Las ecuaciones canónicas de una línea en el espacio son ecuaciones que definen una línea que pasa por un punto dado colineal al vector director.

Sean dados un punto y un vector dirección. Un punto arbitrario se encuentra en una recta. yo sólo si los vectores y son colineales, es decir, se cumple la condición para ellos:

.

Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones canónicas de la línea recta.

Números metro , norte Y pag son proyecciones del vector de dirección sobre los ejes de coordenadas. Como el vector es distinto de cero, entonces todos los números metro , norte Y pag no puede ser simultáneamente igual a cero. Pero uno o dos de ellos pueden resultar cero. En geometría analítica, por ejemplo, se permite la siguiente entrada:

,

lo que significa que las proyecciones del vector sobre el eje Oye Y Onz son iguales a cero. Por tanto, tanto el vector como la recta definida por las ecuaciones canónicas son perpendiculares a los ejes Oye Y Onz, es decir, aviones yOz .

Ejemplo 1. Escribe ecuaciones para una recta en el espacio perpendicular a un plano. y pasando por el punto de intersección de este plano con el eje Onz .

Solución. Encontremos el punto de intersección de este plano con el eje. Onz. Dado que cualquier punto situado sobre el eje Onz, tiene coordenadas , entonces, suponiendo en la ecuación dada del plano x = y = 0, obtenemos 4 z- 8 = 0 o z= 2 . Por tanto, el punto de intersección de este plano con el eje. Onz tiene coordenadas (0; 0; 2). Como la recta deseada es perpendicular al plano, es paralela a su vector normal. Por tanto, el vector director de la recta puede ser el vector normal. plano dado.

Ahora escribamos las ecuaciones requeridas de una línea recta que pasa por un punto. A= (0; 0; 2) en la dirección del vector:

Ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos dados

Una línea recta se puede definir por dos puntos que se encuentran sobre ella. Y En este caso, el vector director de la recta puede ser el vector . Entonces las ecuaciones canónicas de la recta toman la forma

.

Las ecuaciones anteriores determinan una línea que pasa por dos puntos dados.

Ejemplo 2. Escribe una ecuación para una recta en el espacio que pasa por los puntos y .

Solución. Anotemos las ecuaciones requeridas de la línea recta en la forma dada arriba en la referencia teórica:

.

Dado que , entonces la línea recta deseada es perpendicular al eje. Oye .

Recta como la línea de intersección de planos.

Una línea recta en el espacio se puede definir como la línea de intersección de dos planos no paralelos y, es decir, como un conjunto de puntos que satisfacen un sistema de dos ecuaciones lineales.

Las ecuaciones del sistema también se denominan ecuaciones generales de una línea recta en el espacio.

Ejemplo 3. Componer ecuaciones canónicas de una recta en el espacio dadas por ecuaciones generales.

Solución. Para escribir las ecuaciones canónicas de una recta o, lo que es lo mismo, las ecuaciones de una recta que pasa por dos puntos dados, es necesario encontrar las coordenadas de dos puntos cualesquiera de la recta. Pueden ser los puntos de intersección de una línea recta con dos planos de coordenadas cualesquiera, por ejemplo yOz Y xoz .

Punto de intersección de una recta y un plano. yOz tiene una abscisa X= 0 . Por lo tanto, suponiendo en este sistema de ecuaciones X= 0, obtenemos un sistema con dos variables:

Su decisión y = 2 , z= 6 junto con X= 0 define un punto A(0; 2; 6) la línea deseada. Entonces suponiendo en el sistema de ecuaciones dado y= 0, obtenemos el sistema

Su decisión X = -2 , z= 0 junto con y= 0 define un punto B(-2; 0; 0) intersección de una recta con un plano xoz .

Ahora escribamos las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos. A(0; 2; 6) y B (-2; 0; 0) :

,

o después de dividir los denominadores por -2:

,

La recta que pasa por el punto K(x 0 ; y 0) y es paralela a la recta y = kx + a se encuentra mediante la fórmula:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Donde k es la pendiente de la recta.

