Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Por cualquier punto se puede trazar un número infinito de rectas.

A través de dos puntos cualesquiera que no coincidan se puede trazar una sola línea recta.

Dos rectas divergentes en un plano se cortan en un solo punto o están

paralelo (sigue del anterior).

En el espacio tridimensional, hay tres opciones para la posición relativa de dos líneas:

• las líneas se cruzan;

• las líneas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Derecho línea— curva algebraica de primer orden: una línea recta en el sistema de coordenadas cartesiano

está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

Ecuación general de una recta.

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

y constante A, B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de una recta. Dependiendo de los valores de las constantes. A, B Y CON Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- una recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- línea recta paralela al eje UNED

. B = C = 0, A ≠0- la recta coincide con el eje UNED

. A = C = 0, B≠0- la recta coincide con el eje Oh

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de un determinado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto. A(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x - y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C

Sustituyamos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto

C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x - y - 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos en el espacio. M1 (x1, y1, z1) Y M2 (x 2, y 2, z 2), Entonces ecuación de una recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En

plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:

Si x 1 ≠ x 2 Y x = x 1, Si x1 = x2 .

Fracción =k llamado pendiente derecho.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.

Si ecuación general derecho Hacha + Wu + C = 0 Conducir a:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, puedes ingresar a la tarea

una línea recta que pasa por un punto y un vector director de una línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero (α1,α2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamado vector director de una línea recta.

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

Los coeficientes deben cumplir las siguientes condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

en x = 1, y = 2 obtenemos C/A = -3, es decir. ecuación requerida:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la línea recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por -С, obtenemos:

o donde

Significado geométrico coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Oh, A b- coordenada del punto de intersección de la línea con el eje UNED.

Ejemplo. La ecuación general de una línea recta está dada. x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Hacha + Wu + C = 0 dividir por número Lo que es llamado

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que µ*C< 0.

R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea recta,

A φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Oh.

Ejemplo. La ecuación general de la recta está dada. 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir Varios tipos ecuaciones

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos.:

La ecuación de esta recta con la pendiente.: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralelo a los ejes o pasando por el origen.

El ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + segundo 1 , y = k 2 x + segundo 2, Eso esquina filosa entre estas lineas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares

Si k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Directo Hacha + Wu + C = 0 Y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 = λA, B 1 = λB. si también С 1 = λС, entonces las líneas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas.

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

Ecuación de una recta que pasa por este punto perpendicular a esta línea.

Definición. Línea que pasa por un punto. M1 (x1, y1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

Distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Hacha + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. deja el punto M1 (x1, y1)- la base de una perpendicular caída desde un punto METRO para una dada

directo. Entonces la distancia entre puntos METRO Y m 1:

(1)

Coordenadas x1 Y a la 1 se puede encontrar como solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido demostrado.

Deje que la línea pase por los puntos M 1 (x 1; y 1) y M 2 (x 2; y 2). La ecuación de una línea recta que pasa por el punto M 1 tiene la forma y-y 1 = k (x-x1), (10.6)

Dónde k - coeficiente aún desconocido.

Dado que la línea recta pasa por el punto M 2 (x 2 y 2), las coordenadas de este punto deben satisfacer la ecuación (10.6): y 2 -y 1 = k (x2-x1).

Desde aquí encontramos Sustituyendo el valor encontrado. k en la ecuación (10.6), obtenemos la ecuación de una recta que pasa por los puntos M 1 y M 2:

Se supone que en esta ecuación x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Si x 1 = x 2, entonces la recta que pasa por los puntos M 1 (x 1,y I) y M 2 (x 2,y 2) es paralela al eje de ordenadas. Su ecuación es x = x 1 .

Si y 2 = y I, entonces la ecuación de la recta se puede escribir como y = y 1, la recta M 1 M 2 es paralela al eje de abscisas.

Ecuación de una recta en segmentos

Deje que la línea recta cruce el eje Ox en el punto M 1 (a;0) y el eje Oy en el punto M 2 (0;b). La ecuación tomará la forma:
aquellos.
. Esta ecuación se llama ecuación de una recta en segmentos, porque Los números a y b indican qué segmentos corta la línea en los ejes de coordenadas..

Ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado

Encontremos la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado Mo (x O; y o) perpendicular a un vector dado distinto de cero n = (A; B).

Tomemos un punto arbitrario M(x; y) en la recta y consideremos el vector M 0 M (x - x 0; y - y o) (ver Fig. 1). Como los vectores n y M o M son perpendiculares, su producto escalar es igual a cero: es decir

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

La ecuación (10.8) se llama ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a un vector dado .

Vector n= (A; B), perpendicular a la recta, se llama normal vector normal de esta línea .

La ecuación (10.8) se puede reescribir como Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

donde A y B son las coordenadas del vector normal, C = -Ax o - Vu o es el término libre. Ecuación (10.9) es la ecuación general de la recta(ver figura 2).

Fig.1 Fig.2

Ecuaciones canónicas de la recta.

,

Dónde
- coordenadas del punto por el que pasa la línea, y
- vector de dirección.

Curvas de segundo orden Círculo

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto dado, al que se le llama centro.

Ecuación canónica de un círculo de radio. R centrado en un punto
:

En particular, si el centro de la estaca coincide con el origen de coordenadas, entonces la ecuación quedará así:

Elipse

Una elipse es un conjunto de puntos en un plano, la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos dados. Y , que se llaman focos, es una cantidad constante
, mayor que la distancia entre focos
.

La ecuación canónica de una elipse cuyos focos se encuentran en el eje Ox y el origen de coordenadas en el medio entre los focos tiene la forma
GRAMO Delaware a longitud del semieje mayor; b – longitud del semieje menor (Fig. 2).

La ecuacion parábolas es función cuadrática. Hay varias opciones para construir esta ecuación. Todo depende de los parámetros que se presenten en el planteamiento del problema.

Instrucciones

Una parábola es una curva que se asemeja a un arco en forma y es la gráfica de una función de potencia. Independientemente de las características de una parábola, ésta es pareja. Esta función se llama par; para todos los valores del argumento de la definición, cuando cambia el signo del argumento, el valor no cambia: f (-x) = f (x) Comience con la función más simple: y =x^2. Por su apariencia podemos concluir que es tanto positivo como negativo. valores negativos argumento x. El punto en el que x=0 y al mismo tiempo y =0 se considera un punto.

A continuación se muestran todas las opciones principales para construir esta función y sus archivos . Como primer ejemplo, a continuación consideramos una función de la forma: f(x)=x^2+a, donde a es un número entero. Para construir una gráfica de esta función, es necesario desplazar la gráfica de la función f(x) en unidades a. Un ejemplo es la función y=x^2+3, donde a lo largo del eje y la función se desplaza dos unidades. Si se le da una función con signo opuesto, por ejemplo y=x^2-3, entonces su gráfica se desplaza hacia abajo a lo largo del eje y.

Otro tipo de función a la que se le puede dar una parábola es f(x)=(x +a)^2. En tales casos, la gráfica, por el contrario, se desplaza a lo largo del eje de abscisas (eje x) en unidades. Por ejemplo, podemos considerar las funciones: y=(x +4)^2 e y=(x-4)^2. En el primer caso, donde hay una función con un signo más, la gráfica se desplaza a lo largo del eje x hacia la izquierda, y en el segundo caso, hacia la derecha. Todos estos casos se muestran en la figura.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado en una dirección determinada. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos dados. El ángulo entre dos líneas rectas. La condición de paralelismo y perpendicularidad de dos rectas. Determinar el punto de intersección de dos líneas.

1. Ecuación de una recta que pasa por un punto dado A(X 1 , y 1) en una dirección determinada, determinada por la pendiente k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Esta ecuación define un lápiz de líneas que pasan por un punto. A(X 1 , y 1), que se llama centro del haz.

2. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos: A(X 1 , y 1) y B(X 2 , y 2), escrito así:

El coeficiente angular de una línea recta que pasa por dos puntos dados está determinado por la fórmula

3. Ángulo entre rectas A Y B es el ángulo que debe girar la primera línea recta A alrededor del punto de intersección de estas líneas en sentido antihorario hasta que coincida con la segunda línea B. Si dos rectas están dadas por ecuaciones con pendiente

y = k 1 X + B 1 ,