Nivel promedio

Desigualdades cuadráticas. Guía completa (2019)

Para descubrir cómo resolver ecuaciones cuadráticas, debemos entender qué es. función cuadrática y qué propiedades tiene.

Probablemente te hayas preguntado por qué se necesita una función cuadrática. ¿Dónde es aplicable su gráfica (parábola)? Sí, sólo tienes que mirar a tu alrededor y notarás que cada día en La vida cotidiana te encuentras con ella. ¿Has notado cómo vuela una pelota lanzada en educación física? ¿"A lo largo del arco"? ¡La respuesta más correcta sería “parábola”! ¿Y a lo largo de qué trayectoria se mueve el chorro en la fuente? ¡Sí, también en parábola! ¿Cómo vuela una bala o un proyectil? Así es, ¡también en parábola! Así, conociendo las propiedades de la función cuadrática, será posible resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo, ¿en qué ángulo se debe lanzar la pelota para asegurar rango más largo¿vuelo? ¿O dónde acabará el proyectil si lo lanzas desde cierto ángulo? etc.

Función cuadrática

Entonces, averigüémoslo.

P.ej, . ¿Cuáles son los iguales aquí y? Bueno, ¡por supuesto!

¿Qué pasa si, es decir? menos que cero? Bueno, por supuesto, estamos "tristes", lo que significa que las ramas se dirigirán hacia abajo. Miremos el gráfico.

Esta figura muestra la gráfica de una función. Desde, es decir menor que cero, las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. Además, probablemente ya hayas notado que las ramas de esta parábola se cruzan con el eje, lo que significa que la ecuación tiene 2 raíces y la función toma valores tanto positivos como negativos.

Al principio, cuando dimos la definición de función cuadrática, dijimos que y son algunos números. ¿Pueden ser iguales a cero? Bueno, ¡por supuesto que pueden! Incluso revelaré un secreto aún mayor (que no es un secreto en absoluto, pero vale la pena mencionarlo): ¡no se imponen restricciones a estos números (y) en absoluto!

Bueno, veamos qué pasa con las gráficas si y son iguales a cero.

Como puede ver, las gráficas de las funciones (y) consideradas se han desplazado de modo que sus vértices ahora están en el punto con coordenadas, es decir, en la intersección de los ejes y esto no tiene ningún efecto sobre la dirección de las ramas. . Por tanto, podemos concluir que son responsables del "movimiento" del gráfico de parábola a lo largo del sistema de coordenadas.

La gráfica de una función toca el eje en un punto. Esto significa que la ecuación tiene una raíz. Así, la función toma valores mayores o iguales a cero.

Seguimos la misma lógica con la gráfica de la función. Toca el eje x en un punto. Esto significa que la ecuación tiene una raíz. Así, la función toma valores menores o iguales a cero, es decir.

Por lo tanto, para determinar el signo de una expresión, lo primero que debes hacer es encontrar las raíces de la ecuación. Esto nos será muy útil.

Desigualdad cuadrática

Al resolver este tipo de desigualdades, necesitaremos la capacidad de determinar dónde una función cuadrática es mayor, menor o igual a cero. Eso es:

• Si tenemos una desigualdad de la forma, entonces, de hecho, la tarea se reduce a determinar el intervalo numérico de valores para los cuales la parábola se encuentra sobre el eje.
• Si tenemos una desigualdad de la forma, entonces, de hecho, la tarea se reduce a determinar el intervalo numérico de valores de x para los cuales la parábola se encuentra debajo del eje.

Si las desigualdades no son estrictas, entonces las raíces (las coordenadas de la intersección de la parábola con el eje) se incluyen en el intervalo numérico deseado; en el caso de desigualdades estrictas, se excluyen.

Todo esto está bastante formalizado, ¡pero no te desesperes ni te asustes! Ahora veamos los ejemplos y todo encajará.

Al resolver desigualdades cuadráticas, nos adheriremos al algoritmo dado y ¡nos espera un éxito inevitable!

