Cómo extraer la raíz cuadrada. Extraer la raíz cuadrada de un número de varios dígitos

Al resolver diversos problemas de un curso de matemáticas y física, los alumnos y estudiantes a menudo se enfrentan a la necesidad de extraer raíces de segundo, tercer o enésimo grado. Por supuesto, en el siglo. tecnologías de la información No será difícil resolver este problema usando una calculadora. Sin embargo, surgen situaciones en las que es imposible utilizar el asistente electrónico.

Por ejemplo, muchos exámenes no te permiten traer aparatos electrónicos. Además, es posible que no tengas una calculadora a mano. En tales casos, resulta útil conocer al menos algunos métodos para calcular los radicales manualmente.

Una de las formas más sencillas de calcular raíces es usando una mesa especial. ¿Qué es y cómo utilizarlo correctamente?

Usando la tabla, puedes encontrar el cuadrado de cualquier número del 10 al 99. Las filas de la tabla contienen los valores de las decenas y las columnas contienen los valores de las unidades. La celda en la intersección de una fila y una columna contiene el cuadrado de un número de dos dígitos. Para calcular el cuadrado de 63, necesitas encontrar una fila con un valor de 6 y una columna con un valor de 3. En la intersección encontraremos una celda con el número 3969.

Dado que extraer la raíz es la operación inversa de elevar al cuadrado, para realizar esta acción debes hacer lo contrario: primero busca la celda con el número cuyo radical quieres calcular, luego usa los valores de la columna y fila para determinar la respuesta. . Como ejemplo, considere el cálculo. raíz cuadrada 169.

Encontramos una celda con este número en la tabla, horizontalmente determinamos decenas - 1, verticalmente encontramos unidades - 3. Respuesta: √169 = 13.

De manera similar, puedes calcular raíces cúbicas y enésimas usando las tablas apropiadas.

La ventaja del método es su simplicidad y la ausencia de cálculos adicionales. Las desventajas son obvias: el método sólo se puede utilizar para un rango limitado de números (el número para el cual se encuentra la raíz debe estar en el rango de 100 a 9801). Además, no funcionará si el número indicado no está en la tabla.

factorización prima

Si la tabla de cuadrados no está a mano o resultó imposible encontrar la raíz con su ayuda, puedes intentarlo factorizar el número bajo la raíz en factores primos. Los factores primos son aquellos que pueden ser completamente (sin resto) divisibles sólo por sí mismos o por uno. Los ejemplos podrían ser 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

Veamos cómo calcular la raíz usando √576 como ejemplo. Dividámoslo en factores primos. Obtenemos el siguiente resultado: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Usando la propiedad básica de las raíces √a² = a, nos desharemos de las raíces y los cuadrados y luego calcularemos la respuesta: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​= 24.

¿Qué hacer si alguno de los multiplicadores no tiene su propio par? Por ejemplo, considere el cálculo de √54. Después de la factorización, obtenemos el resultado de la siguiente forma: √54 = √(2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. La parte no removible se puede dejar debajo de la raíz. Para la mayoría de los problemas de geometría y álgebra, esta respuesta se contará como la respuesta final. Pero si es necesario calcular valores aproximados, puede utilizar los métodos que se analizarán a continuación.

método de garza

¿Qué hacer cuando necesita saber al menos aproximadamente a qué es igual la raíz extraída (si es imposible obtener un valor entero)? Se obtiene un resultado rápido y bastante preciso utilizando el método Heron.. Su esencia es utilizar una fórmula aproximada:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

donde R es el número cuya raíz debe calcularse, a es el número más cercano cuyo valor de raíz se conoce.

Veamos cómo funciona el método en la práctica y evaluemos su precisión. Calculemos a qué es igual √111. El número más cercano a 111, cuya raíz se conoce, es 121. Por tanto, R = 111, a = 121. Sustituye los valores en la fórmula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Ahora verifiquemos la precisión del método.:

10,55² = 111,3025.

El error del método fue de aproximadamente 0,3. Si es necesario mejorar la precisión del método, puede repetir los pasos descritos anteriormente:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Comprobemos la precisión del cálculo:

10,536² = 111,0073.

Después de volver a aplicar la fórmula, el error se volvió completamente insignificante.

Calcular la raíz por división larga.

Este método para encontrar el valor de la raíz cuadrada es un poco más complejo que los anteriores. Sin embargo, es el más preciso entre otros métodos de cálculo sin calculadora..

Digamos que necesitas encontrar la raíz cuadrada con una precisión de 4 decimales. Analicemos el algoritmo de cálculo usando el ejemplo de un número arbitrario 1308,1912.

1. Divida la hoja de papel en 2 partes con una línea vertical y luego dibuje otra línea hacia la derecha, ligeramente debajo del borde superior. Escribamos el número en el lado izquierdo, dividiéndolo en grupos de 2 dígitos, moviéndonos hacia la derecha y lado izquierdo de coma. El primer dígito de la izquierda puede no tener par. Si falta el signo en el lado derecho del número, entonces debes sumar 0. En nuestro caso, el resultado será 13 08,19 12.
2. Seleccionemos el número más grande cuyo cuadrado sea menor o igual al primer grupo de dígitos. En nuestro caso es 3. Escribámoslo arriba a la derecha; 3 es el primer dígito del resultado. Abajo a la derecha indicamos 3×3 = 9; esto será necesario para cálculos posteriores. De 13 en la columna restamos 9, obtenemos un resto de 4.
3. Asignemos el siguiente par de números al resto 4; obtenemos 408.
4. Multiplica el número de arriba a la derecha por 2 y anótalo abajo a la derecha, sumándole _ x _ =. Obtenemos 6_ x _ =.
5. En lugar de guiones, debes sustituir el mismo número, menor o igual a 408. Obtenemos 66 × 6 = 396. Escribimos 6 desde la parte superior derecha, ya que este es el segundo dígito del resultado. Restamos 396 de 408, obtenemos 12.
6. Repitamos los pasos 3-6. Dado que los dígitos movidos hacia abajo están en la parte fraccionaria del número, es necesario colocar un punto decimal en la parte superior derecha después del 6. Anotemos el resultado doble con guiones: 72_ x _ =. Un número adecuado sería 1: 721×1 = 721. Anotémoslo como respuesta. Restemos 1219 - 721 = 498.
7. Realicemos la secuencia de acciones dada en el párrafo anterior tres veces más para obtener el número requerido de decimales. Si no hay suficientes caracteres para realizar más cálculos, deberá agregar dos ceros al número actual a la izquierda.

