25.09.2019

Las ecuaciones trigonométricas más simples de solución. Cómo resolver ecuaciones trigonométricas

Puedes ordenar solución detallada¡¡¡tu tarea!!!

Una igualdad que contiene una incógnita bajo el signo de una función trigonométrica (`sin x, cos x, tg x` o `ctg x`) se llama ecuación trigonométrica, y consideraremos sus fórmulas más adelante.

Las ecuaciones más simples son `sen x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, donde `x` es el ángulo que se va a encontrar, `a` es cualquier número. Escribamos las fórmulas de raíz para cada uno de ellos.

1. Ecuación `sen x=a`.

Para `|a|>1` no tiene soluciones.

Con '|a| \leq 1` tiene un número infinito de soluciones.

Fórmula raíz: `x=(-1)^n arcsen a + \pi n, n \in Z`

2. Ecuación `cos x=a`

Para `|a|>1` - como en el caso del seno, no hay soluciones entre números reales.

Con '|a| \leq 1` tiene conjunto infinito soluciones

Fórmula raíz: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Casos especiales para seno y coseno en grafos.

3. Ecuación `tg x=a`

Tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de `a`.

Fórmula raíz: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ecuación `ctg x=a`

También tiene un número infinito de soluciones para cualquier valor de `a`.

Fórmula raíz: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Fórmulas para las raíces de ecuaciones trigonométricas en la tabla

Para seno:
Para coseno:
Para tangente y cotangente:
Fórmulas para resolver ecuaciones que contienen funciones trigonométricas inversas:

Métodos para resolver ecuaciones trigonométricas

La solución de cualquier ecuación trigonométrica consta de dos etapas:

usando para convertirlo al más simple;
resuelve la ecuación simple resultante usando las fórmulas anteriores para las raíces y las tablas.

Consideremos los principales métodos de solución usando ejemplos.

método algebraico.

En este método se realiza el reemplazo de una variable y su sustitución en la igualdad.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

hacer un reemplazo: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, luego `2y^2-3y+1=0`,

encontramos las raíces: `y_1=1, y_2=1/2`, de donde se siguen dos casos:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Respuesta: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Factorización.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `sen x+cos x=1`.

Solución. Mover a la izquierda todos los términos de igualdad: `sin x+cos x-1=0`. Usando , transformamos y factorizamos el lado izquierdo:

`sen x - 2sen^2 x/2=0`,

`2sen x/2 cos x/2-2sen^2 x/2=0`,

`2sen x/2 (cos x/2-sen x/2)=0`,

`sen x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Respuesta: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reducción a una ecuación homogénea

Primero, debe llevar esta ecuación trigonométrica a una de dos formas:

`a sen x+b cos x=0` (ecuación homogénea de primer grado) o `a sen^2 x + b sen x cos x +c cos^2 x=0` (ecuación homogénea de segundo grado).

Luego divide ambas partes por `cos x \ne 0` para el primer caso, y por `cos^2 x \ne 0` para el segundo. Obtenemos ecuaciones para `tg x`: `a tg x+b=0` y `a tg^2 x + b tg x +c =0`, que deben resolverse usando métodos conocidos.

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x=1`.

Solución. Escribamos el lado derecho como `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sen^2 x+sen x cos x — cos^2 x=` `sen^2 x+cos^2 x`,

`2 sen^2 x+sen x cos x - cos^2 x -` ` sen^2 x - cos^2 x=0`

`sen^2 x+sen x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Esta es una ecuación trigonométrica homogénea de segundo grado, dividiendo sus lados izquierdo y derecho por `cos^2 x \ne 0`, obtenemos:

`\frac (sen^2 x)(cos^2 x)+\frac(sen x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Introduzcamos el reemplazo `tg x=t`, como resultado `t^2 + t - 2=0`. Las raíces de esta ecuación son `t_1=-2` y `t_2=1`. Entonces:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Respuesta. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Ir a Media Esquina

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `11 sen x - 2 cos x = 10`.