Algoritmo	Ejemplo:
1) Anotemos la desigualdad correspondiente. ecuación cuadrática(simplemente cambie el signo de desigualdad por el signo igual “=").
2) Encontremos las raíces de esta ecuación.
3) Marque las raíces en el eje y muestre esquemáticamente la orientación de las ramas de la parábola (“arriba” o “abajo”)
4) Coloquemos signos en el eje correspondiente al signo de la función cuadrática: donde la parábola está arriba del eje, ponemos " ", y donde debajo - " ".
5) Escriba el intervalo correspondiente a “ ” o “ ”, dependiendo del signo de desigualdad. Si la desigualdad no es estricta, las raíces se incluyen en el intervalo; si es estricta, no.

¿Entiendo? ¡Entonces adelante y fíjalo!

Ejemplo:

Bueno, ¿funcionó? Si tienes alguna dificultad, busca soluciones.

Solución:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". La desigualdad no es estricta, por lo que las raíces se incluyen en los intervalos:

Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente:

Encontremos las raíces de esta ecuación cuadrática:

Marquemos esquemáticamente las raíces obtenidas en el eje y organicemos los signos:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". La desigualdad es estricta, por lo que las raíces no se incluyen en los intervalos:

Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente:

Encontremos las raíces de esta ecuación cuadrática:

esta ecuación tiene una raíz

Marquemos esquemáticamente las raíces obtenidas en el eje y organicemos los signos:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". Para cualquiera, la función toma valores no negativos. Como la desigualdad no es estricta, la respuesta será.

Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente:

Encontremos las raíces de esta ecuación cuadrática:

Dibujemos esquemáticamente una gráfica de una parábola y organicemos los signos:

Anotemos los intervalos correspondientes al signo " ", ya que el signo de desigualdad es " ". Para cualquier función acepta valores positivos, por tanto, la solución a la desigualdad será el intervalo:

DESIGUALDADES CUADRADAS. NIVEL PROMEDIO

Función cuadrática.

Antes de hablar del tema “desigualdades cuadráticas”, recordemos qué es una función cuadrática y cuál es su gráfica.

En otras palabras, este polinomio de segundo grado.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola (¿recuerdas qué es eso?). Sus ramas se dirigen hacia arriba si "a) la función toma solo valores positivos para todos, y en la segunda (), solo negativos:

En el caso de que la ecuación () tenga exactamente una raíz (por ejemplo, si el discriminante es cero), esto significa que la gráfica toca el eje:

Luego, similar al caso anterior, para " .

Entonces, recientemente aprendimos cómo determinar dónde una función cuadrática es mayor que cero y dónde es menor:

Si la desigualdad cuadrática no es estricta, entonces las raíces se incluyen en el intervalo numérico; si es estricta, no lo son.

Si solo hay una raíz, está bien, el mismo signo estará en todas partes. Si no hay raíces, todo depende sólo del coeficiente: si "25((x)^(2))-30x+9

Respuestas:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

No hay raíces, por lo que toda la expresión del lado izquierdo toma el signo del coeficiente anterior:

• Si desea encontrar un intervalo numérico en el que el trinomio cuadrático sea mayor que cero, entonces este es el intervalo numérico donde la parábola se encuentra sobre el eje.
• Si desea encontrar un intervalo numérico en el que el trinomio cuadrático sea menor que cero, entonces este es el intervalo numérico donde la parábola se encuentra debajo del eje.

DESIGUALDADES CUADRADAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Función cuadrática es una función de la forma: ,

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Sus ramas se dirigen hacia arriba si y hacia abajo si:

Tipos de desigualdades cuadráticas:

Todas las desigualdades cuadráticas se reducen a los siguientes cuatro tipos:

Algoritmo de solución:

Algoritmo	Ejemplo:
1) Escribamos la ecuación cuadrática correspondiente a la desigualdad (simplemente cambie el signo de desigualdad por el signo igual "").
2) Encontremos las raíces de esta ecuación.
3) Marque las raíces en el eje y muestre esquemáticamente la orientación de las ramas de la parábola (“arriba” o “abajo”)
4) Coloquemos signos en el eje correspondiente al signo de la función cuadrática: donde la parábola está arriba del eje, ponemos " ", y donde debajo - " ".
5) Escriba el intervalo(s) correspondiente(s) a “ ” o “ ”, dependiendo del signo de desigualdad. Si la desigualdad no es estricta, las raíces se incluyen en el intervalo; si es estricta, no.

