¿Cuál es la suma de los ángulos del pentágono? Se ha descubierto un nuevo tipo de pentágonos que cubren el avión.

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Ya hemos escrito que los pitagóricos consideraban el mundo ordenado según las leyes de la armonía numérica. Descubrieron que la percepción de la armonía en la música está asociada con alguna relación entre los números (ver Armonía de Pitágoras); pero resulta que la armonía visual también está asociada con ciertas proporciones de diferentes segmentos. En este sentido, los más famosos proporción áurea- tal forma de dividir un segmento en dos partes desiguales, en la que el segmento completo se relaciona con la parte mayor, como el mayor con la menor:

El escultor Polikleitos desarrolló la idea de un canon (regla) para representar un cuerpo humano proporcional y encarnó claramente su canon en la estatua "Dorifor" ("Spearman"), también llamada simplemente "Canon". En las proporciones de la estatua, la proporción áurea está presente en abundancia. Por ejemplo, la proporción de las alturas de las partes inferior y superior, en que el ombligo divide la estatua, es igual a la proporción áurea; a su vez, la base del cuello divide la parte superior también en la sección dorada; las rodillas dividen la parte inferior en proporción áurea, etc.

Durante el Renacimiento surgieron científicos y artistas. nuevo interés a la proporción áurea. El matemático italiano Luca Pacioli le dedicó el libro Divina Proporción. Y su amigo, el gran Leonardo da Vinci, posee el término "sección áurea" (los antiguos solían llamarlo "la división del segmento en la proporción extrema y media"). La "sección dorada" se encuentra a menudo en las obras de Rafael, Miguel Ángel, Durero.

Johannes Kepler, no ajeno a las ideas pitagóricas sobre la armonía numérica subyacente del universo, dijo que la geometría tiene dos tesoros: el teorema de Pitágoras y la proporción áurea; el primero se puede comparar con una medida de oro, el segundo con una piedra preciosa.

Se ha comprobado experimentalmente que, por ejemplo, de rectángulos con diferente relación de aspecto, el ojo humano prefiere aquellos en los que esta relación es igual a la proporción áurea. Las hojas de papel, las barras de chocolate, las tarjetas de crédito, etc. se fabrican muy a menudo en forma de tales rectángulos.

Para dividir un segmento AB dado en proporción a la sección dorada, debe restaurar a través de uno de sus extremos, digamos, a través del punto B, una perpendicular, coloque un segmento BD \u003d AB / 2, dibuje un segmento AD, coloque un segmento en él DE \u003d AB /2 y, finalmente, marque un punto C en el segmento AB tal que AC = AE . El punto C dividirá el segmento AB en la sección áurea.

Demostrémoslo. Por el teorema de Pitágoras (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, o

AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, y como BD = DE = AB /2 y AE = AC, entonces

CA 2 + CA ∙ AB \u003d AB 2,

de donde AC 2 \u003d AB (AB - AC) .

Como AB - AC = BC , tenemos

AC 2 = AB ∙ BC, de donde

La construcción anterior nos permite encontrar valor numérico proporción áurea Es igual a la razón de todo el segmento AB al segmento

Así, la proporción áurea se expresa por el número Este número es aproximadamente igual a 1.618. A menudo se le llama el número de Fidias y se denota con la letra griega Φ:

Φ =

La proporción áurea se expresa como un número irracional. Esto se deriva de la irracionalidad (si la proporción áurea fuera racional, entonces el número = 2Φ - 1 también sería racional), y la irracionalidad se puede probar de manera similar a la irracionalidad. Además, la irracionalidad de Φ es bastante simple de mostrar usando la ilustración geométrica del algoritmo de Euclides. Tengamos un rectángulo a 1 × a 2 cuyos lados están en proporción áurea. Dejando a un lado el lado más pequeño en el lado más grande, obtenemos un cuadrado, y el rectángulo restante será similar al rectángulo original: Aplicándole la misma operación, nuevamente obtenemos un cuadrado y un rectángulo similar al original, etc. ( Curiosamente, el primero, tercero, quinto, etc. los rectángulos tienen una diagonal común, al igual que el segundo, cuarto, sexto, etc., estas dos diagonales se cortan en ángulo recto en un punto que pertenece a todos los rectángulos).

