del triángulo y los dos lados mismos, luego usando la siguiente fórmula: S = (1/2)γφsinQ, donde γ, φ son los lados del triángulo, encontramos el área del triángulo. El valor del seno del ángulo Q hay que verlo en la tabla de senos, que está en Internet. Luego, sustituimos el valor del área en la fórmula de la altura: h = (2S)/γ. Si la tarea requiere calcular la altura de una pirámide triangular, entonces ya se conoce el volumen de la pirámide.

Pirámide triangular regular

Encuentra la altura de una pirámide triangular regular, es decir, una pirámide en la que todas las caras son triángulos equiláteros, conociendo el tamaño de la arista γ. En este caso, las aristas de la pirámide son los lados de triángulos equiláteros. La altura de una pirámide triangular regular será: h = γ√(2/3), donde γ es la arista de un triángulo equilátero, h es la altura de la pirámide. Si se desconoce el área de la base (S), y solo se dan la longitud de la arista (γ) y el volumen (V) del poliedro, entonces se debe reemplazar la variable necesaria en la fórmula del paso anterior por su equivalente, que se expresa en función de la longitud de la arista. El área de un triángulo (regular) es igual a 1/4 del producto de la longitud del lado de este triángulo, al cuadrado por la raíz cuadrada de 3. Sustituimos esta fórmula en lugar del área base en la fórmula anterior , y obtenemos la siguiente fórmula: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). El volumen de un tetraedro se puede expresar en términos de la longitud de su borde, luego de la fórmula para calcular la altura de una figura, puede eliminar todas las variables y dejar solo el lado cara triangular cifras. El volumen de tal pirámide se puede calcular dividiendo por 12 del producto la longitud de su cara al cubo por la raíz cuadrada de 2.

Sustituimos esta expresión en la fórmula anterior, obtenemos la siguiente fórmula para calcular: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2/3) = (1/3)γ√6. tambien correcto prisma triangular se puede inscribir en una esfera, y conociendo solo el radio de la esfera (R) se puede encontrar la altura misma del tetraedro. La longitud de la arista del tetraedro es: γ = 4R/√6. Sustituimos la variable γ por esta expresión en la fórmula anterior y obtenemos la fórmula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. La misma fórmula se puede obtener conociendo el radio (R) de un círculo inscrito en un tetraedro. En este caso, la longitud de la arista del triángulo será igual a 12 razones entre raíz cuadrada de 6 y radio. Sustituimos esta expresión en la fórmula anterior y tenemos: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Cómo encontrar la altura de una pirámide cuadrangular regular

Para responder a la pregunta de cómo encontrar la longitud de la altura de la pirámide, necesitas saber qué es una pirámide regular. Una pirámide cuadrangular es una pirámide basada en un cuadrilátero. Si en las condiciones del problema tenemos: el volumen (V) y el área de la base (S) de la pirámide, entonces la fórmula para calcular la altura del poliedro (h) será la siguiente - divida el volumen multiplicado por 3 por el área S: h \u003d (3V) / S. Con una base cuadrada de una pirámide de volumen (V) y longitud de lado γ conocidos, reemplaza el área (S) de la fórmula anterior por el cuadrado de la longitud de lado: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . La altura de la pirámide regular h = SO pasa justo por el centro del círculo, que está circunscrito cerca de la base. Como la base de esta pirámide es un cuadrado, el punto O es el punto de intersección de las diagonales AD y BC. Tenemos: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. A continuación, estamos triángulo rectángulo SOC encontramos (según el teorema de Pitágoras): SO \u003d √ (SC 2 -OC 2). Ahora sabes cómo encontrar la altura de una pirámide regular.