Continuamos considerando las tareas incluidas en el examen de matemáticas. Ya hemos estudiado problemas donde se da la condición y se requiere encontrar la distancia entre dos puntos dados o el ángulo.

Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono, las otras caras son triángulos y tienen un vértice común.

Pirámide correcta- Esta es una pirámide en la base de la cual se encuentra un polígono regular, y su parte superior se proyecta en el centro de la base.

Una pirámide cuadrangular regular - la base es un cuadrado La parte superior de la pirámide se proyecta en el punto de intersección de las diagonales de la base (cuadrado).

ML - apotema
∠MLO - ángulo diedro en la base de la pirámide
∠MCO - el ángulo entre el borde lateral y el plano de la base de la pirámide

En este artículo, consideraremos tareas para resolver la pirámide correcta. Se requiere encontrar cualquier elemento, superficie lateral, volumen, altura. Por supuesto, debe conocer el teorema de Pitágoras, la fórmula para el área de la superficie lateral de la pirámide, la fórmula para encontrar el volumen de la pirámide.

En el artículo « » se presentan fórmulas que son necesarias para resolver problemas de estereometría. Entonces las tareas son:

SABCD punto O- centro baseS vértice, ENTONCES = 51, C.A.= 136. Halla la arista lateralCAROLINA DEL SUR.

En este caso, la base es un cuadrado. Esto significa que las diagonales AC y BD son iguales, se cortan y se bisecan en el punto de intersección. Tenga en cuenta que en una pirámide regular, la altura que desciende desde su parte superior pasa por el centro de la base de la pirámide. Entonces SO es la altura y el triángulo.SOCrectangular. Entonces por el teorema de Pitágoras:

Cómo sacar la raíz de un número grande.

Respuesta: 85

Decide por ti mismo:

En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto O- centro base S vértice, ENTONCES = 4, C.A.= 6. Encuentra un borde lateral CAROLINA DEL SUR.

En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto O- centro base S vértice, CAROLINA DEL SUR = 5, C.A.= 6. Encuentra la longitud del segmento ENTONCES.

En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto O- centro base S vértice, ENTONCES = 4, CAROLINA DEL SUR= 5. Encuentra la longitud del segmento C.A..

SABC R- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 7, y RS= 16. Calcula el área de la superficie lateral.

Superficie lateral correcta Pirámide triangular igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema (la apotema es la altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su parte superior):

O puedes decir esto: el área de la superficie lateral de la pirámide es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales. Las caras laterales de una pirámide triangular regular son triángulos de igual área. En este caso:

Respuesta: 168

Decide por ti mismo:

En una pirámide triangular regular SABC R- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 1, y RS= 2. Encuentra el área de la superficie lateral.

En una pirámide triangular regular SABC R- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 1, y el área de la superficie lateral es 3. Encuentra la longitud del segmento RS.

En una pirámide triangular regular SABC L- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que SL= 2, y el área de la superficie lateral es 3. Encuentra la longitud del segmento AB.

En una pirámide triangular regular SABC METRO. Area de un triangulo A B C es 25, el volumen de la pirámide es 100. Encuentra la longitud del segmento EM.

La base de la pirámide es un triángulo equilátero.. Es por eso METROes el centro de la base, yEM- la altura de una pirámide regularSABC. Volumen de la pirámide SABC es igual a: inspeccionar solución

En una pirámide triangular regular SABC medianas base se cortan en un punto METRO. Area de un triangulo A B C es 3, EM= 1. Encuentra el volumen de la pirámide.

En una pirámide triangular regular SABC medianas base se cortan en un punto METRO. El volumen de la pirámide es 1, EM= 1. Encuentra el área del triángulo A B C.

Terminemos con esto. Como puede ver, las tareas se resuelven en uno o dos pasos. En el futuro, consideraremos con ustedes otros problemas de esta parte, donde se dan cuerpos de revolución, ¡no se lo pierdan!

¡Te deseo éxito!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

Vídeo lección 2: Desafío de la pirámide. Volumen de la pirámide

Vídeo lección 3: Desafío de la pirámide. Pirámide correcta

Conferencia: Pirámide, su base, aristas laterales, altura, superficie lateral; Pirámide triangular; pirámide derecha

Pirámide- Este es un cuerpo tridimensional que tiene un polígono en la base, y todas sus caras son triángulos.