Como este algoritmo nunca terminará, los segmentos a 1 y a 2 no tienen una medida común. Kepler dijo que la proporción áurea se reproduce constantemente. A menudo se encuentra en la vida silvestre en la estructura de dichos organismos, cuyas partes son aproximadamente similares al todo, por ejemplo, en conchas, en la disposición de las hojas en los brotes, etc.

Arroz. 5. Fregadero

Finalmente, la proporción áurea te permite construir un pentágono regular. (Puedes construir trigones regulares y cuadriláteros sin ninguna pista, ¿verdad? Describiendo círculos alrededor de ellos y dividiendo los lados por la mitad, no es difícil construir polígonos regulares con 2 n y 3 ∙ 2 n vértices). Si extiendes los lados de un pentágono regular hasta los puntos de intersección con las extensiones de los lados adyacentes, obtienes una hermosa estrella de cinco puntas. es antiguo símbolo místico, popular, en particular, entre los pitagóricos: se llama "pentagrama" o "pentalpha", es decir, literalmente, "cinco letras" o "cinco alfas": vieron en él una combinación de cinco letras "alfa" (A ). El pentagrama era considerado un símbolo de salud -armonía en una persona- y servía como marca de identificación entre los pitagóricos. (Por ejemplo, cuando en tierra extranjera uno de los pitagóricos yacía en su lecho de muerte y no tenía dinero para pagarle a la persona que lo cuidó hasta su muerte, mandó dibujar un pentagrama en la puerta de su vivienda. A los pocos años más tarde, otro pitagórico vio esta señal y el propietario recibió una generosa recompensa). Resulta que en el pentagrama, las distintas líneas se dividen entre sí en relación con la proporción áurea. En efecto, los triángulos ACD y ABE son semejantes, AB : AC = AE : AD . Pero AD = BC, y AE = AC, entonces AB: AC = AC: BC. Resulta que cualquiera de los 10 segmentos del contorno exterior de la estrella pertenece en proporción áurea a cualquiera de los 5 segmentos que forman un pequeño pentágono interior.

Por cierto, de la similitud de los mismos triángulos ACD y ABE se deduce que el triángulo ACD es isósceles y CD = AD. Esto significa que la diagonal de un pentágono regular también se refiere a su lado en la sección áurea. Las cinco diagonales de un pentágono regular forman otro pentagrama, en el que todas las proporciones se repiten nuevamente.

Si necesita construir un pentágono regular con el lado 1, entonces necesita dividir el segmento 1 en la sección dorada en segmentos 2 y 3, luego construir triángulo isósceles con lados a 1 , a 1 y (a 1 + a 2). Dos segmentos de longitud a 1 formarán dos lados del pentágono deseado, y un segmento de longitud a 1 + a 2 \u003d a 1 /Φ es su diagonal. Al construir otros triángulos, no es difícil encontrar los vértices restantes del pentágono.

En la Edad Media, el pentagrama servía como símbolo de Venus: este planeta se acerca a la Tierra en cinco puntos formando un pentágono.

Un triángulo isósceles cuyos lados están relacionados con la base en proporción áurea -por ejemplo, un triángulo formado por dos diagonales y un lado de un pentágono regular- tiene otra propiedad interesante: las bisectrices de sus ángulos en la base son iguales a la base sí mismo.

Tal triángulo se encuentra a menudo en la composición de varios obras de arte- por ejemplo, en la famosa "Mona Lisa" de Leonardo da Vinci.

$\backslash frac((t^2\; \backslash sqrt\; (25\; +\; 10\backslash sqrt\; 5\; )\; ))(4)\; =$
$\backslash frac(5R^2)(4)\backslash sqrt(\backslash frac(5+\backslash sqrt(5$

pentágono regular(gramo. πενταγωνον ) es una figura geométrica, un polígono regular de cinco lados.