Como resultado, obtenemos la respuesta: √1308.1912 ≈ 36.1689. Si verifica la acción con una calculadora, puede asegurarse de que todas las señales se hayan identificado correctamente.

Cálculo de raíz cuadrada bit a bit

El método es muy preciso.. Además, es bastante comprensible y no requiere memorizar fórmulas ni un complejo algoritmo de acciones, ya que la esencia del método es seleccionar el resultado correcto.

Extraigamos la raíz del número 781. Veamos la secuencia de acciones en detalle.

1. Averigüemos qué dígito del valor de la raíz cuadrada será el más significativo. Para ello elevamos al cuadrado 0, 10, 100, 1000, etc. y descubrimos entre cuál de ellos se encuentra el número radical. Obtenemos ese 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Elijamos el valor de las decenas. Para ello, nos turnaremos para elevar a la potencia de 10, 20,..., 90 hasta obtener un número mayor que 781. Para nuestro caso, obtenemos 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. El valor del resultado n estará dentro de 20.< n <30.
3. De manera similar al paso anterior, se selecciona el valor del dígito de las unidades. Elevamos al cuadrado 21,22,..., 29 uno por uno: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Obtenemos que 27< n < 28.
4. Cada dígito subsiguiente (décimas, centésimas, etc.) se calcula de la misma manera que se muestra arriba. Los cálculos se llevan a cabo hasta que se logra la precisión requerida.

Extraer la raíz es la operación inversa a elevar una potencia. Es decir, sacando la raíz del número X, obtenemos un número que al cuadrado dará el mismo número X.

Extraer la raíz es una operación bastante sencilla. Una mesa de cuadrados puede facilitar el trabajo de extracción. Porque es imposible recordar de memoria todos los cuadrados y raíces, pero los números pueden ser grandes.

Extrayendo la raíz de un número

Sacar la raíz cuadrada de un número es fácil. Además, esto no se puede hacer de forma inmediata, sino gradualmente. Por ejemplo, tomemos la expresión √256. Inicialmente, a una persona ignorante le resulta difícil dar una respuesta de inmediato. Luego lo haremos paso a paso. Primero, dividimos solo por el número 4, del cual tomamos el cuadrado seleccionado como raíz.

Representemos: √(64 4), entonces será equivalente a 2√64. Y como sabes, según la tabla de multiplicar 64 = 8 8. La respuesta será 2*8=16.

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Extrayendo una raíz compleja

La raíz cuadrada no se puede calcular a partir de números negativos, ¡porque cualquier número al cuadrado es un número positivo!

Un número complejo es el número i, cuyo cuadrado es igual a -1. Es decir, i2=-1.

En matemáticas, hay un número que se obtiene sacando la raíz del número -1.

Es decir, es posible calcular la raíz de un número negativo, pero esto ya se aplica a las matemáticas superiores, no a las matemáticas escolares.

Consideremos un ejemplo de tal extracción de raíz: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Calculadora de raíces en línea

Usando nuestra calculadora, puedes calcular la extracción de un número a partir de la raíz cuadrada:

Convertir expresiones que contienen una operación raíz

La esencia de transformar expresiones radicales es descomponer el número radical en otros más simples, de los cuales se puede extraer la raíz. Como 4, 9, 25 y así sucesivamente.

Pongamos un ejemplo, √625. Dividamos la expresión radical por el número 5. Obtenemos √(125 5), repita la operación √(25 25), pero sabemos que 25 es 52. Lo que significa que la respuesta será 5*5=25.

Pero hay números para los que no se puede calcular la raíz con este método y sólo necesitas saber la respuesta o tener a mano una tabla de cuadrados.

√289=√(17*17)=17

Línea de fondo

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Preferiblemente uno de ingeniería, uno que tenga un botón con un signo raíz: "√". Por lo general, para extraer la raíz, basta con escribir el número y luego presionar el botón: “√”.

La mayoría de los teléfonos móviles modernos tienen una aplicación de calculadora con función de extracción de raíz. El procedimiento para encontrar la raíz de un número usando una calculadora telefónica es similar al anterior.
Ejemplo.
Encuentra desde 2.
Enciende la calculadora (si está apagada) y presiona sucesivamente los botones con la imagen de dos y raíz (“2” “√”). Como regla general, no es necesario presionar la tecla "=". Como resultado, obtenemos un número como 1,4142 (el número de dígitos y la "redondez" depende de la profundidad de bits y de la configuración de la calculadora).
Nota: Al intentar encontrar la raíz, la calculadora suele dar un error.