Un caso especial de una pirámide es un cono, en cuya base se encuentra un círculo.

Considere los elementos principales de la pirámide:

Apotema es un segmento que conecta la parte superior de la pirámide con la mitad del borde inferior de la cara lateral. En otras palabras, esta es la altura de la cara de la pirámide.

En la figura se pueden ver los triángulos ADS, ABS, BCS, CDS. Si observa detenidamente los nombres, puede ver que cada triángulo tiene una letra común en su nombre: S. Es decir, esto significa que todos caras laterales(triángulos) convergen en un punto, que se llama la parte superior de la pirámide.

El segmento OS, que une el vértice con el punto de intersección de las diagonales de la base (en el caso de los triángulos, en el punto de intersección de las alturas), se llama altura de la pirámide.

Una sección diagonal es un plano que pasa por la parte superior de la pirámide, así como una de las diagonales de la base.

Como la superficie lateral de la pirámide está formada por triángulos, para hallar el área total de la superficie lateral es necesario hallar las áreas de cada cara y sumarlas. El número y la forma de las caras depende de la forma y el tamaño de los lados del polígono que se encuentra en la base.

El único plano de una pirámide que no tiene vértice se llama base pirámides.

En la figura, vemos que la base es un paralelogramo, sin embargo, puede haber cualquier polígono arbitrario.

Propiedades:

Considere el primer caso de una pirámide, en la que tiene aristas de la misma longitud:

• Se puede describir un círculo alrededor de la base de tal pirámide. Si proyecta la parte superior de dicha pirámide, su proyección se ubicará en el centro del círculo.
• Los ángulos en la base de la pirámide son los mismos para cada cara.
• Al mismo tiempo, una condición suficiente para que se pueda describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, y también para que todas las aristas sean de diferentes longitudes, se pueden considerar los mismos ángulos entre la base y cada arista de las caras.

Si te encuentras con una pirámide en la que los ángulos entre las caras laterales y la base son iguales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

• Podrás describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, cuya parte superior se proyecta exactamente hacia el centro.
• Si dibujas en cada cara lateral de la altura a la base, entonces tendrán la misma longitud.
• Para encontrar el área de la superficie lateral de una pirámide de este tipo, basta con encontrar el perímetro de la base y multiplicarlo por la mitad de la longitud de la altura.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• Tipos de pirámide.
• Dependiendo de qué polígono se encuentra en la base de la pirámide, pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc. Si un polígono regular (con lados iguales) se encuentra en la base de la pirámide, dicha pirámide se llamará regular.

Pirámide triangular regular

Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La piramide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todas las aristas son iguales se llama tetraedro .

costilla lateral se llama piramide al lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su parte superior hasta el plano de la base. Todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales entre sí, todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Superficie lateral Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas las caras laterales. área superficie completa es la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

2. Si en una pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula es correcta:

Dónde V- volumen;

S principal- área de la base;

H es la altura de la pirámide.

Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son verdaderas:

Dónde pag- el perímetro de la base;

Ja- apotema;

H- altura;

S lleno

lado S

S principal- área de la base;

V es el volumen de una pirámide regular.

pirámide truncada llamado la parte de la pirámide encerrada entre la base y el plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada correcta Llamada parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.

Cimientos pirámide truncada - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura Se llama pirámide truncada a la distancia entre sus bases. Diagonal Una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Se llama plano a la sección de una pirámide truncada que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Para una pirámide truncada, las fórmulas son válidas:

(4)

Dónde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;

S lleno es la superficie total;

lado S es el área de la superficie lateral;

H- altura;

V es el volumen de la pirámide truncada.

Para una pirámide truncada regular, la siguiente fórmula es verdadera:

Dónde pag 1 , pag 2 - perímetros de base;

Ja- la apotema de una pirámide truncada regular.

Ejemplo 1 En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentre la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 18).

La pirámide es regular, lo que significa que la base es un triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diedro en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal será el ángulo a entre dos perpendiculares: i.e. La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro del círculo circunscrito y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre el propio borde y su proyección sobre el plano base. para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas saber los catetos ENTONCES Y transmisión exterior. Sea la longitud del segmento BD es 3 A. punto ACERCA DE segmento de línea BD se divide en partes: y De encontramos ENTONCES: De encontramos:

Respuesta:

Ejemplo 2 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm y la altura es de 4 cm.