Propiedades

• El dodecaedro es el único poliedro regular cuyas caras son pentágonos regulares.
• El Pentágono es un edificio del Departamento de Defensa de los Estados Unidos con forma de pentágono regular.
• Un pentágono regular es un polígono regular con el menor número de ángulos que no se pueden enlosar en un plano.
• En la naturaleza no existen cristales con caras en forma de pentágono regular.
• El pentágono con todas sus diagonales es una proyección de un 4-simplex.

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notas

Un extracto que caracteriza el Pentágono Regular

Rápidamente, en la penumbra, desmontaron los caballos, apretaron las cinchas y ordenaron los tiros. Denisov estaba en la caseta de vigilancia, dando sus últimas órdenes. La infantería del grupo, dando bofetadas treinta metros, avanzó por el camino y desapareció rápidamente entre los árboles en la niebla de la madrugada. Esaul ordenó algo a los cosacos. Petya mantuvo su caballo en línea, esperando con impaciencia la orden de montar. lavado agua fría Su rostro, especialmente sus ojos, ardía con fuego, escalofríos le recorrían la espalda y algo en todo su cuerpo temblaba rápida y uniformemente.
- Bueno, ¿estás listo? dijo Denísov. - Vamos caballos.
Los caballos fueron entregados. Denisov estaba enojado con el cosaco porque las cinchas eran débiles y, después de regañarlo, se sentó. Petya tomó el estribo. El caballo, por costumbre, quería morderle la pierna, pero Petya, al no sentir su peso, saltó rápidamente a la silla y, mirando a los húsares que se movían detrás en la oscuridad, cabalgó hacia Denisov.
- Vasily Fyodorovich, ¿me confiarás algo? Por favor… por el amor de Dios…” dijo. Denisov parecía haberse olvidado de la existencia de Petya. Volvió a mirarlo.
“Te diré una cosa”, dijo con severidad, “obedéceme y no te entrometas en ninguna parte.
Durante todo el viaje, Denisov no le dijo una palabra a Petya y cabalgó en silencio. Cuando llegamos al borde del bosque, el campo estaba notablemente más brillante. Denisov dijo algo en un susurro al esaul, y los cosacos comenzaron a pasar junto a Petya y Denisov. Cuando todos hubieron pasado, Denisov tocó su caballo y cabalgó cuesta abajo. Sentados sobre sus ancas y deslizándose, los caballos descendieron con sus jinetes al hueco. Petya cabalgó junto a Denisov. El temblor en todo su cuerpo se hizo más fuerte. Cada vez era más claro, solo la niebla ocultaba objetos distantes. Conduciendo hacia abajo y mirando hacia atrás, Denisov asintió con la cabeza al cosaco que estaba parado a su lado.
- ¡Señal! él dijo.
El cosaco levantó la mano, sonó un disparo. Y en el mismo momento se escuchó el repiqueteo de caballos al galope al frente, gritos en diferentes direcciones y más disparos.
En el mismo momento en que se escucharon los primeros ruidos de pisoteo y gritos, Petya, pateando su caballo y soltando las riendas, sin escuchar a Denisov, que le gritaba, se adelantó al galope. A Petya le pareció que de repente amaneció brillantemente, como el mediodía, en el momento en que se escuchó un disparo. Saltó al puente. Los cosacos galopaban por delante a lo largo de la carretera. En el puente, se topó con un cosaco rezagado y siguió galopando. Había algunas personas al frente, debían haber sido franceses, corriendo desde el lado derecho del camino hacia el izquierdo. Uno cayó en el barro bajo los pies del caballo de Petya.