¡Atención!
Hay adicionales
materiales en la Sección Especial 555.
Para los que son muy "no muy..."
Y para los que “mucho…”)

Qué ha pasado ¿"desigualdad cuadrática"?¡No hay duda!) Si tomas cualquier ecuación cuadrática y reemplazar el signo en ella "=" (igual) a cualquier signo de desigualdad ( > ≥ < ≤ ≠ ), obtenemos una desigualdad cuadrática. Por ejemplo:

1. x2-8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x2 ≤ 4

Bueno, entiendes...)

No en vano vinculé aquí ecuaciones y desigualdades. El punto es que el primer paso para resolver cualquier desigualdad cuadrática - resuelve la ecuación a partir de la cual se forma esta desigualdad. Por esta razón, la imposibilidad de resolver ecuaciones cuadráticas conduce automáticamente al fracaso total de las desigualdades. ¿Está clara la pista?) En todo caso, observe cómo resolver ecuaciones cuadráticas. Allí se describe todo en detalle. Y en esta lección nos ocuparemos de las desigualdades.

La desigualdad lista para solución tiene la forma: a la izquierda hay un trinomio cuadrático hacha 2 +bx+c, a la derecha - cero. El signo de desigualdad puede ser absolutamente cualquier cosa. Los dos primeros ejemplos están aquí. ya están listos para tomar una decisión. El tercer ejemplo aún debe prepararse.

Si te gusta este sitio...

Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Definición de desigualdad cuadrática

Nota 1

La desigualdad se llama cuadrática porque la variable está al cuadrado. Las desigualdades cuadráticas también se llaman desigualdades de segundo grado.

Ejemplo 1

Ejemplo.

$7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ – desigualdades cuadráticas.

Como puede verse en el ejemplo, no todos los elementos de la desigualdad de la forma $ax^2+bx+c > 0$ están presentes.

Por ejemplo, en la desigualdad $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ no hay un término libre (término $с$), y en la desigualdad $11z^2+8 \le 0$ no existe ningún término con coeficiente $b$. Estas desigualdades también son cuadráticas, pero también se llaman desigualdades cuadráticas incompletas. Esto simplemente significa que los coeficientes $b$ o $c$ son iguales a cero.

Métodos para resolver desigualdades cuadráticas.

Al resolver desigualdades cuadráticas, se utilizan los siguientes métodos básicos:

• gráfico;
• método de intervalo;
• aislando el cuadrado de un binomio.

Método gráfico

Nota 2

Método gráfico para resolver desigualdades cuadráticas $ax^2+bx+c > 0$ (o con el signo $

Estos intervalos son resolviendo la desigualdad cuadrática.

método de intervalo

Nota 3

Método de intervalo para resolver desigualdades cuadráticas de la forma $ax^2+bx+c > 0$ (el signo de desigualdad también puede ser $

Soluciones a desigualdades cuadráticas con el signo $""$ - intervalos positivos, con los signos $"≤"$ y $"≥"$ - intervalos negativos y positivos (respectivamente), incluidos los puntos que corresponden a los ceros del trinomio.

Aislar el cuadrado de un binomio

El método para resolver una desigualdad cuadrática aislando el cuadrado del binomio es pasar a una desigualdad equivalente de la forma $(x-n)^2 > m$ (o con el signo $

Desigualdades que se reducen a cuadráticas.

Nota 4

A menudo, al resolver desigualdades, es necesario reducirlas a desigualdades cuadráticas de la forma $ax^2+bx+c > 0$ (el signo de desigualdad también puede ser $ desigualdades que se reducen a cuadráticas.

Nota 5

La forma más sencilla de reducir desigualdades a cuadráticas es reorganizar los términos de la desigualdad original o transferirlos, por ejemplo, del lado derecho al izquierdo.

