Cómo encontrar los vértices de una función cuadrática. Cómo encontrar el vértice de una parábola: tres fórmulas

La parábola está presente en el mundo de las matemáticas, la física y otras ciencias. Las parábolas se mueven a lo largo de la trayectoria. satélites artificiales que se esfuerzan por salir de los límites sistema solar, la pelota cuando se juega al voleibol también describe su trayectoria. Necesitas poder construir una parábola. Y para que esto sea fácil, necesitas saber cómo encontrar el vértice de una parábola.

La gráfica de la función y = ax 2 + bx + c, donde a es el primer coeficiente, b es el segundo coeficiente, c es el término libre, se llama parábola. Pero preste atención al hecho de que a ≠0.

Cada punto de la parábola tiene es simétrico a él excepto por un punto, y este punto se llama vértice. Para encontrar un punto que sea un vértice, debes decidir qué punto es en la gráfica. Un punto en una gráfica es una coordenada específica a lo largo de los ejes de abscisas y ordenadas. Se denota como (x; y). Averigüemos cómo encontrar los números preciados.

primera manera

Si quieres saber cómo calcular correctamente las coordenadas de un vértice, entonces sólo necesitas aprender la fórmula x0 = -b/2a. Sustituyendo el número resultante en la función, obtenemos y0.

Por ejemplo, y =x 2 –8 x +15;

encuentre el primer, segundo coeficiente y el término libre;

• a =1, b =-8, c =15;

sustituya los valores de ayb en la fórmula;

• x0=8/2=4;

calcular los valores de y;

• y0 = 16–32+15 = -1;

Esto significa que el vértice está en el punto (4;-1).

Las ramas de la parábola son simétricas con respecto al eje de simetría, que pasa por el vértice de la parábola. Conociendo las raíces de la ecuación, puedes calcular fácilmente la abscisa del vértice de la parábola. Supongamos que k y n son las raíces de una ecuación cuadrática. Entonces el punto x0 es equidistante de los puntos k y n, y se puede calcular mediante la fórmula: x0 = (k + n)/2.

Veamos el ejemplo y =x 2 –6x+5

1) Igualar a cero:

• x2 –6x+5=0.

2) Encuentre el discriminante usando la fórmula: D = b 2 –4 ac:

• D=36–20=16.

3) Encuentra las raíces de la ecuación usando la fórmula (-b±√ D)/2a:

• 1 - primera raíz;
• 5 es la segunda raíz.

4) Calcular:

• x0 =(5+1)/2=3

Segunda forma

Completar hasta un cuadrado completo es una excelente manera de saber dónde se encuentra el vértice. Con este método, puedes calcular los puntos x e y al mismo tiempo, sin tener que sustituir x en ejemplo inicial. Consideremos este método usando el ejemplo de función: y=x 2 +8 x +10.

1. Primero necesitas igualar la expresión con la variable a 0. Luego mueve c al lado derecho con signo opuesto, es decir, obtenemos la expresión x 2 + 8x = -10.

2. Ahora en el lado izquierdo necesitas hacer un cuadrado completo. Para hacer esto, calcule (b/2) 2 y aumente el resultado en ambos lados de la ecuación. En este caso, debes sustituir 8 en lugar de b.

Obtenemos 16. Ahora suma este número a ambos lados de la ecuación:

x2 + 8x +16= 6.

3. Se puede observar que la expresión resultante es un cuadrado perfecto. Se puede representar de la forma: (x + 4) 2 = 6.

4. Usa esta expresión para encontrar las coordenadas del vértice de una parábola. Para calcular x, es necesario equipararlo a 0. Obtenemos x = -4. La coordenada y es igual a la que está en el lado derecho, es decir, y =6. El vértice de la parábola de esta ecuación es (-4, 6).

Tercera vía

Si sabes qué es una derivada, entonces existe otra fórmula para ti. Independientemente de dónde apunten los “cuernos” de la parábola, su vértice es el punto extremo. Para este método, debe aplicar el siguiente algoritmo:

1. Encontrar la primera derivada usando la fórmula f"(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Igualar la derivada a 0. Como resultado se obtiene 0 = 2ax + b, desde aquí puedes encontrar lo que nos interesa.

Consideremos este método con más detalle.

