25.09.2019

Sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales

Hace calor afuera, está volando pelusa de álamo, y este clima es propicio para la relajación. Durante el año escolar, todo el mundo ha acumulado fatiga, pero la anticipación de las vacaciones de verano debería inspirarle a aprobar con éxito exámenes y pruebas. Por cierto, los profesores también son aburridos durante la temporada, así que pronto también me tomaré un tiempo para descargar mi cerebro. Y ahora café, zumbido constante unidad del sistema, varios mosquitos muertos en el alféizar de la ventana y bastante condiciones de trabajo… … oh, maldita sea, … un puto poeta.

Al punto. A quién le importa, pero hoy es 1 de junio para mí y veremos otro. tarea típica análisis complejo – encontrar una solución particular a un sistema de ecuaciones diferenciales usando el método de cálculo operacional. ¿Qué necesitas saber y poder hacer para aprender a solucionarlo? En primer lugar, altamente recomendado consulte la lección. Lea la parte introductoria, comprenda el planteamiento general del tema, la terminología, la notación y al menos dos o tres ejemplos. El caso es que con los sistemas de difusores todo será casi igual y ¡aún más sencillo!

Por supuesto, debes entender lo que es. sistema de ecuaciones diferenciales, lo que significa encontrar una solución general al sistema y una solución particular al sistema.

Permítanme recordarles que el sistema de ecuaciones diferenciales se puede resolver de la forma “tradicional”: por eliminación o usando la ecuación característica. El método de cálculo operativo que se discutirá es aplicable al sistema de control remoto cuando la tarea se formula de la siguiente manera:

Encontrar una solución particular a un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales. , correspondiente a las condiciones iniciales .

Alternativamente, el sistema puede ser heterogéneo, con "pesos adicionales" en forma de funciones y en los lados derechos:

Pero, en ambos casos, es necesario prestar atención a dos puntos fundamentales de la afección:

1) Se trata de sólo sobre una solución privada.
2) Entre paréntesis de condiciones iniciales son estrictamente ceros, y nada más.

El curso general y el algoritmo serán muy similares a resolver una ecuación diferencial usando el método operacional. De materiales de referencia necesitarás lo mismo tabla de originales e imágenes.

Ejemplo 1

, ,

Solución: El comienzo es trivial: usar tablas de transformada de Laplace Pasemos de los originales a las imágenes correspondientes. En un problema con sistemas de control remoto, esta transición suele ser sencilla:

Utilizando fórmulas tabulares No. 1, 2, teniendo en cuenta la condición inicial, obtenemos:

¿Qué hacer con los “juegos”? Cambie mentalmente las “X” de la tabla por “I”. Utilizando las mismas transformaciones No. 1, 2, teniendo en cuenta la condición inicial, encontramos:

Sustituyamos las imágenes encontradas en la ecuación original. :

Ahora en las partes izquierdas Es necesario recopilar ecuaciones. Todo términos en los que o está presente. A las partes correctas las ecuaciones necesitan ser "formalizadas" otro términos:

A continuación, en el lado izquierdo de cada ecuación realizamos un bracketing:

En este caso se deberá colocar en las primeras posiciones, y en las segundas posiciones:

El sistema de ecuaciones resultante con dos incógnitas suele resolverse según las fórmulas de Cramer. Calculemos el determinante principal del sistema:

Como resultado del cálculo del determinante, se obtuvo un polinomio.

¡Técnica importante! Este polinomio es mejor. En seguida intenta factorizarlo. Para estos efectos, se debe intentar resolver ecuación cuadrática , pero muchos lectores con un ojo entrenado de segundo año notarán que .