Por ejemplo, al transferir todos los términos de la desigualdad $7x > 6-3x^2$ del lado derecho al izquierdo, obtenemos una desigualdad cuadrática de la forma $3x^2+7x-6 > 0$.

Si reorganizamos los términos en el lado izquierdo de la desigualdad $1.5y-2+5.3x^2 \ge 0$ en orden descendente del grado de la variable $y$, entonces esto conducirá a una desigualdad cuadrática equivalente de la forma $5.3x^2+1.5y-2 \ge 0$.

Al resolver desigualdades racionales, a menudo se reducen a desigualdades cuadráticas. En este caso, es necesario transferir todos los términos al lado izquierdo y transformar la expresión resultante a la forma de un trinomio cuadrático.

Ejemplo 2

Ejemplo.

Reduce la desigualdad $7 \cdot (x+0.5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$ a una cuadrática.

Solución.

Movamos todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad:

$7 \cdot (x+0.5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$.

Usando fórmulas de multiplicación abreviadas y paréntesis de apertura, simplificamos la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad:

$7x^2+3.5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0$;

$x^2-21.5x-19 > 0$.

Respuesta: $x^2-21.5x-19 > 0$.

Desigualdades cuadráticas se llaman , que se pueden reducir a la forma \(ax^2+bx+c\) \(⋁\) \(0\), donde \(a\),\(b\) y \(c\) son números cualesquiera (y \(a≠0\)), \(x\) es desconocido y \(⋁\) es cualquiera de los signos de comparación (\(>\),\(<\),\(≤\),\(≥\)).

En pocas palabras, estas desigualdades se parecen a , pero en lugar del signo igual.
Ejemplos:

\(x^2+2x-3>0\)
\(3x^2-x≥0\)
\((2x+5)(x-1)≤5\)

¿Cómo resolver desigualdades cuadráticas?

Las desigualdades cuadráticas suelen resolverse. A continuación se muestra un algoritmo para resolver desigualdades cuadráticas con un discriminante mayor que cero. La resolución de desigualdades cuadráticas con un discriminante igual a cero o menor que cero se analiza por separado.

Ejemplo. Resuelve la desigualdad cuadrática \(≥\) \(\frac(8)(15)\)
Solución:

\(\frac(x^2)(5)+\frac(2x)(3)\)\(≥\) \(\frac(8)(15)\)
\(D=100+4⋅3⋅8=196=14^2\) \(x_1=\frac(-10-14)(6)=-4\) \(x_2=\frac(-10+14)(6)=\frac(2)(3)\)		Cuando se encuentran las raíces, escribimos la desigualdad en forma.
\(3(x+4)(x-\frac(2)(3))≥0\)		Ahora dibujemos una recta numérica, marquemos las raíces en ella y coloquemos los signos en los intervalos.
		Anotemos los intervalos que nos interesen. Dado que el signo de desigualdad es \(≥\), necesitamos intervalos con el signo \(+\), e incluimos las raíces mismas en la respuesta (los corchetes en estos puntos son cuadrados).

Respuesta : \(x∈(-∞;-4]∪[ \frac(2)(3);∞)\)

Desigualdades cuadráticas con discriminante negativo y cero

El algoritmo anterior funciona cuando el discriminante es mayor que cero, es decir, tiene \(2\) raíces. ¿Qué hacer en otros casos? Por ejemplo, estos:

Si \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).

Es decir, la expresión:
\(x^2+2x+9\) – positivo para cualquier \(x\), porque \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - negativo para cualquier \(x\), porque \(a=-1<0\)

Si \(D=0\), entonces el trinomio cuadrático para un valor \(x\) es igual a cero, y para todos los demás tiene un signo constante, que coincide con el signo del coeficiente \(a\).

Es decir, la expresión:
\(x^2+6x+9\) es igual a cero para \(x=-3\) y positivo para todas las demás x, porque \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - igual a cero para \(x=-2\) y negativo para todos los demás, porque \(a=-1<0\).

¿Cómo encontrar x en el cual el trinomio cuadrático es igual a cero? Necesitamos resolver la ecuación cuadrática correspondiente.

