Que es un seno. Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo agudo. Funciones trigonométricas

La trigonometría es una rama de las matemáticas que estudia las funciones trigonométricas y su uso en geometría. El desarrollo de la trigonometría comenzó en el momento antigua Grecia. Durante la Edad Media, científicos de Medio Oriente e India hicieron una importante contribución al desarrollo de esta ciencia.

Este artículo está dedicado a los conceptos básicos y definiciones de trigonometría. Trata las definiciones de las principales funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente y cotangente. Se explica e ilustra su significado en el contexto de la geometría.

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Inicialmente, las definiciones de las funciones trigonométricas, cuyo argumento es un ángulo, se expresaban a través de la razón de los lados de un triángulo rectángulo.

Definiciones de funciones trigonométricas

El seno de un ángulo (sen α) es la relación entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa.

El coseno del ángulo (cos α) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente del ángulo (t g α) es la relación del cateto opuesto al adyacente.

La cotangente del ángulo (c t g α) es la razón del cateto adyacente al opuesto.

¡Estas definiciones se dan para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo!

Demos una ilustración.

En el triángulo ABC de ángulo recto C, el seno del ángulo A es igual a la razón del cateto BC a la hipotenusa AB.

Las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente permiten calcular los valores de estas funciones a partir de las longitudes conocidas de los lados de un triángulo.

Importante recordar!

El rango de valores de seno y coseno: de -1 a 1. En otras palabras, el seno y el coseno toman valores de -1 a 1. El rango de valores de tangente y cotangente es toda la recta numérica, es decir, estos Las funciones pueden tomar cualquier valor.

Las definiciones dadas anteriormente se refieren a ángulos agudos. En trigonometría, se introduce el concepto de ángulo de rotación, cuyo valor, a diferencia de un ángulo agudo, no está limitado por marcos de grados 0 a 90. El ángulo de rotación en grados o radianes se expresa por cualquier número real de - ∞ a + ∞.

En este contexto, se puede definir el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo de magnitud arbitraria. Imagine un círculo unitario centrado en el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

El punto inicial A con coordenadas (1, 0) gira alrededor del centro del círculo unitario un cierto ángulo α y va al punto A 1 . La definición viene dada por las coordenadas del punto A 1 (x, y).

Seno (sin) del ángulo de rotación

El seno del ángulo de rotación α es la ordenada del punto A 1 (x, y). seno = y

Coseno (cos) del ángulo de rotación

El coseno del ángulo de rotación α es la abscisa del punto A 1 (x, y). porque α = x

Tangente (tg) del ángulo de rotación

La tangente del ángulo de rotación α es la relación entre la ordenada del punto A 1 (x, y) y su abscisa. t gramo α = y x

Cotangente (ctg) del ángulo de rotación

La cotangente del ángulo de rotación α es la razón de la abscisa del punto A 1 (x, y) a su ordenada. c t gramo α = x y

El seno y el coseno se definen para cualquier ángulo de rotación. Esto es lógico, porque la abscisa y la ordenada del punto después de la rotación se pueden determinar en cualquier ángulo. La situación es diferente con tangente y cotangente. La tangente no está definida cuando el punto después de la rotación va al punto con abscisas cero (0 , 1) y (0 , - 1). En tales casos, la expresión de la tangente t g α = y x simplemente no tiene sentido, ya que contiene la división por cero. La situación es similar con la cotangente. La diferencia es que la cotangente no está definida en los casos en que la ordenada del punto se anula.

Importante recordar!

El seno y el coseno están definidos para cualquier ángulo α.

La tangente está definida para todos los ángulos excepto α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

La cotangente está definida para todos los ángulos excepto α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Al decidir ejemplos prácticos no digas "seno del ángulo de rotación α". Las palabras "ángulo de rotación" simplemente se omiten, lo que implica que por el contexto ya está claro lo que está en juego.

Números

¿Qué pasa con la definición de seno, coseno, tangente y cotangente de un número, y no el ángulo de rotación?

Seno, coseno, tangente, cotangente de un número

Seno, coseno, tangente y cotangente de un número t se llama un número que es respectivamente igual al seno, coseno, tangente y cotangente en t radián.

Por ejemplo, el seno de 10 π es igual al seno del ángulo de rotación de 10 π rad.

Hay otro enfoque para la definición del seno, coseno, tangente y cotangente de un número. Considerémoslo con más detalle.

Cualquier número real t un punto en el círculo unitario se pone en correspondencia con el centro en el origen del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Seno, coseno, tangente y cotangente se definen en términos de las coordenadas de este punto.

El punto inicial del círculo es el punto A con coordenadas (1, 0).

numero positivo t

Numero negativo t corresponde al punto al que se moverá el punto inicial si se mueve en sentido antihorario a lo largo del círculo y pasará el camino t.

Ahora que se ha establecido la conexión entre el número y el punto en el círculo, procedemos a la definición de seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno (sin) del número t

seno de un numero t- ordenada del punto del círculo unitario correspondiente al número t. sen t = y

Coseno (cos) de t

coseno de un numero t- abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. porque t = x

Tangente (tg) de t

Tangente de un número t- la razón de la ordenada a la abscisa del punto del círculo unitario correspondiente al número t. t g t = y x = sen t cos t

Las últimas definiciones son consistentes y no contradicen la definición dada al comienzo de esta sección. Punto en un círculo correspondiente a un número t, coincide con el punto al que pasa el punto de partida después de girar el ángulo t radián.

Funciones trigonométricas de argumento angular y numérico

Cada valor del ángulo α corresponde a un cierto valor del seno y coseno de este ángulo. Al igual que todos los ángulos α distintos de α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) corresponde a un determinado valor de la tangente. La cotangente, como se mencionó anteriormente, está definida para todo α, excepto para α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Podemos decir que sen α , cos α , t g α , c t g α son funciones del ángulo alfa, o funciones del argumento angular.

De manera similar, se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente como funciones de un argumento numérico. cada número real t corresponde a un valor específico del seno o coseno de un número t. Todos los números que no sean π 2 + π · k , k ∈ Z, corresponden al valor de la tangente. La cotangente se define de manera similar para todos los números excepto π · k , k ∈ Z.

Funciones básicas de la trigonometría

Seno, coseno, tangente y cotangente son las funciones trigonométricas básicas.

Por lo general, está claro por el contexto con qué argumento de la función trigonométrica (argumento angular o argumento numérico) estamos tratando.

Volvamos a los datos al principio de las definiciones y el ángulo alfa, que se encuentra en el rango de 0 a 90 grados. Las definiciones trigonométricas de seno, coseno, tangente y cotangente están totalmente de acuerdo con las definiciones geométricas dadas usando las razones de los lados de un triángulo rectángulo. Mostrémoslo.

Tome un círculo unitario centrado en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares. Giremos el punto inicial A (1, 0) en un ángulo de hasta 90 grados y dibujemos desde el punto resultante A 1 (x, y) perpendicular al eje x. En el triángulo rectángulo resultante, el ángulo A 1 O H igual al ángulo vuelta α, la longitud del cateto O H es igual a la abscisa del punto A 1 (x, y) . La longitud del cateto opuesto a la esquina es igual a la ordenada del punto A 1 (x, y), y la longitud de la hipotenusa es igual a uno, ya que es el radio del círculo unitario.

De acuerdo con la definición de la geometría, el seno del ángulo α es igual a la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Esto significa que la definición del seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo a través de la relación de aspecto es equivalente a la definición del seno del ángulo de rotación α, con alfa en el rango de 0 a 90 grados.

De manera similar, se puede mostrar la correspondencia de definiciones para coseno, tangente y cotangente.

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El seno es una de las funciones trigonométricas básicas, cuya aplicación no se limita solo a la geometría. Las tablas para calcular funciones trigonométricas, como las calculadoras de ingeniería, no siempre están disponibles, y el cálculo del seno a veces es necesario para resolver varios problemas. En general, el cálculo del seno ayudará a consolidar las habilidades de dibujo y el conocimiento de las identidades trigonométricas.

Juegos de regla y lápiz.

Una tarea simple: ¿cómo encontrar el seno de un ángulo dibujado en papel? Para resolverlo, necesitas una regla normal, un triángulo (o un compás) y un lápiz. La forma más sencilla de calcular el seno de un ángulo es dividiendo el lado más largo de un triángulo con un ángulo recto, la hipotenusa. Por lo tanto, primero debe completar el ángulo agudo de la figura de un triángulo rectángulo dibujando una línea perpendicular a uno de los rayos a una distancia arbitraria del vértice del ángulo. Será necesario observar un ángulo de exactamente 90 °, para lo cual necesitamos un triángulo clerical.

Usar una brújula es un poco más preciso, pero llevará más tiempo. En uno de los rayos, debe marcar 2 puntos a cierta distancia, establecer un radio en la brújula aproximadamente igual a la distancia entre los puntos y dibujar semicírculos con centros en estos puntos hasta que estas líneas se crucen. Al conectar los puntos de intersección de nuestros círculos entre sí, obtendremos una estricta perpendicular al rayo de nuestro ángulo, solo queda extender la línea hasta que se cruce con otro rayo.

En el triángulo resultante, debe medir el lado opuesto a la esquina y el lado largo en uno de los rayos con una regla. La relación de la primera medida con la segunda será el valor deseado del seno del ángulo agudo.

Encuentra el seno para un ángulo mayor a 90°

Para un ángulo obtuso, la tarea no es mucho más difícil. Es necesario dibujar un rayo desde el vértice en dirección opuesta usando una regla para formar una línea recta con uno de los rayos del ángulo que nos interesa. Con el ángulo agudo resultante, debe proceder como se describe anteriormente, los senos de los ángulos adyacentes, que forman juntos un ángulo desarrollado de 180 °, son iguales.

Cálculo del seno a partir de otras funciones trigonométricas

Además, el cálculo del seno es posible si se conocen los valores de otras funciones trigonométricas del ángulo o al menos la longitud de los lados del triángulo. Las identidades trigonométricas nos ayudarán con esto. Veamos ejemplos comunes.

¿Cómo encontrar el seno con un coseno conocido de un ángulo? La primera identidad trigonométrica, proveniente del teorema de Pitágoras, dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno del mismo ángulo es igual a uno.

¿Cómo encontrar el seno con una tangente conocida de un ángulo? La tangente se obtiene dividiendo el cateto lejano por el cercano o dividiendo el seno por el coseno. Así, el seno será el producto del coseno y la tangente, y el cuadrado del seno será el cuadrado de este producto. Reemplazamos el coseno al cuadrado con la diferencia entre la unidad y el seno al cuadrado según la primera identidad trigonométrica y, mediante manipulaciones simples, traemos la ecuación para calcular el seno al cuadrado a través de la tangente, respectivamente, para calcular el seno, tendrás que extraer la raíz del resultado obtenido.

¿Cómo encontrar el seno con una cotangente conocida de un ángulo? El valor de la cotangente se puede calcular dividiendo la longitud de la más cercana desde el ángulo del cateto por la longitud de la lejana, y también dividiendo el coseno por el seno, es decir, la cotangente es la función inversa de la tangente con respecto al número 1. Para calcular el seno, puede calcular la tangente usando la fórmula tg α \u003d 1 / ctg α y usar la fórmula en la segunda opción. También puede derivar una fórmula directa por analogía con la tangente, que se verá así.

Cómo encontrar el seno de los tres lados de un triángulo

Hay una fórmula para encontrar la longitud del lado desconocido de cualquier triángulo, no solo un triángulo rectángulo, dados dos lados conocidos usando la función trigonométrica del coseno del ángulo opuesto. Ella se ve así.

Comenzamos nuestro estudio de trigonometría con un triángulo rectángulo. Definamos qué son el seno y el coseno, así como la tangente y la cotangente de un ángulo agudo. Estos son los fundamentos de la trigonometría.

Recordar que ángulo recto es un ángulo igual a 90 grados. En otras palabras, la mitad de la esquina desplegada.

Esquina filosa- menos de 90 grados.

Ángulo obtuso- mayor de 90 grados. En relación con tal ángulo, "contundente" no es un insulto, sino un término matemático :-)

Dibujemos triángulo rectángulo. Generalmente se denota un ángulo recto. Tenga en cuenta que el lado opuesto a la esquina se denota con la misma letra, solo que pequeña. Entonces, se denota el lado opuesto al ángulo A.

Un ángulo se denota con la letra griega correspondiente.

Hipotenusa Un triángulo rectángulo es el lado opuesto al ángulo recto.

Piernas- lados opuestos esquinas agudas.

El cateto opuesto a la esquina se llama opuesto(relativo al ángulo). La otra pierna, que se encuentra a un lado de la esquina, se llama adyacente.

Seno El ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa:

Cosenoángulo agudo en un triángulo rectángulo - la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa:

Tangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto opuesto y el adyacente:

Otra definición (equivalente): la tangente de un ángulo agudo es la relación entre el seno de un ángulo y su coseno:

Cotangenteángulo agudo en un triángulo rectángulo: la relación entre el cateto adyacente y el opuesto (o, de manera equivalente, la relación entre el coseno y el seno):

Preste atención a las proporciones básicas para seno, coseno, tangente y cotangente, que se dan a continuación. Nos serán útiles para resolver problemas.

Probemos algunos de ellos.

Bien, hemos dado definiciones y fórmulas escritas. Pero, ¿por qué necesitamos seno, coseno, tangente y cotangente?

Lo sabemos la suma de los angulos de cualquier triangulo es.

Conocemos la relación entre fiestas triángulo rectángulo. Este es el teorema de Pitágoras: .

Resulta que conociendo dos ángulos en un triángulo, puedes encontrar el tercero. Conociendo dos lados en un triángulo rectángulo, puedes encontrar el tercero. Entonces, para los ángulos, su proporción, para los lados, los suyos. Pero, ¿qué hacer si en un triángulo rectángulo se conocen un ángulo (excepto el recto) y un lado, pero necesita encontrar otros lados?

Esto es a lo que se enfrentaba la gente en el pasado, haciendo mapas de la zona y del cielo estrellado. Después de todo, no siempre es posible medir directamente todos los lados de un triángulo.

Seno, coseno y tangente - también se les llama funciones trigonométricas del ángulo- dar la razón entre fiestas Y esquinas triángulo. Conociendo el ángulo, puedes encontrar todas sus funciones trigonométricas usando tablas especiales. Y sabiendo los senos, cosenos y tangentes de los ángulos de un triángulo y uno de sus lados, puedes encontrar el resto.

También dibujaremos una tabla de valores de seno, coseno, tangente y cotangente para ángulos "buenos" de a.

Observe los dos guiones rojos en la tabla. Para los valores correspondientes de los ángulos, la tangente y la cotangente no existen.

Analicemos varios problemas de trigonometría del Banco de tareas FIPI.

1. En un triángulo, el ángulo es , . Encontrar .

El problema se resuelve en cuatro segundos.

Porque el , .

2. En un triángulo, el ángulo es , , . Encontrar .

Hallemos por el teorema de Pitágoras.

Problema resuelto.

A menudo, en los problemas hay triángulos con ángulos y o con ángulos y . ¡Memoriza las proporciones básicas para ellos de memoria!

Para un triángulo con ángulos y el cateto opuesto al ángulo en es igual a la mitad de la hipotenusa.

Un triángulo con ángulos y es isósceles. En él, la hipotenusa es veces más grande que el cateto.

Consideramos problemas para resolver triángulos rectángulos, es decir, para encontrar lados o ángulos desconocidos. ¡Pero eso no es todo! EN USAR opciones en matemáticas hay muchos problemas donde aparece el seno, coseno, tangente o cotangente del ángulo exterior del triángulo. Más sobre esto en el siguiente artículo.

Conferencia: Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo arbitrario

Seno, coseno de un ángulo arbitrario

Para entender qué son las funciones trigonométricas, volvamos a un círculo con una unidad de radio. Este círculo está centrado en el origen en el plano de coordenadas. Para determinar las funciones dadas, usaremos el radio vector O, que comienza en el centro del círculo, y el punto R es un punto en el círculo. Este radio vector forma un ángulo alfa con el eje OH. Como el círculo tiene un radio igual a uno, entonces O = R = 1.

Si desde el punto R dejar caer una perpendicular sobre el eje OH, entonces obtenemos un triángulo rectángulo con hipotenusa igual a uno.

Si el vector del radio se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, entonces esta dirección se llama negativo, pero si se mueve en sentido antihorario - positivo.

El seno de un ángulo O, es la ordenada del punto R vectores en un círculo.

Es decir, para obtener el valor del seno de un ángulo dado alfa, es necesario determinar la coordenada En en la superficie.

Cómo valor dado¿fue recibido? Como sabemos que el seno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón del cateto opuesto a la hipotenusa, obtenemos que

Y desde R=1, Eso sen(α) = y 0 .

En el círculo unitario, el valor de la ordenada no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa que

Sinus acepta valor positivo en el primer y segundo cuartos del círculo unitario, y negativo en el tercero y cuarto.

Coseno de un ángulo círculo dado formado por el radio vector O, es la abscisa del punto R vectores en un círculo.

Es decir, para obtener el valor del coseno de un ángulo dado alfa, es necesario determinar la coordenada X en la superficie.

El coseno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa, obtenemos que

Y desde R=1, Eso cos(α) = x 0 .

En el círculo unitario, el valor de la abscisa no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa que

El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrante del círculo unitario y negativo en el segundo y tercero.

tangenteángulo arbitrario se calcula la relación de seno a coseno.

Si consideramos un triángulo rectángulo, entonces esta es la relación entre el cateto opuesto y el adyacente. Si estamos hablando sobre el círculo unitario, entonces esta es la razón de la ordenada a la abscisa.

A juzgar por estas relaciones, se puede entender que la tangente no puede existir si el valor de la abscisa es cero, es decir, en un ángulo de 90 grados. La tangente puede tomar todos los demás valores.

La tangente es positiva en el primer y tercer cuarto del círculo unitario, y negativa en el segundo y cuarto.

En este artículo, vamos a echar un vistazo completo a . Las identidades trigonométricas básicas son igualdades que establecen una relación entre el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de un ángulo, y permiten encontrar cualquiera de estas funciones trigonométricas a través de otra conocida.

Inmediatamente enumeramos las principales identidades trigonométricas, que analizaremos en este artículo. Las anotamos en una tabla, ya continuación damos la derivación de estas fórmulas y damos las explicaciones necesarias.

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Relación entre el seno y el coseno de un ángulo

A veces no hablan de las principales identidades trigonométricas enumeradas en la tabla anterior, sino de una sola identidad trigonométrica básica amable . La explicación de este hecho es bastante sencilla: las igualdades se obtienen a partir de la identidad trigonométrica básica después de dividir ambas partes por y respectivamente, y las igualdades Y se derivan de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. Hablaremos de esto con más detalle en los siguientes párrafos.

Es decir, es la igualdad la que tiene especial interés, a la que se le dio el nombre de identidad trigonométrica principal.

Antes de probar la identidad trigonométrica básica, damos su formulación: la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es idénticamente igual a uno. Ahora demostrémoslo.

La identidad trigonométrica básica se usa muy a menudo en transformación de expresiones trigonométricas. Permite reemplazar la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo por uno. No menos a menudo, la identidad trigonométrica básica se usa en orden inverso: la unidad se reemplaza por la suma de los cuadrados del seno y el coseno de cualquier ángulo.

Tangente y cotangente a través de seno y coseno

Identidades que conectan la tangente y la cotangente con el seno y el coseno de un ángulo de la forma y se siguen inmediatamente de las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, por definición, el seno es la ordenada de y, el coseno es la abscisa de x, la tangente es la razón de la ordenada a la abscisa, es decir, , y la cotangente es la razón de la abscisa a la ordenada, es decir, .

Debido a esta obviedad de las identidades y a menudo, las definiciones de tangente y cotangente no se dan a través de la razón de la abscisa y la ordenada, sino a través de la razón del seno y el coseno. Entonces, la tangente de un ángulo es la razón del seno al coseno de este ángulo, y la cotangente es la razón del coseno al seno.

Para concluir este apartado, cabe señalar que las identidades y vale para todos los ángulos para los que las funciones trigonométricas en ellos tienen sentido. Entonces, la fórmula es válida para cualquier otra cosa que no sea (de lo contrario, el denominador será cero y no definimos la división por cero), y la fórmula - para todo , diferente de , donde z es cualquiera .

Relación entre tangente y cotangente

Una identidad trigonométrica aún más obvia que las dos anteriores es la identidad que conecta la tangente y la cotangente de un ángulo de la forma . Está claro que tiene lugar para cualquier ángulo que no sea , de lo contrario, la tangente o la cotangente no están definidas.

Prueba de la fórmula muy simple. Por definición y de donde . La prueba podría haberse realizado de una manera ligeramente diferente. Desde y , Eso .

Entonces, la tangente y la cotangente de un ángulo, en el que tienen sentido, es.