Solución. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada, usamos la fórmula (4). Para encontrar las áreas de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases miden 2 cm y 8 cm respectivamente, esto significa las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Respuesta: 112 cm3.

Ejemplo 3 Halla el área de la cara lateral de una pirámide troncocónica triangular regular cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapecio isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesitas saber las bases y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Encuéntralo de donde A 1 mi perpendicular desde un punto A 1 en el plano de la base inferior, A 1 D- perpendicular desde A 1 en Australia. A 1 mi\u003d 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Para encontrar Delaware haremos un dibujo adicional, en el que representaremos una vista superior (Fig. 20). Punto ACERCA DE- proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO es el radio de la circunferencia inscrita y OM es el radio de la circunferencia inscrita:

MK=DE.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Respuesta:

Ejemplo 4 En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases A Y b (a> b). Cada cara lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide. j. Encuentra el área total de la superficie de la pirámide.

Solución. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD es igual a la suma de las areas y el area del trapezoide A B C D.

Usamos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto ACERCA DE- proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano base. Según el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:

Del mismo modo, significa Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D. dibujar un trapezoide A B C D por separado (Fig. 22). Punto ACERCA DE es el centro de una circunferencia inscrita en un trapezoide.

Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, entonces o Por el teorema de Pitágoras tenemos

Definición. Cara lateral- este es un triángulo en el que un ángulo se encuentra en la parte superior de la pirámide, y el lado opuesto coincide con el lado de la base (polígono).

Definición. costillas laterales son los lados comunes de las caras laterales. Una pirámide tiene tantas aristas como esquinas tiene un polígono.

Definición. altura de la pirámide es una perpendicular caída desde la parte superior a la base de la pirámide.

Definición. Apotema- esta es la perpendicular de la cara lateral de la pirámide, bajada desde la parte superior de la pirámide hasta el lado de la base.

Definición. Sección diagonal- esta es una sección de la pirámide por un plano que pasa por la parte superior de la pirámide y la diagonal de la base.

Definición. Pirámide correcta- Esta es una pirámide en la que la base es un polígono regular, y la altura desciende hasta el centro de la base.

Volumen y superficie de la pirámide

Fórmula. volumen piramidal a través del área de la base y la altura:

propiedades de la pirámide

Si todos los bordes laterales son iguales, entonces se puede circunscribir un círculo alrededor de la base de la pirámide y el centro de la base coincide con el centro del círculo. Además, la perpendicular caída desde la parte superior pasa por el centro de la base (círculo).

Si todas las nervaduras laterales son iguales, entonces están inclinadas con respecto al plano base en los mismos ángulos.

Las costillas laterales son iguales cuando se forman con el plano de la base. ángulos iguales o si se puede circunscribir un círculo alrededor de la base de la pirámide.

Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano de la base en un ángulo, entonces se puede inscribir un círculo en la base de la pirámide y la parte superior de la pirámide se proyecta en su centro.

Si las caras laterales están inclinadas con respecto al plano base en un ángulo, entonces las apotemas de las caras laterales son iguales.

Propiedades de una pirámide regular

1. La parte superior de la pirámide es equidistante de todas las esquinas de la base.

2. Todos los bordes laterales son iguales.

3. Todas las nervaduras laterales están inclinadas en los mismos ángulos con respecto a la base.

4. Las apotemas de todas las caras laterales son iguales.

5. Las áreas de todas las caras laterales son iguales.

6. Todas las caras tienen los mismos ángulos diedros (planos).

7. Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide. El centro de la esfera descrita será el punto de intersección de las perpendiculares que pasan por la mitad de las aristas.

8. Una esfera se puede inscribir en una pirámide. El centro de la esfera inscrita será el punto de intersección de las bisectrices que emanan del ángulo entre la arista y la base.

9. Si el centro de la esfera inscrita coincide con el centro de la esfera circunscrita, entonces la suma de los ángulos planos en el vértice es igual a π o viceversa, un ángulo es igual a π/n, donde n es el número de ángulos en la base de la pirámide.

La conexión de la pirámide con la esfera.

Se puede describir una esfera alrededor de la pirámide cuando en la base de la pirámide se encuentra un poliedro alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan perpendicularmente por los puntos medios de las aristas laterales de la pirámide.

Una esfera siempre se puede describir alrededor de cualquier pirámide triangular o regular.