Así, nuestro principal determinante del sistema es:

Gracias a Kramer, el desmontaje adicional del sistema es estándar:

Como resultado obtenemos solución del operador del sistema:

La ventaja de la tarea en cuestión es que las fracciones suelen resultar simples y lidiar con ellas es mucho más fácil que con fracciones en problemas. encontrar una solución particular a un DE utilizando el método operativo. Tu premonición no te engañó - el buen viejo método de coeficientes inciertos, con la ayuda del cual descomponemos cada fracción en fracciones elementales:

1) Tratemos con la primera fracción:

De este modo:

2) Descomponemos la segunda fracción de acuerdo con un esquema similar, pero es más correcto usar otras constantes (coeficientes indefinidos):

De este modo:

Aconsejo a los tontos que escriban la solución del operador descompuesto de la siguiente forma:
- esto aclarará la etapa final: la transformada inversa de Laplace.

Usando la columna derecha de la tabla, pasemos de las imágenes a los originales correspondientes:

Siguiendo las reglas de las buenas costumbres matemáticas, ordenaremos un poco el resultado:

Respuesta:

La respuesta se verifica de acuerdo con un esquema estándar, que se analiza en detalle en la lección. ¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones diferenciales? Intente siempre completarlo para agregar una gran ventaja a la tarea.

Ejemplo 2

Usando cálculo operacional, encuentre una solución particular a un sistema de ecuaciones diferenciales que corresponda a las condiciones iniciales dadas.
, ,

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Una muestra aproximada de la forma final del problema y la respuesta al final de la lección.

Resolver un sistema no homogéneo de ecuaciones diferenciales algorítmicamente no es diferente, excepto que técnicamente será un poco más complicado:

Ejemplo 3

Usando cálculo operacional, encuentre una solución particular a un sistema de ecuaciones diferenciales que corresponda a las condiciones iniciales dadas.
, ,

Solución: Usando la tabla de transformada de Laplace, teniendo en cuenta las condiciones iniciales. , pasemos de los originales a las imágenes correspondientes:

Pero eso no es todo, hay constantes solitarias en el lado derecho de las ecuaciones. ¿Qué hacer en los casos en que la constante está completamente sola? Esto ya se habló en clase. Cómo resolver un DE usando el método operativo. Repitamos: las constantes simples deben multiplicarse mentalmente por uno y se debe aplicar la siguiente transformada de Laplace a las unidades:

Sustituyamos las imágenes encontradas en el sistema original:

Muevamos los términos que contienen a , hacia la izquierda y coloquemos los términos restantes en los lados derechos:

En los lados izquierdos realizaremos entre corchetes, además, llevaremos el lado derecho de la segunda ecuación a un denominador común:

Calculemos el determinante principal del sistema, sin olvidar que es recomendable intentar factorizar inmediatamente el resultado:
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.

Vamonos:

Por tanto, la solución del operador del sistema es:

A veces se puede reducir una o incluso ambas fracciones y, a veces, ¡con tanto éxito que ni siquiera es necesario ampliar nada! Y en algunos casos, obtienes un obsequio de inmediato; por cierto, el siguiente ejemplo de lección será un ejemplo indicativo.

Utilizando el método de coeficientes indefinidos obtenemos las sumas de fracciones elementales.

Descompongamos la primera fracción:

Y logramos el segundo:

Como resultado, la solución del operador toma la forma que necesitamos:

Usando la columna de la derecha tablas de originales e imágenes realizamos la transformada inversa de Laplace:

Sustituyamos las imágenes resultantes en la solución del operador del sistema:

Respuesta: solución privada:

Como puede ver, en un sistema heterogéneo es necesario realizar cálculos que requieren más mano de obra en comparación con un sistema homogéneo. Veamos un par de ejemplos más con senos y cosenos, y eso es suficiente, ya que se considerarán casi todos los tipos de problemas y la mayoría de los matices de la solución.

Ejemplo 4

Usando el método de cálculo operacional, encuentre una solución particular a un sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales dadas,

Solución: También analizaré este ejemplo yo mismo, pero los comentarios se referirán sólo a momentos especiales. Supongo que ya conoce bien el algoritmo de solución.

Pasemos de los originales a las imágenes correspondientes:

Sustituyamos las imágenes encontradas en el sistema de control remoto original:

Resolvamos el sistema usando las fórmulas de Cramer:
, lo que significa que el sistema tiene una solución única.