Los cosacos se apiñaron alrededor de una choza, haciendo algo. Un grito terrible se escuchó en medio de la multitud. Petya galopó hacia esta multitud, y lo primero que vio fue pálido, con un tembloroso mandíbula inferior le señaló el rostro de un francés que se aferraba al asta de una pica.
“¡Hurra!... Chicos…nuestros…” Gritó Petya y, dando las riendas al caballo emocionado, galopó calle abajo.
Se escucharon disparos adelante. Cosacos, húsares y harapientos prisioneros rusos, que huyeron de ambos lados de la carretera, gritaron algo fuerte e incoherentemente. Un hombre joven, sin sombrero, con el ceño fruncido enrojecido, un francés con un abrigo azul luchó contra los húsares con una bayoneta. Cuando Petya saltó, el francés ya se había caído. Otra vez tarde, Petya pasó por su cabeza y galopó hacia donde se escuchaban frecuentes disparos. Se escucharon disparos en el patio de la casa señorial donde había estado la noche anterior con Dolokhov. Los franceses se sentaron detrás de la valla de zarzo en un denso jardín cubierto de arbustos y dispararon contra los cosacos que se apiñaban en la puerta. Al acercarse a la puerta, Petya, en el humo de la pólvora, vio a Dolokhov con una cara pálida y verdosa, gritando algo a la gente. "¡En el desvío! ¡Espera a la infantería! —gritó mientras Petia cabalgaba hacia él.
“¿Espera?.. ¡Hurra!” Gritó Petya y, sin dudarlo ni un minuto, galopó hacia el lugar donde se escucharon los disparos y donde el humo de la pólvora era más denso. Se escuchó una andanada, chirriaron balas vacías y golpeadas. Los cosacos y Dolokhov saltaron detrás de Petya a través de las puertas de la casa. Los franceses, en el espeso humo que se balanceaba, algunos arrojaron sus armas y salieron corriendo de los arbustos hacia los cosacos, otros corrieron cuesta abajo hacia el estanque. Petya galopaba por el patio de la mansión en su caballo y, en lugar de sostener las riendas, agitaba ambas manos de manera extraña y rápida, y seguía cayendo más y más de la silla hacia un lado. El caballo, después de haber corrido hacia un fuego que ardía sin llama a la luz de la mañana, descansó y Petya cayó pesadamente al suelo mojado. Los cosacos vieron lo rápido que le temblaban los brazos y las piernas, a pesar de que su cabeza no se movía. La bala le atravesó la cabeza.
Después de hablar con un alto oficial francés, que salió de detrás de la casa con un pañuelo en una espada y anunció que se rendían, Dolokhov se bajó del caballo y se acercó a Petya, inmóvil, con los brazos extendidos.
"Listo", dijo, frunciendo el ceño, y cruzó la puerta para encontrarse con Denisov, que venía hacia él.
- ¡¿Matado?! —exclamó Denisov, viendo de lejos la posición familiar para él, sin duda sin vida, en la que yacía el cuerpo de Petia.
"Listo", repitió Dolokhov, como si pronunciar esta palabra le diera placer, y rápidamente se dirigió a los prisioneros, que estaban rodeados por cosacos desmontados. - ¡No lo aceptaremos! le gritó a Denisov.