Si tiene acceso a una computadora, encontrar la raíz de un número es muy simple.
1. Puedes utilizar la aplicación Calculadora, disponible en casi cualquier computadora. Para Windows XP, este programa se puede iniciar de la siguiente manera:
“Inicio” - “Todos los programas” - “Accesorios” - “Calculadora”.
Es mejor configurar la vista en "normal". Por cierto, a diferencia de una calculadora real, el botón para extraer la raíz está marcado como "sqrt" y no como "√".

Si no puede acceder a la calculadora utilizando el método indicado, puede ejecutar la calculadora estándar “manualmente”:
“Inicio” - “Ejecutar” - “calcular”.
2. Para encontrar la raíz de un número, también puedes utilizar algunos programas instalados en tu computadora. Además, el programa tiene su propia calculadora incorporada.

Por ejemplo, para la aplicación MS Excel, puede realizar la siguiente secuencia de acciones:
Inicie MS Excel.

Anotamos en cualquier celda el número del que necesitamos extraer la raíz.

Mover el puntero de la celda a una ubicación diferente

Presione el botón de selección de función (fx)

Seleccione la función “RAÍZ”

Especificamos una celda con un número como argumento de la función.

Haga clic en "Aceptar" o "Entrar"
La ventaja de este método es que ahora basta con ingresar cualquier valor en la celda con un número, como en la función .
Nota.
Hay otras formas más exóticas de encontrar la raíz de un número. Por ejemplo, en un “rincón”, usando una regla de cálculo o tablas Bradis. Sin embargo, estos métodos no se analizan en este artículo debido a su complejidad e inutilidad práctica.

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• cómo encontrar la raíz de un número

A veces surgen situaciones en las que es necesario realizar algún tipo de cálculo matemático, incluida la extracción de raíces cuadradas y raíces mayores de un número. La raíz enésima de un número es un número cuya enésima potencia es el número a.

Instrucciones

Para encontrar la raíz "n" de , haga lo siguiente.

En su computadora, haga clic en "Inicio" - "Todos los programas" - "Accesorios". Luego vaya a la subsección "Servicio" y seleccione "Calculadora". Puede hacer esto manualmente: haga clic en Inicio, escriba "calk" en el cuadro Ejecutar y presione Entrar. Abrirá. Para extraer la raíz cuadrada de un número, ingrésala en la calculadora y presiona el botón "sqrt". La calculadora extraerá la raíz de segundo grado, llamada raíz cuadrada, del número ingresado.

Para extraer una raíz cuyo grado sea superior al segundo, es necesario utilizar otro tipo de calculadora. Para hacer esto, en la interfaz de la calculadora, haga clic en el botón "Ver" y seleccione la línea "Ingeniería" o "Científica" del menú. Este tipo de calculadora tiene la función necesaria para calcular la raíz enésima.

Para extraer la raíz de tercer grado (), en una calculadora de “ingeniería”, ingrese el número deseado y presione el botón “3√”. Para obtener una raíz cuyo grado sea superior a 3, ingrese el número deseado, presione el botón con el ícono “y√x” y luego ingrese el número: el exponente. Después de esto, presione el signo igual (el botón “=") y obtendrá la raíz deseada.

Si tu calculadora no tiene la función "y√x", lo siguiente.

Para extraer la raíz cúbica, ingrese la expresión radical, luego marque la casilla de verificación ubicada al lado de la inscripción "Inv". Con esta acción invertirás las funciones de los botones de la calculadora, es decir, al pulsar en el botón del cubo extraerás la raíz cúbica. En el botón que usted

Raíz norte-ésima potencia de un número natural a este numero se llama norte cuyo grado es igual a a. La raíz se designa de la siguiente manera: . El símbolo √ se llama signo raíz o signo radical, número a - número radical, norte - exponente raíz.

La acción mediante la cual se encuentra la raíz de un grado dado se llama extracción de raíz.

Dado que, según la definición del concepto de raíz norte grado

Eso extracción de raíz- una acción inversa a elevar a una potencia, con la ayuda de la cual se encuentra la base del grado a partir de un grado determinado y de un exponente determinado.

Raíz cuadrada

Raíz cuadrada de un número a es el número cuyo cuadrado es igual a a.

La acción mediante la cual se calcula la raíz cuadrada se llama raíz cuadrada.

Raíz cuadrada- la acción opuesta a elevar al cuadrado (o elevar un número a la segunda potencia). Al elevar al cuadrado un número, necesitas encontrar su cuadrado. Al extraer la raíz cuadrada, se conoce el cuadrado del número; debes usarlo para encontrar el número en sí.

Por lo tanto, para verificar la exactitud de la acción, puede elevar la raíz encontrada a la segunda potencia y, si el grado es igual al número radical, entonces la raíz se encontró correctamente.

Veamos cómo extraer la raíz cuadrada y verificarla con un ejemplo. Calculemos o (el exponente raíz con un valor de 2 generalmente no se escribe, ya que 2 es el exponente más pequeño y hay que recordar que si no hay un exponente encima del signo de la raíz, entonces el exponente 2 está implícito), para esto Necesito encontrar el número, cuando se eleva al segundo el grado será 49. Obviamente, tal número es 7, ya que

7 7 = 7 2 = 49.

Calcular la raíz cuadrada

Si un número dado es 100 o menos, entonces su raíz cuadrada se puede calcular usando la tabla de multiplicar. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 25 es 5, porque 5 5 = 25.

Ahora veamos una manera de encontrar la raíz cuadrada de cualquier número sin usar una calculadora. Por ejemplo, tomemos el número 4489 y comencemos a calcularlo paso a paso.