El polinomio resultante no se puede factorizar. ¿Qué hacer en tales casos? Absolutamente nada. Éste también servirá.

Como resultado, la solución del operador del sistema es:

¡Aquí está el billete de la suerte! ¡No es necesario utilizar el método de coeficientes indefinidos en absoluto! Lo único es que, para aplicar transformaciones de tablas, reescribimos la solución de la siguiente forma:

Pasemos de las imágenes a los originales correspondientes:

Sustituyamos las imágenes resultantes en la solución del operador del sistema:

En muchos problemas de matemáticas, física y tecnología, es necesario determinar varias funciones a la vez, interconectadas por varias ecuaciones diferenciales. El conjunto de tales ecuaciones se denomina sistema de ecuaciones diferenciales. En particular, estos sistemas plantean problemas en los que se estudia el movimiento de los cuerpos en el espacio bajo la acción de fuerzas dadas.

Por ejemplo, dejemos que un punto material de masa se mueva a lo largo de una determinada curva (L) en el espacio bajo la influencia de una fuerza F. Se requiere determinar la ley del movimiento de un punto, es decir, la dependencia de las coordenadas de un punto con el tiempo.

Supongamos que

vector de radio de un punto en movimiento. Si las coordenadas variables de un punto se denotan por , entonces

La velocidad y aceleración de un punto en movimiento se calculan mediante las fórmulas:

(ver Capítulo VI, § 5, n. 4).

La fuerza F, bajo cuya influencia se mueve un punto, es, en general, función del tiempo, de las coordenadas del punto y de las proyecciones de velocidad sobre los ejes de coordenadas:

Basándose en la segunda ley de Newton, la ecuación del movimiento de un punto se escribe de la siguiente manera:

Al proyectar los vectores en los lados izquierdo y derecho de esta igualdad sobre el eje de coordenadas, obtenemos tres ecuaciones diferenciales de movimiento:

Estas ecuaciones diferenciales representan un sistema de tres ecuaciones diferenciales de segundo orden para las tres funciones buscadas:

En lo que sigue, nos limitaremos a estudiar únicamente el sistema de ecuaciones de primer orden. tipo especial en cuanto a las funciones requeridas. Este sistema tiene la forma

El sistema de ecuaciones (95) se denomina sistema en forma normal o sistema normal.

En un sistema normal, los lados derechos de las ecuaciones no contienen derivadas de las funciones buscadas.

Una solución al sistema (95) es un conjunto de funciones que satisfacen cada una de las ecuaciones de este sistema.

Los sistemas de ecuaciones de segundo, tercer orden y superiores pueden reducirse a un sistema normal si se introducen nuevas funciones requeridas. Por ejemplo, el sistema (94) se puede transformar a su forma normal de la siguiente manera. Introduzcamos nuevas funciones poniendo . Entonces el esqueleto de la Ecuación (94) se escribirá de la siguiente manera:

El sistema (96) es normal.

Consideremos, por ejemplo, un sistema normal de tres ecuaciones con tres funciones desconocidas:

Para un sistema normal de ecuaciones diferenciales, el teorema de Cauchy para la existencia y unicidad de una solución se formula de la siguiente manera.

Teorema. Sean los lados derechos de las ecuaciones del sistema (97), es decir, las funciones sean continuas en todas las variables en algún dominio G y tengan derivadas parciales continuas en él. Entonces, cualesquiera que sean los valores pertenecientes al dominio G, hay una solución única al sistema que satisface las condiciones iniciales:

Para integrar el sistema (97), puede utilizar el método mediante el cual este sistema, que contiene tres ecuaciones para tres funciones desconocidas, se reduce a una ecuación de tercer orden para una función desconocida. Mostremos un ejemplo de cómo utilizar este método.

