La altura de la base de una pirámide triangular. Fórmulas y propiedades de una pirámide triangular regular. Pirámide triangular truncada

Este video tutorial ayudará a los usuarios a tener una idea sobre el tema Pyramid. Pirámide correcta. En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición. Considere qué es una pirámide regular y qué propiedades tiene. Luego probamos el teorema de la superficie lateral pirámide correcta.

En esta lección, nos familiarizaremos con el concepto de pirámide, le daremos una definición.

Considere un polígono Un 1 Un 2...Un, que está en el plano α, y un punto PAG, que no se encuentra en el plano α (Fig. 1). Conectemos el punto PAG con picos Un 1, Un 2, Un 3, … Un. Conseguir norte triangulos: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R etcétera.

Definición. Poliedro RA 1 A 2 ... A n, compuestos de norte-gon Un 1 Un 2...Un Y norte triangulos RA 1 A 2, AR 2 A 3 …RA n A n-1 , llamado norte- Pirámide de carbón. Arroz. 1.

Arroz. 1

Considere una pirámide cuadrangular PABCD(Figura 2).

R- la parte superior de la pirámide.

A B C D- la base de la pirámide.

REAL ACADEMIA DE BELLAS ARTES- costilla lateral.

AB- borde base.

desde un punto R dejar caer la perpendicular enfermero en el plano de tierra A B C D. La perpendicular dibujada es la altura de la pirámide.

Arroz. 2

Superficie completa La pirámide consta de una superficie lateral, es decir, el área de todas las caras laterales, y el área de la base:

S completo \u003d S lateral + S principal

Una pirámide se dice correcta si:

• su base es un polígono regular;
• el segmento que conecta la parte superior de la pirámide con el centro de la base es su altura.

Explicación sobre el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular

Considere una pirámide cuadrangular regular PABCD(Fig. 3).

R- la parte superior de la pirámide. base de la piramide A B C D- un cuadrilátero regular, es decir, un cuadrado. Punto ACERCA DE, el punto de intersección de las diagonales, es el centro del cuadrado. Medio, RO es la altura de la pirámide.

Arroz. 3

Explicación: en lo correcto norte-gon, el centro de la circunferencia inscrita y el centro de la circunferencia circunscrita coinciden. Este centro se llama el centro del polígono. A veces dicen que la parte superior se proyecta hacia el centro.

La altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su vértice, se llama apotema y denotado Ja.

1. todas las aristas laterales de una pirámide regular son iguales;

2. caras laterales son triángulos isósceles iguales.

Probemos estas propiedades usando el ejemplo de una pirámide cuadrangular regular.

Dado: RABSD- pirámide cuadrangular regular,

A B C D- cuadrado,

RO es la altura de la pirámide.

Probar:

1. RA = PB = PC = PD

2.∆ATP = ∆BCP = ∆CDP = ∆DAP Ver Fig. 4.

Arroz. 4

Prueba.

RO es la altura de la pirámide. es decir, recto RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto directa AO, VO, SO Y HACER acostado en él. Entonces los triángulos ROA, ROV, ROS, BARRA- rectangular.

Considere un cuadrado A B C D. De las propiedades de un cuadrado se sigue que AO = BO = CO = HACER.

Entonces los triángulos rectángulos ROA, ROV, ROS, BARRA pierna RO- general y piernas AO, VO, SO Y HACER iguales, entonces estos triángulos son iguales en dos catetos. De la igualdad de los triángulos se sigue la igualdad de los segmentos, RA = PB = PC = PD. El punto 1 está probado.

Segmentos AB Y sol son iguales porque son lados del mismo cuadrado, RA = RV = PC. Entonces los triángulos AVR Y videograbadora - isósceles e iguales en tres lados.

De manera similar, obtenemos que los triángulos PAA, BCP, CDP, PAD son isósceles e iguales, lo cual se exigió probar en el punto 2.

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema:

Para la demostración, elegimos una pirámide triangular regular.

Dado: RAVS- correcto Pirámide triangular.

AB = BC = CA.

RO- altura.

Probar: . Véase la figura. 5.

Arroz. 5

Prueba.

