26.11.2019

Cómo se resuelven las desigualdades logarítmicas. Desigualdades logarítmicas con base variable. ¿Qué es ODZ? ODZ para desigualdades logarítmicas

Entre toda la variedad de desigualdades logarítmicas, las desigualdades con base variable se estudian por separado. Se resuelven mediante una fórmula especial que, por alguna razón, rara vez se enseña en la escuela:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

En lugar de la casilla de verificación “∨”, puedes poner cualquier signo de desigualdad: más o menos. Lo principal es que en ambas desigualdades los signos son los mismos.

De esta manera nos deshacemos de los logaritmos y reducimos el problema a una desigualdad racional. Esto último es mucho más fácil de resolver, pero al descartar logaritmos, pueden aparecer raíces adicionales. Para cortarlos, basta con encontrar el rango de valores aceptables. Si ha olvidado la ODZ de un logaritmo, le recomiendo repetirla; consulte "¿Qué es un logaritmo?".

Todo lo relacionado con el rango de valores aceptables debe anotarse y resolverse por separado:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Estas cuatro desigualdades constituyen un sistema y deben satisfacerse simultáneamente. Cuando se ha encontrado el rango de valores aceptables, solo queda cruzarlo con la solución de la desigualdad racional, y la respuesta está lista.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

Primero, escribamos la ODZ del logaritmo:

Las dos primeras desigualdades se satisfacen automáticamente, pero la última deberá escribirse. Como el cuadrado de un número es cero si y sólo si el número en sí es cero, tenemos:

x2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Resulta que la ODZ del logaritmo son todos los números excepto cero: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Ahora resolvemos la desigualdad principal:

Hacemos la transición de una desigualdad logarítmica a una racional. La desigualdad original tiene un signo "menor que", lo que significa que la desigualdad resultante también debe tener un signo "menor que". Tenemos:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Los ceros de esta expresión son: x = 3; x = −3; x = 0. Además, x = 0 es raíz de la segunda multiplicidad, lo que significa que al pasar por ella el signo de la función no cambia. Tenemos:

Obtenemos x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Este conjunto está completamente contenido en la ODZ del logaritmo, lo que significa que ésta es la respuesta.

Convertir desigualdades logarítmicas

A menudo, la desigualdad original es diferente de la anterior. Esto se puede corregir fácilmente utilizando las reglas estándar para trabajar con logaritmos; consulte "Propiedades básicas de los logaritmos". A saber:

Cualquier número se puede representar como un logaritmo con una base determinada;
La suma y diferencia de logaritmos con las mismas bases se pueden sustituir por un logaritmo.

Por otra parte, me gustaría recordarles el rango de valores aceptables. Como puede haber varios logaritmos en la desigualdad original, se requiere encontrar el VA de cada uno de ellos. De este modo, esquema general Las soluciones a desigualdades logarítmicas son las siguientes:

Encuentre el VA de cada logaritmo incluido en la desigualdad;
Reducir la desigualdad a una estándar usando las fórmulas para sumar y restar logaritmos;
Resuelva la desigualdad resultante usando el esquema dado arriba.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

Encontremos el dominio de definición (DO) del primer logaritmo:

Resolvemos usando el método del intervalo. Encontrar los ceros del numerador:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Entonces - los ceros del denominador:

x - 1 = 0;
x = 1.

Marcamos ceros y signos en la flecha de coordenadas:

Obtenemos x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). El segundo logaritmo tendrá el mismo VA. Si no lo crees, puedes comprobarlo. Ahora transformamos el segundo logaritmo para que la base sea dos:

Como puedes ver, los tres en la base y delante del logaritmo se han reducido. Obtuvimos dos logaritmos con la misma base. Sumémoslos:

iniciar sesión 2 (x − 1) 2< 2;
iniciar sesión 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Recibimos el estándar desigualdad logarítmica. Nos deshacemos de los logaritmos usando la fórmula. Dado que la desigualdad original contiene un signo “menor que”, la expresión racional resultante también debe ser menos que cero. Tenemos:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2 x - 3< 0;
(x-3)(x+1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Tenemos dos conjuntos:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
Respuesta del candidato: x ∈ (−1; 3).