Por simplicidad, nos limitaremos a un sistema de dos ecuaciones. Sea un sistema de ecuaciones dado

Para encontrar una solución al sistema procedemos de la siguiente manera. Derivando la primera de las ecuaciones del sistema con respecto a encontramos

Sustituyendo la expresión de la segunda ecuación del sistema en esta igualdad, obtenemos

Finalmente, reemplazando la función y con su expresión de la primera ecuación del sistema

obtenemos una ecuación lineal homogénea de segundo orden para una función desconocida:

Integrando esta ecuación encontramos su solución general.

Diferenciando la igualdad encontramos

Sustituyendo expresiones para x y en igualdad y llevando términos similares, obtenemos

son una solución a este sistema.

Entonces, al integrar un sistema normal de dos ecuaciones diferenciales, hemos obtenido su solución, que depende de dos constantes arbitrarias. Se puede demostrar que en el caso general de un sistema normal formado por ecuaciones, su solución general dependerá de constantes arbitrarias. .

Los sistemas de ecuaciones diferenciales son de dos tipos principales: lineales homogéneos y no homogéneos. También existen dos métodos principales para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales:

El método de eliminación, cuya esencia es que en el proceso de resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales se reduce a una sola ecuación diferencial.
Utilizando la ecuación característica o método de Euler.

Básicamente, los sistemas de ecuaciones diferenciales se resuelven utilizando el primer método.

Sistemas lineales homogéneos de ecuaciones diferenciales.

El sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales más simple se puede representar de la siguiente forma:

Donde k, l, m, n son números ordinarios, x(t) e y(t) son funciones desconocidas. La variable t desempeña el papel de una variable independiente (en una ecuación diferencial ordinaria, x suele encontrarse en su lugar).

Y son las primeras derivadas de las funciones desconocidas x(t) e y(t), respectivamente.

Resolver un sistema de ecuaciones diferenciales significa determinar funciones x(t) e y(t) que satisfagan ambas ecuaciones del sistema. Como puede ver, todo es muy similar a los sistemas ordinarios de ecuaciones lineales, la única diferencia es que allí las raíces de la ecuación son números y aquí son funciones.

Escribimos la respuesta en forma de solución general al sistema de ecuaciones diferenciales:

El sistema se puede escribir de forma más compacta:

La más común es la solución con derivadas escritas en diferenciales, donde se adopta la siguiente notación:

Y – derivados de 1er orden;

Y – derivadas de segundo orden.

Necesitamos encontrar una solución al problema de Cauchy para un sistema de ecuaciones diferenciales. en condiciones iniciales x(0) = 3, y(0) = 0.

A la hora de resolver utilizaremos el método de eliminación.

Tomemos la segunda ecuación del sistema y expresemos x a partir de ella:

, usamos el signo * para buscar rápidamente esta ecuación, porque lo necesitaremos más tarde.

Diferenciamos ambos lados de la ecuación resultante con respecto a t:

De otra manera se ve así:

sustituyamos Y en la primera ecuación del sistema:

Simplifiquemos esta ecuación tanto como sea posible:

Como puede ver, hemos obtenido una ecuación ordinaria homogénea de segundo orden con coeficientes constantes. Con derivados queda así:

– tenemos diferentes raíces reales, por lo tanto:

Se encontró una función. Ahora comencemos a buscar x(t).

Encontremos la derivada de la función encontrada. .

Diferenciar con respecto a t:

Ahora sustituyamos Y en la ecuación (*):

Simplifiquemos la ecuación resultante:

Entonces hemos encontrado ambas funciones.

La solución general del sistema será:

Ahora busquemos una solución particular correspondiente a las condiciones iniciales x(0) = 3 e y(0) = 0. Para hacer esto, reste la segunda ecuación de la primera ecuación término por término.

Sustituyamos los coeficientes encontrados:

Esta será una solución particular del sistema.

Ya sólo queda comprobar el resultado encontrado:

Comprobemos el cumplimiento de las condiciones iniciales x(0) = 3 y y(0) = 0:

x(0) = 4 - 1 = 3

y(0) = 1 – 1 = 0

La verificación fue exitosa.