Solución. Aplicando las fórmulas del doble ángulo, el resultado es: `22 sen (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sen^2 x/2=` `10 sen^2 x /2 +10 porque^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Aplicando el método algebraico descrito anteriormente, obtenemos:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Respuesta. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Introducción de un ángulo auxiliar

En la ecuación trigonométrica `a sen x + b cos x =c`, donde a,b,c son coeficientes y x es una variable, dividimos ambas partes por `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(raíz cuadrada (a^2+b^2)) sen x +` `\frac b(raíz cuadrada (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(raíz cuadrada (a^2) +b^2))`.

Los coeficientes del lado izquierdo tienen las propiedades del seno y el coseno, es decir, la suma de sus cuadrados es igual a 1 y su módulo no es mayor que 1. Indícalos de la siguiente manera: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(raíz cuadrada (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(raíz cuadrada (a^2+b^2))= C`, entonces:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Echemos un vistazo más de cerca al siguiente ejemplo:

Ejemplo. Resuelve la ecuación: `3 sen x+4 cos x=2`.

Solución. Dividiendo ambos lados de la ecuación por `sqrt (3^2+4^2)`, obtenemos:

`\frac (3 sen x) (raíz cuadrada (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(raíz cuadrada (3^2+4^2))=` `\frac 2(raíz cuadrada (3^2+4^2))`

`3/5 sen x+4/5 cos x=2/5`.

Indica `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Como `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tomamos `\varphi=arcsin 4/5` como ángulo auxiliar. Entonces escribimos nuestra igualdad en la forma:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Aplicando la fórmula de la suma de ángulos para el seno, escribimos nuestra igualdad de la siguiente forma:

`pecado(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsen 2/5-` `arcsen 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Respuesta. `x=(-1)^n arcsen 2/5-` `arcsen 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Ecuaciones trigonométricas fraccionarias-racionales

Estas son igualdades con fracciones, en cuyos numeradores y denominadores hay funciones trigonométricas.

Ejemplo. Resuelve la ecuación. `\frac (sen x)(1+cos x)=1-cos x`.

Solución. Multiplica y divide el lado derecho de la ecuación por `(1+cos x)`. Como resultado, obtenemos:

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)=` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sen x)(1+cos x)-` `\frac (sen^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sen x-sen^2 x)(1+cos x)=0`

Dado que el denominador no puede ser cero, obtenemos `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Iguala el numerador de la fracción a cero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Entonces `sin x=0` o `1-sin x=0`.

`sen x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sen x=0`, `sen x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Dado que ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, las soluciones son `x=2\pi n, n \in Z` y `x=\pi /2+2\pi n` , `n\en Z`.

Respuesta. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

La trigonometría, y las ecuaciones trigonométricas en particular, se utilizan en casi todas las áreas de la geometría, la física y la ingeniería. El estudio comienza en el décimo grado, siempre hay tareas para el examen, así que trata de recordar todas las fórmulas de las ecuaciones trigonométricas. ¡Definitivamente te serán útiles!

Sin embargo, ni siquiera necesita memorizarlos, lo principal es comprender la esencia y poder deducir. No es tan difícil como parece. Compruébelo usted mismo viendo el video.

Datos de referencia sobre funciones trigonométricas seno (sin x) y coseno (cos x). Definición geométrica, propiedades, gráficas, fórmulas. Tabla de senos y cosenos, derivadas, integrales, desarrollos en serie, secante, cosecante. Expresiones a través de variables complejas. Conexión con funciones hiperbólicas.

Definición geométrica de seno y coseno.

|BD|- la longitud del arco de un círculo con centro en un punto A.
α es un ángulo expresado en radianes.

Definición
Seno es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Coseno (cos α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud de la hipotenusa |AC|.

Designaciones aceptadas

;
;
.

Gráfico de la función seno, y = sen x

Gráfico de la función coseno, y = cos x

Propiedades del seno y el coseno

Periodicidad

Funciones y= pecado x y y= porque x periódico con un punto 2pi.