1. Determinemos en qué dígitos debe constar la raíz requerida. Dado que 10 2 = 10 · 10 = 100 y 100 2 = 100 · 100 = 10000, queda claro que la raíz deseada debe ser mayor que 10 y menor que 100, es decir Constan de decenas y unidades.
2. Encuentra el número de decenas de la raíz. Al multiplicar decenas se obtienen centenas, y hay 44 de ellas en nuestro número, por lo que la raíz debe contener tantas decenas que el cuadrado de las decenas dé aproximadamente 44 centenas. Por lo tanto, la raíz debe tener 6 decenas, porque 60 2 = 3600 y 70 2 = 4900 (esto es demasiado). Así, descubrimos que nuestra raíz contiene 6 decenas y varias unidades, ya que está en el rango de 60 a 70.
3. La tabla de multiplicar te ayudará a determinar la cantidad de unidades en la raíz. Mirando el número 4489, vemos que el último dígito es 9. Ahora miramos la tabla de multiplicar y vemos que 9 unidades solo se pueden obtener elevando al cuadrado los números 3 y 7. Esto significa que la raíz del número será igual a 63 o 67.
4. Comprobamos los números 63 y 67 que recibimos elevándolos al cuadrado: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Sokolov Lev Vladimirovich, estudiante de octavo grado de la institución educativa municipal “Tugulymskaya V(S)OSH”

Objetivo del trabajo: Encuentre y muestre aquellos métodos de extracción de raíces cuadradas que se pueden utilizar sin tener una calculadora a mano.

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Avance:

Conferencia científica y práctica regional.

estudiantes del distrito urbano de Tugulym

Encontrar raíces cuadradas de números grandes sin calculadora

Intérprete: Lev Sokolov,

MCOU "Tugulymskaya V(S)OSH",

Octavo grado

Responsable: Sidorova Tatyana

Nikolaevna

r.p. Tugulim, 2016

Introducción 3

Capítulo 1. Método de factorización 4

Capítulo 2. Extracción de raíces cuadradas con esquina 4

Capítulo 3. Método de uso de la tabla de cuadrados de números de dos dígitos 6

Capítulo 4. Fórmula de la antigua Babilonia 6

Capítulo 6. Método canadiense 7

Capítulo 7. Adivinar el método de selección 8

Capítulo 8. Método de deducciones por el número impar 8.

Conclusión 10

Referencias 11

Apéndice 12

Introducción

La relevancia de la investigación,Cuando estudié el tema de las raíces cuadradas este año escolar, me interesó la cuestión de cómo se puede sacar la raíz cuadrada de números grandes sin una calculadora.

Me interesé y decidí estudiar este tema más profundamente de lo que se presenta en el plan de estudios de la escuela, y también preparar un minilibro con las formas más sencillas de extraer raíces cuadradas de números grandes sin calculadora.

Objetivo del trabajo: Encuentre y muestre aquellos métodos de extracción de raíces cuadradas que se pueden utilizar sin tener una calculadora a mano.

Tareas:

1. Estudie la literatura sobre este tema.
2. Considere las características de cada método encontrado y su algoritmo.
3. Mostrar aplicación práctica de los conocimientos adquiridos y evaluar.

El grado de complejidad en el uso de diversos métodos y algoritmos.

1. Crea un minilibro sobre los algoritmos más interesantes.

Objeto de estudio:Los símbolos matemáticos son raíces cuadradas.

Tema de estudio:Características de los métodos para extraer raíces cuadradas sin calculadora.

Métodos de búsqueda:

1. Encontrar métodos y algoritmos para extraer raíces cuadradas de números grandes sin calculadora.
2. Comparación de los métodos encontrados.
3. Análisis de los métodos obtenidos.

Todo el mundo sabe que sacar la raíz cuadrada sin calculadora es muy difícil.

tarea. Cuando no tenemos una calculadora a mano, empezamos por utilizar el método de selección para intentar recordar los datos de la tabla de cuadrados de números enteros, pero esto no siempre ayuda. Por ejemplo, una tabla de cuadrados de números enteros no responde a preguntas como, por ejemplo, extraer la raíz de 75, 37,885,108,18061 y otras, ni siquiera de forma aproximada.

Además, el uso de una calculadora a menudo está prohibido durante la OGE y los exámenes estatales unificados.

tablas de cuadrados de números enteros, pero es necesario extraer la raíz de 3136 o 7056, etc.

Pero mientras estudiaba la literatura sobre este tema, aprendí que echar raíces en tales números

Quizás sin una mesa y una calculadora, la gente aprendió mucho antes de la invención de la microcalculadora. Mientras investigaba este tema, encontré varias formas de resolver este problema.

Capítulo 1. Método de factorización en factores primos.

Para extraer la raíz cuadrada, puedes factorizar el número en sus factores primos y sacar la raíz cuadrada del producto.

Este método se suele utilizar para resolver problemas con raíces en la escuela.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Mucha gente lo utiliza con éxito y lo considera el único. Extraer la raíz mediante factorización es una tarea que requiere mucho tiempo y que además no siempre conduce al resultado deseado. ¿Intentas sacar la raíz cuadrada de 209764? Factorizar en factores primos da el producto 2∙2∙52441. ¿Qué hacer a continuación? Todos se enfrentan a este problema y en su respuesta anotan tranquilamente el resto de la descomposición bajo el signo de la raíz. Por supuesto, puede realizar la descomposición mediante prueba, error y selección si está seguro de obtener una buena respuesta, pero la práctica demuestra que muy raramente se ofrecen tareas con descomposición completa. La mayoría de las veces vemos que la raíz no se puede extraer por completo.

Por lo tanto, este método solo resuelve parcialmente el problema de la extracción sin calculadora.

Capítulo 2. Extraer raíces cuadradas con una esquina.