Queda por cruzar estos conjuntos; obtenemos la respuesta real:

Estamos interesados en la intersección de conjuntos, por lo que seleccionamos intervalos que están sombreados en ambas flechas. Obtenemos x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - todos los puntos están perforados.

Con ellos están los logaritmos internos.

Ejemplos:

$\log_3⁡x≥\log_3⁡9$
$\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}$
$\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2$
$\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))$

Cómo resolver desigualdades logarítmicas:

Deberíamos esforzarnos por reducir cualquier desigualdad logarítmica a la forma $\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))$ (el símbolo $˅$ significa cualquiera de ). Este tipo le permite deshacerse de los logaritmos y sus bases, haciendo la transición a la desigualdad de expresiones bajo logaritmos, es decir, a la forma $f(x) ˅ g(x)$.

Pero a la hora de realizar esta transición hay una sutileza muy importante:
$-$ si es un número y es mayor que 1, el signo de desigualdad permanece igual durante la transición,
$-$ si la base es un número mayor que 0 pero menor que 1 (se encuentra entre cero y uno), entonces el signo de desigualdad debería cambiar al opuesto, es decir,

Ejemplos:

$\log_2⁡((8-x))<1$
ODZ: $8-x>0$
$-x>-8$
$X<8$

Solución:
$\log$$_2$ $(8-x)<\log$$_2$ ${2}$
$8-x$$<$ $2$
$8-2\(x>6$
Respuesta: $(6;8)$

$\log$$_(0.5⁡)$ $(2x-4)$≥$\log$$_(0.5)$ ⁡$((x+ 1))$
ODZ: $\begin(casos)2x-4>0\\x+1 > 0\end(casos)$
$\begin(casos)2x>4\\x > -1\end(casos)$ $\Leftrightarrow$ $\begin(casos)x>2\\x > -1\end(casos) $ $\Leftrightarrow$ $x\in(2;\infty)$

Solución:
$2x-4$$≤$ $x+1$
$2x-x≤4+1$
$x≤5$
Respuesta: $(2;5]$

¡Muy importante! En cualquier desigualdad, la transición de la forma $\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))$ a comparar expresiones bajo logaritmos sólo se puede realizar si:

Ejemplo . Resolver desigualdad: $\log$$≤-1$

Solución:

$\registro$ $_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))$$≤-1$	Escribamos el ODZ.
ODZ: $\frac(3x-2)(2x-3)$ $>0$
$⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)$$≥$ $0$	Abrimos los corchetes y traemos .
$⁡\frac(-3x+7)(2x-3)$ $≥$ $0$	Multiplicamos la desigualdad por $-1$, sin olvidar invertir el signo de comparación.
$⁡\frac(3x-7)(2x-3)$ $≤$ $0$
$⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))$$≤$ $0$	Construyamos una recta numérica y marquemos los puntos $\frac(7)(3)$ y $\frac(3)(2)$ en ella. Tenga en cuenta que el punto se elimina del denominador, a pesar de que la desigualdad no es estricta. El caso es que este punto no será solución, ya que al sustituirlo en la desigualdad nos llevará a la división por cero.
$x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$	Ahora trazamos la ODZ en el mismo eje numérico y anotamos en respuesta el intervalo que cae en la ODZ.
	Anotamos la respuesta final.

Respuesta: $x∈($$\frac(3)(2)$ $;$$\frac(7)(3)]$

Ejemplo . Resuelve la desigualdad: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$

Solución:

$\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Escribamos el ODZ.
ODZ: $x>0$	Vayamos a la solución.
Solución: $\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0$	Aquí tenemos una típica desigualdad logarítmica cuadrada. Vamos a hacerlo.
$t=\log_3⁡x$ $t^2-t-2>0$	Expandimos el lado izquierdo de la desigualdad a .
$D=1+8=9$ $t_1= \frac(1+3)(2)=2$ $t_2=\frac(1-3)(2)=-1$ $(t+1)(t-2)>0$
	Ahora necesitamos volver a la variable original: x. Para ello, vayamos a , que tiene la misma solución, y hagamos la sustitución inversa.
$\left[ \begin(reunidos) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.$	Transformar $2=\log_3⁡9$, $-1=\log_3⁡\frac(1)(3)$.
$\left[ \begin(reunido) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Pasemos a comparar argumentos. Las bases de los logaritmos son mayores que $1$, por lo que el signo de las desigualdades no cambia.
$\left[ \begin(reunidos) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.$	Combinemos la solución a la desigualdad y la ODZ en una sola figura.
	Anotemos la respuesta.