Comprobemos la respuesta encontrada para satisfacer la primera ecuación del sistema.

Tomemos la función y encontrar su derivada.

El valor práctico de las ecuaciones diferenciales está determinado por el hecho de que, al utilizarlas, es posible establecer una conexión con una ley física o química básica y, a menudo, con todo un grupo de variables que tienen gran importancia al investigar cuestiones técnicas.

La aplicación incluso de la ley física más simple a un proceso que ocurre bajo condiciones variables puede conducir a una relación muy compleja entre las cantidades variables.

Al resolver problemas físicos y químicos que conducen a ecuaciones diferenciales, es importante encontrar la integral general de la ecuación, así como determinar los valores de las constantes incluidas en esta integral, para que la solución corresponda al problema dado.

El estudio de procesos en los que todas las cantidades deseadas son funciones de una sola variable independiente conduce a ecuaciones diferenciales ordinarias.

Los procesos en estado estacionario pueden conducir a ecuaciones diferenciales parciales.

En la mayoría de los casos, resolver ecuaciones diferenciales no conduce a encontrar integrales; se deben utilizar métodos aproximados para resolver dichas ecuaciones.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales se utilizan para resolver problemas de cinética.

El método numérico más común y universal para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias es el método de diferencias finitas.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias se utilizan para resolver problemas en los que es necesario encontrar la relación entre las variables dependientes e independientes en condiciones en las que estas últimas cambian continuamente. La solución del problema conduce a las llamadas ecuaciones en diferencias finitas.

La región de cambio continuo en el argumento x se reemplaza por un conjunto de puntos llamados nodos. Estos nodos forman la cuadrícula de diferencia. La función requerida de un argumento continuo se reemplaza aproximadamente por la función del argumento en una cuadrícula determinada. Esta función se llama función de cuadrícula. Reemplazar una ecuación diferencial con una ecuación en diferencias se llama aproximación en una cuadrícula. Un conjunto de ecuaciones en diferencias que se aproximan a la ecuación diferencial original y a condiciones iniciales adicionales se denomina esquema en diferencias. Un esquema de diferencias se llama estable si un pequeño cambio en los datos de entrada corresponde a un pequeño cambio en la solución. Un esquema de diferencias se considera correcto si su solución existe y es única para cualquier dato de entrada, y también si este esquema es estable.

Al resolver el problema de Cauchy, necesitas encontrar una función y=y(x) que satisfaga la ecuación:

y la condición inicial: y = y 0 en x = x 0.

Introduzcamos una secuencia de puntos x 0, x 1, ... x n y pasos h i = x i +1 – x i (i = 0, 1, ...). En cada punto x i, se introducen números y i que se aproximan a la solución exacta y. Después de reemplazar la derivada en la ecuación original con una relación en diferencias finitas, se lleva a cabo la transición de un problema diferencial a un problema en diferencias:

y i+1 = F(x i, h i, y i+1, y i, … y i-k+1),

donde yo = 0, 1, 2…

Esto da como resultado un método de diferencias finitas de k pasos. En los métodos de un solo paso, para calcular y i +1, en el paso anterior solo se utiliza un valor previamente encontrado y i; en los métodos de varios pasos, se utilizan varios.

El método numérico de un solo paso más sencillo para resolver el problema de Cauchy es el método de Euler.

y yo+1 = y yo + h f(x yo, y yo).

Este esquema es un esquema de diferencias de primer orden de precisión.

Si en la ecuación y " =f(x,y) el lado derecho se reemplaza por el valor medio aritmético entre f(x i ,y i) y f(x i+1 ,y i+1), es decir , entonces obtenemos el esquema de diferencias implícito del método de Euler:

teniendo precisión de segundo orden.