RAVS es una pirámide triangular regular. Eso es AB= CA = BC. Dejar ACERCA DE- el centro del triangulo A B C, Entonces RO es la altura de la pirámide. La base de la pirámide es un triángulo equilátero. A B C. Darse cuenta de .

triangulos RAV, RVS, RSA- triángulos isósceles iguales (por propiedad). Una pirámide triangular tiene tres caras laterales: RAV, RVS, RSA. Entonces, el área de la superficie lateral de la pirámide es:

Lado S = 3S RAB

El teorema ha sido probado.

El radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m, la altura de la pirámide es de 4 m, encuentra el área de la superficie lateral de la pirámide.

Dado: pirámide cuadrangular regular A B C D,

A B C D- cuadrado,

r= 3m,

RO- la altura de la pirámide,

RO= 4 metros

Encontrar: lado S. Véase la figura. 6.

Arroz. 6

Solución.

De acuerdo con el teorema probado, .

Encuentra primero el lado de la base AB. Sabemos que el radio de un círculo inscrito en la base de una pirámide cuadrangular regular es de 3 m.

Entonces, m.

Halla el perímetro del cuadrado A B C D de 6 m de lado:

Considere un triángulo BCD. Dejar METRO- lado medio corriente continua. Porque ACERCA DE- medio BD, Eso (metro).

Triángulo DPC- isósceles. METRO- medio corriente continua. Eso es, RM- la mediana, y por lo tanto la altura en el triángulo DPC. Entonces RM- apotema de la pirámide.

RO es la altura de la pirámide. Entonces, directamente RO perpendicular al plano A B C, y por lo tanto la directa OM acostado en él. Encontremos una apotema RM de triángulo rectángulo ROM.

Ahora podemos encontrar la superficie lateral de la pirámide:

Respuesta: 60 m2.

El radio de un círculo circunscrito cerca de la base de una pirámide triangular regular es m. El área de la superficie lateral es de 18 m 2. Encuentra la longitud de la apotema.

Dado: ABCP- pirámide triangular regular,

AB = BC = SA,

R= m,

Lado S = 18 m 2.

Encontrar: . Véase la figura. 7.

Arroz. 7

Solución.

en un triangulo rectangulo A B C dado el radio de la circunferencia circunscrita. Busquemos un lado AB este triángulo usando el teorema del seno.

Conociendo el lado de un triángulo regular (m), encontramos su perímetro.

Según el teorema del área de la superficie lateral de una pirámide regular, donde Ja- apotema de la pirámide. Entonces:

Respuesta: 4 metros

Entonces, examinamos qué es una pirámide, qué es una pirámide regular, demostramos el teorema en la superficie lateral de una pirámide regular. En la próxima lección, nos familiarizaremos con la pirámide truncada.

Bibliografía

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2. Portal de Internet "Festival ideas pedagógicas"Primero de septiembre" ()
3. Portal de Internet "Slideshare.net" ()

Tarea

1. ¿Puede un polígono regular ser la base de una pirámide irregular?
2. Demostrar que las aristas que no se cortan de una pirámide regular son perpendiculares.
3. Encuentre el valor del ángulo diedro en el lado de la base de una pirámide cuadrangular regular, si la apotema de la pirámide es igual al lado de su base.
4. RAVS es una pirámide triangular regular. Construya el ángulo lineal del ángulo diedro en la base de la pirámide.

Vídeo lección 2: Desafío de la pirámide. Volumen de la pirámide

Vídeo lección 3: Desafío de la pirámide. Pirámide correcta

Conferencia: Pirámide, su base, bordes laterales, altura, superficie lateral; Pirámide triangular; pirámide derecha

Pirámide- Este es un cuerpo tridimensional que tiene un polígono en la base, y todas sus caras son triángulos.

Un caso especial de una pirámide es un cono, en cuya base se encuentra un círculo.

Considere los elementos principales de la pirámide:

Apotema es un segmento que conecta la parte superior de la pirámide con la mitad del borde inferior de la cara lateral. En otras palabras, esta es la altura de la cara de la pirámide.

En la figura se pueden ver los triángulos ADS, ABS, BCS, CDS. Si observa detenidamente los nombres, puede ver que cada triángulo tiene una letra común en su nombre: S. Es decir, esto significa que todas las caras laterales (triángulos) convergen en un punto, que se llama la parte superior de la pirámide.