Dada la función y = 4x²+16x-17;

• Anotamos la derivada y la igualamos a cero.

f"(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Lo más difícil a la hora de construir es encontrar correctamente los puntos de la función. Para una construcción detallada, debe calcular entre 5 y 7 puntos (esto es suficiente para un curso escolar). Para hacer esto, seleccione algún valor x y sustitúyalo en esta función. El resultado de los cálculos será el número de puntos a lo largo del eje de ordenadas. Después de esto, colocamos los puntos que obtuvimos en el plano de coordenadas. Como resultado, obtenemos una parábola.

Echemos un vistazo más de cerca a la cuestión de encontrar los puntos que deben marcarse. Por ejemplo, tomemos la función y =-x 2 +11 x -24 con el vértice en el punto (5,5;-6,25).

1) Construye una mesa

Encuentra las probabilidades correctamente.

Escribir cálculos intermedios en papel. Esto no sólo hará que sea más fácil encontrar la cima, sino que también te ayudará a encontrar tus errores.

Haz todo paso a paso. Sigue el algoritmo.

Tenga en cuenta que:

• Debe comprobar si su decisión es correcta.
• Necesitas calmarte. Resolver cualquier problema matemático requiere experiencia. Solo necesita trabajar en este tema y seguramente lo logrará.

Video

Este video te ayudará a aprender cómo encontrar el vértice de una parábola.

¿No obtuviste respuesta a tu pregunta? Sugerir un tema a los autores.

Nagaeva Svetlana Nikolaevna, profesora de matemáticas en el MAOU “Lyceum No. 1” en la ciudad de Berezniki.

Proyecto lección de álgebra en noveno grado(perfil humanitario).

“La huella más profunda la deja lo que una persona descubrió por sí misma” (D. Poya).

Tema de la lección:"Derivación de fórmulas para calcular las coordenadas del vértice de una parábola".

Objetivos de la lección: educativo :

Resultado Esperado:

- conciencia, aceptación y resolución del problema por parte de los estudiantes;

Formación de formas de obtener nuevos conocimientos mediante comparación y yuxtaposición de hechos, un método de lo particular a lo general;

Aprenda las fórmulas para encontrar las coordenadas del vértice y el eje de simetría de una parábola para funciones de la forma y = ax 2 +bx+c.

Tipo de lección: lección de puesta en escena tarea educativa. Métodos de enseñanza– elementos visuales e ilustrativos, verbales, de aprendizaje colaborativo, basados ​​en problemas, de la tecnología del pensamiento crítico.

Equipo: computadora, proyector multimedia, pantalla de demostración, diapositivas de presentación sobre el tema: “Fórmula para encontrar las coordenadas del vértice de una parábola”; hojas A3; marcadores de colores.

Tecnología- enfoque sistema-actividad.

Pasos de la lección:

Estado de ánimo psicológico (motivación).

Actualizar conocimiento de fondo(creando una situación de éxito).

Formulación del problema.

Formular el tema y propósito de la lección.

Solución al problema.

Análisis del avance de la solución del problema.

Aplicación de los resultados de la resolución de problemas en actividades posteriores.

Resumiendo la lección (el resumen a través de los “ojos” del alumno, el resumen a través de los “ojos” del profesor).

Tarea.

Durante las clases:

Estado de ánimo psicológico.

Tarea: Aprende a resolver un problema común y a trabajar en equipo (trabajar en grupos de 5 personas).

Chicos, a lo largo últimos cuatro En las lecciones hemos estado estudiando la función cuadrática, pero nuestro conocimiento aún no está completamente completo, por lo que continuamos estudiando la función cuadrática para aprender algo nuevo sobre esta función.

Motivar a los estudiantes a establecer de forma independiente el tema y el propósito de la lección.

La tabla se completa a medida que avanza la lección.

Actualización de los conocimientos y habilidades básicos de los estudiantes.Calentamiento. 1. Coloque el coeficiente más alto entre paréntesis: 5x 2 + 25x -5; hacha 2 + bx + c. 2. Seleccione el producto doble: ab; hacha; licenciado en Letras. 3.Cuadrado: b/2; c2/a; 2a/3b. 4.Presentar como suma algebraica: a – c; x –(-b/2a).