Una esfera se puede inscribir en una pirámide si los planos bisectores de los ángulos diedros internos de la pirámide se cortan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.

La conexión de la pirámide con el cono.

Un cono se dice inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está inscrita en la base de la pirámide.

Se puede inscribir un cono en una pirámide si las apotemas de la pirámide son iguales.

Se dice que un cono está circunscrito a una pirámide si sus vértices coinciden y la base del cono está circunscrita a la base de la pirámide.

Se puede describir un cono alrededor de una pirámide si todos los bordes laterales de la pirámide son iguales entre sí.

Conexión de una pirámide con un cilindro.

Se dice que una pirámide está inscrita en un cilindro si la parte superior de la pirámide se encuentra en una base del cilindro y la base de la pirámide está inscrita en otra base del cilindro.

Un cilindro se puede circunscribir alrededor de una pirámide si un círculo se puede circunscribir alrededor de la base de la pirámide.

Un tetraedro tiene cuatro caras y cuatro vértices y seis aristas, donde dos aristas cualesquiera no tienen vértices comunes pero no se tocan.

Cada vértice consta de tres caras y aristas que forman ángulo triédrico.

El segmento que une el vértice del tetraedro con el centro de la cara opuesta se llama mediana del tetraedro(GM).

bimediano Se llama segmento a un segmento que une los puntos medios de aristas opuestas que no se tocan (KL).

Todas las bimedianas y medianas de un tetraedro se cortan en un punto (S). En este caso, las bimedianas se dividen por la mitad, y las medianas en una proporción de 3:1 comenzando desde arriba.

Definición. Pirámide de ángulo agudo es una pirámide en la que la apotema mide más de la mitad de la longitud del lado de la base.

Definición. pirámide obtusa es una pirámide en la que la apotema mide menos de la mitad de la longitud del lado de la base.

Definición. tetraedro regular Un tetraedro cuyas cuatro caras son triángulos equiláteros. Es uno de los cinco polígonos regulares. Todo en un tetraedro regular ángulos diedros(entre caras) y los ángulos triédricos (en el vértice) son iguales.

Definición. tetraedro rectangular Se llama tetraedro al que tiene un ángulo recto entre tres aristas en el vértice (las aristas son perpendiculares). Se forman tres caras ángulo triédrico rectangular y los bordes son triángulos rectángulos, y la base es un triángulo arbitrario. La apotema de cualquier cara es igual a la mitad del lado de la base sobre la que cae la apotema.

Definición. tetraedro isoédrico Se llama tetraedro en el que las caras laterales son iguales entre sí, y la base es un triángulo regular. Las caras de tal tetraedro son triángulos isósceles.

Definición. tetraedro ortocéntrico se llama tetraedro en el que todas las alturas (perpendiculares) que se bajan desde la parte superior hasta la cara opuesta se cortan en un punto.

Definición. pirámide estrella Un poliedro cuya base es una estrella se llama.

Una figura tridimensional que aparece a menudo en problemas geométricos es una pirámide. La más simple de todas las figuras de esta clase es triangular. En este artículo analizaremos en detalle las fórmulas básicas y las propiedades del correcto

Representaciones geométricas de la figura.

Antes de proceder a considerar las propiedades de una pirámide triangular regular, echemos un vistazo más de cerca a qué figura estamos hablando.

Supongamos que hay un triángulo arbitrario en el espacio tridimensional. Elegimos cualquier punto en este espacio que no esté en el plano del triángulo y lo conectamos a tres vértices del triángulo. Tenemos una pirámide triangular.

Consta de 4 lados, todos los cuales son triángulos. Los puntos donde se unen tres caras se llaman vértices. La figura también tiene cuatro de ellos. Las líneas de intersección de dos caras son aristas. La pirámide en consideración tiene costillas 6. La siguiente figura muestra un ejemplo de esta figura.

Como la figura está formada por cuatro lados, también se le llama tetraedro.

Pirámide correcta

Arriba, se consideró una figura arbitraria de base triangular. Ahora supongamos que dibujamos una línea perpendicular desde la parte superior de la pirámide hasta su base. Este segmento se llama la altura. Obviamente, puedes dibujar 4 alturas diferentes para la figura. Si la altura interseca la base triangular en el centro geométrico, entonces dicha pirámide se llama pirámide recta.