Fórmula alternativa:
Una recta que pasa por el punto M 1 (x 1 ; y 1) y es paralela a la recta Ax+By+C=0 está representada por la ecuación

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Ejemplo No. 2. Escribe la ecuación de una recta paralela a la recta 2x + 5y = 0 y formando, junto con los ejes coordenados, un triángulo cuya área es 5.
Solución . Como las rectas son paralelas, la ecuación de la recta deseada es 2x + 5y + C = 0. Área triángulo rectángulo, donde a y b son sus catetos. Encontremos los puntos de intersección de la línea deseada con los ejes de coordenadas:
;
.
Entonces, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sustituyémoslo en la fórmula del área: . Obtenemos dos soluciones: 2x + 5y + 10 = 0 y 2x + 5y – 10 = 0.

Ejemplo No. 3. Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto (-2; 5) y es paralela a la recta 5x-7y-4=0.
Solución. Esta línea recta se puede representar mediante la ecuación y = 5 / 7 x – 4 / 7 (aquí a = 5 / 7). La ecuación de la recta deseada es y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), es decir 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Ejemplo No. 4. Habiendo resuelto el ejemplo 3 (A=5, B=-7) usando la fórmula (2), encontramos 5(x+2)-7(y-5)=0.

Ejemplo No. 5. Escribe una ecuación para una recta que pasa por el punto (-2;5) y es paralela a la recta 7x+10=0.
Solución. Aquí A=7, B=0. La fórmula (2) da 7(x+2)=0, es decir x+2=0. La fórmula (1) no es aplicable, ya que esta ecuación no se puede resolver con respecto a y (esta recta es paralela al eje de ordenadas).

La ecuacion parábolas es función cuadrática. Hay varias opciones para construir esta ecuación. Todo depende de los parámetros que se presenten en el planteamiento del problema.

Instrucciones

Una parábola es una curva que se asemeja a un arco en forma y es la gráfica de una función de potencia. Independientemente de las características de una parábola, ésta es pareja. Esta función se llama par; para todos los valores del argumento de la definición, cuando cambia el signo del argumento, el valor no cambia: f (-x) = f (x) Comience con la función más simple: y =x^2. Por su apariencia podemos concluir que es tanto positivo como negativo. valores negativos argumento x. El punto en el que x=0 y al mismo tiempo y =0 se considera un punto.

A continuación se muestran todas las opciones principales para construir esta función y sus archivos . Como primer ejemplo, a continuación consideramos una función de la forma: f(x)=x^2+a, donde a es un número entero. Para construir una gráfica de esta función, es necesario desplazar la gráfica de la función f(x) en unidades a. Un ejemplo es la función y=x^2+3, donde a lo largo del eje y la función se desplaza dos unidades. Si se le da una función con signo opuesto, por ejemplo y=x^2-3, entonces su gráfica se desplaza hacia abajo a lo largo del eje y.

Otro tipo de función a la que se le puede dar una parábola es f(x)=(x +a)^2. En tales casos, la gráfica, por el contrario, se desplaza a lo largo del eje de abscisas (eje x) en unidades. Por ejemplo, podemos considerar las funciones: y=(x +4)^2 e y=(x-4)^2. En el primer caso, donde hay una función con un signo más, la gráfica se desplaza a lo largo del eje x hacia la izquierda, y en el segundo caso, hacia la derecha. Todos estos casos se muestran en la figura.

Propiedades de una línea recta en geometría euclidiana.

Por cualquier punto se puede trazar un número infinito de rectas.

A través de dos puntos cualesquiera que no coincidan se puede trazar una sola línea recta.

Dos rectas divergentes en un plano se cortan en un solo punto o están

paralelo (sigue del anterior).

En el espacio tridimensional, hay tres opciones para la posición relativa de dos líneas:

• las líneas se cruzan;

• las líneas son paralelas;

• las líneas rectas se cruzan.

Derecho línea— curva algebraica de primer orden: una línea recta en el sistema de coordenadas cartesiano

está dada en el plano por una ecuación de primer grado (ecuación lineal).

ecuación general derecho.

Definición. Cualquier línea recta en el plano se puede especificar mediante una ecuación de primer orden.

