Polígonos. Guía visual (2019). Descubren un nuevo tipo de pentágonos que cubren el avión

Una sensación en el mundo de las matemáticas. Se ha descubierto un nuevo tipo de pentágonos que cubren el plano sin interrupciones y sin superposiciones.

Este es sólo el decimoquinto tipo de pentágonos de este tipo y el primero descubierto en los últimos 30 años.

El avión está cubierto de triángulos y cuadrángulos de cualquier forma, pero con pentágonos todo es mucho más complicado e interesante. Los pentágonos regulares no pueden cubrir un plano, pero algunos pentágonos irregulares sí. La búsqueda de tales cifras ha sido uno de los problemas matemáticos más interesantes de los últimos cien años. La búsqueda comenzó en 1918, cuando el matemático Karl Reinhard descubrió las cinco primeras figuras adecuadas.

Durante mucho tiempo se creyó que Reinhard había calculado todas las fórmulas posibles y que ya no existían pentágonos de este tipo, pero en 1968 el matemático R.B. Kershner encontró tres más, y Richard James en 1975 elevó su número a nueve. Ese mismo año, Marjorie Rice, ama de casa estadounidense y entusiasta de las matemáticas, de 50 años, desarrolló su propio método de notación y, en unos pocos años, descubrió cuatro pentágonos más. Finalmente, en 1985, Rolf Stein aumentó el número de figuras a catorce.

Los Pentágonos siguen siendo la única figura sobre la que persisten la incertidumbre y el misterio. En 1963 se demostró que sólo existen tres tipos de hexágonos que cubren el avión. No existen tales triángulos entre los heptagonales convexos, los octogonales, etc. Pero con los Pentágonos todavía no todo está del todo claro.

Antes hoy Sólo se conocían 14 tipos de pentágonos de este tipo. Se muestran en la ilustración. Las fórmulas para cada uno de ellos se encuentran en el enlace.

Durante 30 años nadie pudo encontrar nada nuevo, ¡y por fin se produjo el descubrimiento tan esperado! Fue elaborado por un grupo de científicos de la Universidad de Washington: Casey Mann, Jennifer McLoud y David Von Derau. Así es como se ve el chico guapo.

"Descubrimos la forma buscando por computadora entre un número grande pero limitado de variaciones", dice Casey Mann. - Por supuesto, estamos muy emocionados y un poco sorprendidos de haber podido abrir. el nuevo tipo pentágono."

El descubrimiento parece puramente abstracto, pero en realidad puede encontrar uso práctico. Por ejemplo, en la producción de baldosas de acabado.

Seguramente continuará la búsqueda de nuevos pentágonos que cubra el avión.

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El diccionario explicativo de Ozhegov afirma que un pentágono está delimitado por cinco líneas que se cruzan, formando cinco esquinas internas, así como cualquier objeto de forma similar. Si polígono dado Todos los lados y ángulos son iguales, entonces se llama regular (pentágono).

¿Qué tiene de interesante el pentágono regular?

De esta forma se construyó el conocido edificio del Departamento de Defensa de los Estados Unidos. De los poliedros regulares tridimensionales, sólo el dodecaedro tiene caras en forma de pentágono. Y en la naturaleza no hay absolutamente ningún cristal cuyas caras se parezcan a un pentágono regular. Además, esta figura es un polígono con un número mínimo de ángulos, que no se puede utilizar para enlosar el área. Sólo un pentágono tiene tantas diagonales como lados. De acuerdo, ¡esto es interesante!

Propiedades y fórmulas básicas.

Usando fórmulas para un polígono regular arbitrario, puedes determinar todos los parámetros necesarios que tiene un pentágono.

• Ángulo central α = 360 / n = 360/5 =72°.
• Ángulo interno β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. En consecuencia, la suma de los ángulos internos es 540°.
• La razón entre la diagonal y el lado es (1+√5)/2, es decir (aproximadamente 1,618).
• La longitud del lado de un pentágono regular se puede calcular mediante una de tres fórmulas, según el parámetro que ya se conozca:

• si se describe un círculo a su alrededor y se conoce su radio R, entonces a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1.1756*R;
• en el caso de que un círculo de radio r esté inscrito en un pentágono regular, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• sucede que en lugar de radios se conoce el valor de la diagonal D, entonces el lado se determina de la siguiente manera: a ≈ D/1,618.

• El área de un pentágono regular se determina, nuevamente, dependiendo de qué parámetro conozcamos:
• si hay un círculo inscrito o circunscrito, entonces se utiliza una de dos fórmulas:

S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r o S = (n*R 2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R 2 ;

• El área también se puede determinar conociendo sólo la longitud del lado a:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

Pentágono regular: construcción

Este figura geométrica se puede construir de diferentes maneras. Por ejemplo, colóquelo en un círculo con un radio determinado o constrúyalo a partir de un lado determinado. La secuencia de acciones fue descrita en los Elementos de Euclides aproximadamente en el año 300 a.C. En cualquier caso, necesitaremos un compás y una regla. Consideremos un método de construcción utilizando un círculo dado.

1. Seleccione un radio arbitrario y dibuje un círculo, marcando su centro con el punto O.

2. En la línea del círculo, seleccione un punto que servirá como uno de los vértices de nuestro pentágono. Sea este el punto A. Conecte los puntos O y A con una línea recta.

3. Traza una línea que pase por el punto O perpendicular a la línea OA. Designe la intersección de esta línea recta con la línea circular como punto B.

4. A medio camino entre los puntos O y B, construya el punto C.

5. Ahora dibuja un círculo cuyo centro estará en el punto C y que pasará por el punto A. El lugar de su intersección con la línea OB (estará dentro del primer círculo) será el punto D.

6. Construya un círculo que pase por D, cuyo centro estará en A. Los lugares de su intersección con el círculo original deben marcarse con los puntos E y F.

7. Ahora construye un círculo cuyo centro estará en E. Esto debe hacerse de manera que pase por A. Su otra intersección del círculo original debe estar marcada.

8. Finalmente, construye un círculo que pase por A con su centro en el punto F. Rotula la otra intersección del círculo original con el punto H.

9. Ahora solo queda conectar los vértices A, E, G, H, F. ¡Nuestro pentágono regular estará listo!