Explica cómo, conociendo el tipo de gráfica de la función.y =ƒ( X ) , construye gráficas de funciones:

A ) y =ƒ(X - a) , - usando traslación paralela por unidades hacia la derecha a lo largo del eje X;

b) y =ƒ(X) + b, - usando traslación paralela b unidades hacia arriba a lo largo del eje y;

V) y =ƒ(X- a) +b, ↔ en A unidades, ↕ por b unidades;

d) Cómo graficar una función y = (X - 2) 2 + 3 ? ¿Cuál es su horario?

Nombra el vértice de la parábola.
La gráfica es una parábola. y = X 2 con vértice en el punto (2; 3 ).

Da las coordenadas del vértice de la parábola: y=x - 4x + 5 ( problema). ¿Por qué es imposible determinar las coordenadas del vértice de una parábola por el tipo de función?(la función cuadrática tiene una forma diferente).

Actividades estudiantiles:

Construir estructuras del habla utilizando terminología funcional.

Discusión de respuestas. Comparan, comparan con funciones previamente estudiadas, seleccionan y escriben en la pizarra los conocimientos y habilidades que pueden necesitar para resolver el problema en la columna “YO SÉ”:

2.

3.

4.

En la columna “Quiero saber”: vértice, eje de simetría de una parábola
.

Los estudiantes pueden escribir funciones en las columnas “YO SÉ” y “QUIERO SABER” como en vista general y casos especiales. Planteamiento del problema educativo: encontrar las coordenadas del vértice de la parábola si la función cuadrática se da en forma general y = hacha + bx + C. Los estudiantes formulan y escriben el tema y el propósito de la lección en un cuaderno.(Derivando fórmulas para calcular las coordenadas del vértice de una parábola. Aprenda a encontrar las coordenadas del vértice de una parábola de una manera nueva, usando fórmulas).

Solución al problema.

Actividades estudiantiles: Al comparar conocimientos “antiguos” con conocimientos nuevos, se pide a los estudiantes que resalten un cuadrado completo. En ejemplos específicos
;
y recibir en consecuencia
;
. Encuentre las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría. Ellos entienden que han hecho frente a la tarea, porque trajo nueva caracteristica a una mirada familiar.

Los estudiantes identifican un cuadrado completo para la función.
; , compare el resultado obtenido, saque una conclusión basada en esta función. Encuentra las coordenadas del vértice y el eje de simetría.

¿Puedes nombrar el vértice y el eje de una parábola si la función se da en forma general?
¿Sin resaltar el cuadrado completo? ¿Cómo actuarás en este caso? ¿Y cómo aplicar tu experiencia previa para encontrar el vértice y el eje de una parábola?

Actividades estudiantiles:

A partir del conocimiento y la experiencia existentes, los estudiantes comienzan a comprender que necesitan ir más allá, de lo particular a lo general, y realizar demostraciones de forma general.

Aparecen nuevas dificultades. Aparece una solución en los grupos: . Análisis del avance de la solución del problema. Se escucha a un representante de cada grupo.

Comparar y analizar registros
Y
, en un cuaderno se anota una solución general al problema planteado: fórmulas para las coordenadas del vértice de una parábola
.

Los estudiantes concluyen: las coordenadas del vértice y el eje de la parábola para la función.
se puede encontrar de forma racional.

Aplicación de los resultados de la resolución del problema en actividades posteriores.

Actividades estudiantiles:

Resolver problemas del libro de texto No. 121; 123. Encuentra las coordenadas del vértice de la parábola de una nueva forma racional. Escribe la ecuación de la recta, que es el eje de simetría de la parábola.

Resumiendo (reflexión) actividades educacionales en la lección).

Volvamos a la tabla y completemos la columna "APRENDIDO".

Resumen de la lección a través de los ojos de los alumnos:

El resultado “a través de los ojos de un maestro”:

Se ha logrado el objetivo de la lección.

Los estudiantes se dieron cuenta, aceptaron y resolvieron el problema.

En el proceso de resolución de un problema educativo, los estudiantes no solo adquirieron nuevos conocimientos: la dependencia de los coeficientes de un trinomio cuadrático y las coordenadas del vértice de una parábola, la ecuación del eje de simetría, sino lo más importante en el La lección es la formación de formas generalizadas de adquirir nuevos conocimientos, analizar de forma independiente el problema y encontrar lo desconocido.

Tarea: punto 7 N° 122 ;127(b);128.

