12.10.2019

Superficie total y volumen de un cono. Área de la superficie lateral y total del cono

De vuelta atras

¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Tipo de lección: una lección sobre el aprendizaje de material nuevo utilizando elementos de un método de enseñanza de desarrollo basado en problemas.

Objetivos de la lección:

educativo:
- familiarización con un nuevo concepto matemático;
- formación de nuevos centros de formación;
- formación de habilidades prácticas para la resolución de problemas.
desarrollando:
- desarrollo del pensamiento independiente de los estudiantes;
- desarrollo de habilidades discurso correcto Niños de escuela.
educativo:
- desarrollando habilidades de trabajo en equipo.

Equipo de lección: tablero magnético, computadora, pantalla, proyector multimedia, modelo de cono, presentación de lecciones, folletos.

Objetivos de la lección (para estudiantes):

familiarizarse con un nuevo concepto geométrico: el cono;
derivar una fórmula para calcular el área de superficie de un cono;
aprender a aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos.

durante las clases

Etapa I. Organizativo.

Entrega de cuadernos con trabajos de prueba caseros sobre el tema tratado.

Se invita a los estudiantes a descubrir el tema de la próxima lección resolviendo el rompecabezas. (diapositiva 1):

Foto 1.

Anunciar el tema y los objetivos de la lección a los estudiantes. (diapositiva 2).

Etapa II. Explicación de material nuevo.

1) Conferencia del profesor.

En el tablero hay una mesa con la imagen de un cono. Nuevo material Se explica acompañado del material del programa “Estereometría”. En la pantalla aparece una imagen tridimensional de un cono. El profesor da la definición de cono y habla de sus elementos. (diapositiva 3). Se dice que un cono es un cuerpo formado por la rotación de un triángulo rectángulo con respecto a un cateto. (diapositivas 4, 5). Aparece una imagen de un escaneo de la superficie lateral del cono. (diapositiva 6)

2) Trabajo práctico.

Actualizar conocimiento de fondo: repita las fórmulas para calcular el área de un círculo, el área de un sector, la longitud de un círculo, la longitud de un arco de círculo. (diapositivas 7 a 10)

La clase se divide en grupos. Cada grupo recibe un escaneo de la superficie lateral del cono recortado en papel (un sector de un círculo con un número asignado). Los estudiantes toman las medidas necesarias y calculan el área del sector resultante. Las instrucciones para realizar el trabajo, preguntas (enunciados de problemas) aparecen en la pantalla. (diapositivas 11 a 14). Un representante de cada grupo anota los resultados de los cálculos en una tabla preparada en la pizarra. Los participantes de cada grupo pegan un modelo de cono a partir del patrón que tienen. (diapositiva 15)

3) Planteamiento y solución del problema.

¿Cómo calcular el área de la superficie lateral de un cono si solo se conoce el radio de la base y la longitud de la generatriz del cono? (diapositiva 16)

Cada grupo toma las medidas necesarias e intenta derivar una fórmula para calcular el área requerida utilizando los datos disponibles. Al realizar este trabajo, los estudiantes deben notar que la circunferencia de la base del cono es igual a la longitud del arco del sector: el desarrollo de la superficie lateral de este cono. (diapositivas 17 a 21) Usando las fórmulas necesarias, se deriva la fórmula deseada. Los argumentos de los estudiantes deberían verse así:

El radio de barrido del sector es igual a yo, medida en grados del arco – φ. El área del sector se calcula mediante la fórmula: la longitud del arco que limita este sector es igual al radio de la base del cono R. La longitud del círculo que se encuentra en la base del cono es C = 2πR . Tenga en cuenta que dado que el área de la superficie lateral del cono es igual al área de desarrollo de su superficie lateral, entonces

Entonces, el área de la superficie lateral del cono se calcula mediante la fórmula S DBO = πRl.