Hacha + Wu + C = 0,

y constante A, B no son iguales a cero al mismo tiempo. Esta ecuación de primer orden se llama general

ecuación de una recta. Dependiendo de los valores de las constantes. A, B Y CON Son posibles los siguientes casos especiales:

. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- una recta pasa por el origen

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (Por + C = 0)- línea recta paralela al eje Oh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- línea recta paralela al eje UNED

. B = C = 0, A ≠0- la recta coincide con el eje UNED

. A = C = 0, B≠0- la recta coincide con el eje Oh

La ecuación de una línea recta se puede presentar de diferentes formas dependiendo de un determinado

condiciones iniciales.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector normal.

Definición. En un sistema de coordenadas rectangular cartesiano, un vector con componentes (A, B)

perpendicular a la recta dada por la ecuación

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta que pasa por un punto. A(1, 2) perpendicular al vector (3, -1).

Solución. Con A = 3 y B = -1, compongamos la ecuación de la recta: 3x - y + C = 0. Para encontrar el coeficiente C

Sustituyamos las coordenadas del punto A dado en la expresión resultante. Obtenemos: 3 - 2 + C = 0, por lo tanto

C = -1. Total: la ecuación requerida: 3x - y - 1 = 0.

Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Sean dos puntos en el espacio. M1 (x1, y1, z1) Y M2 (x 2, y 2, z 2), Entonces ecuación de una recta,

pasando por estos puntos:

Si alguno de los denominadores es cero, el numerador correspondiente debe ser igual a cero. En

plano, la ecuación de la recta escrita arriba se simplifica:

Si x 1 ≠ x 2 Y x = x 1, Si x1 = x2 .

Fracción =k llamado pendiente derecho.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 4).

Solución. Aplicando la fórmula escrita arriba, obtenemos:

Ecuación de una recta utilizando un punto y una pendiente.

Si la ecuación general de la recta Hacha + Wu + C = 0 Conducir a:

y designar , entonces la ecuación resultante se llama

ecuación de una recta con pendiente k.

Ecuación de una recta a partir de un punto y un vector director.

Por analogía con el punto considerando la ecuación de una línea recta que pasa por un vector normal, puedes ingresar a la tarea

una línea recta que pasa por un punto y un vector director de una línea recta.

Definición. Cada vector distinto de cero (α1,α2), cuyos componentes satisfacen la condición

Aα 1 + Bα 2 = 0 llamado vector director de una línea recta.

Hacha + Wu + C = 0.

Ejemplo. Encuentra la ecuación de una recta con un vector director (1, -1) y que pasa por el punto A(1, 2).

Solución. Buscaremos la ecuación de la recta deseada en la forma: Hacha + Por + C = 0. Según la definición,

Los coeficientes deben cumplir las siguientes condiciones:

1 * A + (-1) * B = 0, es decir A = B.

Entonces la ecuación de la recta tiene la forma: Hacha + Ay + C = 0, o x + y + C/A = 0.

en x = 1, y = 2 obtenemos C/A = -3, es decir. ecuación requerida:

x + y - 3 = 0

Ecuación de una recta en segmentos.

Si en la ecuación general de la línea recta Ах + Ву + С = 0 С≠0, entonces, dividiendo por -С, obtenemos:

o donde

El significado geométrico de los coeficientes es que el coeficiente a es la coordenada del punto de intersección

recto con eje Oh, A b- coordenada del punto de intersección de la línea con el eje UNED.

Ejemplo. La ecuación general de una línea recta está dada. x - y + 1 = 0. Encuentra la ecuación de esta recta en segmentos.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Ecuación normal de una recta.

Si ambos lados de la ecuación Hacha + Wu + C = 0 dividir por número Lo que es llamado

factor de normalización, entonces obtenemos

xcosφ + ysinφ - p = 0 -ecuación normal de una recta.

El signo ± del factor de normalización debe elegirse de modo que µ*C< 0.

R- la longitud de la perpendicular caída desde el origen hasta la línea recta,

A φ - el ángulo formado por esta perpendicular con la dirección positiva del eje Oh.