PD La lección presentada se llevó a cabo el 15 de octubre de 2014 como parte de un seminario municipal para profesores de matemáticas sobre el tema "Formación del UDL en las lecciones de matemáticas".

En la etapa “Aplicar los resultados...”, al resolver problemas del libro de texto, algunos estudiantes comenzaron a comprender el valor de su “descubrimiento”: más manera simple encontrando las coordenadas del vértice y la ecuación del eje de simetría, mientras que otros no ocultaron su alegría, porque no había necesidad de “sufrir” con aislar un cuadrado completo. ¡Pero lo más importante es que lo hicimos todo nosotros mismos!

Una parábola es la gráfica de una función cuadrática. Esta línea tiene un significado físico significativo. Para que sea más fácil encontrar el vértice de la parábola, debes dibujarlo. Entonces podrás ver fácilmente su parte superior en el gráfico. Pero para construir una parábola, necesitas saber cómo encontrar los puntos de la parábola y cómo encontrar las coordenadas de la parábola.

Encontrar los puntos y el vértice de la parábola.

En representación general, la función cuadrática tiene la siguiente forma: y = ax 2 + bx + c. La gráfica de esta ecuación es una parábola. Cuando el valor es a › 0, sus ramas se dirigen hacia arriba, y cuando el valor es a ‹ 0, se dirigen hacia abajo. Para construir una parábola en una gráfica, necesitas conocer tres puntos si corre a lo largo del eje de ordenadas. En caso contrario se deben conocer cuatro puntos constructivos.

Para encontrar la abscisa (x), debes tomar el coeficiente de (x) de la fórmula polinómica dada, luego dividirlo por el coeficiente doble de (x 2) y luego multiplicarlo por el número – 1.

Para encontrar la ordenada, necesitas encontrar el discriminante, luego multiplicarlo por – 1 y luego dividirlo por el coeficiente en (x 2), después de multiplicarlo por 4.

A continuación, sustituyendo valores numéricos, se calcula el vértice de la parábola. Para todos los cálculos, es recomendable utilizar una calculadora de ingeniería y, al dibujar gráficos y parábolas, utilizar una regla y un lumógrafo, esto aumentará significativamente la precisión de sus cálculos.

Veamos el siguiente ejemplo para ayudarnos a entender cómo encontrar el vértice de una parábola.

x2-9=0. En este caso, las coordenadas del vértice se calculan de la siguiente manera: punto 1 (-0/(2*1); punto 2 -(0^2-4*1*(-9))/(4*1)) . Así, las coordenadas del vértice son los valores (0; 9).

Encontrar la abscisa del vértice

Una vez que sepas cómo encontrar una parábola y puedas calcular sus puntos de intersección con el eje de coordenadas (x), podrás calcular fácilmente la abscisa del vértice.

Sean (x 1) y (x 2) las raíces de la parábola. Las raíces de una parábola son los puntos de su intersección con el eje x. Estos valores se ponen a cero. ecuación cuadrática de la siguiente forma: ax 2 + bx + c.

Además |x 2 | > |x 1 |, lo que significa que el vértice de la parábola se encuentra en el medio entre ellos. Así, se puede encontrar mediante a la siguiente expresión: x 0 = ½(|x 2 | - |x 1 |).

Encontrar el área de la figura.

Para encontrar el área de una figura en el plano coordenado, necesitas conocer la integral. Y para aplicarlo basta con conocer ciertos algoritmos. Para encontrar el área delimitada por parábolas, es necesario representarla en un sistema de coordenadas cartesiano.

Primero, de acuerdo con el método descrito anteriormente, se determina la coordenada del vértice del eje (x), luego el eje (y), después de lo cual se encuentra el vértice de la parábola. Ahora necesitamos determinar los límites de la integración. Como regla general, se indican en el planteamiento del problema utilizando las variables (a) y (b). Estos valores se deben colocar en las partes superior e inferior de la integral, respectivamente. A continuación, debes ingresar el valor de la función en forma general y multiplicarlo por (dx). En el caso de una parábola: (x 2)dx.

Luego necesitas calcular el valor de la primitiva de la función en forma general. Para hacer esto, debes usar una tabla de valores especial. Sustituyendo allí los límites de integración, se encuentra la diferencia. Esta diferencia será el área.

Como ejemplo, considere el sistema de ecuaciones: y = x 2 +1 y x + y = 3.