Para extraer la raíz cuadrada usando una esquina yVeamos el algoritmo:
1er paso. El número 8649 se divide en aristas de derecha a izquierda; cada uno de los cuales debe contener dos dígitos. Obtenemos dos caras:.
2do paso. Sacando la raíz cuadrada de la primera cara de 86, obtenemoscon desventaja. El número 9 es el primer dígito de la raíz.
3er paso. El número 9 está al cuadrado (9 2 = 81) y restamos el número 81 de la primera cara, obtenemos 86-81=5. El número 5 es el primer resto.
4to paso. Al resto 5 le sumamos el segundo lado 49, obtenemos el número 549.

5to paso . Duplicamos la primera cifra de la raíz de 9 y, escribiendo desde la izquierda, obtenemos -18

Necesitamos asignar el dígito más grande al número para que el producto del número que obtengamos por este dígito sea igual al número 549 o menor que 549. Este es el número 3. Se encuentra por selección: el número de decenas del número 549, es decir, el número 54 dividido por 18, obtenemos 3, ya que 183 ∙ 3 = 549. El número 3 es el segundo dígito de la raíz.

6to paso. Encontramos el resto 549 – 549 = 0. Como el resto es cero, obtuvimos el valor exacto de la raíz – 93.

Déjame darte otro ejemplo: extraer √212521

Capítulo 3. Cómo utilizar la tabla de cuadrados de números de dos cifras.

Aprendí sobre este método en Internet. El método es muy simple y le permite extraer instantáneamente la raíz cuadrada de cualquier número entero del 1 al 100 con una precisión de décimas sin una calculadora. Una condición para este método es la presencia de una tabla de cuadrados de números hasta 99.

(Está en todos los libros de texto de álgebra de octavo grado y se ofrece como material de referencia en el examen OGE).

Abra la tabla y verifique la velocidad para encontrar la respuesta. Pero primero, algunas recomendaciones: la columna más a la izquierda serán los números enteros en la respuesta, la línea más alta serán las décimas en la respuesta. Y luego todo es simple: cierra los dos últimos dígitos del número en la tabla y encuentra el que necesitas, sin exceder el número radical, y luego sigue las reglas de esta tabla.

Veamos un ejemplo. Encontremos el valor √87.

Cerramos los dos últimos dígitos de todos los números de la tabla y encontramos los cercanos a 87; solo hay dos 86 49 y 88 37. Pero 88 ya es mucho.

Entonces, solo queda una cosa: 8649.

La columna de la izquierda da la respuesta 9 (estos son números enteros) y la línea superior 3 (estos son décimos). Esto significa √87≈ 9.3. Comprobemos MK √87 ≈ 9.327379.

Rápido, sencillo, accesible durante el examen. Pero queda inmediatamente claro que con este método no se pueden extraer raíces mayores de 100. El método es conveniente para tareas con raíces pequeñas y en presencia de una mesa.

Capítulo 4. Fórmula de la antigua Babilonia.

Los antiguos babilonios usaban el siguiente método para encontrar el valor aproximado de la raíz cuadrada de su número x. Representaron el número x como la suma de a 2 +b, donde a 2 el cuadrado exacto más cercano del número natural a al número x (a 2 . (1)

Usando la fórmula (1), extraemos la raíz cuadrada, por ejemplo, del número 28:

El resultado de extraer la raíz de 28 usando MK es 5.2915026.

Como puedes ver, el método babilónico da una buena aproximación al valor exacto de la raíz.

Capítulo 5. Método de descartar un cuadrado completo.

(sólo para números de cuatro dígitos)

Vale la pena aclarar de inmediato que este método solo es aplicable para extraer la raíz cuadrada de un cuadrado exacto, y el algoritmo de búsqueda depende del tamaño del número radical.

1. Extrayendo raíces hasta el número 75. 2 = 5625

Por ejemplo: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Presentamos el número 3844 como una suma seleccionando el cuadrado 144 de este número, luego descartando el cuadrado seleccionado, paranúmero de centenas del primer término(37) siempre sumamos 25 . Obtenemos la respuesta 62.

De esta forma solo podrás extraer raíces cuadradas hasta 75 2 =5625!

2) Extrayendo raíces después del número 75 2 = 5625

Cómo extraer verbalmente raíces cuadradas de números mayores que 75 2 =5625?

Por ejemplo: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Expliquemos, presentaremos 7225 como la suma de 7000 y el cuadrado seleccionado 225. Luegosuma la raíz cuadrada al número de centenas de 225, igual a 15.

Obtenemos la respuesta 85.

Este método de búsqueda es muy interesante y hasta cierto punto original, pero durante mi investigación lo encontré solo una vez en el trabajo de un profesor de Perm.

Quizás haya sido poco estudiado o tenga algunas excepciones.

Es bastante difícil de recordar debido a la dualidad del algoritmo y es aplicable solo para números de raíces exactas de cuatro dígitos, pero trabajé con muchos ejemplos y me convencí de su exactitud. Además, este método está disponible para quienes ya hayan memorizado los cuadrados de los números del 11 al 29, porque sin su conocimiento será inútil.

Capítulo 6. Método canadiense

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), donde X es el número al que se le va a poner raíz cuadrada y S es el número del cuadrado exacto más cercano.

Intentemos sacar la raíz cuadrada de 75.

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Con un estudio detallado de este método, se puede demostrar fácilmente su similitud con el babilónico y defender los derechos de autor de la invención de esta fórmula, si es que realmente existe. El método es sencillo y práctico.

Capítulo 7. Adivinar el método de selección.