Al reemplazar y i+1 en esta ecuación con y i +h f(x i, y i), el esquema pasa al método de Euler con recálculo, que también tiene un segundo orden:

Entre los diferentes esquemas de mayor orden de precisión, el esquema del método de Runge-Kutta de cuarto orden es común:

y yo +1 = yi + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4), yo = 0, 1, ...

a 1 = f(xi, y yo)

a 2 = f(x yo + , y yo + )

a 3 = f(x yo + , y yo + )

k 4 = f(x yo +h, y yo +k 3).

Para aumentar la precisión de la solución numérica sin un aumento significativo del tiempo de computadora, se utiliza el método de Runge. Su esencia es realizar cálculos repetidos utilizando el mismo esquema de diferencias con diferentes pasos.

La solución refinada se construye mediante una serie de cálculos. Si se realizan dos series de cálculos según el esquema de pedido A respectivamente con los pasos h y h/2 y se obtienen los valores de la función de cuadrícula y h e y h /2, luego el valor refinado de la función de cuadrícula en los nodos de la cuadrícula con el paso h se calcula mediante la fórmula:

Cálculos aproximados

En cálculos físicos y químicos rara vez es necesario utilizar técnicas y fórmulas que den soluciones exactas. En la mayoría de los casos, los métodos para resolver ecuaciones que conduzcan a resultados precisos son muy complejos o inexistentes. Generalmente se utilizan métodos de resolución aproximada de problemas.

Al resolver problemas fisicoquímicos relacionados con la cinética química y procesar datos experimentales, a menudo surge la necesidad de resolver varias ecuaciones. La solución exacta de algunas ecuaciones presenta grandes dificultades en algunos casos. En estos casos, se pueden utilizar métodos de soluciones aproximadas, obteniendo resultados con una precisión que satisfaga la tarea. Existen varios métodos: método tangente (método de Newton), método de interpolación lineal, método de repetición (iteración), etc.

Sea una ecuación f(x)=0, y f(x) es una función continua. Supongamos que es posible seleccionar valores de a y b tales que f(a) y f(b) tengan diferentes signos, por ejemplo f(a)>0, f(b)<0. В таком случае существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0, находящийся между a и b. Суживая интервал значений a и b, можно найти корень уравнения с требуемой точностью.

Encontrar gráficamente las raíces de una ecuación. Para resolver ecuaciones de grados superiores es conveniente utilizar el método gráfico. Sea la ecuación dada:

x n +ax n-1 +bx n-2 +…+px+q=0,

donde a, b,…, p, q son números dados.

Desde un punto de vista geométrico, la ecuación

Y=x n +ax n -1 +bx n -2 +…+px+q

representa una especie de curva. Puede encontrar cualquier número de sus puntos calculando los valores de y correspondientes a valores de x arbitrarios. Cada punto de intersección de la curva con el eje OX da el valor de una de las raíces de esta ecuación. Por tanto, encontrar las raíces de la ecuación se reduce a determinar los puntos de intersección de la curva correspondiente con el eje OX.

Método de iteración. Este método consiste en transformar la ecuación f(x)=0 a resolver en una nueva ecuación x=j(x) y, dada la primera aproximación x 1, encontrar sucesivamente aproximaciones más precisas x 2 =j(x 1), x 3 =j(x 2)etc. La solución se puede obtener con cualquier grado de precisión, siempre que en el intervalo entre la primera aproximación y la raíz de la ecuación |j"(x)|<1.

Los siguientes métodos se utilizan para resolver una ecuación no lineal:

a) método de media división:

El intervalo de aislamiento de una raíz real siempre se puede reducir dividiéndolo, por ejemplo, por la mitad, determinando en los límites de qué parte del intervalo original la función f(x) cambia de signo. Luego, el intervalo resultante se vuelve a dividir en dos partes, etc. Este proceso continúa hasta que los decimales almacenados en la respuesta ya no cambian.