Dada esta información, resolvamos las desigualdades cuadráticas:

Desigualdad cuadrática – “DESDE y HASTA”.En este artículo veremos la solución de desigualdades cuadráticas, que se llama hasta las sutilezas. Recomiendo estudiar detenidamente el material del artículo sin perderse nada. No podrás dominar el artículo de inmediato, recomiendo hacerlo en varios enfoques, hay mucha información.

Contenido:

Introducción. ¡Importante!

Introducción. ¡Importante!

Una desigualdad cuadrática es una desigualdad de la forma:

Si tomas una ecuación cuadrática y reemplazas el signo igual con cualquiera de los anteriores, obtienes una desigualdad cuadrática. Resolver una desigualdad significa responder a la pregunta de para qué valores de x será verdadera esta desigualdad. Ejemplos:

10 X 2 – 6 X+12 ≤ 0

2 X 2 + 5 X –500 > 0

– 15 X 2 – 2 X+13 > 0

8 X 2 – 15 X+45≠ 0

La desigualdad cuadrática se puede especificar implícitamente, por ejemplo:

10 X 2 – 6 X+14 X 2 –5 X +2≤ 56

2 X 2 > 36

8 X 2 <–15 X 2 – 2 X+13

0> – 15 X 2 – 2 X+13

En este caso, es necesario realizar transformaciones algebraicas y llevarla a la forma estándar (1).

*Los coeficientes pueden ser fraccionarios e irracionales, pero estos ejemplos son raros en el plan de estudios escolar y no se encuentran en absoluto en las tareas del Examen Estatal Unificado. Pero no te alarmes si, por ejemplo, te encuentras con:

Esta también es una desigualdad cuadrática.

Primero, veamos un algoritmo de solución simple que no requiere comprender qué es una función cuadrática y cómo se ve su gráfica en el plano de coordenadas en relación con los ejes de coordenadas. Si eres capaz de recordar información con firmeza y durante mucho tiempo, y la refuerzas periódicamente con la práctica, entonces el algoritmo te ayudará. Además, si, como dicen, necesitas resolver tal desigualdad "de una vez", entonces el algoritmo te ayudará. Siguiéndolo, implementará fácilmente la solución.

Si estás estudiando en la escuela, te recomiendo encarecidamente que empieces a estudiar el artículo de la segunda parte, que explica el significado completo de la solución (ver más abajo desde el punto -). Si comprende la esencia, no será necesario aprender ni memorizar el algoritmo especificado; podrá resolver fácilmente y rápidamente cualquier desigualdad cuadrática.

Por supuesto, debería haber comenzado inmediatamente la explicación con la gráfica de la función cuadrática y una explicación del significado en sí, pero decidí “construir” el artículo de esta manera.

¡Otro punto teórico! Mira la fórmula para factorizar un trinomio cuadrático:

donde x 1 y x 2 son las raíces de la ecuación cuadrática ax 2+ bx+c=0

*Para resolver una desigualdad cuadrática será necesario factorizar el trinomio cuadrático.

El algoritmo que se presenta a continuación también se denomina método de intervalo. Es adecuado para resolver desigualdades de la forma. F(X)>0, F(X)<0 , F(X)≥0 yF(X)≤0 . Tenga en cuenta que puede haber más de dos multiplicadores, por ejemplo:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Algoritmo de solución. Método de intervalo. Ejemplos.

Dada la desigualdad hacha 2 + bx+ c > 0 (cualquier signo).

1. Escribe una ecuación cuadrática hacha 2 + bx+ c = 0 y solucionarlo. Obtenemos x1 y x2– raíces de una ecuación cuadrática.

2. Sustituya el coeficiente en la fórmula (2) a y raíces. :

hacha – X 1 )(X – x2)>0

3. Defina intervalos en la recta numérica (las raíces de la ecuación dividen la recta numérica en intervalos):

4. Determine los “signos” en los intervalos (+ o –) sustituyendo un valor “x” arbitrario de cada intervalo resultante en la expresión:

hacha – X 1 )(X – x2)

y celebrarlos.

