El área de la superficie lateral del prisma se llama. Área de la base del prisma: triangular a poligonal

Información general sobre un prisma recto

La superficie lateral del prisma (más precisamente, el área de la superficie lateral) se llama sumaáreas laterales de la cara. La superficie total del prisma es igual a la suma de la superficie lateral y las áreas de las bases.

Teorema 19.1. La superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base y la altura del prisma, es decir, la longitud del borde lateral.

Prueba. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos. Las bases de estos rectángulos son los lados del polígono que se encuentran en la base del prisma, y ​​las alturas son iguales a la longitud de los bordes laterales. De ahí se sigue que superficie lateral el prisma es

S = un 1 l + un 2 l + ... + un norte l = pl,

donde a 1 y n son las longitudes de las nervaduras de la base, p es el perímetro de la base del prisma e I es la longitud de las nervaduras laterales. El teorema ha sido probado.

tarea práctica

Tarea (22) . en un prisma inclinado sección, perpendicular a los bordes laterales e intersectando todos los bordes laterales. Encuentra la superficie lateral del prisma si el perímetro de la sección es p y los bordes laterales son l.

Solución. El plano de la sección dibujada divide el prisma en dos partes (Fig. 411). Sometamos uno de ellos a una traslación paralela que combine las bases del prisma. En este caso, obtenemos un prisma recto, en el que la sección del prisma original sirve de base y las aristas laterales son iguales a l. Este prisma tiene la misma superficie lateral que el original. Así, la superficie lateral del prisma original es igual a pl.

Generalización del tema.

Y ahora intentemos resumir el tema del prisma y recordar qué propiedades tiene un prisma.

Propiedades del prisma

Primero, para un prisma, todas sus bases son polígonos iguales;
En segundo lugar, el prisma tiene todas sus caras laterales son paralelogramos;
En tercer lugar, en una figura multifacética como un prisma, todos los bordes laterales son iguales;

Además, debe recordarse que los poliedros como los prismas pueden ser rectos e inclinados.

¿Qué es un prisma recto?

Si el borde lateral de un prisma es perpendicular al plano de su base, dicho prisma se llama línea recta.

No estará de más recordar que las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

¿Qué es un prisma oblicuo?

Pero si el borde lateral del prisma no se encuentra perpendicular al plano de su base, podemos decir con seguridad que se trata de un prisma inclinado.

¿Cuál es el prisma correcto?

Si un polígono regular se encuentra en la base de un prisma recto, entonces dicho prisma es regular.

Ahora recordemos las propiedades que tiene un prisma regular.

Propiedades de un prisma regular

Primero, siempre motivos prisma recto son polígonos regulares;
En segundo lugar, si consideramos las caras laterales de un prisma regular, entonces siempre son rectángulos iguales;
En tercer lugar, si comparamos los tamaños de las nervaduras laterales, en el prisma correcto siempre son iguales.
Cuarto, un prisma regular siempre es recto;
Quinto, si en un prisma regular las caras laterales tienen forma de cuadrados, entonces tal figura, por regla general, se llama polígono semirregular.

sección de prisma

Ahora veamos la sección transversal de un prisma:

Tarea

Y ahora intentemos consolidar el tema estudiado resolviendo problemas.

Dibujemos una pendiente prisma triangular, en el que la distancia entre sus aristas será: 3 cm, 4 cm y 5 cm, y la superficie lateral de este prisma será igual a 60 cm2. Con estos parámetros, encuentre el borde lateral del prisma dado.

Y lo sabes figuras geometricas constantemente nos rodean no sólo en lecciones de geometría, sino también en La vida cotidiana hay objetos que se asemejan a una u otra figura geométrica.

Cada hogar, escuela o trabajo tiene una computadora, unidad del sistema que tiene la forma de un prisma recto.

Si toma un lápiz simple, verá que la parte principal del lápiz es un prisma.

Caminando por la calle principal de la ciudad, vemos que bajo nuestros pies yace un azulejo que tiene la forma de un prisma hexagonal.

A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas.

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Los polígonos ABCDE y FHKMP, que se encuentran en planos paralelos, se llaman bases del prisma, la perpendicular OO 1, caída desde cualquier punto de la base al plano de otro, se llama altura del prisma. Paralelogramos ABHF, BCKH, etc. se llaman caras laterales del prisma, y ​​sus lados CK, DM, etc., que conectan los vértices correspondientes de las bases, se llaman aristas laterales. En un prisma, todos los bordes laterales son iguales entre sí como segmentos de líneas rectas paralelas encerradas entre planos paralelos.
El prisma se llama línea recta ( figura 282,b ) u oblicuo ( Figura 282, en ) dependiendo de si sus bordes laterales son perpendiculares o inclinados a las bases. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos. El borde lateral se puede tomar como la altura de dicho prisma.
Un prisma recto se llama regular si sus bases son polígonos regulares. En tal prisma, todas las caras laterales son rectángulos iguales.
Para representar un prisma en un dibujo complejo, es necesario conocer y poder representar los elementos que lo componen (un punto, una línea recta, una figura plana).
y su imagen en el dibujo complejo ( Fig.283, a - y)