Paridad

La función seno es impar. La función coseno es par.

Dominio de definición y valores, extremos, aumento, disminución

Las funciones seno y coseno son continuas en su dominio de definición, es decir, para todo x (ver la prueba de continuidad). Sus principales propiedades se presentan en la tabla (n - entero).

	y= pecado x	y= porque x
Alcance y continuidad	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rango de valores	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
ascendente
Descendente
Máximos, y= 1
Mínimos, y = - 1
ceros, y= 0
Puntos de intersección con el eje y, x = 0	y= 0	y= 1

Fórmulas básicas

Suma de seno y coseno al cuadrado

Fórmulas de seno y coseno para suma y diferencia

;
;

Fórmulas para el producto de senos y cosenos

Fórmulas de suma y diferencia

Expresión de seno a través de coseno

;
;
;
.

Expresión de coseno a través de seno

;
;
;
.

Expresión en términos de tangente

; .

Para , tenemos:
; .

En :
; .

Tabla de senos y cosenos, tangentes y cotangentes

Esta tabla muestra los valores de senos y cosenos para algunos valores del argumento.

Expresiones a través de variables complejas

;

fórmula de Euler

{ -∞ < x < +∞ }

secante, cosecante

funciones inversas

Las funciones inversas al seno y al coseno son arcoseno y arcocoseno, respectivamente.

Arcoseno, arcoseno

arcocoseno, arccos

Referencias:
EN. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemáticas para Ingenieros y Estudiantes de Instituciones de Educación Superior, Lan, 2009.

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Al resolver muchos problemas de matematicas, especialmente aquellos que ocurren antes del grado 10, el orden de las acciones realizadas que conducirán a la meta está claramente definido. Tales tareas incluyen, por ejemplo, lineal y ecuaciones cuadráticas, lineal y desigualdades cuadradas, ecuaciones fraccionarias y ecuaciones que se reducen a ecuaciones cuadráticas. El principio de solución exitosa de cada una de las tareas mencionadas es el siguiente: es necesario establecer qué tipo de tarea se está resolviendo, recordar la secuencia necesaria de acciones que conducirán a resultado deseado, es decir. responde y sigue estos pasos.

Obviamente, el éxito o el fracaso en la resolución de un problema particular depende principalmente de qué tan correctamente se determina el tipo de ecuación que se resuelve, qué tan correctamente se reproduce la secuencia de todas las etapas de su solución. Por supuesto, en este caso, es necesario tener las habilidades para realizar transformaciones y cálculos idénticos.

Una situación diferente ocurre con ecuaciones trigonométricas. No es difícil establecer el hecho de que la ecuación es trigonométrica. Surgen dificultades al determinar la secuencia de acciones que llevarían a la respuesta correcta.

Por apariencia ecuaciones a veces es difícil determinar su tipo. Y sin conocer el tipo de ecuación, es casi imposible elegir la correcta entre varias docenas de fórmulas trigonométricas.

Para resolver la ecuación trigonométrica, debemos intentar:

1. llevar todas las funciones incluidas en la ecuación a "los mismos ángulos";
2. llevar la ecuación a "las mismas funciones";
3. factorizar el lado izquierdo de la ecuación, etc.

Considerar Métodos básicos para resolver ecuaciones trigonométricas.

I. Reducción a las ecuaciones trigonométricas más simples

Esquema de solución

Paso 1. expresar Funcion trigonometrica a través de componentes conocidos.

Paso 2 Encuentre el argumento de la función usando fórmulas:

cos x = a; x = ±arcos a + 2πn, n ЄZ.

sen x = a; x \u003d (-1) n arcosen a + πn, n Є Z.

bronceado x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Paso 3 Encuentra una variable desconocida.

Ejemplo.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Solución.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Respuesta: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Sustitución de variables

Esquema de solución

Paso 1. Lleva la ecuación a una forma algebraica con respecto a una de las funciones trigonométricas.

Paso 2 Denote la función resultante por la variable t (si es necesario, introduzca restricciones en t).