5. Ya sólo queda anotar los intervalos que nos interesan, están marcados:

- con un signo “+” si la desigualdad contenía “>0” o “≥0”.

- firmar “–” si la desigualdad incluye “<0» или «≤0».

¡¡¡NOTA!!! Los signos mismos en la desigualdad pueden ser:

estricto – esto es “>”, “<» и нестрогими – это «≥», «≤».

¿Cómo afecta esto el resultado de la decisión?

Con signos de desigualdad estrictos, los límites del intervalo NO SE INCLUYEN en la solución, mientras que en la respuesta el intervalo en sí se escribe en la forma ( X 1 ; X 2 ) - entre paréntesis.

Para signos de desigualdad débiles, los límites del intervalo se incluyen en la solución y la respuesta se escribe en la forma [ X 1 ; X 2 ] - corchetes.

*Esto se aplica no sólo a desigualdades cuadráticas. El corchete significa que el límite del intervalo en sí está incluido en la solución.

Verás esto en los ejemplos. Veamos algunos para aclarar todas las dudas al respecto. En teoría, el algoritmo puede parecer algo complicado, pero en realidad todo es sencillo.

EJEMPLO 1: Resolver X 2 – 60 X+500 ≤ 0

Resolver una ecuación cuadrática X 2 –60 X+500=0

D = b 2 –4 C.A = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Encontrar las raíces:

Sustituir el coeficiente a

X 2 –60 X+500 = (x–50)(x–10)

Escribimos la desigualdad en la forma (x–50)(x–10) ≤ 0

Las raíces de la ecuación dividen la recta numérica en intervalos. Mostrémoslos en la recta numérica:

Recibimos tres intervalos (–∞;10), (10;50) y (50;+∞).

Determinamos los "signos" en los intervalos, lo hacemos sustituyendo valores arbitrarios de cada intervalo resultante en la expresión (x–50)(x–10) y observamos la correspondencia del "signo" resultante con el signo en la desigualdad (x–50)(x–10) ≤ 0:

en x=2 (x–50)(x–10) = 384 > 0 incorrecto

en x=20 (x–50)(x–10) = –300 < 0 верно

en x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 incorrecto

La solución será el intervalo.

Para todos los valores de x de este intervalo la desigualdad será verdadera.

*Tenga en cuenta que hemos incluido corchetes.

Para x = 10 y x = 50, la desigualdad también será cierta, es decir, los límites están incluidos en la solución.

Respuesta: x∊

De nuevo:

— Los límites del intervalo se INCLUYEN en la solución de la desigualdad cuando la condición contiene el signo ≤ o ≥ (desigualdad no estricta). En este caso, se acostumbra mostrar las raíces resultantes en un boceto con un círculo HASHED.

— Los límites del intervalo NO SE INCLUYEN en la solución de la desigualdad cuando la condición contiene el signo< или >(desigualdad estricta). En este caso, se acostumbra mostrar la raíz en el boceto como un círculo SIN CORTE.

EJEMPLO 2: Resolver X 2 + 4 X–21 > 0

Resolver una ecuación cuadrática X 2 + 4 X–21 = 0

D = b 2 –4 C.A = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Encontrar las raíces:

Sustituir el coeficiente a y raíces en la fórmula (2), obtenemos:

X 2 + 4 X–21 = (x–3)(x+7)

Escribimos la desigualdad en la forma (x–3)(x+7) > 0.

Las raíces de la ecuación dividen la recta numérica en intervalos. Marquémoslos en la recta numérica:

*La desigualdad no es estricta, por lo que los símbolos de las raíces NO están sombreados. Obtuvimos tres intervalos (–∞;–7), (–7;3) y (3;+∞).

Determinamos los "signos" en los intervalos, lo hacemos sustituyendo valores arbitrarios de estos intervalos en la expresión (x–3)(x+7) y buscamos el cumplimiento de la desigualdad (x–3)(x+7)> 0:

en x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 correcto

en x= 0 (0–3)(0 +7) = –21< 0 неверно

en x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 correcto

La solución serán dos intervalos (–∞;–7) y (3;+∞). Para todos los valores de x de estos intervalos la desigualdad será verdadera.

*Tenga en cuenta que hemos incluido paréntesis. En x = 3 y x = –7 la desigualdad será incorrecta: los límites no están incluidos en la solución.

Respuesta: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

EJEMPLO 3: Resolver – X 2 –9 X–20 > 0

Resolver una ecuación cuadrática – X 2 –9 X–20 = 0.

a = –1 b = –9 C = –20

D = b 2 –4 C.A = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Encontrar las raíces:

Sustituir el coeficiente a y raíces en la fórmula (2), obtenemos:

– X 2 –9 X–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Escribimos la desigualdad en la forma –(x+5)(x+4) > 0.

Las raíces de la ecuación dividen la recta numérica en intervalos. Marquemos en la recta numérica:

*La desigualdad es estricta, por lo que los símbolos de las raíces no están sombreados. Obtuvimos tres intervalos (–∞;–5), (–5; –4) y (–4;+∞).

Definimos "signos" en intervalos, lo hacemos sustituyendo en la expresión –(x+5)(x+4) valores arbitrarios de estos intervalos y observe la correspondencia con la desigualdad –(x+5)(x+4)>0:

en x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

en x= –4,5 – (–4,5+5)(–4,5+4) = 0,25 > 0 correcto

en x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20< 0 неверно

La solución será el intervalo (–5,–4). Para todos los valores de “x” que le pertenecen, la desigualdad será verdadera.

*Tenga en cuenta que los límites no son parte de la solución. Para x = –5 y x = –4 la desigualdad no será cierta.

¡COMENTARIO!

Al resolver una ecuación cuadrática, podemos terminar con una raíz o ninguna raíz, luego, al usar este método a ciegas, pueden surgir dificultades para determinar la solución.

¡Un pequeño resumen! El método es bueno y cómodo de usar, especialmente si está familiarizado con la función cuadrática y conoce las propiedades de su gráfica. De lo contrario, eche un vistazo y pase a la siguiente sección.

Usando la gráfica de una función cuadrática. ¡Recomiendo!

La cuadrática es una función de la forma:

Su gráfica es una parábola, las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba o hacia abajo:

La gráfica se puede ubicar de la siguiente manera: puede cruzar el eje x en dos puntos, puede tocarlo en un punto (vértice) o no puede cruzarse. Más sobre esto más adelante.

Ahora veamos este enfoque con un ejemplo. Todo el proceso de solución consta de tres etapas. Resolvamos la desigualdad. X 2 +2 X –8 >0.

Primera etapa

Resolviendo la ecuación X 2 +2 X–8=0.

D = b 2 –4 C.A = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Encontrar las raíces:

Obtenemos x 1 = 2 y x 2 = – 4.

Segunda fase

Construyendo una parábola y=X 2 +2 X–8 por puntos:

Los puntos 4 y 2 son los puntos de intersección de la parábola y el eje x. ¡Es sencillo! ¿Qué hiciste? Resolvimos la ecuación cuadrática. X 2 +2 X–8=0. Mira su publicación así:

0 = x 2+2x – 8

Cero para nosotros es el valor de "y". Cuando y = 0, obtenemos la abscisa de los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Podemos decir que el valor cero “y” es el eje x.

Ahora mira qué valores de x la expresión X 2 +2 X – 8 ¿mayor (o menor) que cero? Esto no es difícil de determinar a partir del gráfico de parábola, como dicen, todo está a la vista:

1. En x< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен X 2 +2 X –8 será positivo.

2. A las –4< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен X 2 +2 X –8 será negativo.

3. Para x > 2, la rama de la parábola se encuentra por encima del eje x. Para el x especificado, el trinomio X 2 +2 X –8 será positivo.

Tercera etapa

De la parábola podemos ver inmediatamente en qué x la expresión X 2 +2 X–8 mayor que cero, igual a cero, menor que cero. Ésta es la esencia de la tercera etapa de la solución, es decir, ver e identificar las áreas positivas y negativas en el dibujo. Comparamos el resultado obtenido con la desigualdad original y anotamos la respuesta. En nuestro ejemplo, es necesario determinar todos los valores de x para los cuales la expresión X 2 +2 X–8 Por encima de cero. Esto lo hicimos en la segunda etapa.

