Primera derivada Si la derivada de una función es positiva (negativa) en un determinado intervalo, entonces la función en este intervalo aumenta monótonamente (disminuye monótonamente). Si la derivada de una función es positiva (negativa) en un intervalo determinado, entonces la función aumenta (disminuye monótonamente) monótonamente en este intervalo. Más

Definición Una curva se llama convexa en un punto si en alguna vecindad de este punto se encuentra debajo de su tangente en un punto. Una curva se llama convexa en un punto si en alguna vecindad de este punto se encuentra debajo de su tangente en un punto. Una curva se llama cóncava en un punto si en alguna vecindad de este punto se ubica por encima de su tangente en un punto Una curva se llama cóncava en un punto si en alguna vecindad de este punto se ubica por encima de su tangente en un punto Siguiente

Signo de concavidad y convexidad Si la segunda derivada de una función en un intervalo dado es positiva, entonces la curva es cóncava en este intervalo, y si es negativa, es convexa en este intervalo. Si la segunda derivada de una función en un intervalo dado es positiva, entonces la curva es cóncava en este intervalo, y si es negativa, es convexa en este intervalo. Definición

Plan para estudiar una función y construir su gráfica 1. Encuentre el dominio de definición de la función y determine los puntos de discontinuidad, si los hay 1. Encuentre el dominio de definición de la función y determine los puntos de discontinuidad, si los hay 2. Encuentre averiguar si la función es par o impar; comprobar su periodicidad 2. Averiguar si la función es par o impar; verifique su periodicidad 3. Determine los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas 3. Determine los puntos de intersección de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas 4. Encuentre puntos críticos del primer tipo 4. Encuentre puntos críticos puntos del primer tipo 5. Determinar los intervalos de monotonicidad y extremos de la función 5. Determinar los intervalos de monotonicidad y extremos de la función 6. Determinar los intervalos de convexidad y concavidad y encontrar puntos de inflexión 6. Determinar los intervalos de convexidad y concavidad y encuentre puntos de inflexión 7. Usando los resultados de la investigación, conecte los puntos obtenidos con una curva suave 7. Usando los resultados de la investigación, conecte los puntos obtenidos con una curva suave Salida

• Tabla de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivadas de funciones simples

Explicación:
La derivada muestra la velocidad a la que cambia el valor de una función cuando cambia su argumento. Dado que el número no cambia de ninguna manera bajo ninguna condición, la tasa de cambio es siempre cero.

2. Derivada de una variable igual a uno
x´ = 1

Explicación:
Con cada incremento del argumento (x) en uno, el valor de la función (el resultado del cálculo) aumenta en la misma cantidad. Por tanto, la tasa de cambio en el valor de la función y = x es exactamente igual a la tasa de cambio en el valor del argumento.

3. La derivada de una variable y un factor es igual a este factor
xx´ = x
Ejemplo:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicación:
En este caso, cada vez que cambia el argumento de la función ( X) su valor (y) aumenta en Con una vez. Por tanto, la tasa de cambio del valor de la función en relación con la tasa de cambio del argumento es exactamente igual al valor Con.

De donde se sigue que
(cx + b)" = c
es decir, el diferencial de la función lineal y=kx+b es igual a la pendiente de la recta (k).

5. Derivada de una variable a una potencia igual al producto de un número de esta potencia y una variable a la potencia reducida en uno
(xc)"=cxc-1, siempre que x c ​​y cx c-1 estén definidos y c ≠ 0
Ejemplo:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Para recordar la fórmula:
Mueva el grado de la variable hacia abajo como factor y luego reduzca el grado en uno. Por ejemplo, para x 2, los dos estaban por delante de x, y luego la potencia reducida (2-1 = 1) simplemente nos dio 2x. Lo mismo sucedió con x 3: “bajamos” el triple, lo reducimos en uno y en lugar de un cubo tenemos un cuadrado, es decir, 3x 2. Un poco "poco científico" pero muy fácil de recordar.