Paso 3 Escriba y resuelva la ecuación algebraica resultante.

Etapa 4 Haz una sustitución inversa.

Paso 5 Resuelve la ecuación trigonométrica más simple.

Ejemplo.

2cos 2 (x/2) - 5sen (x/2) - 5 = 0.

Solución.

1) 2(1 - sen 2 (x/2)) - 5 sen (x/2) - 5 = 0;

2sen 2(x/2) + 5sen(x/2) + 3 = 0.

2) Sea sen (x/2) = t, donde |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 o e = -3/2 no satisface la condición |t| ≤ 1.

4) sen (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Respuesta: x = π + 4πn, n Є Z.

tercero Método de reducción del orden de la ecuación

Esquema de solución

Paso 1. Reemplace esta ecuación con una lineal usando las fórmulas de reducción de potencia:

sen 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Paso 2 Resuelva la ecuación resultante utilizando los métodos I y II.

Ejemplo.

cos2x + cos2x = 5/4.

Solución.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 porque 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Respuesta: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ecuaciones homogéneas

Esquema de solución

Paso 1. Llevar esta ecuación a la forma

a) a sen x + b cos x = 0 (ecuación homogénea de primer grado)

o a la vista

b) a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 (ecuación homogénea de segundo grado).

Paso 2 Divide ambos lados de la ecuación por

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

y obtener la ecuación para tg x:

a) a tg x + b = 0;

b) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

Paso 3 Resuelve la ecuación usando métodos conocidos.

Ejemplo.

5sen 2 x + 3sen x cos x - 4 = 0.

Solución.

1) 5sen 2 x + 3sen x cos x – 4(sen 2 x + cos 2 x) = 0;

5sen 2 x + 3sen x cos x – 4sen² x – 4cos 2 x = 0;

sen 2 x + 3 sen x cos x - 4 cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0.

3) Sea tg x = t, entonces

t2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 o t = -4, entonces

tg x = 1 o tg x = -4.

De la primera ecuación x = π/4 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Respuesta: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Método de transformación de una ecuación mediante fórmulas trigonométricas

Esquema de solución

Paso 1. Usando todo tipo de fórmulas trigonométricas, convierta esta ecuación en una ecuación que pueda resolverse mediante los métodos I, II, III, IV.

Paso 2 Resuelve la ecuación resultante usando métodos conocidos.

Ejemplo.

senx + sen2x + sen3x = 0.

Solución.

1) (sen x + sen 3x) + sen 2x = 0;

2sen 2x cos x + sen 2x = 0.

2) sen 2x (2 cos x + 1) = 0;

sen 2x = 0 o 2cos x + 1 = 0;

De la primera ecuación 2x = π/2 + πn, n Є Z; de la segunda ecuación cos x = -1/2.

Tenemos x = π/4 + πn/2, n Є Z; de la segunda ecuación x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Como resultado, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Respuesta: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

La capacidad y las habilidades para resolver ecuaciones trigonométricas son muy importante, su desarrollo requiere un esfuerzo considerable, tanto por parte del alumno como del profesor.

Muchos problemas de estereometría, física, etc., están asociados con la solución de ecuaciones trigonométricas. El proceso de resolver tales problemas, por así decirlo, contiene muchos de los conocimientos y habilidades que se adquieren al estudiar los elementos de la trigonometría.

Las ecuaciones trigonométricas ocupan un lugar importante en el proceso de enseñanza de las matemáticas y el desarrollo de la personalidad en general.

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Solución de las ecuaciones trigonométricas más sencillas.

La solución de ecuaciones trigonométricas de cualquier nivel de complejidad finalmente se reduce a resolver las ecuaciones trigonométricas más simples. y en esto el mejor asistente de nuevo resulta ser un círculo trigonométrico.

Recuerda las definiciones de coseno y seno.

El coseno de un ángulo es la abscisa (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a la rotación de un ángulo dado.