Ejemplo. La ecuación general de la recta está dada. 12x - 5y - 65 = 0. Requerido para escribir Varios tipos ecuaciones

esta línea recta.

La ecuación de esta recta en segmentos.:

La ecuación de esta recta con la pendiente.: (dividir por 5)

Ecuación de una recta:

porque φ = 12/13; pecado φ= -5/13; pag = 5.

Cabe señalar que no todas las líneas rectas se pueden representar mediante una ecuación en segmentos, por ejemplo, líneas rectas,

paralelo a los ejes o pasando por el origen.

El ángulo entre líneas rectas en un plano.

Definición. Si se dan dos líneas y = k 1 x + segundo 1 , y = k 2 x + segundo 2, Eso esquina filosa entre estas lineas

se definirá como

Dos rectas son paralelas si k 1 = k 2. Dos rectas son perpendiculares

Si k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Directo Hacha + Wu + C = 0 Y A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelo cuando los coeficientes son proporcionales

A 1 = λA, B 1 = λB. si también С 1 = λС, entonces las líneas coinciden. Coordenadas del punto de intersección de dos rectas.

se encuentran como solución al sistema de ecuaciones de estas rectas.

La ecuación de una recta que pasa por un punto dado perpendicular a una recta dada.

Definición. Línea que pasa por un punto. M1 (x1, y1) y perpendicular a la recta y = kx + b

representado por la ecuación:

Distancia de un punto a una recta.

Teorema. Si se da un punto M(x 0, y 0), entonces la distancia a la recta Hacha + Wu + C = 0 definido como:

Prueba. deja el punto M1 (x1, y1)- la base de una perpendicular caída desde un punto METRO para una dada

directo. Entonces la distancia entre puntos METRO Y m 1:

(1)

Coordenadas x1 Y a la 1 se puede encontrar como solución al sistema de ecuaciones:

La segunda ecuación del sistema es la ecuación de una línea recta que pasa por un punto dado M 0 perpendicularmente

línea recta dada. Si transformamos la primera ecuación del sistema a la forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Por 0 + C = 0,

luego resolviendo obtenemos:

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), encontramos:

El teorema ha sido demostrado.

Ecuación de una recta en un plano.
El vector de dirección es recto. Vector normal

Una línea recta en un avión es una de las más simples. formas geométricas, que te resulta familiar desde la escuela primaria, y hoy aprenderemos a abordarlo utilizando los métodos de la geometría analítica. Para dominar el material, debes poder construir una línea recta; saber qué ecuación define una línea recta, en particular, una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y líneas rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Esta información se puede encontrar en el manual. Gráficas y propiedades de funciones elementales. Lo creé para Mathan, pero la sección sobre la función lineal resultó ser muy exitosa y detallada. Por eso, queridas teteras, calentad allí primero. Además es necesario tener conocimientos básicos sobre vectores, de lo contrario la comprensión del material será incompleta.

En esta lección veremos formas en las que puedes crear una ecuación de una línea recta en un plano. Recomiendo no descuidar los ejemplos prácticos (aunque parezcan muy sencillos), ya que les proporcionaré conocimientos elementales y hechos importantes, técnicas técnicas que serán necesarias en el futuro, incluso en otras secciones de matemáticas superiores.

• ¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?
• Cómo ?
• ¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?
• ¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

y comenzamos:

Ecuación de una recta con pendiente

La conocida forma "escolar" de una ecuación en línea recta se llama ecuación de una recta con pendiente. Por ejemplo, si la ecuación da una línea recta, entonces su pendiente es: . Consideremos significado geométrico de este coeficiente y cómo su valor afecta la ubicación de la línea:

En un curso de geometría se demuestra que la pendiente de la recta es igual a tangente del ángulo entre la dirección del eje positivoy esta linea: , y el ángulo “se desenrosca” en sentido antihorario.