6.Derivada de una fracción 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Ejemplo:
Dado que una fracción se puede representar elevando a una potencia negativa
(1/x)" = (x -1)", entonces puedes aplicar la fórmula de la regla 5 de la tabla de derivadas
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivada de una fracción con una variable de grado arbitrario en el denominador
(1/xc)" = -c/xc+1
Ejemplo:
(1/x2)" = - 2/x3

8. Derivada de la raíz(derivada de variable bajo raíz cuadrada)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Ejemplo:
(√x)" = (x 1/2)" significa que puedes aplicar la fórmula de la regla 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Derivada de una variable bajo la raíz de un grado arbitrario.
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

En el intermedio ( A,b), A X- es un punto seleccionado aleatoriamente en un intervalo dado. vamos a dar el argumento X incrementoΔx (positivo o negativo).

La función y =f(x) recibirá un incremento Δу igual a:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

En Δx infinitesimal incrementoΔy también es infinitamente pequeña.

Por ejemplo:

Consideremos resolver la derivada de una función usando el ejemplo de un cuerpo en caída libre.

Dado que t 2 = t l + Δt, entonces

.

Habiendo calculado el límite, encontramos:

Se introduce la notación t 1 para enfatizar la constancia de t al calcular el límite de la función. Dado que t 1 es un valor de tiempo arbitrario, el índice 1 puede descartarse; entonces obtenemos:

Se puede observar que la velocidad v, de esa manera s, Hay función tiempo. Tipo de función v Depende completamente del tipo de función. s, entonces la función s como si “produjera” una función v. De ahí el nombre " función derivada».

Considere otro ejemplo.

Encuentra el valor de la derivada de la función:

y = x 2 en x = 7.

Solución. En x = 7 tenemos y=7 2 = 49. vamos a dar el argumento X incremento Δ X. El argumento se volverá igual. 7 + Δ X, y la función recibirá el valor (7 + Δ x) 2.

Primer nivel

Derivada de una función. Guía completa (2019)

Imaginemos una carretera recta que pasa por una zona montañosa. Es decir, sube y baja, pero no gira a derecha ni a izquierda. Si el eje se dirige horizontalmente a lo largo de la carretera y verticalmente, entonces la línea de la carretera será muy similar a la gráfica de alguna función continua:

El eje es un cierto nivel de altitud cero, en la vida usamos el nivel del mar como tal.

A medida que avanzamos por ese camino, también avanzamos hacia arriba o hacia abajo. También podemos decir: cuando cambia el argumento (movimiento a lo largo del eje de abscisas), cambia el valor de la función (movimiento a lo largo del eje de ordenadas). Ahora pensemos en cómo determinar la "inclinación" de nuestro camino. ¿Qué tipo de valor podría ser este? Es muy simple: cuánto cambiará la altura al avanzar una cierta distancia. De hecho, en diferentes tramos de la carretera, avanzando (a lo largo del eje x) un kilómetro, subiremos o bajaremos diferentes cantidades metros con respecto al nivel del mar (a lo largo del eje de ordenadas).

Denotemos el progreso (léase "delta x").

La letra griega (delta) se usa comúnmente en matemáticas como prefijo que significa "cambio". Es decir, este es un cambio en la cantidad, un cambio; ¿entonces que es eso? Así es, un cambio de magnitud.

Importante: una expresión es un todo único, una variable. ¡Nunca separes la “delta” de la “x” o de cualquier otra letra! Es decir, por ejemplo.

Así que hemos avanzado horizontalmente. Si comparamos la línea del camino con la gráfica de la función, ¿cómo denotamos el ascenso? Ciertamente, . Es decir, a medida que avanzamos, ascendemos más.

El valor es fácil de calcular: si al principio estábamos en una altura, y después de movernos nos encontramos en una altura, entonces. Si el punto final es más bajo que el punto inicial, será negativo; esto significa que no estamos ascendiendo, sino descendiendo.

Volvamos a la "inclinación": este es un valor que muestra cuánto (empinada) aumenta la altura al avanzar una unidad de distancia:

Supongamos que en algún tramo de la carretera, al avanzar un kilómetro, la carretera sube un kilómetro. Entonces la pendiente en este lugar es igual. ¿Y si la carretera, avanzando m, bajara km? Entonces la pendiente es igual.

Ahora miremos la cima de una colina. Si tomas el inicio del tramo medio kilómetro antes de la cumbre, y el final medio kilómetro después de ella, verás que la altura es casi la misma.

