26.11.2019
Fórmula para el volumen de un poliedro: todos los ángulos diédricos son ángulos rectos. Cómo encontrar el volumen de un poliedro.
El Examen Estatal Unificado de Matemáticas incluye una serie de problemas para determinar el área de superficie y el volumen de poliedros compuestos. Este es probablemente uno de los más tareas simples por estereometría. ¡PERO! Hay un matiz. A pesar de que los cálculos en sí son simples, es muy fácil cometer un error al resolver un problema de este tipo.
¿Qué pasa? No todo el mundo tiene un buen pensamiento espacial para ver de inmediato todas las caras y paralelepípedos que forman los poliedros. Incluso si sabe muy bien cómo hacer esto, puede mentalmente hacer ese colapso, aún así debe tomarse su tiempo y utilizar las recomendaciones de este artículo.
Por cierto, mientras trabajaba en este material, encontré un error en una de las tareas del sitio. Necesitas atención y atención nuevamente, así.
Entonces, si la pregunta es sobre el área de la superficie, entonces en una hoja de papel en forma de tablero de ajedrez, dibuja todas las caras del poliedro e indica las dimensiones. A continuación, calcula cuidadosamente la suma de las áreas de todas las caras resultantes. Si tiene mucho cuidado al construir y calcular, se eliminará el error.
Usamos el método especificado. Es visual. Sobre una hoja cuadriculada construimos todos los elementos (bordes) a escala. Si las longitudes de las costillas son grandes, simplemente etiquételas.
Respuesta: 72
Decide por ti mismo:
Encuentra el área de la superficie del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diédricos son ángulos rectos).
Encuentra el área de la superficie del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diédricos son ángulos rectos).
Encuentra el área de la superficie del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diédricos son ángulos rectos).
Más tareas... Proporcionan soluciones de otra manera (sin construcción), intentan descubrir qué vino de dónde. Resuelva también utilizando el método ya presentado.
* * *
Si necesitas encontrar el volumen de un poliedro compuesto. Dividimos el poliedro en los paralelepípedos que lo componen, registramos cuidadosamente las longitudes de sus aristas y calculamos.
Volumen del poliedro que se muestra en la figura. igual a la suma volúmenes de dos poliedros con aristas 6,2,4 y 4,2,2
Respuesta: 64
Decide por ti mismo:
Encuentra el volumen del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diédricos del poliedro son ángulos rectos).
Encuentra el volumen de la cruz espacial que se muestra en la figura y está formada por cubos unitarios.
Encuentra el volumen del poliedro que se muestra en la figura (todos los ángulos diédricos son ángulos rectos).
Antes que nada, definamos qué es un poliedro. Se trata de una figura geométrica tridimensional cuyos bordes se presentan en forma de polígonos planos. No existe una fórmula única para encontrar el volumen de un poliedro, ya que los poliedros se pueden Diferentes formas. Para encontrar el volumen de un poliedro complejo, se divide condicionalmente en varios simples, como un paralelepípedo, un prisma, una pirámide, y luego se suman los volúmenes de poliedros simples y se obtiene el volumen deseado de la figura. .
Cómo encontrar el volumen de un poliedro - paralelepípedo
Primero, encontremos el área de un paralelepípedo rectangular. En tal figura geométrica, todas las caras se presentan en forma de formas rectangulares planas.
- El paralelepípedo rectangular más simple es un cubo. Todas las aristas del cubo son iguales entre sí. En total, dicho paralelepípedo tiene 6 caras, es decir, 6 cuadrados idénticos. El volumen de dicha figura se calcula de la siguiente manera:
donde a es la longitud de cualquier arista del cubo.
- El volumen de un paralelepípedo rectangular cuyos lados tienen diferentes dimensiones se calcula mediante la siguiente fórmula:
donde a, b y c son las longitudes de las costillas.
Cómo encontrar el volumen de un poliedro: un paralelepípedo inclinado
Un paralelepípedo inclinado también tiene 6 caras, 2 de ellas son la base de la figura, otras 4 son las caras laterales. Un paralelepípedo inclinado se diferencia de un paralelepípedo recto en que sus caras laterales no forman ángulos rectos con la base. El volumen de dicha figura se calcula como el producto entre el área de la base y la altura:
donde S es el área del cuadrilátero que se encuentra en la base, h es la altura de la figura deseada.
Cómo encontrar el volumen de un poliedro - prisma
Una figura geométrica tridimensional, cuya base está representada por un polígono de cualquier forma, y las caras laterales son paralelogramos que tienen lados comunes con la base, se llama prisma. Un prisma tiene dos bases y hay tantas caras laterales como lados tiene la figura que es la base.
Para encontrar el volumen de cualquier prisma, tanto recto como inclinado, multiplica el área de la base por la altura:
donde S es el área del polígono en la base de la figura y h es la altura del prisma.