a) Dibujo complejo de un prisma. La base del prisma está situada en el plano de proyección P1; una de las caras laterales del prisma es paralela al plano de proyecciones П 2 .
b) La base inferior del prisma DEF es una figura plana, un triángulo regular ubicado en el plano P 1; el lado del triángulo DE es paralelo al eje x 12 - La proyección horizontal confluye con la base dada y, por lo tanto, es igual a su tamaño natural; la proyección frontal se fusiona con el eje x12 y es igual al lado de la base del prisma.
c) La base superior del prisma ABC es una figura plana, un triángulo ubicado en un plano horizontal. La proyección horizontal se funde con la proyección de la base inferior y la cubre consigo misma, ya que el prisma es recto; proyección frontal - una línea recta, paralela al eje x 12, a una distancia de la altura del prisma.
d) La cara lateral del prisma ABED es una figura plana, un rectángulo que se encuentra en el plano frontal. Proyección frontal: un rectángulo igual al tamaño natural de la cara; proyección horizontal - una línea recta, igual al lado de la base del prisma.
e) yf) Las caras laterales del prisma ACFD y CBEF son figuras planas: rectángulos que se encuentran en planos que se proyectan horizontalmente ubicados en un ángulo de 60 ° con respecto al plano de proyección П 2 . Las proyecciones horizontales son líneas rectas ubicadas en un ángulo de 60 ° con el eje x 12, y son iguales al tamaño natural de los lados de la base del prisma; proyecciones frontales - rectángulos, cuya imagen es menor que el tamaño natural: dos lados de cada rectángulo son iguales a la altura del prisma.
g) La arista AD del prisma es una recta perpendicular al plano de proyecciones P 1. Proyección horizontal - punto; frontal - una línea recta perpendicular al eje x 12, igual al borde lateral del prisma (altura del prisma).
h) El lado AB de la base superior es una recta, paralela a los planos P 1 y P 2. Proyecciones horizontales y frontales - rectas, paralelas al eje x12 e iguales al lado este terreno prismas La proyección frontal está separada del eje x por 12 a una distancia igual a la altura del prisma.
i) Vértices del prisma. Punto E - la parte superior de la base inferior se encuentra en el plano P 1 . La proyección horizontal coincide con el punto mismo; frontal: se encuentra en el eje x 12. El punto C, la parte superior de la base superior, se encuentra en el espacio. La proyección horizontal tiene profundidad; frontal - una altura igual a la altura de un prisma dado.
Esto implica: Al diseñar cualquier poliedro, uno debe dividirlo mentalmente en sus elementos constituyentes y determinar el orden de su representación, que consiste en sucesivas operaciones gráficas. En ( figura 284 Y figura 285) se dan ejemplos de operaciones gráficas secuenciales al realizar un dibujo complejo y una representación visual (axonometria) de prismas.
(figura 284).