primera forma- en este lado S con la ayuda de un transportador.

Dibuje una línea recta y marque AB = S en ella; tomamos esta línea como un radio y con este radio desde los puntos A y B describimos arcos: luego, usando un transportador, construimos ángulos de 108 ° en estos puntos, cuyos lados se intersecarán con arcos en los puntos C y D; a partir de estos puntos con radio AB = 5 describimos los arcos que se cortan en E, y conectamos los puntos L, C, E, D, B con líneas rectas.

El pentágono resultante- deseado.

La segunda forma. Dibuja un círculo con radio r. Desde el punto A dibujamos un arco de radio AM con un compás hasta que se corta en los puntos B y C con un círculo. Conectamos B y C con una línea que cruzará el eje horizontal en el punto E.

Luego, desde el punto E, dibujamos un arco que intersecará la línea horizontal en el punto O. Finalmente, desde el punto F, describimos un arco que intersecará el círculo en los puntos H y K. Habiendo dejado de lado la distancia FO \u003d FH \u003d FK cinco veces a lo largo del círculo y conectando los puntos de división con líneas, obtenemos un pentágono regular.

La tercera vía. Inscribe un pentágono regular en este círculo. Dibujamos dos diámetros AB y MC mutuamente perpendiculares. Divide el radio AO por el punto E por la mitad. Desde el punto E, como desde el centro, dibujamos un arco de círculo de radio EM y marcamos con él el diámetro AB en el punto F. El segmento MF es igual al lado del pentágono regular requerido. Con una solución de compás igual a MF, hacemos serifas N 1, P 1, Q 1, K 1 y las conectamos con líneas rectas.

La figura muestra un hexágono a lo largo de este lado.

Directo AB \u003d 5, como radio, desde los puntos A y B describimos arcos que se cruzan en C; desde este punto, con el mismo radio, describimos un círculo en el que el lado A B se depositará 6 veces.

Hexágono ADEFGB- deseado.

"Rehabilitación de habitaciones durante la reforma",
N. P. Krasnov

La base para aplicar la pintura es la pintura completamente terminada de las superficies de paredes, techos y otras estructuras; la pintura se realiza con pegamento de alta calidad y pinturas al óleo, hechas para recortar o acanalar. Comenzando a desarrollar un boceto del acabado, el maestro debe imaginar claramente toda la composición en un entorno doméstico y realizar claramente la idea creativa. Sólo si se observa esta condición básica se puede correctamente ...

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Una sensación en el mundo de las matemáticas. Se ha descubierto un nuevo tipo de pentágonos, que cubren el plano sin roturas ni superposiciones.

Este es solo el decimoquinto tipo de tales pentágonos y el primero descubierto en los últimos 30 años.

El plano está cubierto de triángulos y cuadriláteros de cualquier forma, pero con los pentágonos todo es mucho más complicado e interesante. Los pentágonos regulares no pueden cubrir un plano, pero algunos pentágonos irregulares sí. La búsqueda de tales figuras ha sido uno de los problemas matemáticos más interesantes durante cien años. La búsqueda comenzó en 1918, cuando el matemático Carl Reinhard descubrió las primeras cinco piezas iguales.

Durante mucho tiempo se creyó que Reinhard calculó todas las fórmulas posibles y que ya no existen tales pentágonos, pero en 1968 el matemático R. B. Kershner (R. B. Kershner) encontró tres más, y Richard James (Richard James) en 1975 elevó su número a nueve . Ese mismo año, Marjorie Rice, una ama de casa estadounidense de 50 años y amante de las matemáticas, desarrolló su propio método de notación y descubrió cuatro pentágonos más en unos pocos años. Finalmente, en 1985, Rolf Stein elevó el número de figuras a catorce.

Los pentágonos siguen siendo la única figura en relación a la cual permanece la incertidumbre y el misterio. En 1963, se demostró que solo hay tres tipos de hexágonos que cubren el plano. Entre los convexos de siete, ocho y así sucesivamente, no existen tales. Pero con los "Pentágonos" aún no está claro hasta el final.

Antes hoy solo se conocían 14 tipos de tales pentágonos. Se muestran en la ilustración. Las fórmulas para cada uno de ellos se dan en el enlace.

Durante 30 años, nadie pudo encontrar nada nuevo y, finalmente, ¡el descubrimiento tan esperado! Fue realizado por un grupo de científicos de la Universidad de Washington: Casey Mann, Jennifer McLoud y David Von Derau. Así es como se ve el pequeño.

“Abrimos el patrón mediante la iteración computarizada de un número grande pero limitado de opciones”, dice Casey Mann. - Por supuesto, estamos muy emocionados y un poco sorprendidos de que hayamos logrado abrir el nuevo tipo pentágono."

El descubrimiento parece puramente abstracto, pero de hecho puede encontrar uso práctico. Por ejemplo, en la producción de azulejos de acabado.

La búsqueda de nuevos pentágonos que cubran el avión ciertamente continuará.