Se encuentran las abscisas de los puntos de intersección: x 1 = -2 y x 2 = 1.

Suponemos que y 2 = 3 e y 1 = x 2 + 1, sustituimos los valores en la fórmula anterior y obtenemos un valor igual a 4,5.

Ahora hemos aprendido a encontrar una parábola y también, en base a estos datos, a calcular el área de la figura que limita.

La gráfica de una función cuadrática se llama parábola. Esta línea tiene un significado físico significativo. Algunos cuerpos celestes se mueven según parábolas. Una antena en forma de parábola enfoca los rayos que corren paralelos al eje de simetría de la parábola. Los cuerpos lanzados en ángulo hacia arriba alcanzan el punto superior y caen, describiendo también una parábola. Al parecer, siempre es útil conocer las coordenadas del vértice de este movimiento.

Instrucciones

1. La función cuadrática en su forma general se escribe mediante la ecuación: y = ax? + bx + c. La gráfica de esta ecuación es una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba (para a > 0) o hacia abajo (para a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратное уравнение, получите y0: y0 = a(-b/2a)? – b?/2a + c = – b?/4a + c.

2. Las personas familiarizadas con la representación derivada pueden detectar fácilmente el vértice de una parábola. Independientemente de la ubicación de las ramas de la parábola, su cima es el punto extremo (mínimo si las ramas se dirigen hacia arriba, o máximo cuando las ramas se dirigen hacia abajo). Para encontrar los supuestos puntos extremos de cualquier función, debes calcular su primera derivada e igualarla a cero. En general, la derivada de una función cuadrática es igual a f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Al igualar a cero, se obtiene 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/ 2a.

3. Una parábola es una recta simétrica. El eje de simetría pasa por el vértice de la parábola. Conociendo los puntos de intersección de la parábola con el eje de coordenadas X, puedes encontrar fácilmente la abscisa del vértice x0. Sean x1 y x2 las raíces de la parábola (los llamados puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas, porque estos valores convierten la ecuación cuadrática ax? + bx + c en cero). Al mismo tiempo, sea |x2| > |x1|, entonces el vértice de la parábola se encuentra en el medio entre ellos y se puede encontrar a partir de la siguiente expresión: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Una parábola es una gráfica de una función cuadrática; en general, la ecuación de una parábola se escribe y=aх^2+bх+с, donde a?0. Se trata de una curva universal de segundo orden que describe muchos fenómenos de la vida, por ejemplo, el movimiento de un cuerpo lanzado y luego cayendo, la forma del arco iris y, por tanto, el conocimiento para detectarlo. parábola Podría resultar útil en la vida real.

Necesitará

• – fórmula de ecuación cuadrática;
• – una hoja de papel con una cuadrícula de coordenadas;
• - borrador de lápiz;
• – ordenador y programa Excel.

Instrucciones

1. Primero, localiza el vértice de la parábola. Para encontrar la abscisa de este punto, toma el exponente antes de x, divídelo por el doble del exponente antes de x^2 y multiplícalo por -1 (fórmula x=-b/2a). Encuentra la ordenada sustituyendo el valor resultante en la ecuación o usando la fórmula y=(b^2-4ac)/4a. Has obtenido las coordenadas del vértice de la parábola.

2. El vértice de una parábola también se puede detectar mediante otro método. Debido a que el vértice es el extremo de la función, para calcularlo se calcula la primera derivada y se iguala a cero. En forma general obtendrás la fórmula f(x)’ = (ax? + bx + c)’ = 2ax + b. Y al igualarlo a cero, llegarás a la misma fórmula: x = -b/2a.

3. Descubre si las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba o hacia abajo. Para hacer esto, mire el indicador frente a x^2, es decir, a. Si a>0, entonces las ramas se dirigen hacia arriba, si a

4. Construya el eje de simetría de la parábola; intersecta el vértice de la parábola y es paralelo al eje y. Todos los puntos de la parábola estarán equidistantes de ella, por lo que es posible construir solo una parte y luego representarla simétricamente con respecto al eje de la parábola.

5. Dibuja una línea de una parábola. Para hacer esto, encuentre varios puntos sustituyendo diferentes significados x en las ecuaciones y resolviendo la igualdad. Es conveniente detectar la intersección con los ejes, para ello sustituir x=0 e y=0 en la igualdad. Habiendo levantado un lado, reflejelo simétricamente con respecto al eje.