Dado:
1. La base está ubicada en el plano de proyecciones P 1.
2. Ningún lado de la base es paralelo al eje x12.
I. Dibujo integrado.
I a. Diseñamos la base inferior: un polígono que, por condición, se encuentra en el plano P 1.
yo, segundo Diseñamos la base superior: un polígono igual a la base inferior con lados correspondientemente paralelos a la base inferior, separados de la base inferior por la altura H de este prisma.
yo, c. Diseñamos los bordes laterales del prisma: segmentos ubicados en paralelo; sus salientes horizontales son puntos que se unen con los salientes de la parte superior de las bases; frontal - segmentos (paralelos) obtenidos de la conexión de líneas rectas de las proyecciones de los vértices de las bases del mismo nombre. Las proyecciones frontales de las nervaduras, extraídas de las proyecciones de los vértices B y C de la base inferior, se representan con líneas discontinuas como invisibles.
yo, Sr. Dado: proyección horizontal F 1 del punto F en la base superior y proyección frontal K 2 del punto K en la cara lateral. Se requiere determinar los lugares de sus segundas proyecciones.
Para el punto F. La segunda proyección (frontal) F 2 del punto F coincidirá con la proyección de la base superior, como un punto situado en el plano de esta base; su lugar está determinado por la línea vertical de comunicación.
Para el punto K - La segunda proyección (horizontal) K 1 del punto K coincidirá con la proyección horizontal de la cara lateral, como un punto que se encuentra en el plano de la cara; su lugar está determinado por la línea vertical de comunicación.
II. Despliegue de la superficie del prisma- una figura plana compuesta de caras laterales - rectángulos, en los que dos lados son iguales a la altura del prisma, y ​​los otros dos son iguales a los lados correspondientes de la base, y de dos bases iguales entre sí - polígonos irregulares.
Las dimensiones naturales de las bases y lados de las caras, necesarias para construir un barrido, se revelan en las proyecciones; sobre ellos y construimos; en línea recta, separamos secuencialmente los lados AB, BC, CD, DE y EA del polígono, las bases del prisma, tomadas de la proyección horizontal. En las perpendiculares trazadas desde los puntos A, B, C, D, E y A, apartamos la altura H de este prisma tomada de la proyección frontal y trazamos una línea recta a través de las marcas. Como resultado, obtenemos un desarrollo de las caras laterales del prisma.
Si adjuntamos las bases del prisma a este escaneo, obtenemos un escaneo superficie completa prismas Las bases del prisma deben unirse a la cara lateral correspondiente utilizando el método de triangulación.
En la base superior del prisma, usando los radios R y R 1, determinamos la ubicación del punto F, y en la cara lateral, usando los radios R 3 y H 1, el punto K.
tercero Representación visual de un prisma en dimetría.
III, a. Representamos la base inferior del prisma a lo largo de las coordenadas de los puntos A, B, C, D y E ( Fig.284 Yo, un).
III, b. Representamos la base superior paralela a la inferior, separada de ella por una altura H del prisma.
III, c. Representamos los bordes laterales, para lo cual conectamos los vértices correspondientes de las bases con líneas rectas. Determinamos los elementos visibles e invisibles del prisma y los delineamos con las líneas correspondientes,
III, d Determinamos los puntos F y K en la superficie del prisma - El punto F - en la base superior se determina utilizando las dimensiones i y e; punto K - en la cara lateral usando i 1 y H".
Para obtener una imagen isométrica de un prisma y determinar las ubicaciones de los puntos F y K, se debe seguir la misma secuencia.
figura 285 ).

Dado:
1. La base está ubicada en el plano P 1.
2. Las nervaduras laterales son paralelas al plano P 2.
3. Ningún lado de la base es paralelo al eje x 12
I. Dibujo integrado.
I a. Diseñamos de acuerdo con esta condición: la base inferior es un polígono que se encuentra en el plano P 1, y el borde lateral es un segmento paralelo al plano P 2 e inclinado al plano P 1.
yo, segundo Diseñamos los bordes laterales restantes: segmentos iguales y paralelos al primer borde CE.
yo, c. Diseñando la base superior del prisma como un polígono igual y paralelo a la base inferior, obtenemos un dibujo complejo del prisma.
Revelamos elementos invisibles en las proyecciones. La proyección frontal de la costilla BM y la proyección horizontal del lateral de la base CD se representan mediante líneas discontinuas como invisibles.
I, D. Dada la proyección frontal Q 2 del punto Q sobre la proyección A 2 K 2 F 2 D 2 de la cara lateral; necesitas encontrar su proyección horizontal. Para ello trazamos por el punto Q 2 de la proyección A 2 K 2 F 2 D 2 de la cara del prisma una recta auxiliar paralela a las aristas laterales de esta cara. Encontramos la proyección horizontal de la línea auxiliar y sobre ella, usando la línea vertical de comunicación, determinamos el lugar de la proyección horizontal deseada Q 1 del punto Q .
II. Exploración de la superficie del prisma.
Tener una vista en planta tamaños naturales lados de la base y en el frente: las dimensiones de las costillas, puede construir un despliegue completo de la superficie de este prisma.
Haremos rodar el prisma, girándolo cada vez alrededor del borde lateral, luego cada cara lateral del prisma en el plano dejará un rastro (paralelogramo) igual a su tamaño natural. Construiremos un escaneo lateral en el siguiente orden:
a) desde los puntos A 2, B 2, D 2. . . E 2 (proyecciones frontales de la parte superior de las bases) dibujamos líneas rectas auxiliares perpendiculares a las proyecciones de las costillas;
b) con un radio R (igual al lado de la base CD) hacemos una muesca en el punto D en una recta auxiliar trazada desde el punto D 2; conectando los puntos rectos C 2 y D y trazando rectas paralelas a E 2 C 2 y C 2 D , obtenemos la cara lateral CEFD ;
c) luego, uniendo de manera similar las siguientes caras laterales, obtenemos un desarrollo de las caras laterales del prisma. Para obtener un barrido completo de la superficie de este prisma, lo adjuntamos a las caras correspondientes de la base.
tercero Representación visual de un prisma en isometría.
III, a. Representamos la base inferior del prisma y el borde CE, utilizando las coordenadas según (