Este método lo ofrecen estudiantes ingleses de la Facultad de Matemáticas de Londres, pero todo el mundo lo ha utilizado involuntariamente al menos una vez en la vida. Se basa en seleccionar diferentes valores de los cuadrados de números similares acotando el área de búsqueda. Cualquiera puede dominar este método, pero es poco probable que lo utilice, ya que requiere el cálculo repetido del producto de una columna de números que no siempre se adivinan correctamente. Este método pierde tanto en la belleza de la solución como en el tiempo. El algoritmo es simple:

Digamos que quieres sacar la raíz cuadrada de 75.

Dado que 8 2 = 64 y 9 2 = 81, sabes que la respuesta está en algún punto intermedio.

Intenta construir 8.5 2 y obtendrás 72,25 (muy poco)

Ahora prueba 8.6 2 y obtienes 73,96 (demasiado pequeño, pero cada vez más cercano)

Ahora prueba 8.7 2 y obtendrás 75,69 (demasiado grande)

Ahora ya sabes que la respuesta está entre 8,6 y 8,7.

Intenta construir 8.65 2 y obtendrás 74,8225 (demasiado pequeño)

Ahora prueba 8.66 2... y así sucesivamente.

Continúe hasta obtener una respuesta que sea lo suficientemente precisa para usted.

Capítulo 8. Método de deducción de números impares

Mucha gente conoce el método para extraer la raíz cuadrada factorizando un número en factores primos. En mi trabajo presentaré otra forma de encontrar la parte entera de la raíz cuadrada de un número. El método es muy sencillo. Tenga en cuenta que las siguientes igualdades son verdaderas para los cuadrados de números:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2etc.

Regla: puedes encontrar la parte entera de la raíz cuadrada de un número restándole todos los números impares en orden hasta que el resto sea menor que el siguiente número restado o igual a cero, y contando el número de acciones realizadas.

Por ejemplo, para obtener la raíz cuadrada de 36 y 121 esto es:

Número total de restas = 6, entonces raíz cuadrada de 36 = 6.

Número total de restas = 11, entonces √121 = 11.

Otro ejemplo: encontremos √529

Solución: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Respuesta: √529 = 23

Los científicos llaman a este método extracción aritmética de raíz cuadrada y, entre bastidores, “método de la tortuga” debido a su lentitud.
La desventaja de este método es que si la raíz que se extrae no es un número entero, entonces sólo se puede encontrar su parte completa, pero no con mayor precisión. Al mismo tiempo, este método es bastante accesible para los niños que resuelven problemas matemáticos simples que requieren extraer la raíz cuadrada. Intente extraer la raíz cuadrada de un número, por ejemplo, 5963364 de esta manera y comprenderá que "funciona", por supuesto, sin errores para raíces exactas, pero la solución es muy, muy larga.

Conclusión

Los métodos de extracción de raíces descritos en este trabajo se encuentran en muchas fuentes. Sin embargo, entenderlos resultó ser una tarea difícil para mí, lo que despertó un interés considerable. Los algoritmos presentados permitirán a todos los interesados ​​en este tema dominar rápidamente las habilidades de calcular la raíz cuadrada, se pueden utilizar para comprobar su solución y no dependen de una calculadora.

Como resultado de la investigación, llegué a la conclusión: en un curso de matemáticas escolar se necesitan varios métodos para extraer la raíz cuadrada sin una calculadora para desarrollar las habilidades de cálculo.

La importancia teórica del estudio: se sistematizan los principales métodos para extraer raíces cuadradas.

Significado práctico:en la creación de un minilibro que contiene un diagrama de referencia para extraer raíces cuadradas de varias maneras (Apéndice 1).

Sitios de literatura e Internet:

1. EN. Sergeev, S.N. Olehnik, SB Gashkov "Aplicar las matemáticas". – M.: Nauka, 1990
2. Kerimov Z., "¿Cómo encontrar una raíz completa?" Revista popular científica y matemática "Kvant" No. 2, 1980
3. Petrakov I.S. “clubes de matemáticas en los grados 8º a 10º”; Libro para profesores.

–M.: Educación, 1987

1. Tikhonov A.N., Kostomarov D.P. “Cuentos sobre matemáticas aplicadas.” - M.: Nauka. Oficina editorial principal de literatura física y matemática, 1979.
2. Tkacheva M.V. Matemáticas caseras. Un libro para estudiantes de octavo grado. – Moscú, Ilustración, 1994.
3. Zhokhov V.I., Pogodin V.N. Tablas de referencia en matemáticas.-M.: LLC Editorial “ROSMEN-PRESS”, 2004.-120 p.
4. http://translate.google.ru/translate
5. http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
6. http://ru.wikipedia.ord /wiki /teorema/

¡Buenas tardes, queridos invitados!

Mi nombre es Lev Sokolov, estudio octavo grado en la escuela nocturna.

Les presento un trabajo sobre el tema: “Encontrar raíces cuadradas de números grandes sin calculadora."

Al estudiar un temaraíces cuadradas este año escolar me interesó la cuestión de cómo extraer la raíz cuadrada de números grandes sin calculadora y decidí estudiarla más profundamente, ya que el año que viene tengo que hacer un examen de matemáticas.

El propósito de mi trabajo:encuentre y muestre formas de extraer raíces cuadradas sin una calculadora

Para lograr el objetivo decidí lo siguiente tareas:

1. Estudie la literatura sobre este tema.

2. Considere las características de cada método encontrado y su algoritmo.

3. Mostrar la aplicación práctica de los conocimientos adquiridos y valorar el grado de complejidad en el uso de diversos métodos y algoritmos.

4.Crea un minilibro según los algoritmos más interesantes.

