Los problemas de la ecuación cuadrática también se estudian en currículum escolar y en las universidades. Se entienden como ecuaciones de la forma a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, donde X- variable, a,b,c – constantes; a<>0 El problema es encontrar las raíces de la ecuación.

El significado geométrico de la ecuación cuadrática

La gráfica de una función que está representada por una ecuación cuadrática es una parábola. Soluciones (raíces) ecuación cuadrática- estos son los puntos de intersección de la parábola con el eje x. De ello se deduce que hay tres casos posibles:
1) la parábola no tiene puntos de intersección con el eje x. Esto quiere decir que está en el plano superior con ramas hacia arriba o en el inferior con ramas hacia abajo. En tales casos, la ecuación cuadrática no tiene raíces reales (tiene dos raíces complejas).

2) la parábola tiene un punto de intersección con el eje Ox. Tal punto se llama el vértice de la parábola, y la ecuación cuadrática en él adquiere su valor mínimo o máximo. En este caso, la ecuación cuadrática tiene una raíz real (o dos raíces idénticas).

3) El último caso es más interesante en la práctica: hay dos puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas. Esto significa que hay dos raíces reales de la ecuación.

Con base en el análisis de los coeficientes en las potencias de las variables, se pueden sacar conclusiones interesantes sobre la ubicación de la parábola.

1) Si el coeficiente a es mayor que cero, entonces la parábola se dirige hacia arriba, si es negativo, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo.

2) Si el coeficiente b es mayor que cero, entonces el vértice de la parábola se encuentra en el semiplano izquierdo si toma significado negativo- luego a la derecha.

Derivación de una fórmula para resolver una ecuación cuadrática

Transfiramos la constante de la ecuación cuadrática

para el signo igual, obtenemos la expresión

Multiplica ambos lados por 4a

Para obtener un cuadrado completo a la izquierda, agregue b ^ 2 en ambas partes y realice la transformación

A partir de aquí encontramos

Fórmula del discriminante y raíces de la ecuación cuadrática

El discriminante es el valor de la expresión radical, si es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces reales, calculadas por la fórmula Cuando el discriminante es cero, la ecuación cuadrática tiene una solución (dos raíces coincidentes), que son fáciles de obtener de la fórmula anterior para D = 0. Cuando el discriminante es negativo, no hay raíces reales de la ecuación. Sin embargo, para estudiar las soluciones de la ecuación cuadrática en el plano complejo, y su valor se calcula mediante la fórmula

teorema de Vieta

Considere dos raíces de una ecuación cuadrática y construya una ecuación cuadrática sobre su base. A partir de la notación, el teorema de Vieta se sigue fácilmente: si tenemos una ecuación cuadrática de la forma entonces la suma de sus raíces es igual al coeficiente p tomado de signo opuesto, y el producto de las raíces de la ecuación es igual al término libre q. La fórmula para lo anterior se verá como si la constante a en la ecuación clásica es distinta de cero, entonces necesitas dividir la ecuación completa por ella y luego aplicar el teorema de Vieta.

Horario de la ecuación cuadrática en factores

Que se plantee la tarea: descomponer la ecuación cuadrática en factores. Para realizarlo, primero resolvemos la ecuación (encontrar las raíces). A continuación, sustituimos las raíces encontradas en la fórmula para desarrollar la ecuación cuadrática.Este problema se resolverá.

Tareas para una ecuación cuadrática

Tarea 1. Encontrar las raíces de una ecuación cuadrática

x^2-26x+120=0 .

Solución: Escriba los coeficientes y sustituya en la fórmula discriminante

Raíz de valor dado igual a 14, es fácil encontrarlo con una calculadora o recordarlo con el uso frecuente, sin embargo, para mayor comodidad, al final del artículo le daré una lista de cuadrados de números que a menudo se pueden encontrar en tales tareas .
El valor encontrado se sustituye en la fórmula raíz.

y obtenemos

Tarea 2. resuelve la ecuación

2x2+x-3=0.

Solución: Tenemos una ecuación cuadrática completa, escribimos los coeficientes y encontramos el discriminante


Usando fórmulas bien conocidas, encontramos las raíces de la ecuación cuadrática

Tarea 3. resuelve la ecuación

9x2 -12x+4=0.

Solución: Tenemos una ecuación cuadrática completa. Determinar el discriminante

Tenemos el caso cuando las raíces coinciden. Encontramos los valores de las raíces por la fórmula

Tarea 4. resuelve la ecuación

x^2+x-6=0 .

Solución: En los casos en que existan coeficientes pequeños para x, es recomendable aplicar el teorema de Vieta. Por su condición, obtenemos dos ecuaciones

De la segunda condición se obtiene que el producto debe ser igual a -6. Esto significa que una de las raíces es negativa. Tenemos el siguiente par posible de soluciones(-3;2), (3;-2) . Teniendo en cuenta la primera condición, rechazamos el segundo par de soluciones.
Las raíces de la ecuación son

Tarea 5. Encuentra las longitudes de los lados de un rectángulo si su perímetro es de 18 cm y el área es de 77 cm 2.