Una pirámide recta cuya base es un triángulo equilátero se llama pirámide regular. Para ella, los tres triángulos formando superficie lateral Las figuras son isósceles e iguales entre sí. Un caso especial de una pirámide regular es la situación en la que los cuatro lados son triángulos equiláteros idénticos.

Considere las propiedades de una pirámide triangular regular y dé las fórmulas apropiadas para calcular sus parámetros.

Lado base, altura, arista lateral y apotema

Cualquiera de los dos parámetros enumerados determina de forma única las otras dos características. Damos fórmulas que conectan las cantidades nombradas.

Suponga que el lado de la base de una pirámide triangular regular es a. La longitud de su borde lateral es igual a b. ¿Cuál será la altura de una pirámide triangular regular y su apotema?

Para la altura h obtenemos la expresión:

Esta fórmula se deriva del teorema de Pitágoras para el cual son la arista lateral, la altura y 2/3 de la altura de la base.

La apotema de una pirámide es la altura de cualquier triángulo lateral. La longitud del apotema a b es:

un segundo \u003d √ (segundo 2 - un 2 / 4)

De estas fórmulas se puede ver que cualquiera que sea el lado de la base de una pirámide regular triangular y la longitud de su borde lateral, el apotema siempre será mas altura pirámides.

Las dos fórmulas presentadas contienen las cuatro características lineales de la figura en cuestión. Por lo tanto, de los dos conocidos, puedes encontrar el resto resolviendo el sistema a partir de las igualdades escritas.

volumen de la figura

Para absolutamente cualquier pirámide (incluida una inclinada), el valor del volumen del espacio limitado por ella se puede determinar conociendo la altura de la figura y el área de su base. La fórmula correspondiente se parece a:

Aplicando esta expresión a la figura considerada, obtenemos la siguiente formula:

Donde la altura de una pirámide triangular regular es h y el lado de su base es a.

No es difícil obtener una fórmula para el volumen de un tetraedro, en la que todos los lados sean iguales entre sí y representen triángulos equiláteros. En este caso, el volumen de la figura está determinado por la fórmula:

Es decir, está determinada únicamente por la longitud del lado a.

Área de superficie

Seguimos considerando las propiedades de una pirámide regular triangular. El área total de todas las caras de una figura se llama área superficial. Es conveniente estudiar este último considerando el desarrollo correspondiente. La siguiente figura muestra cómo se ve una pirámide triangular regular.

Supongamos que conocemos la altura h y el lado de la base a de la figura. Entonces el área de su base será igual a:

Todo estudiante puede obtener esta expresión si recuerda cómo encontrar el área de un triángulo y también tiene en cuenta que la altura de un triángulo equilátero también es una bisectriz y una mediana.

El área de la superficie lateral formada por tres triángulos isósceles idénticos es:

S b = 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Esta igualdad se sigue de la expresión del apotema de la pirámide en función de la altura y la longitud de la base.

La superficie total de la figura es:

S = S o + S segundo = √3/4*a 2 + 3/2*√(a 2 /12+h 2)*a

Tenga en cuenta que para un tetraedro, en el que los cuatro lados son los mismos triángulos equiláteros, el área S será igual a:

Propiedades de una pirámide triangular truncada regular

Si la parte superior de la pirámide triangular considerada está cortada por un plano paralelo a la base, la parte inferior restante se llamará pirámide truncada.

En el caso de una base triangular, como resultado del método de sección descrito, se obtiene un nuevo triángulo, que también es equilátero, pero tiene un lado de menor longitud que el lado de la base. A continuación se muestra una pirámide triangular truncada.

Vemos que esta cifra ya está limitada a dos bases triangulares y tres trapecios isósceles.

Supongamos que la altura de la figura resultante es h, las longitudes de los lados de las bases inferior y superior son a 1 y a 2, respectivamente, y la apotema (altura del trapezoide) es igual a a b. Luego, el área de superficie de la pirámide truncada se puede calcular mediante la fórmula:

S = 3/2*(a 1 +a 2)*a b + √3/4*(a 1 2 + a 2 2)

Aquí el primer término es el área de la superficie lateral, el segundo término es el área de las bases triangulares.

El volumen de la figura se calcula de la siguiente manera:

V = √3/12*h*(un 1 2 + un 2 2 + un 1 *un 2)

Para determinar sin ambigüedades las características de una pirámide truncada, es necesario conocer sus tres parámetros, lo que se demuestra con las fórmulas anteriores.