Es decir, según nuestra lógica, resulta que la pendiente aquí es casi igual a cero, lo que claramente no es cierto. En poco más de unos kilómetros muchas cosas pueden cambiar. Es necesario considerar áreas más pequeñas para una evaluación más adecuada y precisa de la pendiente. Por ejemplo, si mides el cambio de altura a medida que avanzas un metro, el resultado será mucho más preciso. Pero incluso esta precisión puede no ser suficiente para nosotros; después de todo, si hay un poste en medio de la carretera, podemos simplemente pasarlo. ¿Qué distancia debemos elegir entonces? ¿Centímetro? ¿Milímetro? ¡Menos es mejor!

EN vida real Medir distancias al milímetro más cercano es más que suficiente. Pero los matemáticos siempre luchan por alcanzar la perfección. Por lo tanto, se inventó el concepto. infinitesimal, es decir, el valor absoluto es menor que cualquier número que podamos nombrar. Por ejemplo, dices: ¡una billonésima parte! ¿Cuánto menos? Y divides este número por y será aún menor. Etcétera. Si queremos escribir que una cantidad es infinitesimal, escribimos así: (leemos “x tiende a cero”). Es muy importante entender ¡Que este número no es cero! Pero muy cerca de eso. Esto significa que puedes dividir por él.

El concepto opuesto a infinitesimal es infinitamente grande (). Probablemente ya te hayas encontrado con esto cuando trabajabas en desigualdades: este número es módulo mayor que cualquier número que puedas imaginar. Si obtienes el mayor número posible, simplemente multiplícalo por dos y obtendrás un número aún mayor. Y el infinito todavía Además lo que sucederá. De hecho, lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño son lo inverso entre sí, es decir, en, y viceversa: en.

Ahora volvamos a nuestro camino. La pendiente idealmente calculada es la pendiente calculada para un segmento infinitesimal del camino, es decir:

Observo que con un desplazamiento infinitesimal, el cambio de altura también será infinitesimal. Pero déjame recordarte que infinitesimal no significa igual a cero. Si divides números infinitesimales entre sí, puedes obtener un número completamente normal, por ejemplo, . Es decir, un valor pequeño puede ser exactamente veces mayor que otro.

¿Para qué es todo esto? La carretera, la pendiente... No vamos a un rally de coches, pero vamos a enseñar matemáticas. Y en matemáticas todo es exactamente igual, sólo que se llama de otra manera.

Concepto de derivada

La derivada de una función es la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento.

incrementalmente En matemáticas lo llaman cambio. La medida en que el argumento () cambia a medida que se mueve a lo largo del eje se llama incremento de argumento y se designa Cuánto ha cambiado la función (altura) al avanzar una distancia a lo largo del eje se llama incremento de función y es designado.

Entonces, la derivada de una función es la razón a cuando. Denotamos la derivada con la misma letra que la función, sólo que con un primo en la parte superior derecha: o simplemente. Entonces, escribamos la fórmula derivada usando estas notaciones:

Como en la analogía con la carretera, aquí cuando la función aumenta, la derivada es positiva, y cuando disminuye, es negativa.

¿Puede la derivada ser igual a cero? Ciertamente. Por ejemplo, si circulamos por una carretera llana y horizontal, la pendiente es cero. Y es cierto, la altura no cambia en absoluto. Lo mismo ocurre con la derivada: la derivada de una función constante (constante) es igual a cero:

ya que el incremento de dicha función es igual a cero para cualquiera.

Recordemos el ejemplo de la cima de la colina. Resultó que era posible colocar los extremos del segmento en lados opuestos del vértice de tal manera que la altura en los extremos resulta ser la misma, es decir, el segmento es paralelo al eje:

Pero los segmentos grandes son señal de una medición inexacta. Levantaremos nuestro segmento paralelo a sí mismo, luego su longitud disminuirá.

Con el tiempo, cuando estemos infinitamente cerca de la cima, la longitud del segmento se volverá infinitesimal. Pero al mismo tiempo permaneció paralelo al eje, es decir, la diferencia de alturas en sus extremos es igual a cero (no tiende a, pero es igual a). Entonces la derivada

Esto se puede entender de esta manera: cuando estamos en la cima, un pequeño desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha cambia nuestra altura de manera insignificante.