Seleccionamos el intervalo en el que está contenida la solución. Calculamos f(a) y f(b) si f(a) > 0 y f(b)< 0, то находим и рассчитываем f(c). Далее, если f(a) < 0 и f(c) < 0 или f(a) >0 y f(c) > 0, entonces a = c y b = b. De lo contrario, si f(a)< 0 и f(c) >0 o f(a) > 0 y f(c)< 0, то a = a и b = c.

B) método tangente (método de Newton):

Dejemos que la raíz real de la ecuación f(x) = 0 esté aislada en el segmento . Tomemos un número x 0 en el segmento para el cual f (x 0) tiene el mismo signo que f '(x 0). Dibujemos una tangente a la curva y = f(x) en el punto M 0. Como valor aproximado de la raíz tomamos la abscisa del punto de intersección de esta tangente con el eje Ox. Este valor aproximado de la raíz se puede encontrar usando la fórmula

Aplicando esta técnica por segunda vez en el punto M 1, obtenemos

etc. La secuencia x0, x1, x2,... así obtenida tiene como límite la raíz deseada. En general, se puede escribir de la siguiente manera:

Para resolver sistemas lineales de ecuaciones algebraicas se utiliza el método iterativo de Gauss-Seidel. Problemas de la tecnología química como el cálculo de los balances de materia y calor se reducen a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

La esencia del método es que mediante transformaciones simples las incógnitas x 1, x 2, ..., x n se expresan, respectivamente, a partir de las ecuaciones 1.2, ..., n. Establezca las aproximaciones iniciales de las incógnitas x 1 =x 1 (0), x 2 =x 2 (0), ..., x n =x n (0), sustituya estos valores en el lado derecho de la expresión x 1 y calcular x 1 (1). Luego sustituya x 1 (1), x 3 (0), ..., x n (0) en el lado derecho de la expresión x 2 y encuentre x 2 (1), etc. Después de calcular x 1 (1), x 2 (1), ..., x n (1), se realiza la segunda iteración. El proceso iterativo continúa hasta que los valores x 1 (k), x 2 (k), ... se acercan, con un error dado, a los valores x 1 (k-1), x 2 (k -2), ....

Problemas de la tecnología química como el cálculo del equilibrio químico, etc., se reducen a la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales. Los métodos iterativos también se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones no lineales. El cálculo del equilibrio complejo se reduce a resolver sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales.

El algoritmo para resolver un sistema mediante el método de iteración simple recuerda al método de Gauss-Seidel utilizado para resolver sistemas lineales.

El método de Newton tiene una convergencia más rápida que el método de iteración simple. Se basa en el uso de la expansión de funciones F 1 (x 1 , x 2 , ... x n) en una serie de Taylor. En este caso, se descartan los términos que contienen segundas derivadas.

Sean los valores aproximados de las incógnitas del sistema obtenidos en la iteración anterior iguales a a 1, a 2, ...a n. La tarea consiste en encontrar incrementos a estos valores Δx 1, Δx 2, ... Δx n, gracias a los cuales se obtendrán nuevos valores de las incógnitas:

x 1 = a 1 + Δx 1

x 2 = a 2 + Δx 2

x norte = un norte + Δx norte.

Expandamos los lados izquierdos de las ecuaciones en una serie de Taylor, limitándonos a términos lineales:

Como los lados izquierdos de las ecuaciones deben ser iguales a cero, igualamos los lados derechos a cero. Obtenemos un sistema de ecuaciones algebraicas lineales para incrementos Δx.

Los valores de F 1, F 2, … F n y sus derivadas parciales se calculan en x 1 = a 1, x 2 = a 2, … x n = a n.

Escribamos este sistema en forma de matriz:

El determinante de una matriz G de esta forma se llama jacobiano. El determinante de dicha matriz se llama jacobiano. Para que exista una solución única para el sistema, debe ser distinta de cero en cada iteración.

Así, resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de Newton consiste en determinar la matriz jacobiana (derivadas parciales) en cada iteración y determinar los incrementos Δх 1, Δх 2, ... Δх n a los valores de las incógnitas en cada iteración por Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

Para eliminar la necesidad de encontrar la matriz de Jacobi en cada iteración, se propone un método de Newton mejorado. Este método permite corregir la matriz jacobiana utilizando los valores F 1 , F 2 , ... , F n obtenidos en iteraciones anteriores.

Muchos sistemas de ecuaciones diferenciales, tanto homogéneos como no homogéneos, se pueden reducir a una ecuación para una función desconocida. Demostremos el método con ejemplos.

Ejemplo 3.1. resolver el sistema

Solución. 1) Diferenciar por t primera ecuación y usando la segunda y tercera ecuaciones para reemplazar Y , encontramos

Diferenciamos la ecuación resultante con respecto a de nuevo

1) Creamos un sistema

De las dos primeras ecuaciones del sistema expresamos las variables Y a través de
:

Sustituyamos las expresiones encontradas por Y en la tercera ecuación del sistema

Entonces, para encontrar la función
obtuvo una ecuación diferencial de tercer orden con coeficientes constantes

2) Integramos la última ecuación usando el método estándar: componemos la ecuación característica
, encuentra sus raíces
y construir una solución general en forma de combinación lineal de exponenciales, teniendo en cuenta la multiplicidad de una de las raíces :.

3) Siguiente para encontrar las dos funciones restantes.
Y
, derivamos la función resultante dos veces

Utilizando conexiones (3.1) entre las funciones del sistema, recuperamos las incógnitas restantes

Respuesta. ,
,.

Puede resultar que todas las funciones conocidas excepto una queden excluidas del sistema de tercer orden incluso con una única diferenciación. En este caso, el orden de la ecuación diferencial para encontrarla será menor que el número de funciones desconocidas en el sistema original.

Ejemplo 3.2. Integrar el sistema

(3.2)

Solución. 1) Diferenciar por la primera ecuación, encontramos

Excluyendo variables Y de ecuaciones

tendremos una ecuación de segundo orden con respecto a

(3.3)

2) De la primera ecuación del sistema (3.2) tenemos

(3.4)

Sustituyendo en la tercera ecuación del sistema (3.2) las expresiones encontradas (3.3) y (3.4) para Y , obtenemos una ecuación diferencial de primer orden para determinar la función

Integrando esta ecuación no homogénea con coeficientes constantes de primer orden, encontramos
Usando (3.4), encontramos la función

Respuesta.
,,
.

Tarea 3.1. Resolver sistemas homogéneos reduciéndolos a una ecuación diferencial.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2. Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes encontrando un sistema fundamental de soluciones.

La solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas se puede encontrar como una combinación lineal de las soluciones fundamentales del sistema. En el caso de sistemas con coeficientes constantes, se pueden utilizar métodos de álgebra lineal para encontrar soluciones fundamentales.

Ejemplo 3.3. resolver el sistema

(3.5)

Solución. 1) Reescribamos el sistema en forma matricial.

. (3.6)

2) Buscaremos una solución fundamental del sistema en forma de vector.
. Funciones de sustitución
en (3.6) y reduciendo por , obtenemos

, (3.7)

ese es el numero debe ser un valor propio de la matriz
, y el vector el vector propio correspondiente.

3) Del curso de álgebra lineal se sabe que el sistema (3.7) tiene una solución no trivial si su determinante es igual a cero.

eso es . A partir de aquí encontramos los valores propios.
.

4) Encuentre los vectores propios correspondientes. Sustituyendo el primer valor en (3.7)
, obtenemos un sistema para encontrar el primer vector propio

De aquí obtenemos la conexión entre las incógnitas.
. Nos basta con elegir una solución no trivial. Creyendo
, Entonces
, es decir, el vector es propio del valor propio
, y el vector de función
solución fundamental de un sistema dado de ecuaciones diferenciales (3.5). De manera similar, al sustituir la segunda raíz
en (3.7) tenemos una ecuación matricial para el segundo vector propio
. ¿De dónde obtenemos la conexión entre sus componentes?
. Así, tenemos la segunda solución fundamental.