6. Permitido construir parábola utilizando Excel. Para hacer esto, abra el nuevo documento y seleccione dos columnas en él, xey=f(x). En la primera columna, escriba los valores de x en el segmento seleccionado y en la segunda columna, escriba la fórmula, digamos, =2B3*B3-4B3+1 o =2B3^2-4B3+1. Para no escribir esta fórmula cada vez, “estírela” a cada columna haciendo clic en la pequeña cruz en la esquina inferior derecha y arrastrándola hacia abajo.

7. Una vez que tengas la tabla, haz clic en el menú “Insertar” – “Gráfico”. Seleccione el diagrama de dispersión, haga clic en Siguiente. En la ventana que aparece, agregue una fila haciendo clic en el botón "Agregar". Para seleccionar las celdas requeridas, haga clic uno por uno en los botones encerrados en un óvalo rojo a continuación, luego seleccione sus columnas con valores. Al hacer clic en el botón "Listo", evalúe el resultado: el acabado parábola .

Vídeo sobre el tema.

Cuando buscas una función cuadrática cuya gráfica es una parábola, en uno de los puntos necesitas encontrar coordenadas picos parábolas. ¿Cómo hacer esto analíticamente usando la ecuación dada para la parábola?

Instrucciones

1. Una función cuadrática es una función de la forma y=ax^2+bx+c, donde a es el exponente principal (estrictamente debe ser distinto de cero), b es el exponente más bajo, c es un término libre. Esta función le da a su gráfica una parábola, cuyas ramas se dirigen hacia arriba (si a>0) o hacia abajo (si a<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Encontremos la coordenada x0 picos parábolas. Se encuentra mediante la fórmulax0=-b/a.

3. y0=y(x0).Para detectar la coordenada y0 picos parábolas, debe sustituir el valor detectado x0 en la función en lugar de x. Calcula a qué es igual y0.

4. Coordenadas picos Se han descubierto parábolas. Escríbelas como las coordenadas de un solo punto (x0,y0).

5. Al construir una parábola, recuerde que es simétrica con respecto al eje de simetría de la parábola, que pasa verticalmente por el vértice de la parábola, porque la función cuadrática es par. En consecuencia, basta con construir solo una rama de la parábola a partir de puntos y completar la otra simétricamente.

Vídeo sobre el tema.

Para funciones (o más bien sus gráficas), se utiliza la representación del valor más grande, incluido el máximo local. La idea de “vértice” probablemente esté asociada con formas geométricas. Los puntos máximos de funciones suaves (que tienen derivada) son fáciles de determinar utilizando los ceros de la primera derivada.

Instrucciones

1. Para puntos en los que la función no es diferenciable pero sí constante, el valor más grande del intervalo puede tener la forma de una punta (por ejemplo, y=-|x|). En tales puntos de la gráfica. funciones es posible trazar tantas tangentes como se desee y no existe fácilmente una derivada para ello. Sami funciones Los de este tipo suelen especificarse en segmentos. Puntos en los que la derivada funciones igual a cero o no existe se llaman escépticos.

2. Resulta que para encontrar los puntos máximos. funciones y=f(x) es necesario: - detectar los puntos escépticos; - para preferir el punto máximo, es necesario detectar el signo de la derivada en las proximidades del punto escéptico. Si al pasar por un punto el signo alterna de “+” a “-”, entonces se produce un máximo.

3. Ejemplo. Encuentra los valores más grandes funciones(ver Fig. 1).y=x+3 para x?-1 y y=((x^2)^(1/3)) –x para x>-1.

4. Rheining. y=x+3 para x?-1 y y=((x^2)^(1/3)) –x para x>-1. La función se especifica deliberadamente en segmentos, porque en este caso el objetivo es mostrar todo en un ejemplo. Es fácil comprobar que en x=-1 la función permanece constante. y'=1 en x?-1 y y'=(2/3)(x^(-1/3))-1=(2- 3(x ^(1/3))/(x^(1/3)) para x>-1. y'=0 para x=8/27. y' no existe para x=-1 y x= 0. En este caso y'>0 si x

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Una parábola es una de las curvas de segundo orden; sus puntos se elevan de acuerdo con una ecuación cuadrática. Lo principal al construir este oblicuo es detectar arriba parábolas. Esto se puede hacer de varias maneras.