Solución: La mitad del perímetro de un rectángulo es igual a la suma de los lados adyacentes. Denotemos x - el lado más grande, entonces 18-x es su lado más pequeño. El área de un rectángulo es igual al producto de estas longitudes:
x(18x)=77;
o
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Encuentra el discriminante de la ecuación

Calculamos las raíces de la ecuación.

Si x=11, Eso 18x=7 , viceversa también es cierto (si x=7, entonces 21-x=9).

Problema 6. Factoriza la ecuación cuadrática 10x 2 -11x+3=0.

Solución: Calcula las raíces de la ecuación, para ello encontramos el discriminante

Sustituimos el valor encontrado en la fórmula de las raíces y calculamos

Aplicamos la fórmula para expandir la ecuación cuadrática en términos de raíces

Expandiendo los corchetes, obtenemos la identidad.

Ecuación cuadrática con parámetro

Ejemplo 1. Para qué valores del parámetro A ,¿La ecuación (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 tiene una raíz?

Solución: Por sustitución directa del valor a=3, vemos que no tiene solución. Además, usaremos el hecho de que con un discriminante cero, la ecuación tiene una raíz de multiplicidad 2. Escribamos el discriminante

simplificarlo e igualarlo a cero

Hemos obtenido una ecuación cuadrática con respecto al parámetro a, cuya solución es fácil de obtener mediante el teorema de Vieta. La suma de las raíces es 7 y su producto es 12. Por simple enumeración, establecemos que los números 3.4 serán las raíces de la ecuación. Como ya hemos rechazado la solución a=3 al principio de los cálculos, la única correcta será - a=4. Entonces, para a = 4, la ecuación tiene una raíz.

Ejemplo 2. Para qué valores del parámetro A , la ecuacion a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 tiene más de una raíz?

Solución: Considera primero los puntos singulares, serán los valores a=0 y a=-3. Cuando a=0, la ecuación se simplificará a la forma 6x-9=0; x=3/2 y habrá una raíz. Para a= -3 obtenemos la identidad 0=0 .
Calcular el discriminante

y encuentra los valores de a para los cuales es positivo

De la primera condición obtenemos a>3. Para el segundo, encontramos el discriminante y las raíces de la ecuación


Definamos los intervalos donde la función toma valores positivos. Sustituyendo el punto a=0 obtenemos 3>0 . Entonces, fuera del intervalo (-3; 1/3) la función es negativa. no olvides el punto un=0 que debe excluirse, ya que la ecuación original tiene una raíz.
Como resultado, obtenemos dos intervalos que satisfacen la condición del problema

Habrá muchas tareas similares en la práctica, intente ocuparse de las tareas usted mismo y no olvide tener en cuenta las condiciones que son mutuamente excluyentes. Estudie bien las fórmulas para resolver ecuaciones cuadráticas, a menudo se necesitan en cálculos en varios problemas y ciencias.

EN sociedad moderna la capacidad de operar con ecuaciones que contienen una variable al cuadrado puede ser útil en muchas áreas de actividad y se usa ampliamente en la práctica en desarrollos científicos y técnicos. Esto se puede evidenciar en el diseño de embarcaciones marítimas y fluviales, aviones y misiles. Con la ayuda de dichos cálculos, se determinan las trayectorias del movimiento de varios cuerpos, incluidos los objetos espaciales. Los ejemplos con la solución de ecuaciones cuadráticas se utilizan no solo en la previsión económica, en el diseño y construcción de edificios, sino también en las circunstancias cotidianas más comunes. Pueden ser necesarios en viajes de campamento, en eventos deportivos, en tiendas al hacer compras y en otras situaciones muy comunes.

Descompongamos la expresión en factores componentes

El grado de una ecuación está determinado por el valor máximo del grado de la variable que contiene la expresión dada. Si es igual a 2, entonces tal ecuación se llama ecuación cuadrática.

Si hablamos en el lenguaje de las fórmulas, entonces estas expresiones, sin importar cómo se vean, siempre se pueden llevar a la forma cuando el lado izquierdo de la expresión consta de tres términos. Entre ellos: ax 2 (es decir, una variable al cuadrado con su coeficiente), bx (una incógnita sin cuadrado con su coeficiente) yc (componente libre, es decir, un número ordinario). En el lado derecho, todo esto es igual a 0. En el caso de que dicho polinomio no tenga uno de sus términos constituyentes, a excepción de ax 2, se denomina ecuación cuadrática incompleta. Primero se deben considerar ejemplos con la solución de tales problemas, en los que el valor de las variables no es difícil de encontrar.

Si parece que la expresión tiene dos términos en el lado derecho de la expresión, más precisamente ax 2 y bx, es más fácil encontrar x poniendo la variable entre paréntesis. Ahora nuestra ecuación se verá así: x(ax+b). Además, se vuelve obvio que o x = 0, o el problema se reduce a encontrar una variable de siguiente expresión: ax+b=0. Esto está dictado por una de las propiedades de la multiplicación. La regla dice que el producto de dos factores da como resultado 0 solo si uno de ellos es cero.