Sólo queda escribir la respuesta.

Respuesta: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Resumamos: habiendo calculado las raíces de la ecuación en el primer paso, podemos marcar los puntos resultantes en el eje x (estos son los puntos de intersección de la parábola con el eje x). A continuación construimos esquemáticamente una parábola y ya podemos ver la solución. ¿Por qué esquemático? No necesitamos un cronograma matemáticamente preciso. E imagine, por ejemplo, si las raíces resultan ser 10 y 1500, intente construir un gráfico preciso en una hoja de papel con ese rango de valores. ¡Surge la pregunta! Bueno, tenemos las raíces, bueno, las marcamos en el eje O, pero ¿deberíamos dibujar la ubicación de la parábola misma, con sus ramas hacia arriba o hacia abajo? ¡Aquí todo es sencillo! El coeficiente para x 2 te dirá:

- si es mayor que cero, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba.

- si es menor que cero, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo.

En nuestro ejemplo es igual a uno, es decir positivo.

*¡Nota! Si la desigualdad contiene un signo no estricto, es decir, ≤ o ≥, entonces las raíces en la recta numérica deben sombrearse, esto indica convencionalmente que el límite del intervalo en sí está incluido en la solución de la desigualdad. En este caso, las raíces no están sombreadas (perforadas), ya que nuestra desigualdad es estricta (hay un signo ">"). Además, en este caso, la respuesta utiliza paréntesis en lugar de cuadrados (los bordes no están incluidos en la solución).

Se ha escrito mucho, probablemente confundí a alguien. Pero si resuelves al menos 5 desigualdades usando parábolas, tu admiración no tendrá límites. ¡Es sencillo!

Entonces, brevemente:

1. Anotamos la desigualdad y la reducimos a la estándar.

2. Escribe una ecuación cuadrática y resuélvela.

3. Dibuje el eje x, marque las raíces resultantes, dibuje esquemáticamente una parábola, con ramas hacia arriba si el coeficiente de x 2 es positivo o hacia abajo si es negativo.

4. Identifique visualmente áreas positivas o negativas y escriba la respuesta a la desigualdad original.

Veamos ejemplos.

EJEMPLO 1: Resolver X 2 –15 X+50 > 0

Primera etapa.

Resolver una ecuación cuadrática X 2 –15 X+50=0

D = b 2 –4 C.A = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Encontrar las raíces:

Segunda fase.

Estamos construyendo el eje o. Marquemos las raíces resultantes. Como nuestra desigualdad es estricta, no los sombrearemos. Construimos esquemáticamente una parábola, se ubica con sus ramas hacia arriba, ya que el coeficiente de x 2 es positivo:

Tercera etapa.

Definimos áreas visualmente positivas y negativas, aquí las marcamos en diferentes colores para mayor claridad, no es necesario que hagas esto.

Anotamos la respuesta.

Respuesta: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*El signo U indica una solución de unificación. En sentido figurado, la solución es “este” Y “este” intervalo.

EJEMPLO 2: Resolver – X 2 + X+20 ≤ 0

Primera etapa.

Resolver una ecuación cuadrática – X 2 + X+20=0

D = b 2 –4 C.A = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Encontrar las raíces:

Segunda fase.

Estamos construyendo el eje o. Marquemos las raíces resultantes. Como nuestra desigualdad no es estricta, sombreamos las designaciones de las raíces. Construimos esquemáticamente una parábola, se ubica con las ramas hacia abajo, ya que el coeficiente de x 2 es negativo (es igual a –1):

Tercera etapa.

Identificamos visualmente áreas positivas y negativas. La comparamos con la desigualdad original (nuestro signo es ≤ 0). La desigualdad será cierta para x ≤ – 4 y x ≥ 5.

Anotamos la respuesta.

Respuesta: x∊(–∞;–4] U )