También hay una explicación puramente algebraica: a la izquierda del vértice la función aumenta y a la derecha disminuye. Como descubrimos anteriormente, cuando una función aumenta, la derivada es positiva y cuando disminuye, es negativa. Pero cambia suavemente, sin saltos (ya que la carretera no cambia bruscamente de pendiente en ninguna parte). Por lo tanto, entre negativo y valores positivos definitivamente debe haberlo. Será donde la función no aumenta ni disminuye: en el punto del vértice.

Lo mismo ocurre con el valle (el área donde la función de la izquierda disminuye y la de la derecha aumenta):

Un poco más sobre incrementos.

Entonces cambiamos el argumento a magnitud. ¿Cambiamos de qué valor? ¿En qué se ha convertido (el argumento) ahora? Podemos elegir cualquier punto y ahora bailaremos desde él.

Considere un punto con una coordenada. El valor de la función en él es igual. Luego hacemos el mismo incremento: aumentamos la coordenada en. ¿Cuál es el argumento ahora? Muy fácil: . ¿Cuál es el valor de la función ahora? Donde va el argumento, también va la función: . ¿Qué pasa con el incremento de función? Nada nuevo: esta sigue siendo la cantidad en la que ha cambiado la función:

Practica encontrar incrementos:

1. Encuentre el incremento de la función en un punto en el que el incremento del argumento es igual a.
2. Lo mismo ocurre con la función en un punto.

Soluciones:

En diferentes puntos con el mismo incremento de argumento, el incremento de función será diferente. Esto significa que la derivada en cada punto es diferente (lo discutimos al principio: la pendiente de la carretera es diferente en diferentes puntos). Por tanto, cuando escribimos una derivada, debemos indicar en qué punto:

Función de potencia.

Una función de potencia es una función donde el argumento es hasta cierto punto (lógico, ¿verdad?).

Además, en cualquier medida: .

El caso más simple- aquí es cuando el exponente:

Encontremos su derivada en un punto. Recordemos la definición de derivada:

Entonces el argumento cambia de a. ¿Cuál es el incremento de la función?

El incremento es esto. Pero una función en cualquier punto es igual a su argumento. Es por eso:

La derivada es igual a:

La derivada de es igual a:

b) Ahora considere función cuadrática (): .

Ahora recordemos eso. Esto significa que el valor del incremento puede despreciarse, ya que es infinitesimal y, por lo tanto, insignificante en comparación con el otro término:

Entonces, se nos ocurrió otra regla:

c) Continuamos la serie lógica: .

Esta expresión se puede simplificar de diferentes maneras: abra el primer paréntesis usando la fórmula de multiplicación abreviada del cubo de la suma, o factorice la expresión completa usando la fórmula de diferencia de cubos. Intente hacerlo usted mismo utilizando cualquiera de los métodos sugeridos.

Entonces, obtuve lo siguiente:

Y nuevamente recordemos eso. Esto significa que podemos descuidar todos los términos que contengan:

Obtenemos: .

d) Se pueden obtener reglas similares para grandes potencias:

e) Resulta que esta regla se puede generalizar para una función potencia con un exponente arbitrario, ni siquiera un número entero:

La regla se puede formular con las palabras: "el grado se adelanta como un coeficiente y luego se reduce en".

Demostraremos esta regla más adelante (casi al final). Ahora veamos algunos ejemplos. Encuentra la derivada de las funciones:

1. (de dos formas: mediante fórmula y utilizando la definición de derivada, calculando el incremento de la función);

1. . Lo creas o no, ésta es una función de poder. Si tienes preguntas como “¿Cómo es esto? ¿Dónde está el título?”, recuerda el tema “”!
   Sí, sí, la raíz también es un grado, solo fraccional: .
   Entonces el nuestro Raíz cuadrada- esto es solo un título con un indicador:
   .
   Buscamos la derivada usando la fórmula recién aprendida:

   Si en este punto vuelve a resultar confuso, repita el tema “”!!! (aproximadamente un grado con exponente negativo)

2. . Ahora el exponente:

   Y ahora pasando por la definición (¿ya la has olvidado?):
   ;
   .
   Ahora, como siempre, descuidamos el término que contiene:
   .

3. . Combinación de casos anteriores: .

Funciones trigonométricas.

Aquí usaremos un hecho de matemáticas superiores:

Con expresión.

La prueba la aprenderás en el primer año de instituto (y para llegar allí tendrás que aprobar bien el Examen Estatal Unificado). Ahora solo lo mostraré gráficamente:

Vemos que cuando la función no existe, el punto en la gráfica se corta. Pero cuanto más cerca del valor, más cerca está la función: esto es lo que "objetiva".

Además, puedes verificar esta regla usando una calculadora. Sí, sí, no seas tímido, toma una calculadora, todavía no estamos en el Examen Estatal Unificado.

Entonces intentemos: ;

¡No olvides cambiar tu calculadora al modo Radianes!

etc. Vemos que cuanto más pequeño, más cercano es el valor de la relación.

a) Considere la función. Como siempre, encontremos su incremento:

Convirtamos la diferencia de senos en un producto. Para ello utilizamos la fórmula (recordemos el tema “”): .

Ahora la derivada:

Hagamos un reemplazo: . Entonces para infinitesimal también es infinitesimal: . La expresión para toma la forma:

Y ahora lo recordamos con la expresión. Y también, ¿qué pasa si se puede despreciar una cantidad infinitesimal en la suma (es decir, en)?

Entonces, obtenemos la siguiente regla: la derivada del seno es igual al coseno:

Estas son derivadas básicas (“tabulares”). Aquí están en una lista:

Más adelante les añadiremos algunos más, pero estos son los más importantes, ya que son los más utilizados.

Práctica:

1. Encuentra la derivada de la función en un punto;
2. Encuentra la derivada de la función.

Soluciones:

1. Primero, encontremos la derivada en vista general y luego sustituya su valor:
   ;
   .
2. Aquí tenemos algo similar a una función de potencia. Intentemos traerla a
   aspecto normal:
   .
   Genial, ahora puedes usar la fórmula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. ¿Qué es esto????

Bien, tienes razón, todavía no sabemos cómo encontrar dichos derivados. Aquí tenemos una combinación de varios tipos de funciones. Para trabajar con ellos, necesitas aprender algunas reglas más:

Exponente y logaritmo natural.

Hay una función en matemáticas cuya derivada para cualquier valor es igual al valor de la función misma al mismo tiempo. Se llama "exponente" y es una función exponencial.

La base de esta función es una constante: es infinita. decimal, es decir, un número irracional (como). Se llama “número de Euler” y por eso se indica con una letra.

Entonces, la regla:

Muy fácil de recordar.

Bueno, no vayamos muy lejos, consideremos inmediatamente la función inversa. ¿Qué función es la inversa de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es el número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con base) se llama "natural" y usamos una notación especial para él: en su lugar, escribimos.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

La derivada del logaritmo natural también es muy sencilla:

Ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función.
2. ¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: Expositor y logaritmo natural- Las funciones son singularmente simples en términos de derivadas. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de repasar las reglas de derivación.

Reglas de diferenciación

¿Reglas de qué? ¡¿Otra vez un nuevo término, otra vez?!...

Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.

Eso es todo. ¿Cómo más se puede llamar a este proceso en una palabra? No derivada... Los matemáticos llaman diferencial al mismo incremento de una función en. Este término proviene del latín diferencial - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se quita del signo de la derivada.

Si - algún número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también sirve para la diferencia: .

Demostrémoslo. Déjalo así, o más sencillo.

Ejemplos.

Encuentra las derivadas de las funciones:

1. en un punto;
2. en un punto;
3. en un punto;
4. en el punto.

Soluciones:

1. (la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado del producto

Aquí todo es similar: introduzcamos una nueva función y encontremos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

1. Encuentra las derivadas de las funciones y;
2. Encuentra la derivada de la función en un punto.

Soluciones:

Derivada de una función exponencial

Ahora tus conocimientos son suficientes para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no sólo de los exponentes (¿ya has olvidado qué es eso?).

Entonces, ¿dónde está algún número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos reducir nuestra función a una nueva base:

Para esto usaremos regla simple: . Entonces:

Bueno, funcionó. Ahora intenta encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada de un exponente: tal como estaba, sigue igual, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra las derivadas de las funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, ya no se puede escribir en él. en forma sencilla. Por tanto, lo dejamos así en la respuesta.

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya conoces la derivada del logaritmo natural:

Por tanto, para encontrar un logaritmo arbitrario con diferente base, por ejemplo:

Necesitamos reducir este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Sólo que ahora escribiremos en su lugar:

El denominador es simplemente una constante (un número constante, sin variable). La derivada se obtiene de forma muy sencilla:

Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas casi nunca se encuentran en el Examen Estatal Unificado, pero no será superfluo conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arcotangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si te resulta difícil el logaritmo, lee el tema “Logaritmos” y estarás bien), pero desde un punto de vista matemático, la palabra “complejo” no significa “difícil”.

Imaginemos una pequeña cinta transportadora: dos personas están sentadas y realizan algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. El resultado es un objeto compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer chocolate, debes hacer acciones inversas en orden inverso.

Creemos una tubería matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltorio) y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué pasó? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando, para encontrar su valor, realizamos la primera acción directamente con la variable, y luego una segunda acción con lo resultante de la primera.

Podemos hacer fácilmente los mismos pasos en orden inverso: primero lo elevas al cuadrado y luego busco el coseno del número resultante: . Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, la función cambia.

En otras palabras, una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para el primer ejemplo, .

Segundo ejemplo: (lo mismo). .

La acción que hagamos en último lugar se llamará función "externa", y la acción realizada primero, en consecuencia función "interna"(Estos son nombres informales, los uso sólo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar usted mismo qué función es externa y cuál interna:

Respuestas: Separar funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en una función

1. ¿Qué acción realizaremos primero? Primero, calculemos el seno y solo luego lo elevamos al cubo. Esto quiere decir que es una función interna, pero externa.
   Y la función original es su composición: .
2. Interno: ; externo: .
   Examen: .
3. Interno: ; externo: .
   Examen: .
4. Interno: ; externo: .
   Examen: .
5. Interno: ; externo: .
   Examen: .

Cambiamos variables y obtenemos una función.

Bueno, ahora extraeremos nuestra barra de chocolate y buscaremos el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. En relación con el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Parece sencillo, ¿verdad?

Comprobemos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(¡Pero no intentes cortarlo ahora! No sale nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interno: ;

Externo: ;

Inmediatamente queda claro que se trata de una función compleja de tres niveles: después de todo, esto ya es una función compleja en sí misma, y ​​​​también le extraemos la raíz, es decir, realizamos la tercera acción (ponemos el chocolate en un envoltorio y con una cinta en el maletín). Pero no hay por qué tener miedo: todavía “desempaquetaremos” esta función en el mismo orden habitual: desde el final.

Es decir, primero derivamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.

En tales casos conviene numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones es la misma que antes:

Aquí el anidamiento suele ser de 4 niveles. Determinemos el curso de acción.

1. Expresión radical. .

2. Raíz. .

3. Seno. .

4. Cuadrado. .

5. Poniéndolo todo junto:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Derivada de una función- la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento:

Derivados básicos:

Reglas de diferenciación:

La constante se saca del signo de la derivada:

Derivada de la suma:

Derivado del producto:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

1. Definimos la función "interna" y encontramos su derivada.
2. Definimos la función "externa" y encontramos su derivada.
3. Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.

Definición. Dejemos que la función \(y = f(x)\) se defina en un cierto intervalo que contiene el punto \(x_0\). Démosle al argumento un incremento \(\Delta x \) tal que no salga de este intervalo. Encontremos el incremento correspondiente de la función \(\Delta y \) (al movernos del punto \(x_0 \) al punto \(x_0 + \Delta x \)) y componamos la relación \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Si hay un límite para esta relación en \(\Delta x \rightarrow 0\), entonces el límite especificado se llama derivada de una función\(y=f(x) \) en el punto \(x_0 \) y denota \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

El símbolo y se utiliza a menudo para indicar la derivada." Tenga en cuenta que y" = f(x) es nueva caracteristica, pero naturalmente asociado con la función y = f(x), definida en todos los puntos x en los que existe el límite anterior. Esta función se llama así: derivada de la función y = f(x).