Ejemplo

x=0 o 8x - 3 = 0

Como resultado, obtenemos dos raíces de la ecuación: 0 y 0,375.

Ecuaciones de este tipo pueden describir el movimiento de cuerpos bajo la acción de la gravedad, que comenzaron a moverse desde un punto determinado, tomado como origen. Aquí la notación matemática toma siguiente formulario: y = v 0 t + gt 2 /2. Sustituyendo los valores necesarios, igualando el lado derecho a 0 y encontrando posibles incógnitas, puedes averiguar el tiempo transcurrido desde que el cuerpo sube hasta que cae, así como muchas otras cantidades. Pero hablaremos de esto más adelante.

Factorización de una expresión

La regla descrita anteriormente hace posible resolver estos problemas y en más casos dificiles. Considere ejemplos con la solución de ecuaciones cuadráticas de este tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Este trinomio cuadrado es completo. Primero, transformamos la expresión y la descomponemos en factores. Hay dos de ellos: (x-8) y (x-25) = 0. Como resultado, tenemos dos raíces 8 y 25.

Los ejemplos con la solución de ecuaciones cuadráticas en el grado 9 permiten que este método encuentre una variable en expresiones no solo del segundo, sino incluso del tercer y cuarto orden.

Por ejemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Al factorizar el lado derecho en factores con una variable, hay tres de ellos, es decir, (x + 1), (x-3) y (x + 3).

Como resultado, se vuelve obvio que esta ecuación tiene tres raíces: -3; -1; 3.

Extrayendo la raíz cuadrada

Otro caso de una ecuación de segundo orden incompleta es una expresión escrita en lenguaje de letras de tal manera que el lado derecho se construye a partir de los componentes ax 2 y c. Aquí, para obtener el valor de la variable, se traslada el término libre al lado derecho, y luego, de ambas partes de la igualdad, Raíz cuadrada. Cabe señalar que en este caso suele haber dos raíces de la ecuación. Las únicas excepciones son las igualdades que no contienen el término c en absoluto, donde la variable es igual a cero, así como las variantes de expresiones cuando el lado derecho resulta ser negativo. En este último caso, no hay soluciones en absoluto, ya que las acciones anteriores no se pueden realizar con raíces. Se deben considerar ejemplos de soluciones a ecuaciones cuadráticas de este tipo.

En este caso, las raíces de la ecuación serán los números -4 y 4.

Cálculo del área de terreno.

La necesidad de este tipo de cálculos apareció en la antigüedad, debido a que el desarrollo de las matemáticas en aquellos lejanos tiempos se debió en gran parte a la necesidad de determinar las áreas y perímetros de los terrenos con la mayor precisión.

También deberíamos considerar ejemplos con la solución de ecuaciones cuadráticas compiladas sobre la base de problemas de este tipo.

Entonces, digamos que hay un terreno rectangular, cuyo largo es 16 metros más que el ancho. Debes encontrar el largo, el ancho y el perímetro del sitio, si se sabe que su área es de 612 m 2.

Poniéndonos manos a la obra, en un principio haremos la ecuación necesaria. Denotemos el ancho de la sección como x, entonces su longitud será (x + 16). De lo que se ha escrito se deduce que el área está determinada por la expresión x (x + 16), que, según la condición de nuestro problema, es 612. Esto significa que x (x + 16) \u003d 612.

La solución de ecuaciones cuadráticas completas, y esta expresión es sólo eso, no se puede hacer de la misma manera. ¿Por qué? Aunque el lado izquierdo todavía contiene dos factores, el producto de ellos no es igual a 0 en absoluto, por lo que aquí se utilizan otros métodos.

discriminante

En primer lugar, hacemos las transformaciones necesarias, luego apariencia esta expresión se verá así: x 2 + 16x - 612 = 0. Esto significa que hemos recibido una expresión en la forma correspondiente al estándar especificado anteriormente, donde a=1, b=16, c=-612.

Este puede ser un ejemplo de resolución de ecuaciones cuadráticas a través del discriminante. Aquí se realizan los cálculos necesarios según el esquema: D = b 2 - 4ac. Este valor auxiliar no solo permite encontrar los valores deseados en la ecuación de segundo orden, sino que determina el número opciones. En caso D>0, hay dos de ellos; para D=0 hay una raíz. en el caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre las raíces y su fórmula.

En nuestro caso, el discriminante es: 256 - 4(-612) = 2704. Esto indica que nuestro problema tiene respuesta. Si sabe, a, la solución de ecuaciones cuadráticas debe continuar usando la fórmula a continuación. Te permite calcular las raíces.

Esto quiere decir que en el caso presentado: x 1 =18, x 2 =-34. La segunda opción en este dilema no puede ser una solución, porque el tamaño del terreno no se puede medir en valores negativos, lo que significa que x (es decir, el ancho del terreno) es de 18 m, a partir de aquí calculamos la longitud: 18+16=34, y el perímetro 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Ejemplos y tareas

Continuamos el estudio de las ecuaciones cuadráticas. A continuación se darán ejemplos y una solución detallada de varios de ellos.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Transfiramos todo al lado izquierdo de la igualdad, hagamos una transformación, es decir, obtengamos la forma de la ecuación, que generalmente se llama estándar, y la igualemos a cero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Habiendo agregado otros similares, determinamos el discriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Entonces nuestra ecuación tendrá dos raíces. Los calculamos según la fórmula anterior, lo que significa que el primero de ellos será igual a 4/3 y el segundo a 1.

2) Ahora revelaremos acertijos de otro tipo.

Averigüemos si hay raíces x 2 - 4x + 5 = 1 aquí. Para obtener una respuesta exhaustiva, llevamos el polinomio a la forma familiar correspondiente y calculamos el discriminante. En este ejemplo, no es necesario resolver la ecuación cuadrática, porque la esencia del problema no está en absoluto en esto. En este caso, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, lo que significa que realmente no hay raíces.

teorema de Vieta

Es conveniente resolver ecuaciones cuadráticas mediante las fórmulas anteriores y el discriminante, cuando se extrae la raíz cuadrada del valor de este último. Pero esto no siempre sucede. Sin embargo, hay muchas formas de obtener los valores de las variables en este caso. Ejemplo: resolución de ecuaciones cuadráticas utilizando el teorema de Vieta. Lleva el nombre de un hombre que vivió en la Francia del siglo XVI y tuvo una carrera brillante gracias a su talento matemático y conexiones en la corte. Su retrato se puede ver en el artículo.

El patrón que notó el famoso francés fue el siguiente. Demostró que la suma de las raíces de la ecuación es igual a -p=b/a, y su producto corresponde a q=c/a.

Ahora veamos tareas específicas.

3x2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, transformemos la expresión:

x2 + 7x - 18 = 0

Usando el teorema de Vieta, esto nos dará lo siguiente: la suma de las raíces es -7, y su producto es -18. De aquí obtenemos que las raíces de la ecuación son los números -9 y 2. Habiendo hecho una verificación, nos aseguraremos de que estos valores de las variables realmente encajen en la expresión.

Gráfica y Ecuación de una Parábola

Los conceptos de función cuadrática y ecuaciones cuadráticas están estrechamente relacionados. Ya se han dado ejemplos de esto anteriormente. Ahora veamos algunos acertijos matemáticos con un poco más de detalle. Cualquier ecuación del tipo descrito se puede representar visualmente. Tal dependencia, dibujada en forma de gráfico, se llama parábola. Sus diversos tipos se muestran en la siguiente figura.

Toda parábola tiene un vértice, es decir, un punto de donde salen sus ramas. Si a>0, suben hasta el infinito, y cuando a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Las representaciones visuales de funciones ayudan a resolver cualquier ecuación, incluidas las cuadráticas. Este método se llama gráfico. Y el valor de la variable x es la coordenada de abscisas en los puntos donde la línea del gráfico se cruza con 0x. Las coordenadas del vértice se pueden encontrar con la fórmula dada x 0 = -b / 2a. Y, sustituyendo el valor resultante en la ecuación original de la función, puede encontrar y 0, es decir, la segunda coordenada del vértice de la parábola que pertenece al eje y.

La intersección de las ramas de la parábola con el eje de abscisas.

Hay muchos ejemplos con la solución de ecuaciones cuadráticas, pero también hay patrones generales. Considerémoslos. Está claro que la intersección de la gráfica con el eje 0x para a>0 solo es posible si y 0 toma valores negativos. y por un<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. De lo contrario D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir de la gráfica de una parábola, también puedes determinar las raíces. Lo contrario también es cierto. Es decir, si no es fácil obtener una representación visual de una función cuadrática, puede igualar el lado derecho de la expresión a 0 y resolver la ecuación resultante. Y conociendo los puntos de intersección con el eje 0x, es más fácil de graficar.

de la historia

Con la ayuda de ecuaciones que contenían una variable al cuadrado, en los viejos tiempos, no solo se hacían cálculos matemáticos y se determinaba el área de formas geométricas. Los antiguos necesitaban tales cálculos para descubrimientos grandiosos en el campo de la física y la astronomía, así como para hacer pronósticos astrológicos.

Como sugieren los científicos modernos, los habitantes de Babilonia estuvieron entre los primeros en resolver ecuaciones cuadráticas. Ocurrió cuatro siglos antes del advenimiento de nuestra era. Por supuesto, sus cálculos eran fundamentalmente diferentes de los actualmente aceptados y resultaron ser mucho más primitivos. Por ejemplo, los matemáticos mesopotámicos no tenían idea de la existencia de números negativos. Tampoco estaban familiarizados con otras sutilezas de las conocidas por cualquier estudioso de nuestro tiempo.

Tal vez incluso antes que los científicos de Babilonia, el sabio de la India, Baudhayama, asumió la solución de ecuaciones cuadráticas. Esto sucedió unos ocho siglos antes del advenimiento de la era de Cristo. Es cierto que las ecuaciones de segundo orden, los métodos para resolver que dio, fueron los más simples. Además de él, los matemáticos chinos también estaban interesados ​​en preguntas similares en los viejos tiempos. En Europa, las ecuaciones cuadráticas comenzaron a resolverse solo a principios del siglo XIII, pero luego fueron utilizadas en su trabajo por grandes científicos como Newton, Descartes y muchos otros.

Espero que después de estudiar este artículo, aprendas a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática completa.

Con la ayuda del discriminante solo se resuelven ecuaciones cuadráticas completas, para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas se utilizan otros métodos, los cuales encontrarás en el artículo "Resolviendo ecuaciones cuadráticas incompletas".

¿Qué ecuaciones cuadráticas se llaman completas? Este ecuaciones de la forma ax 2 + b x + c = 0, donde los coeficientes a, b y c no son iguales a cero. Entonces, para resolver la ecuación cuadrática completa, necesitas calcular el discriminante D.

D \u003d b 2 - 4ac.

Dependiendo de qué valor tenga el discriminante, escribiremos la respuesta.

Si el discriminante un numero negativo(D< 0),то корней нет.

Si el discriminante es cero, entonces x \u003d (-b) / 2a. Cuando el discriminante es un número positivo (D > 0),

entonces x 1 = (-b - √D)/2a, y x 2 = (-b + √D)/2a.

Por ejemplo. resuelve la ecuación x2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Respuesta: 2.

Resolver la Ecuación 2 x2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Respuesta: sin raices.

Resolver la Ecuación 2 x2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Respuesta: - 3,5; 1.

Así que imaginemos la solución de ecuaciones cuadráticas completas por el esquema de la Figura 1.

Estas fórmulas se pueden utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática completa. Solo debes tener cuidado de la ecuación se escribió como un polinomio de forma estándar

A x2 + bx + c, de lo contrario, puede cometer un error. Por ejemplo, al escribir la ecuación x + 3 + 2x 2 = 0, puede decidir erróneamente que

a = 1, b = 3 y c = 2. Entonces

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 y luego la ecuación tiene dos raíces. Y esto no es cierto. (Consulte la solución del ejemplo 2 anterior).

Por lo tanto, si la ecuación no se escribe como un polinomio de la forma estándar, primero se debe escribir la ecuación cuadrática completa como un polinomio de la forma estándar (en primer lugar debe haber un monomio con el mayor exponente, es decir A x2 , entonces con menos – bx, y luego el término libre Con.

Al resolver la ecuación cuadrática anterior y la ecuación cuadrática con un coeficiente par para el segundo término, también se pueden usar otras fórmulas. Vamos a familiarizarnos con estas fórmulas. Si en la ecuación cuadrática completa con el segundo término el coeficiente es par (b = 2k), entonces la ecuación se puede resolver usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 2.

Una ecuación cuadrática completa se llama reducida si el coeficiente en x2 es igual a la unidad y la ecuación toma la forma x 2 + px + q = 0. Tal ecuación se puede dar para resolver, o se obtiene dividiendo todos los coeficientes de la ecuación por el coeficiente A de pie en x2 .

La figura 3 muestra un diagrama de la solución del cuadrado reducido
ecuaciones Considere el ejemplo de la aplicación de las fórmulas discutidas en este artículo.

Ejemplo. resuelve la ecuación

3x2 + 6x - 6 = 0.

Resolvamos esta ecuación usando las fórmulas que se muestran en la Figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Respuesta: -1 - √3; –1 + √3

Puedes ver que el coeficiente en x en esta ecuación número par, es decir, b \u003d 6 o b \u003d 2k, de donde k \u003d 3. Luego, intentemos resolver la ecuación usando las fórmulas que se muestran en el diagrama de la figura D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6) \ u003d 9 + 18 \u003d 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Respuesta: -1 - √3; –1 + √3. Notando que todos los coeficientes en esta ecuación cuadrática son divisibles por 3 y dividiendo, obtenemos la ecuación cuadrática reducida x 2 + 2x - 2 = 0 Resolvemos esta ecuación usando las fórmulas para la ecuación cuadrática reducida
ecuaciones figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Respuesta: -1 - √3; –1 + √3.

Como puedes ver, al resolver esta ecuación usando diferentes fórmulas, obtuvimos la misma respuesta. Por lo tanto, habiendo dominado bien las fórmulas que se muestran en el diagrama de la Figura 1, siempre puede resolver cualquier ecuación cuadrática completa.

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Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. Guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática" la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (la misma X) en el cuadrado, y al mismo tiempo no debe haber X de tercer (o mayor) grado.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a la solución de ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que tenemos una ecuación cuadrática, y no otra.