El seno de un ángulo es la ordenada (es decir, la coordenada a lo largo del eje) de un punto en el círculo unitario correspondiente a la rotación de un ángulo dado.

La dirección positiva del movimiento. círculo trigonométrico se considera el movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj. Una rotación de 0 grados (o 0 radianes) corresponde a un punto con coordenadas (1; 0)

Usamos estas definiciones para resolver las ecuaciones trigonométricas más simples.

1. Resuelve la ecuación

Esta ecuación se cumple con todos esos valores del ángulo de rotación, que corresponden a los puntos del círculo, cuya ordenada es igual a.

Marcamos un punto con ordenada en el eje y:

Dibuja una línea horizontal paralela al eje x hasta que se cruce con el círculo. Obtendremos dos puntos que se encuentran en un círculo y tienen una ordenada. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación de y radianes:

Si, habiendo dejado el punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes, damos una vuelta completa, llegaremos a un punto correspondiente al ángulo de rotación por radianes y que tiene la misma ordenada. Es decir, este ángulo de rotación también satisface nuestra ecuación. Podemos hacer tantos giros "inactivos" como queramos, volviendo al mismo punto, y todos estos valores de ángulo satisfarán nuestra ecuación. El número de revoluciones "inactivas" se indica con la letra (o). Como podemos hacer estas revoluciones tanto en dirección positiva como negativa, (o ) puede tomar cualquier valor entero.

Es decir, la primera serie de soluciones a la ecuación original tiene la forma:

, , - conjunto de enteros (1)

De manera similar, la segunda serie de soluciones tiene la forma:

, Dónde , . (2)

Como habrás adivinado, esta serie de soluciones se basa en el punto del círculo correspondiente al ángulo de rotación por .

Estas dos series de soluciones se pueden combinar en una entrada:

Si tomamos esta entrada (es decir, incluso), obtendremos la primera serie de soluciones.

Si tomamos esta entrada (es decir, impar), obtendremos la segunda serie de soluciones.

2. Ahora resolvamos la ecuación

Como es la abscisa del punto del círculo unitario obtenido al girar el ángulo , marcamos en el eje un punto con la abscisa :

Dibuja una línea vertical paralela al eje hasta que se cruce con el círculo. Obtendremos dos puntos que se encuentran sobre un círculo y que tienen una abscisa. Estos puntos corresponden a ángulos de rotación de y radianes. Recuerda que cuando nos movemos en el sentido de las agujas del reloj, obtenemos ángulo negativo rotación:

Anotamos dos series de soluciones:

(Llegamos al punto correcto pasando desde el círculo completo principal, es decir.

Combinemos estas dos series en una publicación:

3. Resuelve la ecuación

La recta de tangentes pasa por el punto de coordenadas (1,0) de la circunferencia unitaria paralela al eje OY

Marque un punto en él con una ordenada igual a 1 (buscamos la tangente cuyos ángulos son 1):

Conecte este punto al origen con una línea recta y marque los puntos de intersección de la línea con el círculo unitario. Los puntos de intersección de la línea y el círculo corresponden a los ángulos de rotación en y :

Dado que los puntos correspondientes a los ángulos de rotación que satisfacen nuestra ecuación están separados por radianes, podemos escribir la solución de la siguiente manera:

4. Resuelve la ecuación

La línea de cotangentes pasa por el punto con las coordenadas del círculo unitario paralelas al eje.

Marcamos un punto con la abscisa -1 en la recta de cotangentes:

Conecte este punto al origen de la línea recta y continúe hasta que se cruce con el círculo. Esta línea cortará el círculo en puntos correspondientes a ángulos de rotación de y radianes:

Como estos puntos están separados entre sí por una distancia igual a , entonces podemos escribir la solución general de esta ecuación de la siguiente manera:

En los ejemplos dados, que ilustran la solución de las ecuaciones trigonométricas más simples, se usaron valores tabulares de funciones trigonométricas.

Sin embargo, si hay un valor que no está en la tabla en el lado derecho de la ecuación, sustituimos el valor en la solución general de la ecuación: