La derivada de una función es uno de los temas difíciles en currículum escolar. No todos los graduados responderán a la pregunta de qué es un derivado.

Este artículo explica de forma sencilla y clara qué es un derivado y por qué es necesario.. Ahora no nos esforzaremos por lograr un rigor matemático en la presentación. Lo más importante es entender el significado.

Recordemos la definición:

La derivada es la tasa de cambio de una función.

La figura muestra gráficas de tres funciones. ¿Cuál crees que está creciendo más rápido?

La respuesta es obvia: la tercera. ella tiene la mayor alta velocidad cambios, es decir, la derivada más grande.

Aquí hay otro ejemplo.

Kostya, Grisha y Matvey consiguieron trabajo al mismo tiempo. Veamos cómo cambiaron sus ingresos durante el año:

El gráfico muestra todo a la vez, ¿no? Los ingresos de Kostya se duplicaron con creces en seis meses. Y los ingresos de Grisha también aumentaron, pero sólo un poco. Y los ingresos de Matvey disminuyeron a cero. Las condiciones iniciales son las mismas, pero la tasa de cambio de la función, es decir derivado, - diferente. En cuanto a Matvey, su derivada de ingresos es en general negativa.

Intuitivamente, estimamos fácilmente la tasa de cambio de una función. ¿Pero cómo hacemos esto?

Lo que realmente estamos viendo es qué tan pronunciado sube (o baja) la gráfica de una función. En otras palabras, ¿con qué rapidez cambia y cuando cambia x? Obviamente, la misma función en diferentes puntos puede tener significado diferente derivada, es decir, puede cambiar más rápido o más lentamente.

La derivada de una función se denota.

Le mostraremos cómo encontrarlo usando un gráfico.

Se ha dibujado una gráfica de alguna función. Tomemos un punto con una abscisa. Dibujemos una tangente a la gráfica de la función en este punto. Queremos estimar qué tan pronunciado sube la gráfica de una función. Un valor conveniente para esto es tangente del ángulo tangente.

La derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo tangente trazado a la gráfica de la función en ese punto.

Tenga en cuenta que como ángulo de inclinación de la tangente tomamos el ángulo entre la tangente y la dirección positiva del eje.

A veces los estudiantes preguntan qué es una tangente a la gráfica de una función. Esta es una línea recta que tiene sólo una punto común con una gráfica, y como se muestra en nuestra figura. Parece una tangente a un círculo.

Encontrémoslo. Recordemos que la tangente de un ángulo agudo en triángulo rectángulo igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente. Del triángulo:

Encontramos la derivada usando una gráfica sin siquiera conocer la fórmula de la función. Estos problemas se encuentran a menudo en el Examen Estatal Unificado de Matemáticas bajo el número.

Hay otra relación importante. Recordemos que la recta viene dada por la ecuación

La cantidad en esta ecuación se llama pendiente de una recta. Es igual a la tangente del ángulo de inclinación de la recta al eje.

.

lo entendemos

Recordemos esta fórmula. Expresa el significado geométrico de la derivada.

La derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la tangente trazada a la gráfica de la función en ese punto.

En otras palabras, la derivada es igual a la tangente del ángulo tangente.

Ya hemos dicho que una misma función puede tener distintas derivadas en distintos puntos. Veamos cómo se relaciona la derivada con el comportamiento de la función.

Dibujemos una gráfica de alguna función. Dejemos que esta función aumente en algunas áreas y disminuya en otras, y con a diferentes velocidades. Y dejemos que esta función tenga puntos máximos y mínimos.

En un punto la función aumenta. Una tangente a la gráfica dibujada en un punto forma un ángulo agudo; con dirección de eje positiva. Esto significa que la derivada en el punto es positiva.

En ese momento nuestra función disminuye. La tangente en este punto forma un ángulo obtuso; con dirección de eje positivo. Como la tangente de un ángulo obtuso es negativa, la derivada en el punto es negativa.

Esto es lo que sucede:

Si una función es creciente, su derivada es positiva.

Si disminuye, su derivada es negativa.

¿Qué pasará en los puntos máximo y mínimo? Vemos que en los puntos (punto máximo) y (punto mínimo) la tangente es horizontal. Por tanto, la tangente de la tangente en estos puntos es cero y la derivada también es cero.

Punto - punto máximo. En este punto, el aumento de la función se reemplaza por una disminución. En consecuencia, el signo de la derivada cambia en el punto de “más” a “menos”.

En el punto, el punto mínimo, la derivada también es cero, pero su signo cambia de "menos" a "más".

Conclusión: utilizando la derivada podemos averiguar todo lo que nos interesa sobre el comportamiento de una función.

Si la derivada es positiva, entonces la función aumenta.

Si la derivada es negativa, entonces la función disminuye.

En el punto máximo, la derivada es cero y cambia de signo de “más” a “menos”.

En el punto mínimo, la derivada también es cero y cambia de signo de “menos” a “más”.

Escribamos estas conclusiones en forma de tabla:

Hagamos dos pequeñas aclaraciones. Necesitará uno de ellos para resolver el problema. Otro, en el primer año, con un estudio más serio de funciones y derivadas.

Es posible que la derivada de una función en algún punto sea igual a cero, pero la función no tiene ni máximo ni mínimo en ese punto. Este es el llamado :

En un punto, la tangente a la gráfica es horizontal y la derivada es cero. Sin embargo, antes del punto la función aumentó y después del punto continúa aumentando. El signo de la derivada no cambia: sigue siendo positivo como antes.

También sucede que en el punto de máximo o mínimo la derivada no existe. En el gráfico, esto corresponde a una ruptura brusca, cuando es imposible trazar una tangente en un punto dado.

¿Cómo encontrar la derivada si la función no viene dada por una gráfica, sino por una fórmula? En este caso se aplica

Si sigues la definición, entonces la derivada de una función en un punto es el límite de la relación del incremento de la función Δ y al incremento del argumento Δ X:

Todo parece estar claro. Pero intenta usar esta fórmula para calcular, digamos, la derivada de la función F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X pecado X. Si hace todo por definición, después de un par de páginas de cálculos simplemente se quedará dormido. Por tanto, existen formas más sencillas y eficaces.

Para empezar, observamos que entre toda la variedad de funciones podemos distinguir las llamadas funciones elementales. Se trata de expresiones relativamente simples, cuyas derivadas se han calculado y tabulado desde hace mucho tiempo. Estas funciones son bastante fáciles de recordar, junto con sus derivadas.

Derivadas de funciones elementales

Las funciones elementales son todas las que se enumeran a continuación. Las derivadas de estas funciones deben saberse de memoria. Además, no es nada difícil memorizarlos, por eso son elementales.

Entonces, derivadas de funciones elementales:

Si una función elemental se multiplica por una constante arbitraria, entonces la derivada de la nueva función también se calcula fácilmente:

(C · F)’ = C · F ’.

En general, las constantes se pueden sacar del signo de la derivada. Por ejemplo:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Obviamente, las funciones elementales se pueden sumar, multiplicar, dividir y mucho más. Así aparecerán nuevas funciones, ya no especialmente elementales, pero también diferenciadas según determinadas reglas. Estas reglas se analizan a continuación.

Derivada de suma y diferencia

Se dan las funciones F(X) Y gramo(X), cuyos derivados conocemos. Por ejemplo, puede tomar las funciones elementales analizadas anteriormente. Luego puedes encontrar la derivada de la suma y diferencia de estas funciones:

1. (F + gramo)’ = F ’ + gramo ’
2. (F − gramo)’ = F ’ − gramo ’

Entonces, la derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas. Puede haber más términos. Por ejemplo, ( F + gramo + h)’ = F ’ + gramo ’ + h ’.

Estrictamente hablando, no existe el concepto de "resta" en álgebra. Existe un concepto de "elemento negativo". Por lo tanto la diferencia F − gramo se puede reescribir como una suma F+ (-1) gramo, y luego solo queda una fórmula: la derivada de la suma.

F(X) = X 2 + senx; gramo(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Función F(X) es la suma de dos funciones elementales, por tanto:

F ’(X) = (X 2 + pecado X)’ = (X 2)’ + (pecado X)’ = 2X+ porquex;

Razonamos de manera similar para la función gramo(X). Solo que ya hay tres términos (desde el punto de vista del álgebra):

gramo ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Respuesta:
F ’(X) = 2X+ porquex;
gramo ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivado del producto

Las matemáticas son una ciencia lógica, por eso mucha gente cree que si la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas, entonces la derivada del producto huelga">igual al producto de las derivadas. ¡Pero que te jodan! La derivada de un producto se calcula utilizando una fórmula completamente diferente. A saber:

(F · gramo) ’ = F ’ · gramo + F · gramo ’

La fórmula es sencilla, pero a menudo se olvida. Y no sólo los escolares, sino también los estudiantes. El resultado son problemas resueltos incorrectamente.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = X 3 porque x; gramo(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Función F(X) es el producto de dos funciones elementales, por lo que todo es sencillo:

F ’(X) = (X 3 porque X)’ = (X 3)' porque X + X 3 (porque X)’ = 3X 2 porque X + X 3 (- pecado X) = X 2 (3cos X − X pecado X)

Función gramo(X) el primer factor es un poco más complicado, pero esquema general esto no cambia. Obviamente, el primer factor de la función. gramo(X) es un polinomio y su derivada es la derivada de la suma. Tenemos:

gramo ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · mi X + (X 2 + 7X− 7) · ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Respuesta:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X pecado X);
gramo ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Tenga en cuenta que en el último paso se factoriza la derivada. Formalmente, esto no es necesario hacer, pero la mayoría de las derivadas no se calculan por sí solas, sino para examinar la función. Esto significa que además la derivada se igualará a cero, se determinarán sus signos, etc. Para tal caso, es mejor tener una expresión factorizada.

Si hay dos funciones F(X) Y gramo(X), y gramo(X) ≠ 0 en el conjunto que nos interesa, podemos definir nueva caracteristica h(X) = F(X)/gramo(X). Para tal función también puedes encontrar la derivada:

No débil, ¿eh? ¿De dónde vino el inconveniente? Por qué gramo 2? ¡Y así! Esta es una de las fórmulas más complejas: no puedes entenderla sin una botella. Por lo tanto, es mejor estudiarlo en ejemplos específicos.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones:

El numerador y denominador de cada fracción contienen funciones elementales, por lo que todo lo que necesitamos es la fórmula para la derivada del cociente:

Según la tradición, factoricemos el numerador; esto simplificará enormemente la respuesta:

Una función compleja no es necesariamente una fórmula de medio kilómetro de longitud. Por ejemplo, basta con tomar la función. F(X) = pecado X y reemplazamos la variable X, digamos, en X 2 + en X. Funcionará F(X) = pecado ( X 2 + en X) - esta es una función compleja. También tiene una derivada, pero no será posible encontrarla utilizando las reglas comentadas anteriormente.

¿Qué tengo que hacer? En tales casos, reemplazar una variable y una fórmula para la derivada de una función compleja ayuda:

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X es reemplazado por t(X).

Como regla general, la situación al comprender esta fórmula es incluso más triste que con la derivada del cociente. Por eso, también es mejor explicarlo con ejemplos concretos, con Descripción detallada cada paso.

Tarea. Encuentra derivadas de funciones: F(X) = mi 2X + 3 ; gramo(X) = pecado ( X 2 + en X)

Tenga en cuenta que si en la función F(X) en lugar de la expresión 2 X+ 3 será fácil X, entonces obtenemos una función elemental F(X) = mi X. Por lo tanto, hacemos un reemplazo: sea 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = mi t. Buscamos la derivada de una función compleja usando la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (mi t)’ · t ’ = mi t · t ’

Y ahora, ¡atención! Realizamos el reemplazo inverso: t = 2X+ 3. Obtenemos:

F ’(X) = mi t · t ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Ahora veamos la función. gramo(X). Obviamente hay que cambiarlo X 2 + en X = t. Tenemos:

gramo ’(X) = gramo ’(t) · t' = (pecado t)’ · t' = porque t · t ’

Reemplazo inverso: t = X 2 + en X. Entonces:

gramo ’(X) = porque ( X 2 + en X) · ( X 2 + en X)’ = porque ( X 2 + en X) · (2 X + 1/X).

¡Eso es todo! Como puede verse en la última expresión, todo el problema se ha reducido a calcular la suma derivada.

Respuesta:
F ’(X) = 2 · mi 2X + 3 ;
gramo ’(X) = (2X + 1/X) porque ( X 2 + en X).

Muy a menudo en mis lecciones, en lugar del término "derivada", uso la palabra "principal". Por ejemplo, una prima de la cantidad igual a la suma trazos. ¿Está eso más claro? Bueno, eso es bueno.

Por tanto, calcular la derivada se reduce a deshacerse de estos mismos trazos según las reglas comentadas anteriormente. Como ejemplo final, volvamos a la derivada de potencia con exponente racional:

(X norte)’ = norte · X norte − 1

Pocas personas saben que en el papel. norte bien puede actuar un número fraccionario. Por ejemplo, la raíz es X 0,5. ¿Qué pasa si hay algo elegante debajo de la raíz? Nuevamente, el resultado será una función compleja: les gusta dar tales construcciones a pruebas y exámenes.

Tarea. Encuentra la derivada de la función:

Primero, reescribamos la raíz como una potencia con un exponente racional:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Ahora hacemos un reemplazo: dejemos X 2 + 8X − 7 = t. Encontramos la derivada usando la fórmula:

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Hagamos el reemplazo inverso: t = X 2 + 8X− 7. Tenemos:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Finalmente, volvamos a las raíces:

Primer nivel

Derivada de una función. La guía definitiva (2019)

Imaginemos una carretera recta que pasa por una zona montañosa. Es decir, sube y baja, pero no gira a derecha ni a izquierda. Si el eje se dirige horizontalmente a lo largo de la carretera y verticalmente, entonces la línea de la carretera será muy similar a la gráfica de alguna función continua:

El eje es un cierto nivel de altitud cero, en la vida usamos el nivel del mar como tal.

A medida que avanzamos por ese camino, también avanzamos hacia arriba o hacia abajo. También podemos decir: cuando cambia el argumento (movimiento a lo largo del eje de abscisas), cambia el valor de la función (movimiento a lo largo del eje de ordenadas). Ahora pensemos en cómo determinar la "inclinación" de nuestro camino. ¿Qué tipo de valor podría ser este? Es muy simple: cuánto cambiará la altura al avanzar una cierta distancia. De hecho, en diferentes tramos de la carretera, avanzando (a lo largo del eje x) un kilómetro, subiremos o bajaremos diferentes cantidades metros con respecto al nivel del mar (a lo largo del eje de ordenadas).

Denotemos el progreso (léase "delta x").

La letra griega (delta) se usa comúnmente en matemáticas como prefijo que significa "cambio". Es decir, este es un cambio en la cantidad, un cambio; ¿entonces que es eso? Así es, un cambio de magnitud.

Importante: una expresión es un todo único, una variable. ¡Nunca separes la “delta” de la “x” o de cualquier otra letra! Es decir, por ejemplo.

Así que hemos avanzado horizontalmente. Si comparamos la línea del camino con la gráfica de la función, ¿cómo denotamos el ascenso? Ciertamente, . Es decir, a medida que avanzamos, ascendemos más.

El valor es fácil de calcular: si al principio estábamos en una altura, y después de movernos nos encontramos en una altura, entonces. Si el punto final es más bajo que el punto inicial, será negativo; esto significa que no estamos ascendiendo, sino descendiendo.

Volvamos a la "inclinación": este es un valor que muestra cuánto (empinada) aumenta la altura al avanzar una unidad de distancia:

Supongamos que en algún tramo de la carretera, al avanzar un kilómetro, la carretera sube un kilómetro. Entonces la pendiente en este lugar es igual. ¿Y si la carretera, avanzando m, bajara km? Entonces la pendiente es igual.

Ahora miremos la cima de una colina. Si tomas el inicio del tramo medio kilómetro antes de la cumbre, y el final medio kilómetro después de ella, verás que la altura es casi la misma.

Es decir, según nuestra lógica, resulta que la pendiente aquí es casi igual a cero, lo que claramente no es cierto. En poco más de unos kilómetros muchas cosas pueden cambiar. Es necesario considerar áreas más pequeñas para una evaluación más adecuada y precisa de la pendiente. Por ejemplo, si mides el cambio de altura a medida que avanzas un metro, el resultado será mucho más preciso. Pero incluso esta precisión puede no ser suficiente para nosotros; después de todo, si hay un poste en medio de la carretera, podemos simplemente pasarlo. ¿Qué distancia debemos elegir entonces? ¿Centímetro? ¿Milímetro? ¡Menos es mejor!

EN vida real Medir distancias al milímetro más cercano es más que suficiente. Pero los matemáticos siempre luchan por alcanzar la perfección. Por lo tanto, se inventó el concepto. infinitesimal, es decir, el valor absoluto es menor que cualquier número que podamos nombrar. Por ejemplo, dices: ¡una billonésima parte! ¿Cuánto menos? Y divides este número por y será aún menor. Etcétera. Si queremos escribir que una cantidad es infinitesimal, escribimos así: (leemos “x tiende a cero”). Es muy importante entender ¡Que este número no es cero! Pero muy cerca de eso. Esto significa que puedes dividir por él.

El concepto opuesto a infinitesimal es infinitamente grande (). Probablemente ya te hayas encontrado con esto cuando trabajabas en desigualdades: este número es módulo mayor que cualquier número que puedas imaginar. Si obtienes el mayor número posible, simplemente multiplícalo por dos y obtendrás un número aún mayor. Y el infinito todavía Además lo que sucederá. De hecho, lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño son lo inverso entre sí, es decir, en, y viceversa: en.

Ahora volvamos a nuestro camino. La pendiente idealmente calculada es la pendiente calculada para un segmento infinitesimal del camino, es decir:

Observo que con un desplazamiento infinitesimal, el cambio de altura también será infinitesimal. Pero déjame recordarte que infinitesimal no significa igual a cero. Si divides números infinitesimales entre sí, puedes obtener un número completamente normal, por ejemplo, . Es decir, un valor pequeño puede ser exactamente veces mayor que otro.

¿Para qué es todo esto? La carretera, la pendiente... No vamos a un rally de coches, pero vamos a enseñar matemáticas. Y en matemáticas todo es exactamente igual, sólo que se llama de otra manera.

Concepto de derivada

La derivada de una función es la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento.

incrementalmente En matemáticas lo llaman cambio. La medida en que el argumento () cambia a medida que se mueve a lo largo del eje se llama incremento de argumento y se designa Cuánto ha cambiado la función (altura) al avanzar una distancia a lo largo del eje se llama incremento de función y es designado.

Entonces, la derivada de una función es la razón a cuando. Denotamos la derivada con la misma letra que la función, sólo que con un primo en la parte superior derecha: o simplemente. Entonces, escribamos la fórmula derivada usando estas notaciones:

Como en la analogía con la carretera, aquí cuando la función aumenta, la derivada es positiva, y cuando disminuye, es negativa.

¿Puede la derivada ser igual a cero? Ciertamente. Por ejemplo, si circulamos por una carretera llana y horizontal, la pendiente es cero. Y es cierto, la altura no cambia en absoluto. Lo mismo ocurre con la derivada: la derivada de una función constante (constante) es igual a cero:

ya que el incremento de dicha función es igual a cero para cualquiera.

Recordemos el ejemplo de la cima de la colina. Resultó que era posible colocar los extremos del segmento en lados opuestos del vértice de tal manera que la altura en los extremos resulta ser la misma, es decir, el segmento es paralelo al eje:

Pero los segmentos grandes son señal de una medición inexacta. Levantaremos nuestro segmento paralelo a sí mismo, luego su longitud disminuirá.

Con el tiempo, cuando estemos infinitamente cerca de la cima, la longitud del segmento se volverá infinitesimal. Pero al mismo tiempo permaneció paralelo al eje, es decir, la diferencia de alturas en sus extremos es igual a cero (no tiende a, pero es igual a). Entonces la derivada

Esto se puede entender de esta manera: cuando estamos en la cima, un pequeño desplazamiento hacia la izquierda o hacia la derecha cambia nuestra altura de manera insignificante.

También hay una explicación puramente algebraica: a la izquierda del vértice la función aumenta y a la derecha disminuye. Como descubrimos anteriormente, cuando una función aumenta, la derivada es positiva y cuando disminuye, es negativa. Pero cambia suavemente, sin saltos (ya que la carretera no cambia bruscamente de pendiente en ninguna parte). Por lo tanto, entre negativo y valores positivos definitivamente debe haberlo. Será donde la función no aumenta ni disminuye: en el punto del vértice.

Lo mismo ocurre con el valle (el área donde la función de la izquierda disminuye y la de la derecha aumenta):

Un poco más sobre incrementos.

Entonces cambiamos el argumento a magnitud. ¿Cambiamos de qué valor? ¿En qué se ha convertido (el argumento) ahora? Podemos elegir cualquier punto y ahora bailaremos desde él.

Considere un punto con una coordenada. El valor de la función en él es igual. Luego hacemos el mismo incremento: aumentamos la coordenada en. ¿Cuál es el argumento ahora? Muy fácil: . ¿Cuál es el valor de la función ahora? Donde va el argumento, también va la función: . ¿Qué pasa con el incremento de función? Nada nuevo: esta sigue siendo la cantidad en la que ha cambiado la función:

Practica encontrar incrementos:

1. Encuentre el incremento de la función en un punto en el que el incremento del argumento es igual a.
2. Lo mismo ocurre con la función en un punto.

Soluciones:

En diferentes puntos con el mismo incremento de argumento, el incremento de función será diferente. Esto significa que la derivada en cada punto es diferente (lo discutimos al principio: la pendiente de la carretera es diferente en diferentes puntos). Por tanto, cuando escribimos una derivada, debemos indicar en qué punto:

Función de potencia.

Una función de potencia es una función donde el argumento es hasta cierto punto (lógico, ¿verdad?).

Además, en cualquier medida: .

El caso más simple- aquí es cuando el exponente:

Encontremos su derivada en un punto. Recordemos la definición de derivada:

Entonces el argumento cambia de a. ¿Cuál es el incremento de la función?

El incremento es esto. Pero una función en cualquier punto es igual a su argumento. Es por eso:

La derivada es igual a:

La derivada de es igual a:

b) Ahora considere función cuadrática (): .

Ahora recordemos eso. Esto significa que el valor del incremento puede despreciarse, ya que es infinitesimal y, por tanto, insignificante en comparación con el otro término:

Entonces, se nos ocurrió otra regla:

c) Continuamos la serie lógica: .

Esta expresión se puede simplificar de diferentes maneras: abra el primer paréntesis usando la fórmula de multiplicación abreviada del cubo de la suma, o factorice la expresión completa usando la fórmula de diferencia de cubos. Intente hacerlo usted mismo utilizando cualquiera de los métodos sugeridos.

Entonces, obtuve lo siguiente:

Y nuevamente recordemos eso. Esto significa que podemos descuidar todos los términos que contengan:

Obtenemos: .

d) Se pueden obtener reglas similares para grandes potencias:

e) Resulta que esta regla se puede generalizar para una función potencia con un exponente arbitrario, ni siquiera un número entero:

La regla se puede formular con las palabras: "el grado se adelanta como un coeficiente y luego se reduce en".

Demostraremos esta regla más adelante (casi al final). Ahora veamos algunos ejemplos. Encuentra la derivada de las funciones:

1. (de dos formas: mediante fórmula y utilizando la definición de derivada, calculando el incremento de la función);

1. . Lo creas o no, ésta es una función de poder. Si tienes preguntas como “¿Cómo es esto? ¿Dónde está el título?”, recuerda el tema “”!
   Sí, sí, la raíz también es un grado, solo fraccional: .
   Esto significa que nuestra raíz cuadrada es solo una potencia con un exponente:
   .
   Buscamos la derivada usando la fórmula recién aprendida:

   Si en este punto vuelve a resultar confuso, repita el tema “”!!! (aproximadamente un grado con exponente negativo)

2. . Ahora el exponente:

   Y ahora pasando por la definición (¿ya la has olvidado?):
   ;
   .
   Ahora, como siempre, descuidamos el término que contiene:
   .

3. . Combinación de casos anteriores: .

Funciones trigonométricas.

Aquí usaremos un hecho de matemáticas superiores:

Con expresión.

Aprenderás la prueba en tu primer año de instituto (y para llegar allí, tendrás que aprobar bien el Examen Estatal Unificado). Ahora solo lo mostraré gráficamente:

Vemos que cuando la función no existe, el punto en la gráfica se corta. Pero cuanto más cerca del valor, más cerca está la función: esto es lo que "objetiva".

Además, puedes verificar esta regla usando una calculadora. Sí, sí, no seas tímido, toma una calculadora, todavía no estamos en el Examen Estatal Unificado.

Entonces intentemos: ;

¡No olvides cambiar tu calculadora al modo Radianes!

etc. Vemos que cuanto más pequeño, más cercano es el valor de la relación.

a) Considere la función. Como siempre, encontremos su incremento:

Convirtamos la diferencia de senos en un producto. Para ello utilizamos la fórmula (recordemos el tema “”): .

Ahora la derivada:

Hagamos un reemplazo: . Entonces para infinitesimal también es infinitesimal: . La expresión para toma la forma:

Y ahora lo recordamos con la expresión. Y también, ¿qué pasa si se puede despreciar una cantidad infinitesimal en la suma (es decir, en)?

Entonces, obtenemos la siguiente regla: la derivada del seno es igual al coseno:

Estas son derivadas básicas (“tabulares”). Aquí están en una lista:

Más adelante les añadiremos algunos más, pero estos son los más importantes, ya que son los más utilizados.

Práctica:

1. Encuentra la derivada de la función en un punto;
2. Encuentra la derivada de la función.

Soluciones:

1. Primero, encontremos la derivada en vista general y luego sustituya su valor:
   ;
   .
2. Aquí tenemos algo similar a una función de potencia. Intentemos traerla a
   aspecto normal:
   .
   Genial, ahora puedes usar la fórmula:
   .
   .
3. . Eeeeeee.....¿Qué es esto????

Bien, tienes razón, todavía no sabemos cómo encontrar dichos derivados. Aquí tenemos una combinación de varios tipos de funciones. Para trabajar con ellos, necesitas aprender algunas reglas más:

Exponente y logaritmo natural.

Hay una función en matemáticas cuya derivada para cualquiera es al mismo tiempo igual al valor de la función misma. Se llama "exponente" y es una función exponencial.

La base de esta función es una constante: es infinita. decimal, es decir, un número irracional (como). Se llama “número de Euler” y por eso se indica con una letra.

Entonces, la regla:

Muy fácil de recordar.

Bueno, no vayamos muy lejos, consideremos inmediatamente la función inversa. ¿Qué función es la inversa de la función exponencial? Logaritmo:

En nuestro caso, la base es el número:

Tal logaritmo (es decir, un logaritmo con base) se llama "natural" y usamos una notación especial para él: en su lugar, escribimos.

¿A qué es igual? Por supuesto, .

La derivada del logaritmo natural también es muy sencilla:

Ejemplos:

1. Encuentra la derivada de la función.
2. ¿Cuál es la derivada de la función?

Respuestas: Expositor y logaritmo natural- Las funciones son singularmente simples en términos de derivadas. Las funciones exponenciales y logarítmicas con cualquier otra base tendrán una derivada diferente, que analizaremos más adelante, después de repasar las reglas de derivación.

Reglas de diferenciación

¿Reglas de qué? ¡¿Otra vez un nuevo término, otra vez?!...

Diferenciación es el proceso de encontrar la derivada.

Eso es todo. ¿Cómo más se puede llamar a este proceso en una palabra? No derivada... Los matemáticos llaman diferencial al mismo incremento de una función en. Este término proviene del latín diferencial - diferencia. Aquí.

Al derivar todas estas reglas, usaremos dos funciones, por ejemplo, y. También necesitaremos fórmulas para sus incrementos:

Hay 5 reglas en total.

La constante se quita del signo de la derivada.

Si - algún número constante (constante), entonces.

Obviamente, esta regla también sirve para la diferencia: .

Demostrémoslo. Déjalo así, o más sencillo.

Ejemplos.

Encuentra las derivadas de las funciones:

1. en un punto;
2. en un punto;
3. en un punto;
4. en el punto.

Soluciones:

1. (la derivada es la misma en todos los puntos, ya que es una función lineal, ¿recuerdas?);

Derivado del producto

Aquí todo es similar: introduzcamos una nueva función y encontremos su incremento:

Derivado:

Ejemplos:

1. Encuentra las derivadas de las funciones y;
2. Encuentra la derivada de la función en un punto.

Soluciones:

Derivada de una función exponencial

Ahora tus conocimientos son suficientes para aprender a encontrar la derivada de cualquier función exponencial, y no sólo de los exponentes (¿ya has olvidado qué es eso?).

Entonces, ¿dónde está algún número?

Ya conocemos la derivada de la función, así que intentemos reducir nuestra función a una nueva base:

Para esto usaremos regla simple: . Entonces:

Bueno, funcionó. Ahora intenta encontrar la derivada y no olvides que esta función es compleja.

¿Sucedió?

Aquí, compruébalo tú mismo:

La fórmula resultó ser muy similar a la derivada de un exponente: tal como estaba, sigue igual, solo apareció un factor, que es solo un número, pero no una variable.

Ejemplos:
Encuentra las derivadas de las funciones:

Respuestas:

Este es solo un número que no se puede calcular sin una calculadora, es decir, ya no se puede escribir en él. en forma sencilla. Por tanto, lo dejamos así en la respuesta.

Derivada de una función logarítmica

Aquí es similar: ya conoces la derivada del logaritmo natural:

Por tanto, para encontrar un logaritmo arbitrario con diferente base, por ejemplo:

Necesitamos reducir este logaritmo a la base. ¿Cómo se cambia la base de un logaritmo? Espero que recuerdes esta fórmula:

Sólo que ahora escribiremos en su lugar:

El denominador es simplemente una constante (un número constante, sin variable). La derivada se obtiene de forma muy sencilla:

Las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas casi nunca se encuentran en el Examen Estatal Unificado, pero no será superfluo conocerlas.

Derivada de una función compleja.

¿Qué es una "función compleja"? No, esto no es un logaritmo ni un arcotangente. Estas funciones pueden ser difíciles de entender (aunque si te resulta difícil el logaritmo, lee el tema “Logaritmos” y estarás bien), pero desde un punto de vista matemático, la palabra “complejo” no significa “difícil”.

Imaginemos una pequeña cinta transportadora: dos personas están sentadas y realizan algunas acciones con algunos objetos. Por ejemplo, el primero envuelve una barra de chocolate en un envoltorio y el segundo la ata con una cinta. El resultado es un objeto compuesto: una barra de chocolate envuelta y atada con una cinta. Para comer chocolate, debes hacer acciones inversas en orden inverso.

Creemos una tubería matemática similar: primero encontraremos el coseno de un número y luego elevaremos al cuadrado el número resultante. Entonces, nos dan un número (chocolate), encuentro su coseno (envoltorio) y luego elevas al cuadrado lo que obtuve (lo atas con una cinta). ¿Qué pasó? Función. Este es un ejemplo de función compleja: cuando, para encontrar su valor, realizamos la primera acción directamente con la variable, y luego una segunda acción con lo resultante de la primera.

Podemos hacer fácilmente los mismos pasos en orden inverso: primero lo elevas al cuadrado y luego busco el coseno del número resultante: . Es fácil adivinar que el resultado casi siempre será diferente. Una característica importante de las funciones complejas: cuando cambia el orden de las acciones, la función cambia.

En otras palabras, una función compleja es una función cuyo argumento es otra función: .

Para el primer ejemplo, .

Segundo ejemplo: (lo mismo). .

La acción que hagamos en último lugar se llamará función "externa", y la acción realizada primero, en consecuencia función "interna"(Estos son nombres informales, los uso sólo para explicar el material en un lenguaje sencillo).

Intente determinar usted mismo qué función es externa y cuál interna:

Respuestas: Separar funciones internas y externas es muy similar a cambiar variables: por ejemplo, en una función

1. ¿Qué acción realizaremos primero? Primero, calculemos el seno y solo luego lo elevamos al cubo. Esto quiere decir que es una función interna, pero externa.
   Y la función original es su composición: .
2. Interno: ; externo: .
   Examen: .
3. Interno: ; externo: .
   Examen: .
4. Interno: ; externo: .
   Examen: .
5. Interno: ; externo: .
   Examen: .

Cambiamos variables y obtenemos una función.

Bueno, ahora extraeremos nuestra barra de chocolate y buscaremos el derivado. El procedimiento siempre es inverso: primero buscamos la derivada de la función exterior, luego multiplicamos el resultado por la derivada de la función interior. En relación con el ejemplo original, se ve así:

Otro ejemplo:

Entonces, finalmente formulemos la regla oficial:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

Parece sencillo, ¿verdad?

Comprobemos con ejemplos:

Soluciones:

1) Interno: ;

Externo: ;

2) Interno: ;

(¡Pero no intentes cortarlo ahora! No sale nada de debajo del coseno, ¿recuerdas?)

3) Interno: ;

Externo: ;

Inmediatamente queda claro que se trata de una función compleja de tres niveles: después de todo, esto ya es una función compleja en sí misma, y ​​​​también le extraemos la raíz, es decir, realizamos la tercera acción (ponemos el chocolate en un envoltorio y con una cinta en el maletín). Pero no hay por qué tener miedo: todavía “desempaquetaremos” esta función en el mismo orden habitual: desde el final.

Es decir, primero derivamos la raíz, luego el coseno y solo luego la expresión entre paréntesis. Y luego lo multiplicamos todo.

En tales casos conviene numerar las acciones. Es decir, imaginemos lo que sabemos. ¿En qué orden realizaremos acciones para calcular el valor de esta expresión? Veamos un ejemplo:

Cuanto más tarde se realice la acción, más "externa" será la función correspondiente. La secuencia de acciones es la misma que antes:

Aquí el anidamiento suele ser de 4 niveles. Determinemos el curso de acción.

1. Expresión radical. .

2. Raíz. .

3. Seno. .

4. Cuadrado. .

5. Poniéndolo todo junto:

DERIVADO. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Derivada de una función- la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento para un incremento infinitesimal del argumento:

Derivados básicos:

Reglas de diferenciación:

La constante se saca del signo de la derivada:

Derivada de la suma:

Derivado del producto:

Derivada del cociente:

Derivada de una función compleja:

Algoritmo para encontrar la derivada de una función compleja:

1. Definimos la función "interna" y encontramos su derivada.
2. Definimos la función "externa" y encontramos su derivada.
3. Multiplicamos los resultados del primer y segundo punto.

Mostrando la conexión entre el signo de la derivada y la naturaleza de la monotonicidad de la función.

Tenga mucho cuidado con lo siguiente. ¡Mira, el horario de QUÉ te lo dan! Función o su derivada

Si se le da una gráfica de la derivada, entonces solo nos interesarán los signos y ceros de la función. ¡En principio no nos interesan “colinas” ni “huecos”!

Tarea 1.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Determina el número de puntos enteros en los que la derivada de la función es negativa.

Solución:

En la figura, las áreas de función decreciente están resaltadas en color:

Estas regiones decrecientes de la función contienen 4 valores enteros.

Tarea 2.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.

Solución:

Una vez que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta (o, que es lo mismo), teniendo pendiente , igual a cero, entonces la tangente tiene un coeficiente angular .

Esto a su vez significa que la tangente es paralela al eje, ya que la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la tangente al eje.

Por lo tanto, encontramos puntos extremos (puntos máximo y mínimo) en la gráfica; es en estos puntos donde las funciones tangentes a la gráfica serán paralelas al eje.

Hay 4 de esos puntos.

Tarea 3.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la tangente a la gráfica de la función es paralela o coincide con la recta.

Solución:

Dado que la tangente a la gráfica de una función es paralela (o coincide) con una recta que tiene pendiente, entonces la tangente también tiene pendiente.

Esto a su vez significa que en los puntos de contacto.

Por lo tanto, nos fijamos en cuántos puntos de la gráfica tienen una ordenada igual a .

Como puede ver, hay cuatro puntos de este tipo.

Tarea 4.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra el número de puntos en los que la derivada de la función es 0.

Solución:

La derivada es igual a cero en los puntos extremos. Tenemos 4 de ellos:

Tarea 5.

La figura muestra una gráfica de una función y once puntos en el eje x:. ¿En cuántos de estos puntos la derivada de la función es negativa?

Solución:

En intervalos de función decreciente, su derivada toma valores negativos. Y la función disminuye en puntos. Hay 4 de esos puntos.

Tarea 6.

La figura muestra una gráfica de una función definida en el intervalo. Encuentra la suma de los puntos extremos de la función.

Solución:

Puntos extremos– estos son los puntos máximos (-3, -1, 1) y puntos mínimos (-2, 0, 3).

Suma de puntos extremos: -3-1+1-2+0+3=-2.

Tarea 7.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta, indica la suma de puntos enteros incluidos en estos intervalos.

Solución:

La figura resalta los intervalos donde la derivada de la función no es negativa.

No hay puntos enteros en el intervalo creciente pequeño; en el intervalo creciente hay cuatro valores enteros: , y .

Su suma:

Tarea 8.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. Encuentra los intervalos de aumento de la función. En tu respuesta indica la longitud del mayor de ellos.

Solución:

En la figura, todos los intervalos en los que la derivada es positiva están resaltados en color, lo que significa que la función misma aumenta en estos intervalos.

La longitud del mayor de ellos es 6.

Tarea 9.

La figura muestra una gráfica de la derivada de una función definida en el intervalo. ¿En qué punto del segmento adquiere mayor valor?

Solución:

Veamos cómo se comporta la gráfica sobre el segmento que es lo que nos interesa solo el signo de la derivada .

El signo de la derivada es menos, ya que la gráfica de este segmento está debajo del eje.

La operación de encontrar la derivada se llama diferenciación.

Como resultado de resolver los problemas de encontrar derivadas de las funciones más simples (y no muy simples), definiendo la derivada como el límite de la relación entre el incremento y el incremento del argumento, apareció una tabla de derivadas y reglas de diferenciación definidas con precisión. . Los primeros en trabajar en el campo de la búsqueda de derivadas fueron Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Por lo tanto, en nuestro tiempo, para encontrar la derivada de cualquier función, no es necesario calcular el límite antes mencionado de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, solo es necesario utilizar la tabla de Derivadas y reglas de diferenciación. El siguiente algoritmo es adecuado para encontrar la derivada.

Para encontrar la derivada, necesitas una expresión debajo del signo primo dividir funciones simples en componentes y determinar qué acciones (producto, suma, cociente) estas funciones están relacionadas. A continuación, encontramos las derivadas de funciones elementales en la tabla de derivadas y las fórmulas para las derivadas del producto, suma y cociente, en las reglas de derivación. La tabla de derivadas y las reglas de diferenciación se dan después de los dos primeros ejemplos.

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de una función.

Solución. De las reglas de diferenciación aprendemos que la derivada de una suma de funciones es la suma de derivadas de funciones, es decir

De la tabla de derivadas aprendemos que la derivada de "x" es igual a uno y la derivada del seno es igual al coseno. Sustituimos estos valores en la suma de derivadas y encontramos la derivada requerida por la condición del problema:

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Diferenciamos como derivada de una suma en la que el segundo término tiene factor constante; se puede sacar del signo de la derivada:

Si aún surgen dudas sobre el origen de algo, normalmente se aclaran después de familiarizarse con la tabla de derivadas y las reglas de diferenciación más simples. Estamos avanzando hacia ellos ahora mismo.

Tabla de derivadas de funciones simples.

1. Derivada de una constante (número). Cualquier número (1, 2, 5, 200...) que esté en la expresión de la función. Siempre igual a cero. Es muy importante recordar esto, ya que se requiere muy a menudo.
2. Derivada de la variable independiente. Muy a menudo "X". Siempre igual a uno. Esto también es importante recordarlo durante mucho tiempo.
3. Derivada de grado. Al resolver problemas, es necesario convertir raíces no cuadradas en potencias.
4. Derivada de una variable a la potencia -1
5. Derivado raíz cuadrada
6. Derivada del seno
7. Derivada del coseno
8. Derivada de tangente
9. Derivada de cotangente
10. Derivada del arcoseno
11. Derivada del arco coseno
12. Derivada de arcotangente
13. Derivada del arco cotangente
14. Derivada del logaritmo natural
15. Derivada de una función logarítmica
16. Derivada del exponente
17. Derivada de una función exponencial

Reglas de diferenciación

1. Derivada de una suma o diferencia
2. Derivado del producto
2a. Derivada de una expresión multiplicada por un factor constante
3. Derivada del cociente
4. Derivada de una función compleja

Regla 1.Si las funciones

son diferenciables en algún punto, entonces las funciones son diferenciables en el mismo punto

y

aquellos. la derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones.

Consecuencia. Si dos funciones diferenciables difieren en un término constante, entonces sus derivadas son iguales, es decir.

Regla 2.Si las funciones

son diferenciables en algún punto, entonces su producto es diferenciable en el mismo punto

y

aquellos. La derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones y la derivada de la otra.

Corolario 1. El factor constante se puede sacar del signo de la derivada.:

Corolario 2. La derivada del producto de varias funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la derivada de cada factor y todos los demás.

Por ejemplo, para tres multiplicadores:

Regla 3.Si las funciones

diferenciable en algún momento Y , entonces en este punto su cociente también es derivableu/v, y

aquellos. la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado de el antiguo numerador.

Dónde buscar cosas en otras páginas.

Al encontrar la derivada de un producto y un cociente en problemas reales, siempre es necesario aplicar varias reglas de diferenciación a la vez, por lo tanto más ejemplos para estos derivados - en el artículo"Derivada del producto y cociente de funciones".

Comentario.¡No debes confundir una constante (es decir, un número) con un término de una suma y con un factor constante! En el caso de un término, su derivada es igual a cero, y en el caso de un factor constante, se quita del signo de las derivadas. Este error típico, que ocurre en etapa inicial estudian derivadas, pero a medida que resuelven varios ejemplos de una y dos partes, el estudiante promedio ya no comete este error.

Y si al diferenciar un producto o cociente se tiene un término tu"v, en el cual tu- un número, por ejemplo, 2 o 5, es decir, una constante, entonces la derivada de este número será igual a cero y, por tanto, todo el término será igual a cero (este caso se analiza en el ejemplo 10).

Otro Error común- solución mecánica de la derivada de una función compleja como derivada de una función simple. Es por eso derivada de una función compleja Se dedica un artículo aparte. Pero primero aprenderemos a encontrar derivadas de funciones simples.

En el camino, no puedes prescindir de transformar las expresiones. Para hacer esto, es posible que necesites abrir el manual en ventanas nuevas. Acciones con poderes y arraigo Y Operaciones con fracciones .

Si buscas soluciones a derivadas de fracciones con potencias y raíces, es decir, cuando la función se ve así , luego sigue la lección “Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces”.

Si tienes una tarea como , luego tomarás la lección “Derivadas de funciones trigonométricas simples”.

Ejemplos paso a paso: cómo encontrar la derivada

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Definimos las partes de la expresión de la función: la expresión completa representa un producto y sus factores son sumas, en la segunda de las cuales uno de los términos contiene un factor constante. Aplicamos la regla de diferenciación de productos: la derivada del producto de dos funciones es igual a la suma de los productos de cada una de estas funciones por la derivada de la otra:

A continuación, aplicamos la regla de derivación de la suma: la derivada de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las derivadas de estas funciones. En nuestro caso, en cada suma el segundo término tiene un signo menos. En cada suma vemos tanto una variable independiente, cuya derivada es igual a uno, como una constante (número), cuya derivada es igual a cero. Entonces, "X" se convierte en uno y menos 5 se convierte en cero. En la segunda expresión, "x" se multiplica por 2, por lo que multiplicamos dos por la misma unidad que la derivada de "x". Obtenemos los siguientes valores de derivada:

Sustituimos las derivadas encontradas en la suma de productos y obtenemos la derivada de toda la función requerida por la condición del problema:

Ejemplo 4. Encuentra la derivada de una función.

Solución. Estamos obligados a encontrar la derivada del cociente. Aplicamos la fórmula para derivar el cociente: la derivada del cociente de dos funciones es igual a una fracción, cuyo numerador es la diferencia entre los productos del denominador y la derivada del numerador y el numerador y la derivada del denominador, y el denominador es el cuadrado del numerador anterior. Obtenemos:

Ya hemos encontrado la derivada de los factores en el numerador en el ejemplo 2. No olvidemos tampoco que el producto, que es el segundo factor en el numerador en el ejemplo actual, se toma con un signo menos:

Si buscas soluciones a problemas en los que necesitas encontrar la derivada de una función, donde hay un montón continuo de raíces y potencias, como, por ejemplo, , entonces bienvenido a clase "Derivada de sumas de fracciones con potencias y raíces" .

Si necesitas aprender más sobre las derivadas de senos, cosenos, tangentes y otros funciones trigonométricas, es decir, cuando la función se parece , entonces una lección para ti "Derivadas de funciones trigonométricas simples" .

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de una función.

Solución. En esta función vemos un producto, uno de cuyos factores es la raíz cuadrada de la variable independiente, cuya derivada conocemos en la tabla de derivadas. Usando la regla para derivar el producto y el valor tabular de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Ejemplo 6. Encuentra la derivada de una función.

Solución. En esta función vemos un cociente cuyo dividendo es la raíz cuadrada de la variable independiente. Usando la regla de diferenciación de cocientes, que repetimos y aplicamos en el ejemplo 4, y el valor tabulado de la derivada de la raíz cuadrada, obtenemos:

Para eliminar una fracción en el numerador, multiplica el numerador y el denominador por.