Después de calcular el área de la superficie lateral del modelo de cono utilizando una fórmula derivada de forma independiente, un representante de cada grupo escribe el resultado de los cálculos en una tabla en la pizarra de acuerdo con los números del modelo. Los resultados del cálculo en cada línea deben ser iguales. En base a esto, el profesor determina la exactitud de las conclusiones de cada grupo. La tabla de resultados debería verse así:

N º de Modelo.	yo tarea	II tarea

	(125/3)π ~ 41,67π

	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Parámetros del modelo:

l=12cm, φ=120°
l=10cm, φ=150°
l=15cm, φ=120°
l=10cm, φ=170°
l=14cm, φ=110°

La aproximación de los cálculos está asociada a errores de medición.

Después de verificar los resultados, aparece en la pantalla el resultado de las fórmulas para las áreas de las superficies lateral y total del cono. (diapositivas 22 a 26), los estudiantes toman notas en cuadernos.

Etapa III. Consolidación del material estudiado.

1) A los estudiantes se les ofrece Problemas para solución oral sobre dibujos ya hechos.

Encuentra las áreas de las superficies completas de los conos que se muestran en las figuras. (diapositivas 27 a 32).

2) Pregunta:¿Son iguales las áreas de las superficies de los conos que se forman al girar un triángulo rectángulo alrededor de diferentes catetos? Los estudiantes proponen una hipótesis y la prueban. La hipótesis se prueba resolviendo problemas y escritos por el alumno en la pizarra.

Dado:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – cuerpos de rotación.

Encontrar: S PPK 1, S PPK 2.

Figura 5. (diapositiva 33)

Solución:

1) R=BC = un; S PPK 1 = S DBO 1 + S principal 1 = π una c + π una 2 = π una (a + c).

2) R=CA = segundo; S PPK 2 = S DBO 2 + S base 2 = π segundo c+π segundo 2 = π segundo (segundo + c).

Si S PPK 1 = S PPK 2, entonces a 2 +ac = b 2 + antes de Cristo, a 2 - b 2 + ac - antes de Cristo = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Porque a B C - números positivos (las longitudes de los lados del triángulo), la igualdad es verdadera sólo si un =b.

Conclusión: Las áreas de superficie de dos conos son iguales sólo si los lados del triángulo son iguales. (diapositiva 34)

3) Resolviendo el problema del libro de texto: No. 565.

Etapa IV. Resumiendo la lección.

Tarea: párrafos 55, 56; N° 548, N° 561. (diapositiva 35)

Anuncio de calificaciones asignadas.

Conclusiones durante la lección, repetición de la información principal recibida durante la lección.

Literatura (diapositiva 36)

Geometría grados 10-11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., “Prosveshchenie”, 2008.
“Acertijos y charadas matemáticas” - N.V. Udaltsova, biblioteca “Primero de septiembre”, serie “MATEMÁTICAS”, número 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Los cuerpos de rotación que se estudian en la escuela son el cilindro, el cono y la bola.

Si en un problema del Examen Estatal Unificado de matemáticas necesitas calcular el volumen de un cono o el área de una esfera, considérate afortunado.

Aplicar fórmulas para volumen y área de superficie de un cilindro, cono y esfera. Todos ellos están en nuestra mesa. Aprender de memoria. Aquí comienza el conocimiento de la estereometría.

A veces es bueno dibujar la vista desde arriba. O, como en este problema, desde abajo.

2. ¿Cuántas veces es mayor el volumen de un cono circunscrito a una pirámide cuadrangular regular que el volumen de un cono inscrito en esta pirámide?

Es simple: dibuja la vista desde abajo. Vemos que el radio del círculo mayor es veces mayor que el radio del círculo más pequeño. Las alturas de ambos conos son las mismas. Por tanto, el volumen del cono más grande será el doble.