Ejemplo 1

Deshazte del denominador y multiplica cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y organicemos los términos en orden descendente de potencias de x

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

Esta ecuación, aunque originalmente estaba en ella, ¡no es un cuadrado!

Ejemplo 3

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? Los grados cuarto y segundo... Sin embargo, si hacemos un reemplazo, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4

Parece ser, pero echemos un vistazo más de cerca. Vamos a mover todo al lado izquierdo:

Verás, se ha encogido, ¡y ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado;
4. no cuadrado;
5. no cuadrado;
6. cuadrado;
7. no cuadrado;
8. cuadrado.

Los matemáticos dividen condicionalmente todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

• Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas, hay dado son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo está completa, ¡sino que también se reduce!)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente y/o el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Tal división se debe a los métodos de solución. Consideremos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, concentrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tipos:

1. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
2. , en esta ecuación el término libre es igual a.
3. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo Como sabemos cómo sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene solución.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. Estas fórmulas no necesitan ser memorizadas. Lo principal es que siempre debes saber y recordar que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora queda por extraer la raíz de las partes izquierda y derecha. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Respuesta:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡Sin raíces!

Para tales ecuaciones en las que no hay raíces, a los matemáticos se les ocurrió un ícono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Respuesta:

Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. No hay restricciones aquí, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común fuera de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Respuesta:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿no?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que la ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más complicado (solo un poco) que las dadas.

Recordar, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante! Incluso incompleto.

El resto de los métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con las ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando el discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es muy simple, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene una raíz Se debe prestar especial atención al paso. El discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula en el paso se reducirá a. Por lo tanto, la ecuación tendrá solo una raíz.
• Si, entonces no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltar.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Entonces la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3

Respuesta:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación está en forma estándar, por lo que Paso 1 saltar.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Entonces la ecuación tiene una raíz.

Respuesta:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación está en forma estándar, por lo que Paso 1 saltar.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir esas respuestas correctamente.

Respuesta: sin raíces

2. Solución de ecuaciones cuadráticas mediante el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuaciones que se llaman reducidas (cuando el coeficiente a es igual a):

Tales ecuaciones son muy fáciles de resolver usando el teorema de Vieta:

La suma de las raíces dado ecuación cuadrática es igual, y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación es adecuada para la solución usando el teorema de Vieta, porque .

La suma de las raíces de la ecuación es, es decir, obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es:

Vamos a crear y resolver el sistema:

• Y. La suma es;
• Y. La suma es;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Respuesta: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

La ecuación se reduce, lo que significa:

Respuesta:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde - desconocido, - algunos números, además.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si, la ecuación inmediatamente se volverá lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En este taburete la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Para empezar, analizaremos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas; son más simples.

Se pueden distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

tercero , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora considere la solución de cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raices

Estas fórmulas no necesitan ser memorizadas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces

Para escribir brevemente que el problema no tiene solución, usamos el ícono de conjunto vacío.

Respuesta:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Respuesta:

Saquemos el factor común fuera de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación y encontramos las raíces:

Respuesta:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerda, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula raíz? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Debemos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene una raíz:
• Si, entonces la ecuación tiene la misma raíz, pero de hecho, una raíz:

  Tales raíces se llaman raíces dobles.

• Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué es posible? cantidad diferente¿raíces? volvamos a sentido geométrico ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso particular, que es una ecuación cuadrática, . Y esto significa que las raíces de la ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje x (eje). La parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede intersecarlo en uno (cuando la parte superior de la parábola se encuentra sobre el eje) o en dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, entonces hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

Respuesta: .

Respuesta:

Esto significa que no hay soluciones.

Respuesta: .

2. Teorema de Vieta

Usar el teorema de Vieta es muy fácil: solo necesitas elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta solo se puede aplicar a ecuaciones cuadráticas dadas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación es adecuada para la solución usando el teorema de Vieta, porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es:

Seleccionemos esos pares de números, cuyo producto es igual, y verifiquemos si su suma es igual:

• Y. La suma es;
• Y. La suma es;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Por lo tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Respuesta: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionamos los pares de números que dan el producto y luego verificamos si su suma es igual:

y: dar en total.

y: dar en total. Para obtenerlo, solo necesita cambiar los signos de las supuestas raíces: y, después de todo, el producto.

Respuesta:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por lo tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto es posible solo si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Entonces la suma de las raíces es diferencias de sus modulos.

Seleccionamos tales pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es - no adecuado;

y: - no apto;

y: - no apto;

y: - adecuado. Solo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, entonces la raíz, que es menor en valor absoluto, debe ser negativa: . Verificamos:

Respuesta:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

La ecuación se reduce, lo que significa:

El término libre es negativo y, por lo tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto es posible solo cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionamos esos pares de números cuyo producto es igual, y luego determinamos qué raíces deben tener un signo negativo:

Obviamente, solo las raíces y son adecuadas para la primera condición:

Respuesta:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

La ecuación se reduce, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces son negativas.

Seleccionamos tales pares de números, cuyo producto es igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Respuesta:

De acuerdo, es muy conveniente: inventar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Trate de usar el teorema de Vieta tan a menudo como sea posible.

Pero se necesita el teorema de Vieta para facilitar y acelerar la búsqueda de raíces. Para que te resulte rentable su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes usar el discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones para tareas de trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como de costumbre, comenzamos la selección con el producto:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es la que necesitas.

Respuesta: ; .

Tarea 2.

Y de nuevo, nuestro teorema de Vieta favorito: la suma debería funcionar, pero el producto es igual.

Pero como no debería ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Respuesta: ; .

Tarea 3.

Mmm... ¿Dónde está?

Es necesario transferir todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Sí, para! No se da la ecuación. Pero el teorema de Vieta es aplicable solo en las ecuaciones dadas. Así que primero necesitas traer la ecuación. Si no puede mencionarlo, descarte esta idea y resuélvalo de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante). Déjame recordarte que traer una ecuación cuadrática significa hacer que el coeficiente principal sea igual a:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual, y el producto.

Es más fácil retomar aquí: después de todo, un número primo (perdón por la tautología).

Respuesta: ; .

Tarea 4.

El término libre es negativo. ¿Qué tiene de especial? Y el hecho de que las raíces serán de diferentes signos. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia entre sus módulos: esta diferencia es igual, pero el producto.

Entonces, las raíces son iguales y, pero una de ellas es con menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un menos: y, ya que.

Respuesta: ; .

Tarea 5.

¿Qué hay que hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número, y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que con menos habrá una raíz más grande.

Respuesta: ; .

Permítanme resumir:

1. El teorema de Vieta se usa solo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, oralmente.
3. Si no se proporciona la ecuación o no se encontró un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y debe resolverlo de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante).

3. Método de selección de cuadro completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan como términos de las fórmulas de la multiplicación abreviada, el cuadrado de la suma o diferencia, luego del cambio de variables, la ecuación se puede representar como una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

EN vista general la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No te recuerda a nada? ¡Es el discriminante! Así es exactamente como se obtuvo la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde es la incógnita, son los coeficientes de la ecuación cuadrática, es el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente y/o el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación tiene la forma: ,
• si es un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
• si y, la ecuación tiene la forma: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde, :

1) Expresar la incógnita: ,

2) Verifica el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde, :

1) Saquemos el factor común fuera de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando el discriminante

1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,

2) Calcular el discriminante mediante la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentran por la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (una ecuación de la forma donde) es igual, y el producto de las raíces es igual, es decir , A.

2.3. solución cuadrada completa

Si una ecuación cuadrática de la forma tiene raíces, entonces se puede escribir en la forma: .

Bueno, el tema ha terminado. Si estás leyendo estas líneas, entonces eres muy chévere.

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Discriminante es un término ambiguo. Este artículo se centrará en el discriminante de un polinomio, que te permite determinar si un polinomio dado tiene soluciones reales. La fórmula para un polinomio cuadrado se encuentra en el curso escolar de álgebra y análisis. ¿Cómo encontrar el discriminante? ¿Qué se necesita para resolver la ecuación?

Un polinomio cuadrático o una ecuación de segundo grado se llama i * w ^ 2 + j * w + k igual a 0, donde "i" y "j" son los coeficientes primero y segundo, respectivamente, "k" es una constante, a veces llamada "intersección", y "w" es una variable Sus raíces serán todos los valores de la variable en la que se convierte en una identidad. Tal igualdad se puede reescribir como el producto de i, (w - w1) y (w - w2) igual a 0. En este caso, es obvio que si el coeficiente "i" no desaparece, entonces la función en el lado izquierdo se convertirá en cero sólo si x toma el valor w1 o w2. Estos valores son el resultado de poner a cero el polinomio.

Para encontrar el valor de una variable en la que se anula el polinomio cuadrático, se usa una construcción auxiliar, construida sobre sus coeficientes y llamada discriminante. Esta construcción se calcula según la fórmula D es igual a j * j - 4 * i * k. ¿Por qué se está utilizando?

1. Ella dice si hay resultados válidos.
2. Ella ayuda a calcularlos.

Cómo este valor muestra la presencia de raíces reales:

• Si es positivo, entonces puedes encontrar dos raíces en la región de los números reales.
• Si el discriminante es cero, entonces ambas soluciones son iguales. Podemos decir que solo hay una solución, y es del reino de los números reales.
• Si el discriminante menos que cero, entonces el polinomio no tiene raíces reales.

Opciones de cálculo para fijar el material.

Para suma (7 * w^2; 3 * w; 1) igual a 0 calculamos D por la fórmula 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 obtenemos -19. Un valor discriminante por debajo de cero indica que no hay resultados en la recta real.

Si consideramos 2*w^2 - 3*w+1 equivalente a 0, entonces D se calcula como (-3) al cuadrado menos el producto de los números (4; 2; 1) y es igual a 9 - 8, es decir, 1. Valor positivo habla de dos resultados en la recta real.

Si tomamos la suma (w^2; 2 * w; 1) y la igualamos a 0, D se calcula como dos al cuadrado menos el producto de los números (4; 1; 1). Esta expresión se simplificará a 4 - 4 y se convertirá en cero. Resulta que los resultados son los mismos. Si observa detenidamente esta fórmula, quedará claro que se trata de un "cuadrado completo". Esto significa que la igualdad se puede reescribir en la forma (w + 1) ^ 2 = 0. Se hizo evidente que el resultado de este problema es "-1". En una situación en la que D es igual a 0, el lado izquierdo de la igualdad siempre se puede colapsar de acuerdo con la fórmula "cuadrado de la suma".

Usando el Discriminante para Calcular Raíces

Esta construcción auxiliar no solo muestra la cantidad de soluciones reales, sino que también ayuda a encontrarlas. La fórmula general para calcular la ecuación de segundo grado es la siguiente:

w = (-j +/- d) / (2 * i), donde d es el discriminante a la potencia de 1/2.

Supongamos que el discriminante está por debajo de cero, entonces d es imaginario y los resultados son imaginarios.

D es cero, entonces d igual a D elevado a 1/2 también es cero. Solución: -j/(2*i). Considerando 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0 nuevamente, encontramos resultados equivalentes a -2 / (2 * 1) = -1.

Supongamos que D > 0, entonces d es un número real, y la respuesta aquí se divide en dos partes: w1 = (-j + d) / (2 * i) y w2 = (-j - d) / (2 * i) . Ambos resultados serán válidos. Veamos 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Aquí el discriminante y d son unos. Entonces w1 es (3 + 1) dividido por (2 * 2) o 1, y w2 es (3 - 1) dividido por 2 * 2 o 1/2.

El resultado de igualar una expresión cuadrada a cero se calcula según el algoritmo:

1. Determinación del número de soluciones válidas.
2. Cálculo d = D^(1/2).
3. Encontrar el resultado según la fórmula (-j +/- d) / (2 * i).
4. Sustitución del resultado recibido en igualdad inicial por verificación.

Algunos casos especiales

Dependiendo de los coeficientes, la solución se puede simplificar un poco. Obviamente, si el coeficiente delante de la variable a la segunda potencia es cero, entonces se obtiene una igualdad lineal. Cuando el coeficiente delante de la variable es cero a la primera potencia, entonces son posibles dos opciones:

1. el polinomio se expande en la diferencia de cuadrados con un término libre negativo;
2. para una constante positiva, no se pueden encontrar soluciones reales.

Si el término libre es cero, entonces las raíces serán (0; -j)

Pero hay otros casos especiales que simplifican la búsqueda de una solución.

Ecuación de segundo grado reducida

Lo dado se llama tal trinomio cuadrado, donde el coeficiente delante del término más alto es uno. Para esta situación es aplicable el teorema de Vieta, que dice que la suma de las raíces es igual al coeficiente de la variable a la primera potencia, multiplicado por -1, y el producto corresponde a la constante "k".

Por tanto, w1 + w2 es igual a -j y w1 * w2 es igual a k si el primer coeficiente es uno. Para verificar la exactitud de tal representación, podemos expresar w2 = -j - w1 a partir de la primera fórmula y sustituirla en la segunda igualdad w1 * (-j - w1) = k. El resultado es la igualdad original w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Es importante tener en cuenta que i * w ^ 2 + j * w + k = 0 se puede reducir dividiendo por "i". El resultado será: w^2 + j1 * w + k1 = 0 donde j1 es igual a j/i y k1 es igual a k/i.

Veamos el ya resuelto 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 con los resultados w1 = 1 y w2 = 1/2. Es necesario dividirlo por la mitad, como resultado, w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Comprobemos que las condiciones del teorema son ciertas para los resultados encontrados: 1 + 1/2 = 3/2 y 1 * 1/2 = 1/2.

Incluso el segundo factor

Si el factor de la variable a la primera potencia (j) es divisible por 2, entonces será posible simplificar la fórmula y buscar una solución a través de un cuarto del discriminante D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. resulta w = (-j +/- d/2) / i, donde d/2 = D/4 elevado a 1/2.

Si i = 1, y el coeficiente j es par, entonces la solución es el producto de -1 y la mitad del coeficiente en la variable w, más/menos la raíz del cuadrado de esta mitad, menos la constante "k". Fórmula: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Discriminante de orden superior

El discriminante de un trinomio de segundo grado considerado anteriormente es el más comúnmente utilizado caso especial. En el caso general, el discriminante de un polinomio es los cuadrados multiplicados de las diferencias de las raíces de este polinomio. Por tanto, un discriminante igual a cero indica la presencia de al menos dos soluciones múltiples.

Considere i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Digamos que el discriminante es mayor que cero. Esto significa que hay tres raíces en la región de los números reales. En cero, hay múltiples soluciones. Si D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Nuestro video le informará en detalle sobre el cálculo del discriminante.

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