Instrucciones

1. Para encontrar las coordenadas del vértice. parábolas, utilice la siguiente fórmula: x = -b/2a, donde a es el indicador antes de x al cuadrado y b es el indicador antes de x. Ingrese sus valores y calcule su valor. Después de esto, sustituye el valor resultante por x en la ecuación y calcula la ordenada del vértice. Digamos que si te dan la ecuación y=2x^2-4x+5, entonces encuentra la abscisa de la siguiente manera: x=-(-4)/2*2=1. Sustituyendo x=1 en la ecuación, calcula el valor de y para el vértice parábolas: y=2*1^2-4*1+5=3. entonces la cima parábolas tiene coordenadas (1;3).

2. El valor de la ordenada. parábolas se puede detectar sin calcular la abscisa de antemano. Para hacer esto, use la fórmula y=-b^2/4ac+c.

3. Si está familiarizado con la representación derivada, descubra arriba parábolas usando derivadas, aprovechando la propiedad adicional de cada función: la primera derivada de una función, igual a cero, indica los puntos extremos. porque la cima parábolas, independientemente de si sus ramas están dirigidas hacia arriba o hacia abajo, es un punto extremo, calcula la derivada de tu función. En forma general se verá como f(x)=2ax+b. Igualarlo a cero y obtener las coordenadas del vértice. parábolas, correspondiente a su función.

4. Intenta descubrir arriba parábolas, aprovechando su propiedad como la simetría. Para hacer esto, encuentre los puntos de intersección. parábolas con el eje x, igualando la función a cero (sustituyendo y = 0). Cuando resuelves una ecuación cuadrática, encontrarás x1 y x2. Debido a que la parábola es simétrica con respecto a la directriz que pasa por arriba, estos puntos estarán equidistantes de la abscisa del vértice. Para detectarlo dividimos la distancia entre los puntos por la mitad: x = (Ix1-x2I)/2.

5. Si alguno de los exponentes es cero (además de a), calcula las coordenadas del vértice. parábolas utilizando fórmulas simplificadas. Digamos que si b = 0, es decir, la ecuación tiene la forma y = ax^2 + c, entonces el vértice estará en el eje oy y sus coordenadas serán iguales a (0; c). Si no sólo el exponente b=0, sino también c=0, entonces el vértice parábolas se encuentra en el origen, punto (0;0).

Vídeo sobre el tema.

Partiendo de un punto, las rectas forman un ángulo cuyo punto común es el vértice. En la sección de álgebra teórica, a menudo surgen problemas cuando es necesario encontrar las coordenadas de este picos, para luego determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice.

Instrucciones

1. Antes de comenzar el proceso de búsqueda de coordenadas. picos, decidir sobre los datos iniciales. Aceptamos que el vértice deseado pertenece al triángulo ABC, en el que se conocen las coordenadas de los otros 2 vértices, así como valores numéricos esquinas, igual a “e” y “k” en el lado AB.

2. Combinar nuevo sistema coordenadas en uno de los lados del triángulo AB de tal manera que el prefacio del sistema de coordenadas coincida con el punto A, cuyas coordenadas conoce. El segundo vértice B se ubicará en el eje OX y usted también conoce sus coordenadas. Determine la longitud del lado AB a lo largo del eje OX según las coordenadas y tómelo igual a "m".

3. Baje la perpendicular de lo desconocido. picos C al eje OX y al lado del triángulo AB, respectivamente. La altura resultante “y” determina el valor de una de las coordenadas picos C a lo largo del eje OY. Supongamos que la altura “y” divide el lado AB en dos segmentos iguales a “x” y “m – x”.

4. Porque sabes el significado de todos esquinas triángulo, lo que significa que también se conocen los valores de sus tangentes. Tome los valores tangentes para esquinas, adyacente al lado del triángulo AB, igual a tan(e) y tan(k).

5. Ingrese las ecuaciones para 2 líneas que pasan por los lados AC y BC respectivamente: y = tan(e) * x e y = tan(k) * (m – x). Luego encuentre la intersección de estas líneas aplicando las ecuaciones de líneas transformadas: tan(e) = y/x y tan(k) = y/(m – x).