El objeto de mi investigación fueraíces cuadradas.

Tema de estudio:Formas de extraer raíces cuadradas sin calculadora.

Métodos de búsqueda:

1. Busque métodos y algoritmos para extraer raíces cuadradas de números grandes sin calculadora.

2. Comparación y análisis de los métodos encontrados.

Encontré y estudié 8 formas de encontrar raíces cuadradas sin calculadora y las puse en práctica. Los nombres de los métodos encontrados se muestran en la diapositiva.

Me centraré en los que me gustaron.

Mostraré con un ejemplo cómo se puede extraer la raíz cuadrada del número 3025 usando la factorización prima.

La principal desventaja de este método.- se tarda mucho tiempo.

Usando la fórmula de la antigua Babilonia, extraeré la raíz cuadrada del mismo número 3025.

El método es conveniente sólo para números pequeños.

Del mismo número 3025 extraemos la raíz cuadrada usando una esquina.

En mi opinión, este es el método más universal, se puede aplicar a cualquier número.

EN La ciencia moderna conoce muchas formas de extraer la raíz cuadrada sin calculadora, pero yo no las he estudiado todas.

Importancia práctica de mi trabajo:en la creación de un minilibro que contiene un diagrama de referencia para extraer raíces cuadradas de varias maneras.

Los resultados de mi trabajo se pueden utilizar con éxito en matemáticas, física y otras materias donde se requiere extraer raíces sin calculadora.

¡Gracias por su atención!

Avance:

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Títulos de diapositivas:

Extracción de raíces cuadradas de números grandes sin calculadora Intérprete: Lev Sokolov, MKOU "Tugulymskaya V(S)OSH", octavo grado Líder: Sidorova Tatyana Nikolaevna I categoría, profesora de matemáticas r.p. Tugulim

La aplicación correcta de los métodos se puede aprender mediante la aplicación y una variedad de ejemplos. G. Zeiten Objeto del trabajo: encontrar y mostrar aquellos métodos de extracción de raíces cuadradas que se pueden utilizar sin tener una calculadora a mano. Objetivos: - Estudiar la literatura sobre este tema. - Considerar las características de cada método encontrado y su algoritmo. - Mostrar la aplicación práctica de los conocimientos adquiridos y valorar el grado de complejidad en el uso de diversos métodos y algoritmos. - Crear un minilibro sobre los algoritmos más interesantes.

Objeto de estudio: raíces cuadradas Tema de estudio: métodos de extracción de raíces cuadradas sin calculadora. Métodos de investigación: busque métodos y algoritmos para extraer raíces cuadradas de números grandes sin calculadora. Comparación de los métodos encontrados. Análisis de los métodos obtenidos.

Métodos para extraer raíces cuadradas: 1. Método de factorizar en factores primos 2. Extraer raíces cuadradas usando una esquina 3. Método de usar una tabla de cuadrados de números de dos dígitos 4. Fórmula de la antigua Babilonia 5. Método de descartar un cuadrado perfecto 6. Método canadiense 7. Método de adivinación 8. Método de deducción de números impares

Método de factorización en factores primos Para extraer una raíz cuadrada, puedes factorizar un número en factores primos y extraer la raíz cuadrada del producto. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 882│2 229│229 196│2 441│3 98│2 147│3 √209764 = √2 ∙ 2 ∙ 52441 = 49│7 49│7 = √2² ∙ 229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √ 2² ∙ 2² ∙ 2² ∙ 7² = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 7 = 56. √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. No siempre es fácil de descomponer, más a menudo no se elimina por completo, lleva mucho tiempo.

Fórmula de la antigua Babilonia (método babilónico) Algoritmo para extraer la raíz cuadrada utilizando el antiguo método babilónico. 1 . Presente el número c como la suma a² + b, donde a² es el cuadrado exacto del número natural a más cercano al número c (a² ≈ c); 2. El valor aproximado de la raíz se calcula mediante la fórmula: El resultado de extraer la raíz con una calculadora es 5,292.

Extraer una raíz cuadrada con una esquina El método es casi universal, ya que es aplicable a cualquier número, pero componer un acertijo (adivinar el número al final de un número) requiere lógica y buenas habilidades computacionales con una columna.

Algoritmo para extraer una raíz cuadrada usando una esquina 1. Divida el número (5963364) en pares de derecha a izquierda (5`96`33`64) 2. Extraiga la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (- número 2) . Así obtenemos el primer dígito del número. 3. Encuentra el cuadrado del primer dígito (2 2 =4). 4. Encuentra la diferencia entre el primer grupo y el cuadrado del primer dígito (5-4=1). 5. Anotamos los siguientes dos dígitos (obtenemos el número 196). 6. Duplique el primer dígito que encontramos y escríbalo a la izquierda detrás de la línea (2*2=4). 7. Ahora necesitamos encontrar el segundo dígito del número: el doble del primer dígito que encontramos se convierte en el dígito de las decenas del número, cuando lo multiplicamos por el número de unidades, necesitamos obtener un número menor que 196 (este es el número 4, 44*4=176). 4 es el segundo dígito de &. 8. Encuentra la diferencia (196-176=20). 9. Derribamos el siguiente grupo (obtenemos el número 2033). 10. Duplique el número 24, obtenemos 48. 11. 48 decenas en el número, cuando lo multiplicamos por el número de unidades, deberíamos obtener un número menor que 2033 (484*4=1936). El dígito de las unidades que encontramos (4) es el tercer dígito del número. Luego se repite el proceso.