Para no saturar el dibujo, dibujé ángulos solo para dos líneas rectas. Consideremos la línea "roja" y su pendiente. Según lo anterior: (el ángulo “alfa” se indica con un arco verde). Para la línea recta "azul" con el coeficiente del ángulo, la igualdad es verdadera (el ángulo "beta" se indica con un arco marrón). Y si se conoce la tangente del ángulo, entonces, si es necesario, es fácil de encontrar. y la esquina misma usando la función inversa: arcotangente. Como suele decirse, una tabla trigonométrica o una microcalculadora en tus manos. De este modo, el coeficiente angular caracteriza el grado de inclinación de la línea recta hacia el eje de abscisas.

Son posibles los siguientes casos:

1) Si la pendiente es negativa: entonces la línea, en términos generales, va de arriba a abajo. Algunos ejemplos son las líneas rectas “azul” y “frambuesa” del dibujo.

2) Si la pendiente es positiva: entonces la recta va de abajo hacia arriba. Ejemplos: líneas rectas "negras" y "rojas" en el dibujo.

3) Si la pendiente es cero: , entonces la ecuación toma la forma , y la recta correspondiente es paralela al eje. Un ejemplo es la línea recta "amarilla".

4) Para una familia de rectas paralelas a un eje (no hay ningún ejemplo en el dibujo, salvo el propio eje), el coeficiente angular no existe (la tangente de 90 grados no está definida).

Cuanto mayor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más pronunciada será la gráfica de línea recta..

Por ejemplo, considere dos líneas rectas. Por tanto, aquí la recta tiene una pendiente más pronunciada. Permítanme recordarles que el módulo le permite ignorar el letrero, solo nos interesa valores absolutos coeficientes angulares.

A su vez, una línea recta es más pronunciada que las rectas. .

Por el contrario: cuanto menor sea el coeficiente de pendiente en valor absoluto, más plana será la línea recta.

Para lineas rectas la desigualdad es cierta, por tanto la recta es más plana. Tobogán infantil, para no sufrir hematomas ni golpes.

¿Por qué es esto necesario?

Prolongue su tormento El conocimiento de los hechos anteriores le permite ver de inmediato sus errores, en particular, los errores al construir gráficos, si el dibujo resulta ser "obviamente algo incorrecto". Es aconsejable que usted inmediatamente estaba claro que, por ejemplo, la línea recta es muy empinada y va de abajo hacia arriba, y la línea recta es muy plana, presionada cerca del eje y va de arriba hacia abajo.

En los problemas geométricos suelen aparecer varias rectas, por lo que conviene designarlas de alguna manera.

Designaciones: las líneas rectas se designan con letras latinas minúsculas: . Una opción popular es designarlos utilizando la misma letra con subíndices naturales. Por ejemplo, las cinco líneas que acabamos de ver se pueden denotar como .

Dado que cualquier línea recta está determinada únicamente por dos puntos, se puede denotar mediante estos puntos: etc. La designación implica claramente que los puntos pertenecen a la línea.

Es hora de calentar un poco:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta con un coeficiente de ángulo?

Si se conocen un punto que pertenece a una determinada recta y el coeficiente angular de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Ejemplo 1

Escribe una ecuación para una recta con pendiente si se sabe que el punto pertenece a la recta dada.

Solución: Compongamos la ecuación de la línea recta usando la fórmula . En este caso:

Respuesta:

Examen se hace de forma sencilla. Primero, miramos la ecuación resultante y nos aseguramos de que nuestra pendiente esté en su lugar. En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer esta ecuación. Introduzcámoslos en la ecuación:

Recibió verdadera igualdad, lo que significa que el punto satisface la ecuación resultante.

Conclusión: La ecuación se encontró correctamente.

Un ejemplo más complicado para resolver por tu cuenta:

Ejemplo 2

Escribe una ecuación para una recta si se sabe que su ángulo de inclinación con respecto a la dirección positiva del eje es y el punto pertenece a esta recta.

Si tiene alguna dificultad, vuelva a leer el material teórico. Más precisamente, más práctico, me salto mucha evidencia.

Sonó última llamada, ha pasado la fiesta de graduación, y fuera de las puertas de nuestra escuela natal nos espera la propia geometría analítica. Se acabaron las bromas... O tal vez recién están comenzando =)

Con nostalgia agitamos nuestro bolígrafo hacia lo familiar y nos familiarizamos con la ecuación general de una línea recta. Porque en geometría analítica esto es exactamente lo que se usa:

La ecuación general de una recta tiene la forma: , donde están algunos números. Al mismo tiempo, los coeficientes simultáneamente no son iguales a cero, ya que la ecuación pierde su significado.

Vistámonos de traje y relacionemos la ecuación con el coeficiente de pendiente. Primero, muevamos todos los términos al lado izquierdo:

Se debe poner en primer lugar el término con “X”:

En principio, la ecuación ya tiene la forma , pero según las reglas de etiqueta matemática, el coeficiente del primer término (en este caso) debe ser positivo. Cambio de signos:

Recuerda esto característica técnica! ¡Hacemos que el primer coeficiente (la mayoría de las veces) sea positivo!

En geometría analítica, la ecuación de una línea recta casi siempre se dará en forma general. Bueno, si es necesario, se puede reducir fácilmente a la forma "escuela" con un coeficiente angular (con la excepción de las líneas rectas paralelas al eje de ordenadas).

Preguntémonos qué suficiente¿Sabes construir una línea recta? Dos puntos. Pero más sobre este incidente de la infancia, ahora se adhieren a la regla de las flechas. Cada recta tiene una pendiente muy concreta, a la que es fácil “adaptarse”. vector.

Un vector que es paralelo a una recta se llama vector director de esa recta.. Es obvio que cualquier línea recta tiene un número infinito de vectores directores, y todos ellos serán colineales (codireccionales o no, no importa).

Denotaré el vector de dirección de la siguiente manera: .

Pero un vector no es suficiente para construir una línea recta; el vector es libre y no está ligado a ningún punto del plano. Por tanto, es necesario adicionalmente conocer algún punto que pertenezca a la recta.

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector director de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se puede compilar mediante la fórmula:

A veces se llama ecuación canónica de la recta .

que hacer cuando una de las coordenadas es igual a cero, lo entenderemos en los ejemplos prácticos a continuación. Por cierto, tenga en cuenta: ambos a la vez Las coordenadas no pueden ser iguales a cero, ya que el vector cero no especifica una dirección específica.

Ejemplo 3

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Solución: Compongamos la ecuación de una línea recta usando la fórmula. En este caso:

Usando las propiedades de la proporción nos deshacemos de las fracciones:

Y llevamos la ecuación a apariencia general:

Respuesta:

Como regla general, no es necesario hacer un dibujo en tales ejemplos, pero para comprender:

En el dibujo vemos el punto inicial, el vector director original (se puede trazar desde cualquier punto del plano) y la recta construida. Por cierto, en muchos casos lo más conveniente es construir una línea recta utilizando una ecuación con un coeficiente angular. Es fácil transformar nuestra ecuación en forma y seleccionar fácilmente otro punto para construir una línea recta.

Como se señaló al principio del párrafo, una línea recta tiene infinitos vectores directores y todos ellos son colineales. Por ejemplo, dibujé tres de esos vectores: . Cualquiera que sea el vector director que elijamos, el resultado siempre será la misma ecuación en línea recta.

Creemos una ecuación de una línea recta usando un punto y un vector director:

Resolviendo la proporción:

Divide ambos lados por –2 y obtén la ecuación familiar:

Los interesados ​​pueden probar vectores de la misma forma. o cualquier otro vector colineal.

Ahora resolvamos el problema inverso:

¿Cómo encontrar un vector director usando la ecuación general de una línea recta?

Muy simple:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector director de esta recta.

Ejemplos de cómo encontrar vectores de dirección de líneas rectas:

La afirmación nos permite encontrar solo un vector director de un número infinito, pero no necesitamos más. Aunque en algunos casos es recomendable reducir las coordenadas de los vectores directores:

Así, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje y las coordenadas del vector director resultante se dividen convenientemente por –2, obteniendo exactamente el vector base como vector director. Lógico.

De manera similar, la ecuación especifica una línea recta paralela al eje, y al dividir las coordenadas del vector por 5, obtenemos el vector unitario como vector director.

ahora hagámoslo comprobando el ejemplo 3. El ejemplo subió, así que les recuerdo que en él compilamos la ecuación de una recta usando un punto y un vector director.

En primer lugar, utilizando la ecuación de la recta reconstruimos su vector director: – todo está bien, hemos recibido el vector original (en algunos casos el resultado puede ser un vector colineal al original, y esto suele ser fácil de notar por la proporcionalidad de las coordenadas correspondientes).

En segundo lugar, las coordenadas del punto deben satisfacer la ecuación. Los sustituimos en la ecuación:

Se obtuvo la igualdad correcta, lo cual nos alegra mucho.

Conclusión: La tarea se completó correctamente.

Ejemplo 4

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. La solución y la respuesta están al final de la lección. Es muy recomendable comprobarlo utilizando el algoritmo que acabamos de comentar. Intente siempre (si es posible) consultar un borrador. Es una estupidez cometer errores que se pueden evitar al 100%.

En el caso de que una de las coordenadas del vector director sea cero se procede de forma muy sencilla:

Ejemplo 5

Solución: La fórmula no es adecuada ya que el denominador del lado derecho es cero. ¡Hay una salida! Usando las propiedades de la proporción, reescribimos la fórmula en el formulario y el resto rodó por una rutina profunda:

Respuesta:

Examen:

1) Restaurar el vector director de la línea:
– el vector resultante es colineal con el vector de dirección original.

2) Sustituye las coordenadas del punto en la ecuación:

Se obtiene la igualdad correcta.

Conclusión: tarea completada correctamente

Surge la pregunta: ¿por qué molestarse con la fórmula si existe una versión universal que funcionará en cualquier caso? Hay dos razones. Primero, la fórmula está en forma de fracción. mucho mejor recordado. Y en segundo lugar, la desventaja de la fórmula universal es que el riesgo de confundirse aumenta significativamente al sustituir coordenadas.

Ejemplo 6

Escribe una ecuación para una línea recta usando un punto y un vector director.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta.

Volvamos a los dos puntos omnipresentes:

¿Cómo escribir una ecuación de una línea recta usando dos puntos?

Si se conocen dos puntos, entonces la ecuación de una línea recta que pasa por estos puntos se puede compilar mediante la fórmula:

De hecho, este es un tipo de fórmula y he aquí por qué: si se conocen dos puntos, entonces el vector será el vector director de la recta dada. En la lección Vectores para tontos Consideramos el problema más simple: cómo encontrar las coordenadas de un vector desde dos puntos. Según este problema, las coordenadas del vector dirección son:

Nota : los puntos se pueden “intercambiar” y se puede utilizar la fórmula . Esta solución será equivalente.

Ejemplo 7

Escribe una ecuación de una línea recta usando dos puntos. .

Solución: Usamos la fórmula:

Combinando los denominadores:

Y baraja la baraja:

Ahora es el momento de deshacerse de números fraccionarios. En este caso, debes multiplicar ambos lados por 6:

Abre los corchetes y recuerda la ecuación:

Respuesta:

Examen es obvio: las coordenadas de los puntos iniciales deben satisfacer la ecuación resultante:

1) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

2) Sustituir las coordenadas del punto:

Verdadera igualdad.

Conclusión: La ecuación de la recta está escrita correctamente.

Si al menos uno de los puntos no satisface la ecuación, busque un error.

Vale la pena señalar que la verificación gráfica en este caso es difícil, ya que construye una línea recta y comprueba si los puntos le pertenecen. , no es tan simple.

Notaré un par de aspectos técnicos más de la solución. Quizás en este problema sea más rentable utilizar la fórmula espejo. y en los mismos puntos hacer una ecuacion:

Menos fracciones. Si quieres puedes llevar a cabo la solución hasta el final, el resultado debe ser la misma ecuación.

El segundo punto es observar la respuesta final y descubrir si se puede simplificar aún más. Por ejemplo, si obtienes la ecuación , entonces es recomendable reducirla a dos: – la ecuación definirá la misma línea recta. Sin embargo, este ya es un tema de conversación sobre posición relativa de las líneas.

Habiendo recibido la respuesta En el ejemplo 7, por si acaso, verifiqué si TODOS los coeficientes de la ecuación son divisibles por 2, 3 o 7. Aunque, la mayoría de las veces, estas reducciones se realizan durante la solución.

Ejemplo 8

Escribe una ecuación para una recta que pasa por los puntos. .

Este es un ejemplo de una solución independiente que le permitirá comprender y practicar mejor las técnicas de cálculo.

Similar al párrafo anterior: si en la fórmula uno de los denominadores (la coordenada del vector de dirección) se vuelve cero, luego lo reescribimos en la forma. Una vez más, observe lo incómoda y confundida que se ve. No veo mucho sentido en traer ejemplos prácticos, ya que en realidad ya hemos resuelto tal problema (ver No. 5, 6).

Vector normal directo (vector normal)

¿Que es normal? En palabras simples, la normal es perpendicular. Es decir, el vector normal de una recta es perpendicular a una recta dada. Evidentemente, cualquier recta tiene un número infinito de ellos (además de vectores directores), y todos los vectores normales de la recta serán colineales (codireccionales o no, da igual).

Tratarlos será incluso más fácil que con los vectores guía:

Si una recta está dada por una ecuación general en un sistema de coordenadas rectangular, entonces el vector es el vector normal de esta recta.

Si es necesario "sacar" cuidadosamente las coordenadas del vector director de la ecuación, entonces las coordenadas del vector normal se pueden "eliminar" simplemente.

El vector normal siempre es ortogonal al vector director de la recta. Verifiquemos la ortogonalidad de estos vectores usando producto escalar:

Daré ejemplos con las mismas ecuaciones que para el vector dirección:

¿Es posible construir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal? Lo siento en mis entrañas, es posible. Si se conoce el vector normal, entonces la dirección de la línea recta en sí está claramente definida: se trata de una "estructura rígida" con un ángulo de 90 grados.

¿Cómo escribir una ecuación de una recta dado un punto y un vector normal?

Si se conoce un determinado punto que pertenece a una recta y el vector normal de esta recta, entonces la ecuación de esta recta se expresa mediante la fórmula:

Aquí todo salió bien sin fracciones ni otras sorpresas. Este es nuestro vector normal. Lo amo. Y respeto =)

Ejemplo 9

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

Solución: Usamos la fórmula:

Se ha obtenido la ecuación general de la recta, comprobemos:

1) “Eliminar” las coordenadas del vector normal de la ecuación: – sí, de hecho, el vector original se obtuvo de la condición (o se debe obtener un vector colineal).

2) Comprobemos si el punto satisface la ecuación:

Verdadera igualdad.

Una vez que estemos convencidos de que la ecuación está compuesta correctamente, completaremos la segunda parte, más sencilla, de la tarea. Sacamos el vector director de la recta:

Respuesta:

En el dibujo la situación se ve así:

Para fines educativos, una tarea similar se puede resolver de forma independiente:

Ejemplo 10

Escribe una ecuación de una línea recta dado un punto y un vector normal. Encuentra el vector dirección de la recta.

La sección final de la lección estará dedicada a tipos de ecuaciones de una línea recta en un plano menos comunes, pero también importantes.

Ecuación de una recta en segmentos.
Ecuación de una recta en forma paramétrica

La ecuación de una recta en segmentos tiene la forma , donde son constantes distintas de cero. Algunos tipos de ecuaciones no se pueden representar de esta forma, por ejemplo, la proporcionalidad directa (ya que el término libre es igual a cero y no hay forma de obtener uno en el lado derecho).

En sentido figurado, se trata de una ecuación de tipo “técnico”. Una tarea común es representar la ecuación general de una recta como una ecuación de una recta en segmentos. ¿Cómo es conveniente? La ecuación de una recta en segmentos permite encontrar rápidamente los puntos de intersección de una recta con ejes de coordenadas, lo que puede ser muy importante en algunas tareas de matemáticas superiores.

Encontremos el punto de intersección de la recta con el eje. Restablecemos la “y” a cero y la ecuación toma la forma. El punto deseado se obtiene automáticamente: .

Lo mismo con el eje. – el punto en el que la recta corta el eje de ordenadas.