El segmento OS, que une el vértice con el punto de intersección de las diagonales de la base (en el caso de los triángulos, en el punto de intersección de las alturas), se llama altura de la pirámide.

Una sección diagonal es un plano que pasa por la parte superior de la pirámide, así como una de las diagonales de la base.

Como la superficie lateral de la pirámide está formada por triángulos, para hallar el área total de la superficie lateral es necesario hallar las áreas de cada cara y sumarlas. El número y la forma de las caras depende de la forma y el tamaño de los lados del polígono que se encuentra en la base.

El único plano de una pirámide que no tiene vértice se llama base pirámides.

En la figura, vemos que la base es un paralelogramo, sin embargo, puede haber cualquier polígono arbitrario.

Propiedades:

Considere el primer caso de una pirámide, en la que tiene aristas de la misma longitud:

• Se puede describir un círculo alrededor de la base de tal pirámide. Si proyecta la parte superior de dicha pirámide, su proyección se ubicará en el centro del círculo.
• Los ángulos en la base de la pirámide son los mismos para cada cara.
• Al mismo tiempo, una condición suficiente para que se pueda describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, y también que todas las aristas tengan diferentes longitudes, se pueden considerar los mismos ángulos entre la base y cada arista de las caras. .

Si te encuentras con una pirámide en la que los ángulos entre las caras laterales y la base son iguales, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

• Podrás describir un círculo alrededor de la base de la pirámide, cuya parte superior se proyecta exactamente hacia el centro.
• Si dibujas en cada cara lateral de la altura a la base, entonces tendrán la misma longitud.
• Para encontrar el área de la superficie lateral de una pirámide de este tipo, basta con encontrar el perímetro de la base y multiplicarlo por la mitad de la longitud de la altura.
• Sbp \u003d 0.5P oc H.
• Tipos de pirámide.
• Dependiendo de qué polígono se encuentra en la base de la pirámide, pueden ser triangulares, cuadrangulares, etc. Si un polígono regular (con lados iguales) se encuentra en la base de la pirámide, dicha pirámide se llamará regular.

Pirámide triangular regular

Continuamos considerando las tareas incluidas en el examen de matemáticas. Ya hemos estudiado problemas donde se da la condición y se requiere encontrar la distancia entre dos puntos dados o el ángulo.

Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono, las otras caras son triángulos y tienen un vértice común.

Una pirámide regular es una pirámide en la base de la cual se encuentra un polígono regular, y su parte superior se proyecta en el centro de la base.

Una pirámide cuadrangular regular - la base es un cuadrado La parte superior de la pirámide se proyecta en el punto de intersección de las diagonales de la base (cuadrado).

ML - apotema
∠MLO- ángulo diedro en la base de la piramide
∠MCO - el ángulo entre el borde lateral y el plano de la base de la pirámide

En este artículo, consideraremos tareas para resolver la pirámide correcta. Se requiere encontrar cualquier elemento, superficie lateral, volumen, altura. Por supuesto, debe conocer el teorema de Pitágoras, la fórmula para el área de la superficie lateral de la pirámide, la fórmula para encontrar el volumen de la pirámide.

En el artículo « » se presentan fórmulas que son necesarias para resolver problemas de estereometría. Entonces las tareas son:

SABCD punto O- centro baseS vértice, ENTONCES = 51, C.A.= 136. Halla la arista lateralCAROLINA DEL SUR.

En este caso, la base es un cuadrado. Esto significa que las diagonales AC y BD son iguales, se cortan y se bisecan en el punto de intersección. Tenga en cuenta que en una pirámide regular, la altura que desciende desde su parte superior pasa por el centro de la base de la pirámide. Entonces SO es la altura y el triánguloSOCrectangular. Entonces por el teorema de Pitágoras:

Cómo sacar la raíz de un número grande.

Respuesta: 85

Decide por ti mismo:

En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto O- centro base S vértice, ENTONCES = 4, C.A.= 6. Encuentra un borde lateral CAROLINA DEL SUR.

En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto O- centro base S vértice, CAROLINA DEL SUR = 5, C.A.= 6. Encuentra la longitud del segmento ENTONCES.

En una pirámide cuadrangular regular SABCD punto O- centro base S vértice, ENTONCES = 4, CAROLINA DEL SUR= 5. Encuentra la longitud del segmento C.A..

SABC R- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 7, y RS= 16. Calcula el área de la superficie lateral.

El área de la superficie lateral de una pirámide triangular regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema (la apotema es la altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su vértice):

O puedes decir esto: el área de la superficie lateral de la pirámide es igual a la suma de las áreas de las tres caras laterales. Las caras laterales de una pirámide triangular regular son triángulos de igual área. En este caso:

Respuesta: 168

Decide por ti mismo:

En una pirámide triangular regular SABC R- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 1, y RS= 2. Encuentra el área de la superficie lateral.

En una pirámide triangular regular SABC R- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que AB= 1, y el área de la superficie lateral es 3. Encuentra la longitud del segmento RS.

En una pirámide triangular regular SABC L- medio de la costilla antes de Cristo, S- arriba. Se sabe que SL= 2, y el área de la superficie lateral es 3. Encuentra la longitud del segmento AB.

En una pirámide triangular regular SABC METRO. Area de un triangulo A B C es 25, el volumen de la pirámide es 100. Encuentra la longitud del segmento EM.

La base de la pirámide es un triángulo equilátero.. Es por eso METROes el centro de la base, yEM- la altura de una pirámide regularSABC. Volumen de la pirámide SABC es igual a: inspeccionar solución

En una pirámide triangular regular SABC medianas base se cortan en un punto METRO. Area de un triangulo A B C es 3, EM= 1. Encuentra el volumen de la pirámide.

En una pirámide triangular regular SABC medianas base se cortan en un punto METRO. El volumen de la pirámide es 1, EM= 1. Encuentra el área del triángulo A B C.

Terminemos con esto. Como puede ver, las tareas se resuelven en uno o dos pasos. En el futuro, consideraremos con ustedes otros problemas de esta parte, donde se dan cuerpos de revolución, ¡no se lo pierdan!

¡Te deseo éxito!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que hablara del sitio en las redes sociales.

Definición

Pirámide es un poliedro compuesto por un polígono \(A_1A_2...A_n\) y \(n\) triángulos con un vértice común \(P\) (que no se encuentra en el plano del polígono) y lados opuestos coincidentes con los lados de el poligono
Designación: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ejemplo: pirámide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triángulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) etc. llamado caras laterales pirámides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. - costillas laterales, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, punto \(P\) – cumbre.

Altura Las pirámides son una caída perpendicular desde la parte superior de la pirámide hasta el plano de la base.

Una pirámide con un triángulo en su base se llama tetraedro.

La piramide se llama correcto, si su base es un polígono regular y se cumple alguna de las siguientes condiciones:

\((a)\) las aristas laterales de la pirámide son iguales;

\((b)\) la altura de la pirámide pasa por el centro del círculo circunscrito cerca de la base;

\((c)\) las nervaduras laterales están inclinadas con respecto al plano base en el mismo ángulo.

\((d)\) las caras laterales están inclinadas al plano base en el mismo ángulo.

tetraedro regular es una pirámide triangular, cuyas caras son triángulos equiláteros iguales.

Teorema

Las condiciones \((a), (b), (c), (d)\) son equivalentes.

Prueba

Dibuja la altura de la pirámide \(PH\) . Sea \(\alpha\) el plano de la base de la pirámide.

1) Probemos que \((a)\) implica \((b)\) . Sea \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Porque \(PH\perp \alpha\) , entonces \(PH\) es perpendicular a cualquier línea que se encuentre en este plano, por lo que los triángulos son rectángulos. Entonces estos triángulos son iguales en cateto común \(PH\) e hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Entonces \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Esto significa que los puntos \(A_1, A_2, ..., A_n\) están a la misma distancia del punto \(H\) , por lo tanto, se encuentran en el mismo círculo con radio \(A_1H\) . Este círculo, por definición, está circunscrito al polígono \(A_1A_2...A_n\) .

2) Probemos que \((b)\) implica \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangular e igual en dos patas. Por lo tanto, sus ángulos también son iguales, por lo tanto, \(\ángulo PA_1H=\ángulo PA_2H=...=\ángulo PA_nH\).