Respuesta: $(0; \frac(1)(3))∪(9;∞)$

Una desigualdad se llama logarítmica si contiene una función logarítmica.

Los métodos para resolver desigualdades logarítmicas no son diferentes, excepto por dos cosas.

En primer lugar, al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, se debe seguir el signo de la desigualdad resultante. Obedece la siguiente regla.

Si la base de la función logarítmica es mayor que $1$, entonces al pasar de la desigualdad logarítmica a la desigualdad de funciones sublogarítmicas, el signo de la desigualdad se conserva, pero si es menor que $1$, entonces cambia al opuesto .

En segundo lugar, la solución a cualquier desigualdad es un intervalo y, por tanto, al final de resolver la desigualdad de funciones sublogarítmicas es necesario crear un sistema de dos desigualdades: la primera desigualdad de este sistema será la desigualdad de funciones sublogarítmicas, y el segundo será el intervalo del dominio de definición de las funciones logarítmicas incluidas en la desigualdad logarítmica.

Práctica.

Resolvamos las desigualdades:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \en (-3;+\infty)$

La base del logaritmo es $2>1$, por lo que el signo no cambia. Usando la definición de logaritmo, obtenemos:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \en )

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\(\registro\) \(_(\frac(1)(3))⁡(\frac(3x-2)(2x-3))\)\(≤-1\)	Escribamos el ODZ.
ODZ: \(\frac(3x-2)(2x-3)\) \(>0\)
\(⁡\frac(3x-2-3(2x-3))(2x-3)\)\(≥\) \(0\)	Abrimos los corchetes y traemos .
\(⁡\frac(-3x+7)(2x-3)\) \(≥\) \(0\)	Multiplicamos la desigualdad por \(-1\), sin olvidar invertir el signo de comparación.
\(⁡\frac(3x-7)(2x-3)\) \(≤\) \(0\)
\(⁡\frac(3(x-\frac(7)(3)))(2(x-\frac(3)(2)))\)\(≤\) \(0\)	Construyamos una recta numérica y marquemos los puntos \(\frac(7)(3)\) y \(\frac(3)(2)\) en ella. Tenga en cuenta que el punto se elimina del denominador, a pesar de que la desigualdad no es estricta. El caso es que este punto no será solución, ya que al sustituirlo en la desigualdad nos llevará a la división por cero.
\(x∈(\)\(\frac(3)(2)\) \(;\)\(\frac(7)(3)]\)	Ahora trazamos la ODZ en el mismo eje numérico y anotamos en respuesta el intervalo que cae en la ODZ.
	Anotamos la respuesta final.

\(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Escribamos el ODZ.
ODZ: \(x>0\)	Vayamos a la solución.
Solución: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)	Aquí tenemos una típica desigualdad logarítmica cuadrada. Vamos a hacerlo.
\(t=\log_3⁡x\) \(t^2-t-2>0\)	Expandimos el lado izquierdo de la desigualdad a .
\(D=1+8=9\) \(t_1= \frac(1+3)(2)=2\) \(t_2=\frac(1-3)(2)=-1\) \((t+1)(t-2)>0\)
	Ahora necesitamos volver a la variable original: x. Para ello, vayamos a , que tiene la misma solución, y hagamos la sustitución inversa.
\(\left[ \begin(reunidos) t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2\\\log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)	Transformar \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac(1)(3)\).
\(\left[ \begin(reunido) \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Pasemos a comparar argumentos. Las bases de los logaritmos son mayores que \(1\), por lo que el signo de las desigualdades no cambia.
\(\left[ \begin(reunidos) x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)	Combinemos la solución a la desigualdad y la ODZ en una sola figura.
	Anotemos la respuesta.

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