Método de resta de números impares (método aritmético) Algoritmo de raíz cuadrada: resta números impares en orden hasta que el resto sea menor que el siguiente número a restar o igual a cero. Cuente el número de acciones realizadas; este número es la parte entera del número de la raíz cuadrada que se extrae. Ejemplo 1: calcular 1. 9 − 1 = 8; 8-3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. 3 acciones completadas

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 número total de restas = 6, entonces raíz cuadrada de 36 = 6. 121 – 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Número total de restas = 11, entonces raíz cuadrada de 121 = 11. 5963364 = ??? Los científicos rusos detrás de escena lo llaman el “método de la tortuga” debido a su lentitud. Es inconveniente para grandes cantidades.

La importancia teórica del estudio: se sistematizan los principales métodos para extraer raíces cuadradas. Importancia práctica: al crear un minilibro que contiene un diagrama de referencia para extraer raíces cuadradas de varias maneras.

¡Gracias por su atención!

Avance:

Algunos problemas requieren sacar la raíz cuadrada de un número grande. ¿Cómo hacerlo?

Método de deducción de números impares.

El método es muy sencillo. Tenga en cuenta que las siguientes igualdades son verdaderas para los cuadrados de números:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2etc.

Regla: Puede encontrar la parte entera de la raíz cuadrada de un número restándole todos los números impares en orden hasta que el resto sea menor que el siguiente número restado o igual a cero, y contando el número de acciones realizadas.

Por ejemplo, obtener la raíz cuadrada de 36 y 121 es:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Número total de restas = 6, entonces raíz cuadrada de 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Número total de restas = 11, entonces√121 = 11.

Método canadiense.

Este método rápido fue descubierto por jóvenes científicos de una de las principales universidades de Canadá en el siglo XX. Su precisión no supera los dos o tres decimales. Aquí está su fórmula:

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), donde X es el número al que se le va a poner raíz cuadrada y S es el número del cuadrado exacto más cercano.

Ejemplo. Saca la raíz cuadrada de 75.

X = 75, S = 81. Esto significa que √ S = 9.

Calculemos √75 usando esta fórmula: √ 75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Un método para extraer raíces cuadradas usando una esquina.

1. Divide el número (5963364) en pares de derecha a izquierda (5`96`33`64)

2. Saca la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (- Número 2). Así obtenemos el primer dígito del número.

3. Encuentra el cuadrado del primer dígito (2 2 =4).

4. Encuentra la diferencia entre el primer grupo y el cuadrado del primer dígito (5-4=1).

5. Anotamos los siguientes dos dígitos (obtenemos el número 196).

6. Duplique el primer dígito que encontramos y escríbalo a la izquierda detrás de la línea (2*2=4).

7. Ahora necesitamos encontrar el segundo dígito del número: el doble del primer dígito que encontramos se convierte en el dígito de las decenas del número, cuando lo multiplicamos por el número de unidades, necesitamos obtener un número menor que 196 (este es el número 4, 44*4=176). 4 es el segundo dígito de &.

8. Encuentra la diferencia (196-176=20).

9. Derribamos el siguiente grupo (obtenemos el número 2033).

10. Al duplicar el número 24, obtenemos 48.

Hay 11,48 decenas en un número, cuando lo multiplicamos por el número de unidades, deberíamos obtener un número menor que 2033 (484*4=1936). El dígito de las unidades que encontramos (4) es el tercer dígito del número.

Acción raíz cuadradaacción inversa a la de elevar al cuadrado.

√81= 9 9 2 =81.

Método de selección.

Ejemplo: Extrae la raíz del número 676..

Observamos que 20 2 = 400 y 30 2 = 900, lo que significa 20

Los cuadrados exactos de los números naturales terminan en 0; 1; 4; 5; 6; 9.
El numero 6 da 4 2 y 6 2 .
Esto significa que si la raíz se toma de 676, entonces será 24 o 26.

Quedan por comprobar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Respuesta: √ 676 = 26.

Otro ejemplo: √6889.

Dado que 80 2 = 6400 y 90 2 = 8100, entonces 80 El número 9 da 3 2 y 7 2 , entonces √6889 es igual a 83 o 87.

Comprobemos: 83 2 = 6889.

Respuesta: √6889 = 83.

Si te resulta difícil resolver usando el método de selección, puedes factorizar la expresión radical.

Por ejemplo, encuentre √893025.

Factoricemos el número 893025, recuerda, hiciste esto en sexto grado.

Obtenemos: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Método babilónico.

Paso 1. Presente el número x como una suma: x=a 2 + b, donde a 2 el cuadrado exacto más cercano del número natural a al número x.

Paso 2. Utilice la fórmula:

Ejemplo. Calcular.

Método aritmético.

Restamos todos los números impares del número en orden hasta que el resto sea menor que el siguiente número a restar o igual a cero. Habiendo contado el número de acciones realizadas, determinamos la parte entera de la raíz cuadrada del número.

Ejemplo. Calcular la parte entera de un número..

Solución. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - parte entera del número. Entonces, .

Método (conocido como método de Newton)es como sigue.

deja un 1 - primera aproximación del número(como un 1 puedes tomar los valores de la raíz cuadrada de un número natural, un cuadrado exacto que no excede .

Este método permite extraer la raíz cuadrada de un número grande con cierta precisión, aunque con un inconveniente importante: la complejidad de los cálculos.

Método de evaluación.

Paso 1. Descubra el rango en el que se encuentra la raíz original (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10,000).

Paso 2. Usando el último dígito, determine con qué dígito termina el número deseado.

Paso 3. Eleva al cuadrado los números esperados y determina el número deseado a partir de ellos.

Ejemplo 1. Calcular.

Solución. 2500 50 2 2 50

= *2 o = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Por lo tanto = 58.