Otro punto importante. Recuerda que en los problemas de la parte B Opciones del examen estatal unificado en matemáticas la respuesta se escribe como un número entero o finito decimal. Por lo tanto, no debería haber ninguno en su respuesta en la parte B. ¡Tampoco es necesario sustituir el valor aproximado del número! ¡Definitivamente debe encogerse! Es por ello que en algunos problemas la tarea se formula, por ejemplo, de la siguiente manera: “Encontrar el área de la superficie lateral del cilindro dividida por”.

¿Dónde más se utilizan las fórmulas para el volumen y la superficie de los cuerpos de revolución? Por supuesto, en el problema C2 (16). También te lo contamos.

Sabemos qué es un cono, intentemos encontrar su superficie. ¿Por qué necesitas resolver tal problema? Por ejemplo, ¿necesita saber cuánta masa se necesita para hacer un cono de gofre? ¿O cuántos ladrillos se necesitan para hacer el techo de un castillo de ladrillos?

Simplemente no se puede medir el área de la superficie lateral de un cono. Pero imaginemos el mismo cuerno envuelto en tela. Para encontrar el área de un trozo de tela, debes cortarlo y colocarlo sobre la mesa. El resultado es una figura plana, podemos encontrar su área.

Arroz. 1. Sección de un cono a lo largo de la generatriz.

Hagamos lo mismo con el cono. Vamos a "cortarlo" superficie lateral a lo largo de cualquier generatriz, por ejemplo (ver Fig. 1).

Ahora "desenrollemos" la superficie lateral en un plano. Obtenemos un sector. El centro de este sector es el vértice del cono, el radio del sector es igual a la generatriz del cono y la longitud de su arco coincide con la circunferencia de la base del cono. Este sector se llama desarrollo de la superficie lateral del cono (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Desarrollo de la superficie lateral.

Arroz. 3. Medición de ángulos en radianes

Intentemos encontrar el área del sector utilizando los datos disponibles. Primero, introduzcamos la notación: sea el ángulo en el vértice del sector en radianes (ver Fig. 3).

A menudo tendremos que lidiar con el ángulo en la parte superior del barrido en los problemas. Por ahora, intentemos responder a la pregunta: ¿este ángulo no puede llegar a tener más de 360 grados? Es decir, ¿no resultaría que el barrido se superpondría? Por supuesto que no. Demostremos esto matemáticamente. Deje que el escaneo se "superponga" sobre sí mismo. Esto significa que la longitud del arco de barrido es mayor que la longitud del círculo de radio. Pero, como ya se mencionó, la longitud del arco de barrido es la longitud del círculo de radio. Y el radio de la base del cono, por supuesto, es menor que la generatriz, por ejemplo, porque el cateto de un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa.

Entonces recordemos dos fórmulas del curso de planimetría: longitud de arco. Área sectorial: .

En nuestro caso, el papel lo juega el generador. , y la longitud del arco es igual a la circunferencia de la base del cono, es decir. Tenemos:

Finalmente obtenemos: .

Además de la superficie lateral, también se puede encontrar la superficie total. Para ello, se debe sumar el área de la base al área de la superficie lateral. Pero la base es un círculo de radio, cuya área según la fórmula es igual a .

Finalmente tenemos: , donde es el radio de la base del cilindro, es la generatriz.

Resolvamos un par de problemas usando las fórmulas dadas.

Arroz. 4. Ángulo requerido

Ejemplo 1. El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector con un ángulo en el vértice. Encuentre este ángulo si la altura del cono es de 4 cm y el radio de la base es de 3 cm (ver Fig. 4).

Arroz. 5. Triángulo rectángulo, formando un cono

Por la primera acción, según el teorema de Pitágoras, encontramos el generador: 5 cm (ver Fig. 5). A continuación sabemos que .

Ejemplo 2. El área de la sección transversal axial del cono es igual a , la altura es igual a . Encuentre el área de superficie total (ver Fig. 6).

Arroz. 1. Sección de un cono a lo largo de la generatriz.

Hagamos lo mismo con el cono. "Cortemos" su superficie lateral a lo largo de cualquier generatriz, por ejemplo (ver Fig. 1).