Un cilindro es una figura formada por una superficie cilíndrica y dos círculos dispuestos en paralelo. Calcular el área de un cilindro es un problema de la rama geométrica de las matemáticas, que se resuelve de forma bastante sencilla. Hay varios métodos para resolverlo, que como resultado siempre se reducen a una fórmula.

Cómo encontrar el área de un cilindro - reglas de cálculo

• Para averiguar el área del cilindro, debe agregar dos áreas base con el área de la superficie lateral: S \u003d lado S. + 2 S principal. En una versión más detallada, esta fórmula se ve así: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• El área de la superficie lateral de un cuerpo geométrico dado se puede calcular si se conocen su altura y el radio del círculo subyacente a la base. En este caso, puede expresar el radio de la circunferencia, si se da. La altura se puede encontrar si el valor de la generatriz se especifica en la condición. En este caso, la generatriz será igual a la altura. La fórmula para la superficie lateral de un cuerpo dado se ve así: S= 2 π rh.
• El área de la base se calcula mediante la fórmula para encontrar el área de un círculo: S osn= π r 2 . En algunos problemas, puede que no se dé el radio, pero se da la circunferencia. Con esta fórmula, el radio se expresa con bastante facilidad. С=2π r, r= С/2π. También hay que recordar que el radio es la mitad del diámetro.
• Al realizar todos estos cálculos, el número π generalmente no se traduce en 3.14159 ... Solo necesita agregarlo al lado valor numérico, que se obtuvo como resultado de los cálculos.
• Además, solo es necesario multiplicar el área encontrada de la base por 2 y agregar al número resultante el área calculada de la superficie lateral de la figura.
• Si el problema indica que el cilindro tiene una sección axial y esta es un rectángulo, entonces la solución será ligeramente diferente. En este caso, el ancho del rectángulo será el diámetro del círculo que se encuentra en la base del cuerpo. La longitud de la figura será igual a la generatriz oa la altura del cilindro. Es necesario calcular los valores deseados y sustituir en una fórmula ya conocida. En este caso, el ancho del rectángulo debe dividirse por dos para encontrar el área de la base. Para encontrar la superficie lateral, la longitud se multiplica por dos radios y por el número π.
• Puede calcular el área de un cuerpo geométrico dado a través de su volumen. Para hacer esto, debe derivar el valor faltante de la fórmula V=π r 2 h.
• No hay nada difícil en calcular el área de un cilindro. Solo necesita conocer las fórmulas y poder derivar de ellas las cantidades necesarias para los cálculos.

Un cilindro es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica. En el artículo hablaremos sobre cómo encontrar el área de un cilindro y, usando la fórmula, resolveremos varios problemas, por ejemplo.

Un cilindro tiene tres superficies: una superior, una inferior y una lateral.

La parte superior e inferior del cilindro son círculos y son fáciles de definir.

Se sabe que el área de un círculo es igual a πr 2 . Por lo tanto, la fórmula para el área de dos círculos (parte superior e inferior del cilindro) se verá como πr 2 + πr 2 = 2πr 2 .

La tercera superficie lateral del cilindro es la pared curva del cilindro. Para representar mejor esta superficie, intentemos transformarla para obtener una forma reconocible. Imagine que un cilindro es una lata ordinaria que no tiene tapa superior ni fondo. Hagamos una incisión vertical en la pared lateral desde la parte superior hasta la parte inferior del frasco (Paso 1 en la figura) e intentemos abrir (enderezar) la figura resultante tanto como sea posible (Paso 2).

Después de la divulgación completa del frasco resultante, veremos una figura familiar (Paso 3), se trata de un rectángulo. El área de un rectángulo es fácil de calcular. Pero antes de eso, volvamos por un momento al cilindro original. El vértice del cilindro original es un círculo, y sabemos que la circunferencia de un círculo se calcula mediante la fórmula: L = 2πr. Está marcado en rojo en la figura.

Cuando la pared lateral del cilindro se expande por completo, vemos que la circunferencia se convierte en la longitud del rectángulo resultante. Los lados de este rectángulo serán la circunferencia (L = 2πr) y la altura del cilindro (h). El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados - S = largo x ancho = L x h = 2πr x h = 2πrh. Como resultado, hemos obtenido una fórmula para calcular el área de la superficie lateral de un cilindro.

La fórmula para el área de la superficie lateral de un cilindro.
lado S = 2prh

Superficie total de un cilindro

Finalmente, si sumamos el área de las tres superficies, obtenemos la fórmula para el área total de la superficie de un cilindro. El área de la superficie del cilindro es igual al área de la parte superior del cilindro + el área de la base del cilindro + el área de la superficie lateral del cilindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. A veces esta expresión se escribe con la fórmula idéntica 2πr (r + h).

La fórmula para el área de superficie total de un cilindro.
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r es el radio del cilindro, h es la altura del cilindro

Ejemplos de cálculo del área de superficie de un cilindro.

Para comprender las fórmulas anteriores, intentemos calcular el área de superficie de un cilindro usando ejemplos.

1. El radio de la base del cilindro es 2, la altura es 3. Determine el área de la superficie lateral del cilindro.

La superficie total se calcula mediante la fórmula: lado S. = 2prh

lado S = 2 * 3.14 * 2 * 3

lado S = 6,28 * 6

lado S = 37,68

El área de la superficie lateral del cilindro es 37,68.

2. ¿Cómo encontrar el área de la superficie de un cilindro si la altura es 4 y el radio es 6?

El área de superficie total se calcula mediante la fórmula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Cilindro (cilindro circular): un cuerpo que consta de dos círculos, combinados por transferencia paralela, y todos los segmentos que conectan los puntos correspondientes de estos círculos. Los círculos se llaman bases del cilindro, y los segmentos que conectan los puntos correspondientes de los círculos de los círculos se llaman generadores del cilindro.

Las bases del cilindro son iguales y se encuentran en planos paralelos, y los generadores del cilindro son paralelos e iguales. La superficie de un cilindro consta de bases y una superficie lateral. La superficie lateral está formada por generadores.

Un cilindro se dice recto si sus generadores son perpendiculares a los planos de la base. Se puede considerar un cilindro como un cuerpo obtenido al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados como eje. Hay otros tipos de cilindros: elípticos, hiperbólicos, parabólicos. Un prisma también se considera como una especie de cilindro.

La figura 2 muestra un cilindro inclinado. Las circunferencias de centro O y O 1 son sus bases.

El radio de un cilindro es el radio de su base. La altura del cilindro es la distancia entre los planos de las bases. El eje de un cilindro es una recta que pasa por los centros de las bases. Es paralelo a los generadores. La sección de un cilindro por un plano que pasa por el eje del cilindro se llama sección axial. El plano que pasa por la generatriz de un cilindro recto y perpendicular a la sección axial trazada por esta generatriz se denomina plano tangente al cilindro.

Un plano perpendicular al eje del cilindro lo corta superficie lateral alrededor de un círculo igual a la circunferencia de la base.

Un prisma inscrito en un cilindro es un prisma cuyas bases son polígonos iguales inscritos en las bases del cilindro. Sus bordes laterales son generatrices del cilindro. Se dice que un prisma está circunscrito cerca de un cilindro si sus bases son polígonos iguales circunscritos cerca de las bases del cilindro. Los planos de sus caras tocan la superficie lateral del cilindro.

El área de la superficie lateral del cilindro se puede calcular multiplicando la longitud de la generatriz por el perímetro de la sección del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El área de la superficie lateral de un cilindro recto se puede encontrar a partir de su desarrollo. El desarrollo del cilindro es un rectángulo de altura h y longitud P, que es igual al perímetro de la base. Por lo tanto, el área de la superficie lateral del cilindro es igual al área de su desarrollo y se calcula mediante la fórmula:

En particular, para un cilindro circular recto:

P = 2πR y Sb = 2πRh.

El área total de la superficie de un cilindro es igual a la suma de las áreas de su superficie lateral y sus bases.

Para un cilindro circular recto:

S pags = 2πRh + 2πR 2 = 2πR(h + R)

Hay dos fórmulas para encontrar el volumen de un cilindro inclinado.

Puede encontrar el volumen multiplicando la longitud de la generatriz por el área de la sección transversal del cilindro por un plano perpendicular a la generatriz.

El volumen de un cilindro inclinado es igual al producto del área de la base y la altura (la distancia entre los planos en los que se encuentran las bases):

V = Sh = S l sen α,

donde l es la longitud de la generatriz y α es el ángulo entre la generatriz y el plano de la base. Para un cilindro recto h = l.

La fórmula para encontrar el volumen de un cilindro circular es la siguiente:

V \u003d π R 2 h \u003d π (d 2 / 4) h,

donde d es el diámetro de la base.

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Encuentra el área de la sección axial perpendicular a las bases del cilindro. Uno de los lados de este rectángulo es igual a la altura del cilindro, el otro es igual al diámetro del círculo base. En consecuencia, el área de la sección transversal en este caso será igual al producto de los lados del rectángulo. S=2R*h, donde S es el área de la sección transversal, R es el radio del círculo base dado por las condiciones del problema, y ​​h es la altura del cilindro, también condiciones dadas tareas.

Si la sección es perpendicular a las bases, pero no pasa por el eje de rotación, el rectángulo no será igual al diámetro del círculo. Necesita ser calculado. Para ello, la tarea debe decir a qué distancia del eje de giro pasa el plano de sección. Para facilitar los cálculos, construya un círculo de la base del cilindro, dibuje un radio y reserve en él la distancia a la que se encuentra la sección desde el centro del círculo. Desde este punto, dibuje las perpendiculares hasta que se crucen con el círculo. Conecte los puntos de intersección al centro. Necesitas encontrar acordes. Encuentra el tamaño de la mitad de una cuerda usando el teorema de Pitágoras. será igual raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados del radio del círculo desde el centro hasta la línea de sección. a2=R2-b2. Todo el acorde será, respectivamente, igual a 2a. Calcula el área de la sección transversal, que es igual al producto de los lados del rectángulo, es decir, S=2a*h.

El cilindro se puede disecar sin pasar por el plano de la base. Si la sección transversal es perpendicular al eje de rotación, será un círculo. Su área en este caso es igual al área de las bases, es decir, se calcula mediante la fórmula S \u003d πR2.

Consejo útil

Para imaginar con mayor precisión la sección, haga un dibujo y construcciones adicionales.

Fuentes:

• área de la sección transversal del cilindro

La línea de intersección de una superficie con un plano pertenece tanto a la superficie como al plano secante. La línea de intersección de una superficie cilíndrica con un plano secante paralelo a la generatriz recta es una línea recta. Si el plano de corte es perpendicular al eje de la superficie de revolución, la sección tendrá un círculo. En general, la línea de intersección de una superficie cilíndrica con un plano de corte es una línea curva.

Necesitará

• Lápiz, regla, triángulo, patrones, brújulas, instrumento de medición.

Instrucción

En el plano de proyección frontal P₂, la línea de sección coincide con la proyección del plano secante Σ₂ en forma de línea recta.
Designe los puntos de intersección de las generatrices del cilindro con la proyección Σ₂ 1₂, 2₂, etc. a los puntos 10₂ y 11₂.

En el plano P₁ es un círculo. Puntos 1₂ , 2₂ marcados en el plano de sección Σ₂, etc. con la ayuda de una línea de proyección, las conexiones se proyectarán sobre el contorno de este círculo. Designe sus proyecciones horizontales simétricamente sobre el eje horizontal del círculo.

Así, se definen las proyecciones de la sección deseada: en el plano P₂ - una línea recta (puntos 1₂, 2₂ ... 10₂); en el plano P₁ - un círculo (puntos 1₁, 2₁ ... 10₁).

Por dos, construya el tamaño natural de la sección del cilindro dado por el plano de proyección frontal Σ. Para hacer esto, use el método de proyecciones.

Dibuja el plano P₄ paralelo a la proyección del plano Σ₂. En este nuevo eje x₂₄, marque el punto 1₀. Distancias entre puntos 1₂ - 2₂, 2₂ - 4₂, etc. desde la proyección frontal de la sección, apartada en el eje x₂₄, dibujar líneas delgadas de conexión de proyección perpendiculares al eje x₂₄.

EN este método el plano P₄ se reemplaza por el plano P₁, por lo tanto, desde la proyección horizontal, transfiera las dimensiones del eje a los puntos al eje del plano P₄.

Por ejemplo, en P₁ para los puntos 2 y 3, esta será la distancia de 2₁ y 3₁ al eje (punto A), etc.

Habiendo pospuesto las distancias indicadas de la proyección horizontal, obtendrá los puntos 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Luego, para una mayor precisión de construcción, se determinan los puntos intermedios restantes.

Al conectar todos los puntos con una curva curva, obtendrá el tamaño natural deseado de la sección transversal del cilindro por el plano de proyección frontal.

Fuentes:

• como reemplazar el avion

Consejo 3: Cómo encontrar el área de la sección axial de un cono truncado

Resolver esta tarea, es necesario recordar qué es un cono truncado y qué propiedades tiene. Asegúrate de dibujar. Esto determinará qué figura geométrica es una sección. Es muy posible que después de esto la solución del problema ya no te resulte difícil.

Instrucción

Un cono redondo es un cuerpo obtenido al girar un triángulo alrededor de uno de sus catetos. Líneas rectas que vienen de la parte superior conos y que cortan su base se llaman generadores. Si todos los generadores son iguales, entonces el cono es recto. En la base de la ronda conos se encuentra un círculo. La perpendicular caída a la base desde la parte superior es la altura conos. En la ronda recta conos la altura coincide con su eje. El eje es una línea recta que conecta con el centro de la base. Si el plano de corte horizontal de la circular conos, entonces su base superior es un círculo.

Como no se especifica en la condición del problema que es el cono el que se da en este caso, podemos concluir que se trata de un cono truncado recto, cuya sección horizontal es paralela a la base. Su sección axial, es decir plano vertical, que pasa por el eje de una circular conos, es un trapecio isósceles. Todo axial secciones redondo recto conos son iguales entre si. Por lo tanto, para encontrar cuadrado axial secciones, se requiere encontrar cuadrado trapezoide, cuyas bases son los diámetros de las bases del truncado conos, y los lados son sus generadores. Altura truncada conos es también la altura del trapezoide.

El área de un trapezoide está determinada por la fórmula: S = ½(a+b) h, donde S es cuadrado trapezoide; a - el valor de la base inferior del trapezoide; b - el valor de su base superior; h - la altura del trapezoide.

Dado que la condición no especifica cuáles se dan, es posible que los diámetros de ambas bases del truncado conos conocido: AD = d1 es el diámetro de la base inferior del truncado conos;BC = d2 es el diámetro de su base superior; EH = h1 - altura conos.De este modo, cuadrado axial secciones truncado conos definido: S1 = ½ (d1+d2) h1

Fuentes:

• área de cono truncado

El cilindro es una figura tridimensional y consta de dos bases iguales, que son círculos, y una superficie lateral que conecta líneas que delimitan las bases. Calcular cuadrado cilindro, encuentra las áreas de todas sus superficies y súmalas.

Es un cuerpo geométrico delimitado por dos planos paralelos y una superficie cilíndrica.

El cilindro consta de una superficie lateral y dos bases. La fórmula para el área de superficie de un cilindro incluye un cálculo separado del área de las bases y la superficie lateral. Dado que las bases en el cilindro son iguales, su área total se calculará mediante la fórmula:

Consideraremos un ejemplo de cálculo del área de un cilindro después de conocer todas las fórmulas necesarias. Primero necesitamos la fórmula del área de la base de un cilindro. Dado que la base del cilindro es un círculo, debemos aplicar:
Recordamos que estos cálculos utilizan un número constante Π = 3,1415926, que se calcula como la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Este número es una constante matemática. También consideraremos un ejemplo de cálculo del área de la base de un cilindro un poco más adelante.

Superficie del lado del cilindro

La fórmula del área de la superficie lateral de un cilindro es el producto de la longitud de la base por su altura:

Ahora considere un problema en el que necesitamos calcular área total cilindro. En una figura dada, la altura es h = 4 cm, r = 2 cm Busquemos el área total del cilindro.
Primero, calculemos el área de las bases:
Ahora considere un ejemplo de cálculo del área de superficie lateral de un cilindro. Cuando se expande, es un rectángulo. Su área se calcula usando la fórmula anterior. Sustituye todos los datos en él:
El área total de un círculo es la suma del doble del área de la base y el lado:

Así, usando las fórmulas para el área de las bases y la superficie lateral de la figura, pudimos encontrar el área total de la superficie del cilindro.
La sección axial del cilindro es un rectángulo en el que los lados son iguales a la altura y el diámetro del cilindro.

La fórmula para el área de la sección axial de un cilindro se deriva de la fórmula de cálculo: