Área de una esfera. Volumen de la pelota. Esfera, bola, segmento y sector. Fórmulas y propiedades de una esfera De donde se desprende la fórmula para el área de una esfera

Definición.

Una esfera puede describirse como una figura tridimensional que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro 180° o un semicírculo alrededor de su diámetro 360°.

Definición.

Una bola puede describirse como una figura tridimensional que se forma girando un círculo alrededor de su diámetro 180° o un semicírculo alrededor de su diámetro 360°.

Definición. Radio de la esfera (bola)(R) es la distancia desde el centro de la esfera (bola) oh a cualquier punto de la esfera (superficie de la pelota).

Definición. Diámetro de la esfera (bola)(D) es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (la superficie de una pelota) y pasa por su centro.

Fórmula. Volumen de esfera:

Fórmula. Área de superficie de una esfera a través del radio o diámetro:

S = 4π R 2 = π D 2

ecuación de esfera

1. Ecuación de una esfera con radio R y centro en el origen del sistema de coordenadas cartesiano:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ecuación de una esfera con radio R y centro en un punto de coordenadas (x 0, y 0, z 0) en el sistema de coordenadas cartesiano:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definición. Puntos diametralmente opuestos son dos puntos cualesquiera en la superficie de una bola (esfera) que están conectados por un diámetro.

Propiedades básicas de una esfera y una pelota.

1. Todos los puntos de la esfera están a la misma distancia del centro.

2. Cualquier sección de una esfera por un plano es un círculo.

3. Cualquier sección de una pelota por un plano es un círculo.

4. La esfera tiene el volumen más grande entre todas las figuras espaciales con la misma superficie.

5. A través de dos puntos diametralmente opuestos se pueden dibujar muchos círculos grandes para una esfera o círculos para una pelota.

6. A través de dos puntos cualesquiera, excepto los puntos diametralmente opuestos, solo puedes dibujar un círculo grande para una esfera o un círculo grande para una bola.

7. Dos círculos máximos cualesquiera de una bola se cruzan a lo largo de una línea recta que pasa por el centro de la bola, y los círculos se cruzan en dos puntos diametralmente opuestos.

8. Si la distancia entre los centros de dos bolas cualesquiera es menor que la suma de sus radios y mayor que el módulo de la diferencia de sus radios, entonces dichas bolas intersecarse, y se forma un círculo en el plano de intersección.

Secante, cuerda, plano secante de una esfera y sus propiedades.

Definición. Esfera secante es una recta que corta a la esfera en dos puntos. Los puntos de intersección se llaman puntos de perforación superficies o puntos de entrada y salida en la superficie.

Definición. Acorde de una esfera (bola)- este es un segmento que conecta dos puntos de una esfera (la superficie de una bola).

Definición. Plano de corte es el plano que corta a la esfera.

Definición. Plano diametral- este es un plano secante que pasa por el centro de una esfera o bola, la sección se forma en consecuencia círculo grande Y gran circulo. El círculo máximo y el círculo máximo tienen un centro que coincide con el centro de la esfera (bola).

Cualquier cuerda que pase por el centro de una esfera (bola) es un diámetro.

Una cuerda es un segmento de una recta secante.

La distancia d desde el centro de la esfera a la secante es siempre menor que el radio de la esfera:

d< R

La distancia m entre el plano de corte y el centro de la esfera es siempre menor que el radio R:

metro< R

La ubicación de la sección del plano de corte sobre la esfera siempre será pequeño círculo, y en la pelota la sección será pequeño círculo. El círculo pequeño y el círculo pequeño tienen centros propios que no coinciden con el centro de la esfera (bola). El radio r de dicho círculo se puede encontrar mediante la fórmula:

r = √R 2 - metros 2,

Donde R es el radio de la esfera (bola), m es la distancia desde el centro de la bola hasta el plano de corte.

Definición. hemisferio (hemisferio)- Esta es la mitad de una esfera (bola), que se forma cuando se corta por un plano diametral.

Tangente, plano tangente a una esfera y sus propiedades.

Definición. Tangente a una esfera es una línea recta que toca la esfera en un solo punto.

Definición. Plano tangente a una esfera. es un plano que toca la esfera en un solo punto.

La línea tangente (plano) siempre es perpendicular al radio de la esfera trazada hasta el punto de contacto.

La distancia desde el centro de la esfera a la recta tangente (plano) es igual al radio de la esfera.

Definición. segmento de bola- esta es la parte de la bola que está separada de la bola por un plano de corte. Base del segmento llamado el círculo que se formó en el sitio de la sección. Altura del segmento h es la longitud de la perpendicular trazada desde el centro de la base del segmento hasta la superficie del segmento.

Fórmula. Área de superficie exterior de un segmento de esfera con altura h que pasa por el radio de la esfera R:

S = 2πRh

Una esfera y una pelota son análogas a un círculo y un círculo en el espacio tridimensional. Vale la pena hablar de cada una de estas figuras, destacando las similitudes y diferencias, así como las fórmulas características de estas figuras.

La mayoría de las construcciones geométricas se realizan en un plano, pero en la secundaria comienzan a estudiar figuras tridimensionales. El espacio bidimensional tiene sólo dos características: largo y ancho. En áreas 3D, se agrega altura. En matemáticas de sexto grado se estudian figuras individuales en 3D.

En un plano, una figura se caracteriza por su área y perímetro. En los objetos tridimensionales, se les añade volumen.

Arroz. 1. Espacio tridimensional.

Además, existen una serie de propiedades específicas de las figuras 3D. Pueden ser intersecados por una recta y un plano, y puede haber planos secantes que tomen la forma de otras figuras.

El uso de figuras 3D para componer problemas los complica significativamente, pero al mismo tiempo los hace mucho más interesantes. Demos las definiciones de bola y esfera, después de lo cual intentaremos resaltar las diferencias entre estas figuras.

Pelota

Una bola y una esfera son análogas a un círculo y un círculo en un plano. Una bola es una figura que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de un punto.

La pelota tiene un área de superficie: $S=4pir^2$

El radio es un segmento que conecta el centro de la pelota y cualquier punto de su superficie.

Fórmula para el volumen de una pelota$V=(4pir^3\over3)$

El volumen muestra cuánto espacio ocupa una figura. Para entender qué es el volumen, es necesario imaginar una figura hueca. Entonces el volumen es la cantidad de agua que se puede verter en esta figura.

Una bola, como cualquier otra figura tridimensional, se puede cortar con un plano. El plano de corte de una pelota es un círculo, cuyo centro se puede encontrar trazando una perpendicular desde el centro de la pelota hasta el círculo.

Arroz. 2. Sección de la pelota.

Una esfera es una figura que representa un conjunto de puntos en el espacio equidistantes del centro de la esfera. Esfera:

• Tiene las mismas fórmulas para volumen y área de superficie que una esfera.
• El plano cortante de una esfera es un círculo.
• El centro de la circunferencia secante se sitúa de la misma forma que en el caso de una bola.

Arroz. 3. Esfera.

Cuál es la diferencia

Entonces surge la pregunta ¿cuál es la diferencia entre una pelota y una esfera además de la definición? El hecho es que las diferencias entre una pelota y una esfera son mucho más borrosas que las diferencias entre un círculo y un círculo. Una esfera también tiene volumen y área de superficie.

Quizás, además de la definición, la diferencia es que los problemas nunca encuentran el volumen de una esfera. Como regla general, buscan el volumen de la pelota. Esto no significa que la esfera no tenga volumen. Esta es una figura tridimensional, por lo que tiene volumen.

La analogía se dibuja simplemente con un círculo que no tiene área. Esto no es una regla, sino más bien una tradición que conviene recordar: en geometría, la formulación del volumen de una esfera no es bienvenida.

Otra diferencia que se puede considerar más o menos significativa es el plano secante de una esfera: un círculo que no tiene espacio interior pero tiene longitud. Plano cortante de una esfera: círculo que tiene área y no circunferencia. Por lo tanto, conviene tener cuidado al formular el problema para que no se produzcan errores debido a tales nimiedades.

¿Qué hemos aprendido?

Aprendimos qué son una esfera y una pelota. Hablamos de sus similitudes y diferencias. Aprendimos que estas cifras casi no tienen diferencias. Decidimos que no valía la pena dar una formulación como el volumen de una esfera.

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A muchos de nosotros nos encanta jugar al fútbol, ​​o al menos casi todos hemos oído hablar de este famoso juego deportivo. Todo el mundo sabe que al fútbol se juega con pelota.

Si le preguntas a un transeúnte qué forma geométrica tiene la pelota, algunas personas dirán que es esférica y otras dirán que es esférica. Entonces ¿cuál es la correcta? ¿Y cuál es la diferencia entre una esfera y una pelota?

¡Importante!

Pelota es un cuerpo espacial. El interior de la pelota está lleno de algo. Por tanto, se puede encontrar el volumen de una esfera.

Ejemplos de pelota en la vida: una sandía y una pelota de acero.

Una bola y una esfera, como un círculo y una circunferencia, tienen centro, radio y diámetro.

¡Importante!

Esfera- superficie de la pelota. Puedes encontrar el área de superficie de una esfera.

Ejemplos de esferas en la vida: una pelota de voleibol y una pelota de tenis de mesa.

Cómo encontrar el área de una esfera

¡Recordar!

Fórmula para el área de una esfera: S=4 π R 2

Para encontrar el área de una esfera, debes recordar qué es una potencia de un número. Conociendo la definición de grado, podemos escribir la fórmula del área de una esfera de la siguiente manera.
S=4 π R 2 = 4π R · R;

Consolidemos los conocimientos adquiridos y Resolvamos el problema sobre el área de una esfera.

Zubareva 6to grado. Número 692(a)

La tarea:

• Calcula el área de una esfera si su radio es 1 = 3 · = = / (4 · 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 metro

¡Importante!

¡Estimados padres!

Al calcular finalmente el radio, no es necesario obligar al niño a contar la raíz cúbica. Los estudiantes de 6to grado aún no han tomado y no conocen la definición de raíces en matemáticas.

En sexto grado, al resolver un problema de este tipo, se utiliza el método de fuerza bruta.

Pregúntele al estudiante qué número, si se multiplica 3 veces por sí mismo, dará uno.