3) Probemos que \((c)\) implica \((a)\) .

Similar al primer punto, los triángulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) rectangular y a lo largo de la pierna y esquina filosa. Esto quiere decir que sus hipotenusas también son iguales, es decir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Probemos que \((b)\) implica \((d)\) .

Porque en un polígono regular, los centros de las circunferencias circunscrita e inscrita coinciden (generalmente, este punto se llama centro de un polígono regular), entonces \(H\) es el centro de la circunferencia inscrita. Dibujemos perpendiculares desde el punto \(H\) a los lados de la base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estos son los radios del círculo inscrito (por definición). Entonces, según la TTP, (\(PH\) es una perpendicular al plano, \(HK_1, HK_2\), etc. son proyecciones perpendiculares a los lados) oblicua \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular a los lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Entonces, por definición \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H\) igual a los ángulos entre las caras laterales y la base. Porque triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectángulos sobre dos catetos), entonces los ángulos \(\ángulo PK_1H, \ángulo PK_2H, ...\) son iguales.

5) Probemos que \((d)\) implica \((b)\) .

De manera similar al cuarto punto, los triángulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) son iguales (como rectangulares a lo largo del cateto y ángulo agudo), lo que significa que los segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) son iguales. Entonces, por definición, \(H\) es el centro de un círculo inscrito en la base. Pero desde para polígonos regulares, los centros de los círculos inscritos y circunscritos coinciden, entonces \(H\) es el centro del círculo circunscrito. Chtd.

Consecuencia

Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales.

Definición

La altura de la cara lateral de una pirámide regular, dibujada desde su vértice, se llama apotema.
Las apotemas de todas las caras laterales de una pirámide regular son iguales entre sí y también son medianas y bisectrices.

Notas importantes

1. La altura de una pirámide triangular regular cae al punto de intersección de las alturas (o bisectrices, o medianas) de la base (la base es un triángulo regular).

2. La altura de una pirámide cuadrangular regular cae hasta el punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un cuadrado).

3. Altura correcta pirámide hexagonal cae al punto de intersección de las diagonales de la base (la base es un hexágono regular).

4. La altura de la pirámide es perpendicular a cualquier línea recta que se encuentre en la base.

Definición

La piramide se llama rectangular si una de sus aristas laterales es perpendicular al plano de la base.

Notas importantes

1. Para una pirámide rectangular, el borde perpendicular a la base es la altura de la pirámide. Es decir, \(SR\) es la altura.

2. Porque \(SR\) perpendicular a cualquier recta desde la base, entonces \(\triángulo SRM, \triángulo SRP\) son triángulos rectángulos.

3. Triángulos \(\triángulo SRN, \triángulo SRK\) también son rectangulares.
Es decir, cualquier triángulo formado por esta arista y la diagonal que sale del vértice de esta arista, que está en la base, será rectángulo.

\[(\Large(\text(Volumen y superficie de la pirámide)))\]

Teorema

El volumen de una pirámide es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura de la pirámide: \

Consecuencias

Sea \(a\) el lado de la base, \(h\) la altura de la pirámide.

1. El volumen de una pirámide triangular regular es \(V_(\text(triángulo rectángulo pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es \(V_(\text(derecha.cuatro.pira.))=\dfrac13a^2h\).

3. El volumen de una pirámide hexagonal regular es \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. El volumen de un tetraedro regular es \(V_(\text(tetra derecho))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

El área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base y la apotema.

\[(\Large(\text(Pirámide truncada)))\]

Definición

Considere una pirámide arbitraria \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Dibujemos un plano paralelo a la base de la pirámide a través de cierto punto que se encuentra en el borde lateral de la pirámide. Este plano dividirá la pirámide en dos poliedros, uno de los cuales es una pirámide (\(PB_1B_2...B_n\) ), y el otro se llama pirámide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

La pirámide truncada tiene dos bases: los polígonos \(A_1A_2...A_n\) y \(B_1B_2...B_n\), que son similares entre sí.

La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde algún punto de la base superior al plano de la base inferior.

Notas importantes

1. Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapezoides.

2. El segmento que conecta los centros de las bases de una pirámide regular truncada (es decir, una pirámide obtenida por una sección de una pirámide regular) es la altura.