Significado geométrico de derivada es como sigue. Si es posible trazar una tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto con abscisa x=a, que no es paralelo al eje y, entonces f(a) expresa la pendiente de la tangente :
\(k = f"(a)\)

Dado que \(k = tg(a) \), entonces la igualdad \(f"(a) = tan(a) \) es verdadera.

Ahora interpretemos la definición de derivada desde el punto de vista de igualdades aproximadas. Sea la función \(y = f(x)\) tener una derivada en un punto específico \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Esto significa que cerca del punto x la igualdad aproximada \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), es decir, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Deltax\). El significado significativo de la igualdad aproximada resultante es el siguiente: el incremento de la función es "casi proporcional" al incremento del argumento, y el coeficiente de proporcionalidad es el valor de la derivada en un punto dado x. Por ejemplo, para la función \(y = x^2\) la igualdad aproximada \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) es válida. Si analizamos detenidamente la definición de derivada, encontraremos que contiene un algoritmo para encontrarla.

Formulémoslo.

¿Cómo encontrar la derivada de la función y = f(x)?

1. Fije el valor de \(x\), encuentre \(f(x)\)
2. Dale al argumento \(x\) un incremento \(\Delta x\), ve a un nuevo punto \(x+ \Delta x \), encuentra \(f(x+ \Delta x) \)
3. Encuentra el incremento de la función: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Crea la relación \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Calcula $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Este límite es la derivada de la función en el punto x.

Si una función y = f(x) tiene una derivada en un punto x, entonces se llama diferenciable en un punto x. El procedimiento para encontrar la derivada de la función y = f(x) se llama diferenciación funciones y = f(x).

Analicemos la siguiente pregunta: ¿cómo se relacionan entre sí la continuidad y la diferenciabilidad de una función en un punto?

Sea la función y = f(x) diferenciable en el punto x. Entonces se puede trazar una tangente a la gráfica de la función en el punto M(x; f(x)) y, recordemos, el coeficiente angular de la tangente es igual a f "(x). Tal gráfica no puede “romperse” en el punto M, es decir, la función debe ser continua en el punto x.

Estos fueron argumentos “prácticos”. Demos un razonamiento más riguroso. Si la función y = f(x) es derivable en el punto x, entonces se cumple la igualdad aproximada \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Si en esta igualdad \(\Delta x \) tiende a cero, entonces \(\Delta y \) tenderá a cero, y esta es la condición para la continuidad de la función en un punto.

Entonces, Si una función es derivable en un punto x, entonces es continua en ese punto..

La afirmación inversa no es cierta. Por ejemplo: función y = |x| es continua en todas partes, en particular en el punto x = 0, pero la tangente a la gráfica de la función en el “punto de unión” (0; 0) no existe. Si en algún punto no se puede trazar una tangente a la gráfica de una función, entonces la derivada no existe en ese punto.

Un ejemplo más. La función \(y=\sqrt(x)\) es continua en toda la recta numérica, incluso en el punto x = 0. Y la tangente a la gráfica de la función existe en cualquier punto, incluso en el punto x = 0 Pero en este punto la tangente coincide con el eje y, es decir, es perpendicular al eje de abscisas, su ecuación tiene la forma x = 0. Coeficiente de pendiente dicha línea no tiene, lo que significa que \(f"(0) \) tampoco existe

Entonces, nos familiarizamos con una nueva propiedad de una función: la diferenciabilidad. ¿Cómo se puede concluir de la gráfica de una función que es diferenciable?

En realidad, la respuesta se da arriba. Si en algún punto es posible trazar una tangente a la gráfica de una función que no sea perpendicular al eje de abscisas, entonces en ese punto la función es diferenciable. Si en algún punto la tangente a la gráfica de una función no existe o es perpendicular al eje de abscisas, entonces en ese punto la función no es diferenciable.

Reglas de diferenciación

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación. Al realizar esta operación, a menudo es necesario trabajar con cocientes, sumas, productos de funciones, así como "funciones de funciones", es decir, funciones complejas. A partir de la definición de derivada, podemos derivar reglas de diferenciación que facilitan este trabajo. Si C es un número constante y f=f(x), g=g(x) son algunas funciones diferenciables, entonces lo siguiente es cierto reglas de diferenciación:

Tabla de derivadas de algunas funciones.