6. Si supones que tan(e)/tan(k) es igual a (y/x) /(y/ (m – x)) o más tarde abrevia “y” – (m – x) / x, terminarás con el valores deseados coordenadas iguales a x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​e y = x * tan(e).

7. Valores sustitutos esquinas(e) y (k), así como el valor detectado del lado AB = m en las ecuaciones x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​​​e y = x * tan(e ).

8. Convierta el nuevo sistema de coordenadas al sistema de coordenadas inicial, ya que se ha establecido una correspondencia uno a uno entre ellos, y obtenga las coordenadas deseadas. picos triángulo ABC.

Vídeo sobre el tema.

Vídeo sobre el tema.

En matemáticas hay todo un ciclo de identidades, entre las que lugar significativo ocupan ecuaciones cuadráticas. Estas igualdades se pueden resolver tanto por separado como trazando gráficas a lo largo del eje de coordenadas. las ecuaciones son los puntos de intersección de la parábola y la recta oh.

forma general

En general tiene la siguiente estructura:

Tanto las variables individuales como las expresiones completas pueden considerarse como "X". Por ejemplo:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

En el caso de que el papel de x sea una expresión, es necesario representarlo como una variable y encontrar, luego igualar el polinomio con ellos y encontrar x.

Entonces, si (x+7)=a, entonces la ecuación toma la forma a 2 +3a+2=0.

D=3 2 -4*1*2=1;

y 1 =(-3-1)/2*1=-2;

y 2 =(-3+1)/2*1=-1.

Con raíces iguales a -2 y -1, obtenemos lo siguiente:

x+7=-2 y x+7=-1;

Las raíces son el valor de la coordenada x del punto donde la parábola intersecta el eje x. En principio, su valor no es tan importante si la tarea es sólo encontrar el vértice de la parábola. Pero para trazar una gráfica, las raíces juegan un papel importante.

Volvamos a la ecuación inicial. Para responder a la pregunta de cómo encontrar el vértice de una parábola, necesitas conocer la siguiente fórmula:

donde x VP es el valor de la coordenada x del punto deseado.

Pero, ¿cómo encontrar el vértice de una parábola sin el valor de la coordenada y? Sustituimos el valor x resultante en la ecuación y encontramos la variable deseada. Por ejemplo, resolvamos la siguiente ecuación:

Encuentra el valor de la coordenada x para el vértice de la parábola:

x VP =-b/2a=-3/2*1;

Encuentra el valor de la coordenada y para el vértice de la parábola:

y=2x 2 +4x-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

Como resultado, encontramos que el vértice de la parábola está ubicado en el punto con coordenadas (-1,5; -7,25).

Una parábola es una conexión de puntos que tiene una vertical. Por este motivo, su construcción en sí no resulta especialmente difícil. Lo más difícil es realizar cálculos correctos de las coordenadas de los puntos.

Vale la pena prestar especial atención a los coeficientes de la ecuación cuadrática.

El coeficiente a afecta la dirección de la parábola. En el caso en que tenga significado negativo, las ramas se dirigirán hacia abajo y con un signo positivo hacia arriba.

El coeficiente b indica qué tan ancho será el brazo de la parábola. Cuanto mayor sea su valor, más ancho será.

El coeficiente c indica el desplazamiento de la parábola a lo largo del eje op con respecto al origen.

Ya hemos aprendido a encontrar el vértice de una parábola y, para encontrar las raíces, debemos guiarnos por las siguientes fórmulas:

donde D es el discriminante necesario para encontrar las raíces de la ecuación.

x 1 =(-b+V - D)/2a

x 2 =(-b-V - D)/2a

Los valores de x resultantes corresponderán a valores de y cero, porque son los puntos de intersección con el eje OX.

Después de esto, marcamos los valores resultantes en la parte superior de la parábola. Para obtener un gráfico más detallado, necesita encontrar algunos puntos más. Para hacer esto, elija cualquier valor de x permitido por el dominio de definición y sustitúyalo en la ecuación de la función. El resultado de los cálculos será la coordenada del punto a lo largo del eje del amplificador operacional.

Para simplificar el proceso de representación gráfica, puedes dibujar una línea vertical que pase por la parte superior de la parábola y sea perpendicular al eje OX. Esto será con la ayuda del cual, teniendo un punto, podrás designar un segundo, equidistante de la línea trazada.