Cómo encontrar el volumen de un poliedro - una pirámide
Si hay un polígono en la base de la figura y las caras laterales se presentan en forma de triángulos que se encuentran en un vértice común, entonces dicha figura se llama pirámide. Se diferencia de las figuras anteriores en que tiene una sola base, además de esto, tiene una tapa. Para encontrar el volumen de una pirámide, multiplica su base por su altura y divide el resultado por 3.
Los polígonos son planos. formas geométricas. Se incluyen figuras geométricas tridimensionales (tridimensionales).
Definición. Un poliedro es un cuerpo espacial geométrico delimitado por todos sus lados por un número finito de polígonos planos (caras).
Un paralelepípedo rectangular es . El paralelepípedo rectangular más simple es un cubo. Todas sus aristas son iguales.
Cada cara de un paralelepípedo rectangular es un rectángulo, que tiene un lado común y dos vértices comunes con la cara adyacente.
Un paralelepípedo tiene 8 vértices, 4 rectángulos laterales y 2 rectángulos base. Un cubo tiene las seis caras: cuadrados iguales. Un paralelepípedo rectangular tiene figuras laterales y bases que son rectángulos. Estos rectángulos son iguales por parejas (los rectángulos de las bases y dos pares de rectángulos opuestos que forman las caras laterales son iguales). En consecuencia, las caras de un paralelepípedo rectangular son tres tipos de rectángulos, que se diferencian en tamaño.
Tres rectángulos de diferentes tamaños tienen
uno punto común- la parte superior del paralelepípedo.
En cada vértice la caja tiene un punto común para tres segmentos, que se denominan dimensiones de la caja (largo, ancho y alto). Las tres dimensiones en el dibujo superior del paralelepípedo están resaltadas con una línea gruesa.
El volumen es la cantidad de líquido o material a granel que se puede colocar dentro de la figura (entre los planos límite).
Volumen es una de las características de las formas geométricas tridimensionales.
Volumen denotado por una letra mayúscula V(“ve”). Los valores de volumen están interrelacionados (una unidad cúbica de volumen puede ser reemplazada por otra).
Regla. Volumen de un paralelepípedo rectangular es igual al producto de sus tres dimensiones.
Unidades de medida volumen atender:
- a) unidades estándar de longitud al cubo:
1cm3 = 1.000mm31 dm3 = 1.000 cm3 = 1.000.000 mm3
1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 - 1.000.000.000 mm 31 km 3 - 1.000.000.000 m 3
- b) unidad especial de volumen (litro):
1 litro = 1 dm3 = 1.000 cm3.
Fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo rectangular:
Dónde A- longitud, b- ancho, Con- altura.
Como todas las dimensiones de un cubo son iguales (a = b = c), la fórmula para calcular el volumen de un cubo es V = a 3.
Calcula el volumen de un paralelepípedo rectangular de 6 m de largo, 4 m de ancho y 8 m de alto.
Solución. Dado que el largo, el ancho y el alto se miden con la misma unidad de largo (m), los sustituimos en la fórmula V=a*b*c y calcular el volumen:
V = 6 * 4 * 8 = 192 (m3)
Respuesta: 192m3.
Calcula el volumen de un cubo cuyo lado base mide 10 cm.
Solución. Sustituyamos el valor numérico del lado del cubo en la fórmula para calcular el volumen V = a 3 y calculemos:
V = 10 * 10 * 10 = 10 3 = 1.000 (cm 3) - 1 litro.
Respuesta: 1.000 cm 3 o 1 litro.
¡Queridos amigos! Otro artículo con prismas para ti. El examen incluye este tipo de tareas en las que es necesario determinar el volumen de un poliedro. Además, no se presenta en “forma pura”, sino que primero es necesario construirlo. Yo lo diría así: necesita ser “visto” en otro cuerpo determinado.
Ya había un artículo sobre este tipo de tareas en el blog. En las tareas que se presentan a continuación, se dan prismas regulares y rectos: triangulares o hexagonales. Si has olvidado por completo qué es un prisma, entonces...
EN prisma correcto la base es un polígono regular. Por lo tanto, la base de la correcta prisma triangular se encuentra un triángulo equilátero y en la base de un prisma hexagonal regular se encuentra un hexágono regular.
A la hora de resolver problemas se utiliza la fórmula del volumen de una pirámide, recomiendo mirar la información.También será útil con paralelepípedos, el principio de resolución de problemas es similar.Mire nuevamente las fórmulas que necesita saber.
Volumen del prisma:
Volumen de la pirámide:
245340. Encuentra el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, A 1 prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1 , cuyo área base es 2 y el borde lateral es 3.
Tenemos una pirámide con base ABC y vértice A. 1 . El área de su base es igual al área de la base del prisma (base común). La altura también es común. El volumen de la pirámide es:
Respuesta: 2
245341. Encuentre el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, A 1, C 1, un prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1, cuyo área de base es 3 y el borde lateral es 2.
Construyamos el poliedro indicado en el boceto:
Esta es una pirámide con base AA. 1 C 1 C y una altura igual a la distancia entre el borde AC y el vértice B. Pero en este caso, calcular el área de esta base y la altura indicada es un camino demasiado largo hacia el resultado. Es más fácil hacer esto:
Para obtener el volumen del poliedro dado, es necesario partir del volumen del prisma dado ABCA 1 B 1 C 1 restar el volumen de la pirámide BA 1 B 1 C 1 . Anotemos:
Respuesta: 4
245342. Encuentre el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A 1, B 1, B, C, un prisma triangular regular ABCA 1 B 1 C 1, cuyo área de base es 4 y el borde lateral es 3.
Construyamos el poliedro indicado en el boceto:
Para obtener el volumen del poliedro especificado, es necesario partir del volumen del prisma ABCA. 1 B 1 C 1 restar los volúmenes de dos cuerpos - pirámide ABCA 1 y pirámides CA 1 B 1 C 1. Anotemos:
Respuesta: 4
245343. Encuentra el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, D, E, F, A 1 de un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, el área de la base de que es 4, y el borde lateral es igual a 3.
Construyamos el poliedro indicado en el boceto:
Se trata de una pirámide que tiene una base común con un prisma y una altura igual a la altura del prisma. El volumen de la pirámide será igual a:
Respuesta: 4
245344. Encuentra el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, A 1, B 1, C 1 de un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, el área de la base de que es 6 y el borde lateral es 3.
Construyamos el poliedro indicado en el boceto:
El poliedro resultante es un prisma recto. El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura.
La altura del prisma original y el resultante es común, es igual a tres (esta es la longitud del borde lateral). Queda por determinar el área de la base, es decir, del triángulo ABC.
Como el prisma es regular, en su base hay un hexágono regular. El área del triángulo ABC es igual a una sexta parte de este hexágono, más sobre esto (punto 6). Por tanto, el área ABC es igual a 1. Calculamos:
Respuesta: 3
245345. Encuentra el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, D, E, A 1, B 1, D 1, E 1 de un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, el cuyo área base es 6 y el borde lateral es 2.
Construyamos el poliedro indicado en el boceto:
La altura del prisma original y la resultante son comunes, es igual a dos (esta es la longitud del borde lateral). Queda por determinar el área de la base, es decir, el cuadrilátero ABDE.
Como el prisma es regular, en su base hay un hexágono regular. El área del cuadrilátero ABDE es igual a cuatro sextos de este hexágono. ¿Por qué? Ver más sobre esto (punto 6). Por tanto, el área ABDE será igual a 4. Calculamos:
Respuesta: 8
245346. Encuentra el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, D, A 1, B 1, C 1, D 1 de un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, el cuyo área base es 6 y el borde lateral es 2.
Construyamos el poliedro indicado en el boceto:
El poliedro resultante es un prisma recto.
La altura del prisma original y la resultante son comunes, es igual a dos (esta es la longitud del borde lateral). Queda por determinar el área de la base, es decir, el cuadrilátero ABCD. El segmento AD conecta puntos diametralmente opuestos de un hexágono regular, lo que significa que lo divide en dos trapecios iguales. Por tanto, el área del cuadrilátero ABCD (trapezoide) es igual a tres.
Calculamos:
Respuesta: 6
245347. Calcula el volumen de un poliedro cuyos vértices son los puntos A, B, C, B 1 de un prisma hexagonal regular ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , cuyo área base es 6 y lateral El borde es 3.
Construyamos el poliedro indicado en el boceto:
El poliedro resultante es una pirámide con base ABC y altura BB 1.
*La altura del prisma original y el resultante es común, es igual a tres (esta es la longitud del borde lateral).
Queda por determinar el área de la base de la pirámide, es decir, el triángulo ABC. Es igual a una sexta parte del área del hexágono regular, que es la base del prisma. Calculamos:
Respuesta 1
245357. Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular, cuyas aristas son todas iguales a la raíz de tres.
El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base del prisma por su altura.
La altura de un prisma recto es igual a su borde lateral, es decir, ya nos lo hemos dado: esta es la raíz de tres. Calculemos el área del hexágono regular que se encuentra en la base. Su área es igual a seis áreas iguales entre sí. triangulos regulares, donde el lado de tal triángulo es igual al borde del hexágono:
*Usamos la fórmula para el área de un triángulo: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos.
Calculamos el volumen del prisma:
Respuesta: 13,5
¿Algo especial a destacar? Construye el poliedro con cuidado, no mentalmente, sino dibújalo en una hoja de papel. Entonces se eliminará la posibilidad de errores por falta de atención. Recuerda las propiedades de un hexágono regular. Bueno, es importante recordar las fórmulas de volumen que utilizamos.
Resuelva usted mismo dos problemas de volumen:
27084. Calcula el volumen de un prisma hexagonal regular cuyos lados de la base son iguales a 1 y cuyas aristas laterales son iguales a √3.
27108. Encuentre el volumen de un prisma, cuyas bases contienen hexágonos regulares con lados de 2, y los bordes laterales son iguales a 2√3 y están inclinados con respecto al plano de la base en un ángulo de 30 0.
Eso es todo. ¡Buena suerte!
Sinceramente, Alejandro.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
