Diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras

estudiante de novena clase "A"

Institución educativa municipal escuela secundaria No. 8

Consejero científico:

profesor de matematicas,

Institución educativa municipal escuela secundaria No. 8

Arte. Novorozhdestvenskaya

Región de Krasnodar.

Arte. Novorozhdestvenskaya

ANOTACIÓN.

El teorema de Pitágoras se considera, con razón, el más importante en el curso de la geometría y merece mucha atención. Es la base para resolver muchos problemas geométricos, la base para estudiar cursos de geometría teórica y práctica en el futuro. El teorema está rodeado de ricos. material historico asociado con su apariencia y métodos de prueba. El estudio de la historia del desarrollo de la geometría inculca el amor por este tema, promueve el desarrollo del interés cognitivo, la cultura general y la creatividad, y también desarrolla habilidades de investigación.

Como resultado de la actividad de búsqueda se logró el objetivo del trabajo, que era reponer y generalizar los conocimientos sobre la demostración del teorema de Pitágoras. Logré encontrar y revisar. varias maneras evidencia y profundizar el conocimiento sobre el tema, yendo más allá de las páginas del libro de texto escolar.

El material recopilado nos convence además de que el teorema de Pitágoras es un gran teorema de la geometría y tiene una enorme importancia teórica y práctica.

Introducción. Referencia histórica 5 Parte principal 8

3. Conclusión 19

4. Literatura utilizada 20
1. INTRODUCCIÓN. REFERENCIA HISTÓRICA.

La esencia de la verdad es que es para nosotros para siempre,

Cuando al menos una vez en su intuición vemos la luz,

Y el teorema de Pitágoras después de tantos años

Para nosotros, como para él, es innegable, impecable.

Para regocijarse, Pitágoras hizo un voto a los dioses:

Por tocar la sabiduría infinita,

Mató cien toros, gracias a los eternos;

Ofreció oraciones y alabanzas por la víctima.

Desde entonces, cuando los toros lo huelen, empujan,

Que el camino vuelva a llevar a la gente a una nueva verdad,

Rugen furiosamente, así que no tiene sentido escuchar,

Tales Pitágoras les infundieron terror para siempre.

Toros, impotentes para resistir la nueva verdad,

¿Lo que queda? - Simplemente cerrando los ojos, rugiendo, temblando.

No se sabe cómo Pitágoras demostró su teorema. Lo cierto es que lo descubrió bajo la fuerte influencia de la ciencia egipcia. Caso especial El teorema de Pitágoras, las propiedades de un triángulo con lados 3, 4 y 5, era conocido por los constructores de las pirámides mucho antes del nacimiento de Pitágoras, y él mismo estudió con sacerdotes egipcios durante más de 20 años. Se ha conservado una leyenda que dice que, habiendo demostrado su famoso teorema, Pitágoras sacrificó un toro a los dioses y, según otras fuentes, incluso 100 toros. Esto, sin embargo, contradice la información sobre las opiniones morales y religiosas de Pitágoras. En fuentes literarias se puede leer que “prohibió incluso matar animales, y mucho menos alimentarse de ellos, porque los animales tienen alma, como nosotros”. Pitágoras sólo comía miel, pan, verduras y ocasionalmente pescado. En relación con todo esto, se puede considerar más plausible la siguiente entrada: “... y aun cuando descubrió que en un triángulo rectángulo la hipotenusa corresponde a los catetos, sacrificó un toro hecho de masa de trigo”.

La popularidad del teorema de Pitágoras es tan grande que sus pruebas se encuentran incluso en la ficción, por ejemplo, en el cuento "El joven Arquímedes" del famoso escritor inglés Huxley. La misma prueba, pero para el caso especial de un triángulo rectángulo isósceles, se da en el diálogo “Meno” de Platón.

Cuento de hadas "Hogar".

“Muy, muy lejos, donde ni siquiera vuelan los aviones, está el país de la Geometría. En este país inusual había una ciudad asombrosa: la ciudad de Teorem. Un día vine a esta ciudad hermosa chica denominada hipotenusa. Intentó alquilar una habitación, pero, sin importar dónde la presentara, la rechazaron. Finalmente se acercó a la desvencijada casa y llamó. Un hombre que se hacía llamar Right Angle le abrió la puerta e invitó a Hypotenuse a vivir con él. La hipotenusa permaneció en la casa en la que vivía el Ángulo Recto y sus dos hijos pequeños llamados Katetes. Desde entonces, la vida en la casa de Right Angle ha cambiado de una manera nueva. La hipotenusa plantó flores en la ventana y plantó rosas rojas en el jardín delantero. La casa tomó la forma de un triángulo rectángulo. A ambas piernas les gustó mucho la hipotenusa y le pidieron que se quedara para siempre en su casa. Por las noches, esta amigable familia se reúne a la mesa familiar. A veces, Right Angle juega al escondite con sus hijos. La mayoría de las veces tiene que buscar, y la hipotenusa se esconde con tanta habilidad que puede resultar muy difícil de encontrar. Un día, mientras jugaba, Right Angle notó una propiedad interesante: si logra encontrar los catetos, entonces encontrar la hipotenusa no es difícil. Así que el Ángulo Recto utiliza este patrón, debo decir, con mucho éxito. El teorema de Pitágoras se basa en la propiedad de este triángulo rectángulo”.

(Del libro de A. Okunev “Gracias por la lección, niños”).

Una formulación humorística del teorema:

Si nos dan un triangulo

Y, además, con un ángulo recto,

ese es el cuadrado de la hipotenusa

Siempre podemos encontrar fácilmente:

Cuadramos las piernas,

Encontramos la suma de potencias -

Y de una manera tan sencilla

Llegaremos al resultado.

Mientras estudiaba álgebra y los inicios del análisis y la geometría en el décimo grado, me convencí de que además del método para demostrar el teorema de Pitágoras discutido en el octavo grado, existen otros métodos de demostración. Se los presento para su consideración.
2. PARTE PRINCIPAL.

Teorema. En un triángulo rectángulo hay un cuadrado.

hipotenusa igual a la suma cuadrados de patas.

1 MÉTODO.

Usando las propiedades de las áreas de los polígonos, estableceremos una relación notable entre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

Prueba.

a,c y hipotenusa Con(Figura 1, a).

Probemos que c²=a²+b².

Prueba.

Completemos el triángulo hasta obtener un cuadrado de lado. a+b como se muestra en la Fig. 1, b. El área S de este cuadrado es (a + b)². Por otro lado, este cuadrado está formado por cuatro triángulos rectángulos iguales, cada uno de los cuales tiene un área de ½ ay, y un cuadrado con lado Con, por lo tanto S = 4 * ½ aw + c² = 2aw + c².

De este modo,

(a+b)² = 2 aw + c²,

c²=a²+b².

El teorema ha sido demostrado.
2 MÉTODO.

Después de estudiar el tema “Triángulos semejantes”, descubrí que se puede aplicar la semejanza de triángulos a la demostración del teorema de Pitágoras. Es decir, utilicé la afirmación de que el cateto de un triángulo rectángulo es la media proporcional a la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa encerrado entre el cateto y la altura extraída del vértice. ángulo recto.

Considere un triángulo rectángulo con ángulo recto C, CD – altura (Fig. 2). Probemos que C.A.² +NE² = AB² .

Prueba.

Basado en la afirmación sobre el cateto de un triángulo rectángulo:

CA = , SV = .

Elevamos al cuadrado y sumamos las igualdades resultantes:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), donde AD+DB=AB, entonces

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

La prueba está completa.
3 MÉTODO.

La definición de coseno se puede aplicar a la prueba del teorema de Pitágoras. ángulo agudo triángulo rectángulo. Veamos la figura. 3.

Prueba:

Sea ABC un triángulo rectángulo dado con ángulo recto C. Dibujemos la altitud CD desde el vértice del ángulo recto C.

Por definición de coseno de un ángulo:

cos A = AD/AC = AC/AB. Por lo tanto AB * AD = AC²

Asimismo,

cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.

Por tanto AB * BD = BC².

Sumando las igualdades resultantes término por término y observando que AD + DB = AB, obtenemos:

C.A.² + sol² = AB (AD + DB) = AB²

La prueba está completa.
4 MÉTODO.

Habiendo estudiado el tema “Relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo”, creo que el teorema de Pitágoras se puede demostrar de otra forma.

Considere un triángulo rectángulo con catetos. a,c y hipotenusa Con. (Figura 4).

Probemos que c²=a²+b².

Prueba.

pecado B= alta calidad ; porque B= C.A , luego, elevando al cuadrado las igualdades resultantes, obtenemos:

pecado² B= pulgadas²/s²; cos² EN= a²/c².

Sumándolos obtenemos:

pecado² EN+cos² B=в²/с²+ а²/с², donde sin² EN+cos² B=1,

1= (в²+ а²) / с², por lo tanto,

c²= a² + b².

La prueba está completa.

5 MÉTODO.

Esta prueba se basa en cortar cuadrados construidos sobre los catetos (Fig. 5) y colocar las partes resultantes sobre un cuadrado construido sobre la hipotenusa.

6 MÉTODO.

Para prueba al lado Sol estamos construyendo BCD A B C(Figura 6). Sabemos que las áreas de figuras semejantes están relacionadas como los cuadrados de sus dimensiones lineales semejantes:

Restando la segunda igualdad a la primera, obtenemos

c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

7 MÉTODO.

Dado(Figura 7):

A B C,= 90° , sol= a, CA=b, AB = c.

Probar:c2 = a2 +b2.

Prueba.

deja la pierna b A. Continuamos el segmento. nordeste por punto EN y construir un triangulo DMO para que los puntos METRO Y A colocarse a un lado de la línea recta CD y además, BD =b, BDM= 90°, DM= a, entonces DMO= A B C en dos lados y el ángulo entre ellos. Puntos A y METRO conectar con segmentos SOY. Tenemos MARYLAND. CD Y C.A. CD, eso significa que es recto C.A. paralela a la recta MARYLAND. Porque MARYLAND.< АС, luego recto CD Y SOY. no paralelo. Por lo tanto, AMDC- trapezoide rectangular.

EN triángulo rectángulo x ABC y DMO 1 + 2 = 90° y 3 + 4 = 90°, pero como = =, entonces 3 + 2 = 90°; Entonces AV M=180° - 90° = 90°. Resultó que el trapecio AMDC se divide en tres triángulos rectángulos que no se superponen, luego por los axiomas del área

(a+b)(a+b)

Dividiendo todos los términos de la desigualdad por , obtenemos

Ab+c2+ab = (a +b) , 2 ab+ c2 = a2+ 2ab+ b2,

c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

8 MÉTODO.

Este método se basa en la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. A B C. Construye los cuadrados correspondientes y demuestra que el cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos (Fig. 8).

Prueba.

1) DBC= Logística de Amazon= 90°;

DBC+ A B C= Logística de Amazon+ A B C, Medio, FBC = DBA.

De este modo, FBC=ABD(en dos lados y el ángulo entre ellos).

2) , donde AL DE, ya que BD es una base común, DL- altura total.

3) , ya que FB es una fundación, AB- altura total.

4)

5) De manera similar, se puede demostrar que

6) Sumando término por término, obtenemos:

, BC2 = AB2 + AC2 . La prueba está completa.

9 MÉTODO.

Prueba.

1) dejar ABDE- un cuadrado (Fig.9), cuyo lado es igual a la hipotenusa de un triángulo rectángulo A B C= s, antes de Cristo = a, CA =b).

2) dejar NS ANTES DE CRISTO. Y DK = sol, ya que 1 + 2 = 90° (como los ángulos agudos de un triángulo rectángulo), 3 + 2 = 90° (como el ángulo de un cuadrado), AB= BD(lados del cuadrado).

Medio, A B C= BDK(por hipotenusa y ángulo agudo).

3) dejar EL DK, A.M. EL Se puede demostrar fácilmente que ABC = BDK = DEL = EAM (con catetos A Y b). Entonces Kansas= CM= M.L.= L.K.= A -b.

4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (a-b),Con2 = 2ab+a2-2ab+b2,c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

10 MÉTODO.

La prueba se puede realizar sobre una figura llamada en broma “pantalones pitagóricos” (Fig. 10). Su idea es transformar cuadrados construidos en los lados en triángulos iguales que juntos formen el cuadrado de la hipotenusa.

A B C muévalo como lo muestra la flecha y tomará posición. KDN. El resto de la figura. AKDCBárea igual del cuadrado AKDC este es un paralelogramo AKNB.

Se ha realizado un modelo de paralelogramo. AKNB. Reorganizamos el paralelogramo como se muestra en el contenido del trabajo. Para mostrar la transformación de un paralelogramo en un triángulo de áreas iguales, frente a los estudiantes, cortamos un triángulo en el modelo y lo movemos hacia abajo. Así, el área del cuadrado. AKDC resultó ser igual al área del rectángulo. De manera similar, convertimos el área de un cuadrado en el área de un rectángulo.

Hagamos una transformación para un cuadrado construido sobre un lado. A(Figura 11,a):

a) el cuadrado se transforma en un paralelogramo igual (figura 11.6):

b) el paralelogramo gira un cuarto de vuelta (Fig.12):

c) el paralelogramo se transforma en un rectángulo igual (Fig.13): 11 MÉTODO.

Prueba:

PCL - recto (Fig. 14);

kloa= ACPF= ACED= a2;

LGBO= SVMR =CBNQ= segundo 2;

AKGB= AKLO +LGBO= c2;

c2 = a2 + b2.

La prueba ha terminado .

12 MÉTODO.

Arroz. La Figura 15 ilustra otra prueba original del teorema de Pitágoras.

Aquí: triángulo ABC con ángulo recto C; segmento de línea B.F. perpendicular nordeste e igual a él, el segmento SER perpendicular AB e igual a él, el segmento ANUNCIO perpendicular C.A. e igual a él; puntos F, C,D pertenecen a la misma línea; cuadriláteros ADFB Y ASVÉ igual en tamaño, ya que ABF = BCE; triangulos AAD Y AS igual en tamaño; restar de ambos cuadriláteros iguales el triángulo que comparten A B C, obtenemos

, c2 = a2 + b2.

La prueba está completa.

13 MÉTODO.

El área de un triángulo rectángulo dado, de un lado, es igual a , con otro, ,

3. CONCLUSIÓN.

Como resultado de la actividad de búsqueda se logró el objetivo del trabajo, que era reponer y generalizar los conocimientos sobre la demostración del teorema de Pitágoras. Fue posible encontrar y considerar diversas formas de demostrarlo y profundizar el conocimiento sobre el tema, yendo más allá de las páginas del libro de texto escolar.

El material que he recopilado me convence aún más de que el teorema de Pitágoras es un gran teorema de la geometría y tiene una enorme importancia teórica y práctica. En conclusión, me gustaría decir: ¡la razón de la popularidad del teorema trino de Pitágoras es su belleza, simplicidad y significado!

4. LITERATURA UTILIZADA.

1. Álgebra entretenida. . Moscú "Ciencia", 1978.

2. Suplemento pedagógico y metodológico semanal del diario “Primero de Septiembre”, 24/2001.

3. Geometría 7-9. y etc.

4. Geometría 7-9. y etc.

Instrucciones

Si necesitas calcular usando el teorema de Pitágoras, utiliza el siguiente algoritmo: - Determina en un triángulo qué lados son los catetos y cuáles son la hipotenusa. Los dos lados que forman un ángulo de noventa grados son los catetos, el tercio restante es la hipotenusa. (cm) - Eleve cada cateto de este triángulo a la segunda potencia, es decir, multiplíquelo por sí mismo. Ejemplo 1. Supongamos que necesitamos calcular la hipotenusa si un cateto de un triángulo mide 12 cm y el otro mide 5 cm, primero los cuadrados de los catetos son iguales: 12 * 12 = 144 cm y 5 * 5 = 25 cm. Luego, determina la suma de los catetos de los cuadrados. Un cierto número es hipotenusa, necesitas deshacerte de la segunda potencia del número para encontrar longitud este lado del triángulo. Para hacer esto, retire desde debajo raíz cuadrada el valor de la suma de los cuadrados de los catetos. Ejemplo 1. 144+25=169. La raíz cuadrada de 169 es 13. Por lo tanto, la longitud de este hipotenusa igual a 13 cm.

Otra forma de calcular la longitud. hipotenusa radica en la terminología del seno y los ángulos de un triángulo. Por definición: el seno del ángulo alfa es el cateto opuesto a la hipotenusa. Es decir, mirando la figura, sen a = CB/AB. Por lo tanto, hipotenusa AB = CB / sen a. Ejemplo 2. Sea el ángulo de 30 grados y el lado opuesto de 4 cm. Necesitamos encontrar la hipotenusa. Solución: AB = 4 cm / sen 30 = 4 cm / 0,5 = 8 cm Respuesta: longitud hipotenusa igual a 8 cm.

Una forma similar de encontrar hipotenusa de la definición de coseno de un ángulo. El coseno de un ángulo es la razón entre el lado adyacente a él y hipotenusa. Es decir, cos a = AC/AB, por lo tanto AB = AC/cos a. Ejemplo 3. En el triángulo ABC, AB es la hipotenusa, el ángulo BAC mide 60 grados, el cateto AC mide 2 cm. Encuentra AB.
Solución: AB = AC/cos 60 = 2/0,5 = 4 cm Respuesta: La hipotenusa mide 4 cm de longitud.

Consejo útil

Para encontrar el valor del seno o coseno de un ángulo, utilice la tabla de senos y cosenos o la tabla de Bradis.

Consejo 2: Cómo encontrar la longitud de la hipotenusa en un triángulo rectángulo

La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo, por lo que no es sorprendente que lengua griega esta palabra se traduce como "apretado". Este lado siempre se encuentra opuesto al ángulo de 90° y los lados que forman este ángulo se llaman catetos. Conociendo las longitudes de estos lados y la magnitud de los ángulos agudos en diferentes combinaciones Estos valores se pueden utilizar para calcular la longitud de la hipotenusa.

Instrucciones

Si se conocen las longitudes de ambos triángulos (A y B), entonces se utilizan las longitudes de la hipotenusa (C), quizás el postulado matemático más famoso: el teorema de Pitágoras. Afirma que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos, de lo cual se deduce que se debe calcular la raíz de la suma de las longitudes al cuadrado de los dos catetos: C = √ ( A² + B²). Por ejemplo, si la longitud de un cateto es 15 y - 10 centímetros, entonces la longitud de la hipotenusa será aproximadamente 18.0277564 centímetros, ya que √(15²+10²)=√(225+100)= √325≈18.0277564.

Si se conoce la longitud de sólo uno de los catetos (A) de un triángulo rectángulo, así como el valor del ángulo opuesto (α), entonces la longitud de la hipotenusa (C) se puede utilizar utilizando una de las técnicas trigonométricas. funciones - el seno. Para hacer esto, divida la longitud del lado conocido por el seno del ángulo conocido: C=A/sin(α). Por ejemplo, si la longitud de uno de los catetos es de 15 centímetros y el ángulo en el vértice opuesto del triángulo es de 30°, entonces la longitud de la hipotenusa será igual a 30 centímetros, ya que 15/sen(30°) =15/0,5=30.

Si en un triángulo rectángulo se conocen el tamaño de uno de los ángulos agudos (α) y la longitud del cateto adyacente (B), entonces para calcular la longitud de la hipotenusa (C) se puede utilizar otra función trigonométrica: el coseno. Debes dividir la longitud del cateto conocido por el coseno del ángulo conocido: C=B/ cos(α). Por ejemplo, si la longitud de este cateto es de 15 centímetros y el ángulo agudo adyacente a él es de 30°, entonces la longitud de la hipotenusa será aproximadamente 17,3205081 centímetros, ya que 15/cos(30°)=15/(0,5* √3)=30/√3≈17.3205081.

La longitud se utiliza generalmente para indicar la distancia entre dos puntos en un segmento de línea. Puede ser una línea recta, quebrada o cerrada. Puede calcular la longitud de forma muy sencilla si conoce algunos otros indicadores del segmento.

Instrucciones

Si necesitas encontrar la longitud del lado de un cuadrado, entonces no será , si conoces su área S. Debido a que todos los lados del cuadrado tienen

El potencial de la creatividad suele atribuirse a las humanidades, dejando las ciencias naturales al análisis, al enfoque práctico y al lenguaje seco de fórmulas y números. Las matemáticas no pueden clasificarse como una materia de humanidades. Pero sin creatividad no se llegará muy lejos en la "reina de todas las ciencias"; la gente lo sabe desde hace mucho tiempo. Desde la época de Pitágoras, por ejemplo.

Desafortunadamente, los libros de texto escolares generalmente no explican que en matemáticas es importante no solo estudiar teoremas, axiomas y fórmulas. Es importante entenderlo y sentirlo. principios fundamentales. Y al mismo tiempo, trate de liberar su mente de clichés y verdades elementales; sólo en tales condiciones nacen todos los grandes descubrimientos.

Tales descubrimientos incluyen lo que hoy conocemos como el teorema de Pitágoras. Con su ayuda, intentaremos demostrar que las matemáticas no sólo pueden, sino que deben ser apasionantes. Y que esta aventura es apta no sólo para nerds con gafas gruesas, sino para todos los que son fuertes de mente y de espíritu.

De la historia del problema.

Estrictamente hablando, aunque el teorema se llama “teorema de Pitágoras”, el propio Pitágoras no lo descubrió. El triángulo rectángulo y sus propiedades especiales se estudiaron mucho antes que él. Hay dos puntos de vista opuestos sobre este tema. Según una versión, Pitágoras fue el primero en encontrar una demostración completa del teorema. Según otro, la prueba no pertenece a la autoría de Pitágoras.

Hoy ya no se puede comprobar quién tiene razón y quién no. Lo que se sabe es que la prueba de Pitágoras, si alguna vez existió, no ha sobrevivido. Sin embargo, hay sugerencias de que la famosa prueba de los Elementos de Euclides puede pertenecer a Pitágoras, y Euclides sólo la registró.

También se sabe hoy que los problemas sobre un triángulo rectángulo se encuentran en fuentes egipcias de la época del faraón Amenemhat I, en tablillas de arcilla babilónicas del reinado del rey Hammurabi, en el antiguo tratado indio "Sulva Sutra" y en la antigua obra china " Zhou-bi suan jin”.

Como puedes ver, el teorema de Pitágoras ha ocupado la mente de los matemáticos desde la antigüedad. Esto lo confirman alrededor de 367 pruebas diferentes que existen en la actualidad. En esto ningún otro teorema puede competir con él. Entre los autores famosos de pruebas podemos recordar a Leonardo da Vinci y al vigésimo presidente de los Estados Unidos, James Garfield. Todo esto habla de la extrema importancia de este teorema para las matemáticas: la mayoría de los teoremas de la geometría se derivan de él o están de alguna manera relacionados con él.

Pruebas del teorema de Pitágoras

Los libros de texto escolares ofrecen principalmente demostraciones algebraicas. Pero la esencia del teorema está en la geometría, así que consideremos primero las demostraciones del famoso teorema que se basan en esta ciencia.

Evidencia 1

Para la demostración más sencilla del teorema de Pitágoras para un triángulo rectángulo, es necesario establecer condiciones ideales: deja que el triángulo no solo sea rectangular, sino también isósceles. Hay motivos para creer que fue precisamente este tipo de triángulo el que consideraron inicialmente los antiguos matemáticos.

Declaración “un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre sus catetos” se puede ilustrar con el siguiente dibujo:

Mira el triángulo rectángulo isósceles ABC: sobre la hipotenusa AC, puedes construir un cuadrado que consta de cuatro triángulos iguales al ABC original. Y en los lados AB y BC se construye un cuadrado, cada uno de los cuales contiene dos triángulos semejantes.

Por cierto, este dibujo formó la base de numerosos chistes y caricaturas dedicadas al teorema de Pitágoras. El más famoso es probablemente "Los pantalones pitagóricos son iguales en todas direcciones":

Evidencia 2

Este método combina álgebra y geometría y puede considerarse una variante de la antigua prueba india del matemático Bhaskari.

Construye un triángulo rectángulo con lados. a, b y c(Figura 1). Luego construye dos cuadrados con lados iguales a la suma de las longitudes de los dos catetos. (a+b). En cada uno de los cuadrados haz construcciones como en las Figuras 2 y 3.

En el primer cuadrado, construye cuatro triángulos similares a los de la Figura 1. El resultado son dos cuadrados: uno de lado a, el segundo de lado b.

En el segundo cuadrado, cuatro triángulos semejantes construidos forman un cuadrado con un lado igual a la hipotenusa. C.

La suma de las áreas de los cuadrados construidos en la Fig. 2 es igual al área del cuadrado que construimos con el lado c en la Fig. 3. Esto se puede comprobar fácilmente calculando el área de los cuadrados de la Fig. 2 según la fórmula. Y el área del cuadrado inscrito en la Figura 3. restando las áreas de cuatro triángulos rectángulos iguales inscritos en el cuadrado del área de un cuadrado grande con un lado (a+b).

Anotando todo esto tenemos: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Abra los corchetes, realice todos los cálculos algebraicos necesarios y obtenga eso un 2 +b 2 = un 2 +b 2. En este caso, el área inscrita en la Fig. 3. El cuadrado también se puede calcular usando la fórmula tradicional. S=c2. Aquellos. a 2 +b 2 =c 2– has demostrado el teorema de Pitágoras.

Evidencia 3

La propia prueba india antigua fue descrita en el siglo XII en el tratado "La Corona del Conocimiento" ("Siddhanta Shiromani") y como argumento principal el autor utiliza un llamamiento dirigido a los talentos matemáticos y las habilidades de observación de estudiantes y seguidores: " ¡Mirar!"

Pero analizaremos esta prueba con más detalle:

Dentro del cuadrado, construye cuatro triángulos rectángulos como se indica en el dibujo. Denotamos el lado del cuadrado grande, también conocido como hipotenusa, Con. Llamemos a los catetos del triángulo. A Y b. Según el dibujo, el lado del cuadrado interior es (a-b).

Usa la fórmula para el área de un cuadrado. S=c2 para calcular el área del cuadrado exterior. Y al mismo tiempo calcula el mismo valor sumando el área del cuadrado interior y las áreas de los cuatro triángulos rectángulos: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Puedes utilizar ambas opciones para calcular el área de un cuadrado y asegurarte de que den el mismo resultado. Y esto te da derecho a escribir eso. c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Como resultado de la solución, recibirás la fórmula del teorema de Pitágoras. c 2 =a 2 +b 2. El teorema ha sido demostrado.

Prueba 4

Esta curiosa prueba china antigua fue llamada la “Silla de la Novia”, debido a la figura en forma de silla que resulta de todas las construcciones:

Utiliza el dibujo que ya hemos visto en la Fig. 3 en la segunda prueba. Y el cuadrado interior con lado c se construye de la misma manera que en la antigua prueba india dada anteriormente.

Si cortas mentalmente dos triángulos rectangulares verdes del dibujo de la Fig. 1, los mueves a lados opuestos del cuadrado con el lado c y unes las hipotenusas a las hipotenusas de los triángulos lilas, obtendrás una figura llamada "silla de la novia". (Figura 2). Para mayor claridad, puedes hacer lo mismo con cuadrados y triángulos de papel. Te asegurarás de que la “silla de la novia” esté formada por dos cuadrados: pequeños con un lado b y grande con un lado a.

Estas construcciones permitieron a los antiguos matemáticos chinos y a nosotros, siguiéndolos, llegar a la conclusión de que c 2 =a 2 +b 2.

Evidencia 5

Esta es otra forma de encontrar una solución al teorema de Pitágoras usando geometría. Se llama Método Garfield.

construir un triangulo rectángulo A B C. Necesitamos demostrar que antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2.

Para ello, continúa la pierna. C.A. y construir un segmento CD, que es igual al cateto AB. Bajar la perpendicular ANUNCIO segmento de línea DE. Segmentos DE Y C.A. son iguales. Conecta los puntos mi Y EN, y mi Y CON y obtén un dibujo como el de la siguiente imagen:

Para demostrar la torre, volvemos a recurrir al método que ya hemos probado: encontramos el área de la figura resultante de dos formas y equiparamos las expresiones entre sí.

Encuentra el área de un polígono UNA CAMA se puede hacer sumando las áreas de los tres triángulos que lo forman. Y uno de ellos, URE, no sólo es rectangular, sino también isósceles. Tampoco olvidemos que AB=CD, CA=ED Y BC=SE– esto nos permitirá simplificar la grabación y no sobrecargarla. Entonces, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

Al mismo tiempo, es obvio que UNA CAMA- Este es un trapezoide. Por tanto, calculamos su área mediante la fórmula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Para nuestros cálculos, es más conveniente y claro representar el segmento. ANUNCIO como la suma de segmentos C.A. Y CD.

Anotemos ambas formas de calcular el área de una figura, poniendo un signo igual entre ellas: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Usamos la igualdad de segmentos que ya conocemos y descrita anteriormente para simplificar el lado derecho de la notación: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ahora abramos los corchetes y transformemos la igualdad: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Habiendo completado todas las transformaciones, obtenemos exactamente lo que necesitamos: antes de Cristo 2 = CA 2 + AB 2. Hemos demostrado el teorema.

Por supuesto, esta lista de pruebas está lejos de ser completa. El teorema de Pitágoras también se puede demostrar utilizando vectores, números complejos, ecuaciones diferenciales, estereometría, etc. E incluso los físicos: si, por ejemplo, se vierte líquido en volúmenes cuadrados y triangulares similares a los que se muestran en los dibujos. Al verter líquido, se puede demostrar la igualdad de áreas y, como resultado, el teorema mismo.

Algunas palabras sobre los trillizos pitagóricos

Este tema se estudia poco o nada en el currículo escolar. Mientras tanto, él es muy interesante y tiene gran importancia en geometría. Las ternas pitagóricas se utilizan para resolver muchos problemas matemáticos. Comprenderlos puede resultarle útil en sus estudios superiores.

Entonces, ¿qué son los trillizos pitagóricos? Así lo llaman números enteros, recogido de tres en tres, la suma de los cuadrados de dos de los cuales es igual al tercer número del cuadrado.

Las ternas pitagóricas pueden ser:

• primitivo (los tres números son primos relativos);
• no primitivo (si cada número de un triple se multiplica por el mismo número, se obtiene un nuevo triple, que no es primitivo).

Incluso antes de nuestra era, los antiguos egipcios estaban fascinados por la manía por los números de los trillizos pitagóricos: en los problemas consideraban un triángulo rectángulo con lados de 3, 4 y 5 unidades. Por cierto, cualquier triángulo cuyos lados sean iguales a los números del triple pitagórico es rectangular por defecto.

Ejemplos de trillizos pitagóricos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14, 48, 50), (30, 40, 50), etc.

Aplicación práctica del teorema.

El teorema de Pitágoras se utiliza no sólo en matemáticas, sino también en arquitectura y construcción, astronomía e incluso literatura.

Primero sobre la construcción: el teorema de Pitágoras se usa ampliamente en problemas niveles diferentes dificultades. Por ejemplo, mire una ventana románica:

Denotaremos el ancho de la ventana como b, entonces el radio del semicírculo mayor se puede denotar como R y expresar a través de b: R=b/2. El radio de semicírculos más pequeños también se puede expresar mediante b:r=b/4. En este problema estamos interesados ​​en el radio del círculo interior de la ventana (llamémoslo pag).

El teorema de Pitágoras sólo sirve para calcular R. Para hacer esto, usamos un triángulo rectángulo, que se indica con una línea de puntos en la figura. La hipotenusa de un triángulo consta de dos radios: b/4+p. Un cateto representa el radio b/4, otro b/2p. Utilizando el teorema de Pitágoras escribimos: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. A continuación, abrimos los corchetes y obtenemos b 2 /16+ pb/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-pb+p 2. Transformemos esta expresión en pb/2=b 2 /4-pb. Y luego dividimos todos los términos por b, te presentamos otros similares para conseguir 3/2*p=b/4. Y al final encontramos que p=b/6- que es lo que necesitábamos.

Usando el teorema, puedes calcular la longitud de las vigas de un techo a dos aguas. Determinar a qué altura se necesita una torre de telefonía celular para que la señal alcance una determinada asentamiento. E incluso instalar de manera constante árbol de Navidad en la plaza de la ciudad. Como puede ver, este teorema no solo se encuentra en las páginas de los libros de texto, sino que a menudo resulta útil en la vida real.

En literatura, el teorema de Pitágoras ha inspirado a escritores desde la antigüedad y continúa haciéndolo en nuestro tiempo. Por ejemplo, el escritor alemán del siglo XIX Adelbert von Chamisso se inspiró para escribir un soneto:

La luz de la verdad no se disipará pronto,
Pero, habiendo brillado, es poco probable que se disipe.
Y, como hace miles de años,
No causará dudas ni controversias.

El más sabio cuando toca tu mirada.
Luz de la verdad, gracias a los dioses;
Y cien toros, degollados, yacen.
Un regalo de regreso del afortunado Pitágoras.

Desde entonces los alcistas han estado rugiendo desesperadamente:
Siempre alarmó a la tribu de los toros.
Evento mencionado aquí.

Les parece que el tiempo está por llegar,
Y serán sacrificados nuevamente
Algún gran teorema.

(traducción de Viktor Toporov)

Y en el siglo XX, el escritor soviético Evgeny Veltistov, en su libro "Las aventuras de la electrónica", dedicó un capítulo entero a las demostraciones del teorema de Pitágoras. Y otro medio capítulo más a la historia sobre el mundo bidimensional que podría existir si el teorema de Pitágoras se convirtiera en ley fundamental e incluso en religión para un solo mundo. Vivir allí sería mucho más fácil, pero también mucho más aburrido: por ejemplo, nadie entiende el significado de las palabras "redondo" y "esponjoso".

Y en el libro "Las aventuras de la electrónica", el autor, por boca del profesor de matemáticas Taratar, dice: "Lo principal en matemáticas es el movimiento del pensamiento, las nuevas ideas". Es precisamente este vuelo creativo del pensamiento el que da origen al teorema de Pitágoras; no en vano tiene tantas y variadas demostraciones. Le ayuda a ir más allá de los límites de lo familiar y a mirar las cosas familiares de una manera nueva.

Conclusión

Este artículo fue creado para que pueda mirar más allá del plan de estudios escolar en matemáticas y aprender no solo las demostraciones del teorema de Pitágoras que se dan en los libros de texto "Geometría 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) y "Geometría 7". 11” (A.V. Pogorelov), pero también otras formas interesantes de demostrar el famoso teorema. Y vea también ejemplos de cómo se puede aplicar el teorema de Pitágoras en la vida cotidiana.

En primer lugar, esta información le permitirá obtener puntuaciones más altas en las lecciones de matemáticas; siempre se agradece mucho la información sobre el tema procedente de fuentes adicionales.

En segundo lugar, queríamos ayudarle a tener una idea de cómo funcionan las matemáticas. ciencia interesante. Cerciorarse ejemplos específicos que siempre hay un lugar para la creatividad en él. Esperamos que el teorema de Pitágoras y este artículo lo inspiren a explorar de forma independiente y realizar descubrimientos interesantes en matemáticas y otras ciencias.

Cuéntenos en los comentarios si encontró interesante la evidencia presentada en el artículo. ¿Le resultó útil esta información en sus estudios? Escríbanos lo que piensa sobre el teorema de Pitágoras y este artículo; estaremos encantados de discutir todo esto con usted.

sitio web, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente.

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.

y en esto

y en esto

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno..., en primer lugar, sus lados tienen nombres especiales y bonitos.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!

Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Pitágoras lo demostró completamente. tiempos inmemoriales, y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes la conocen. Y lo mejor es que es sencillo.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?

Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos.

¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."

¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:

Debería ser fácil ahora:

Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si te interesa cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora pasemos... a bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!

¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y

¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?

¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?

Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:

Resumen

Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.

Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y!

Ahora conectemos los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.

Juntémoslo todo ahora.

Transformemos:

Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría.

Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Y una vez más todo esto en forma de tablet:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

I. En dos lados

II. Por cateto e hipotenusa

III. Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.

a)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:

ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.

¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?

La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de similitud de triángulos rectángulos.

I. A lo largo de un ángulo agudo

II. en dos lados

III. Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por qué esto es tan?

En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces resultó que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.

¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto

Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a todos tres picos los triángulos resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?

Así que comencemos con este “además…”.

Miremos y.

¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora dibujémoslo juntos:

¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos lados:
• por cateto e hipotenusa: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de similitud de triángulos rectángulos:

• una esquina aguda: o
• de la proporcionalidad de dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de las piernas:

Una cosa de la que puedes estar cien por ciento seguro es que cuando se le pregunta cuál es el cuadrado de la hipotenusa, cualquier adulto responderá con audacia: "La suma de los cuadrados de los catetos". Este teorema está firmemente arraigado en la mente de toda persona educada, pero basta con pedirle a alguien que lo demuestre y pueden surgir dificultades. Por tanto, recordemos y consideremos diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras.

Breve biografía

El teorema de Pitágoras es familiar para casi todo el mundo, pero por alguna razón la biografía de la persona que lo trajo al mundo no es tan popular. Esto se puede arreglar. Por lo tanto, antes de explorar las diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras, es necesario conocer brevemente su personalidad.

Pitágoras: filósofo, matemático, pensador originario de Hoy en día es muy difícil distinguir su biografía de las leyendas que se han desarrollado en memoria de este gran hombre. Pero como se desprende de las obras de sus seguidores, Pitágoras de Samos nació en la isla de Samos. Su padre era un simple picapedrero, pero su madre provenía de una familia noble.

A juzgar por la leyenda, el nacimiento de Pitágoras fue predicho por una mujer llamada Pythia, en cuyo honor recibió su nombre el niño. Según su predicción, se suponía que el niño nacido traería muchos beneficios y beneficios a la humanidad. Que es exactamente lo que hizo.

Nacimiento del teorema

En su juventud, Pitágoras se mudó a Egipto para encontrarse allí con famosos sabios egipcios. Después de reunirse con ellos, se le permitió estudiar, donde aprendió todos los grandes logros de la filosofía, las matemáticas y la medicina egipcias.

Probablemente fue en Egipto donde Pitágoras se inspiró en la majestuosidad y belleza de las pirámides y creó su gran teoría. Esto puede sorprender a los lectores, pero los historiadores modernos creen que Pitágoras no demostró su teoría. Pero sólo transmitió sus conocimientos a sus seguidores, quienes más tarde realizaron todos los cálculos matemáticos necesarios.

Sea como fuere, hoy no se conoce un método para demostrar este teorema, sino varios a la vez. Hoy en día sólo podemos adivinar cómo exactamente realizaban sus cálculos los antiguos griegos, por lo que aquí veremos diferentes formas de demostrar el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Antes de comenzar cualquier cálculo, debes determinar qué teoría quieres probar. El teorema de Pitágoras dice así: "En un triángulo en el que uno de los ángulos mide 90°, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa".

Hay un total de 15 formas diferentes de demostrar el teorema de Pitágoras. Este es un número bastante grande, por lo que prestaremos atención a los más populares.

Método uno

Primero, definamos lo que se nos ha dado. Estos datos también se aplicarán a otros métodos para demostrar el teorema de Pitágoras, por lo que vale la pena recordar inmediatamente todas las notaciones disponibles.

Supongamos que nos dan un triángulo rectángulo con catetos a, by una hipotenusa igual a c. El primer método de prueba se basa en el hecho de que es necesario dibujar un cuadrado a partir de un triángulo rectángulo.

Para hacer esto, debe agregar un segmento igual al cateto b al cateto de longitud a, y viceversa. Esto debería resultar en dos lados iguales del cuadrado. Solo queda dibujar dos líneas paralelas y el cuadrado estará listo.

Dentro de la figura resultante, debes dibujar otro cuadrado con un lado igual a la hipotenusa del triángulo original. Para hacer esto, desde los vértices ас y св necesitas dibujar dos segmentos paralelos iguales a с. Así, obtenemos tres lados del cuadrado, uno de los cuales es la hipotenusa del triángulo rectángulo original. Ya sólo queda dibujar el cuarto segmento.

Con base en la figura resultante, podemos concluir que el área del cuadrado exterior es (a + b) 2. Si miras dentro de la figura, puedes ver que además del cuadrado interior, hay cuatro triángulos rectángulos. El área de cada uno es 0.5av.

Por lo tanto, el área es igual a: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2

Por lo tanto (a+c) 2 =2ab+c 2

Y, por tanto, c 2 =a 2 +b 2

El teorema ha sido demostrado.

Método dos: triángulos semejantes

Esta fórmula para demostrar el teorema de Pitágoras se derivó de una afirmación de la sección de geometría sobre triángulos semejantes. Afirma que el cateto de un triángulo rectángulo es el promedio proporcional a su hipotenusa y al segmento de hipotenusa que emana del vértice del ángulo de 90°.

Los datos iniciales siguen siendo los mismos, así que comencemos ahora mismo con la demostración. Dibujemos un segmento CD perpendicular al lado AB. Según la afirmación anterior, los lados de los triángulos son iguales:

AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.

Para responder a la pregunta de cómo probar el teorema de Pitágoras, la demostración debe completarse elevando ambas desigualdades al cuadrado.

AC 2 = AB * AD y CB 2 = AB * DV

Ahora necesitamos sumar las desigualdades resultantes.

AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), donde AD + DV = AB

Resulta que:

CA 2 + CB 2 =AB*AB

Y por lo tanto:

CA 2 + CB 2 = AB 2

La demostración del teorema de Pitágoras y varios métodos para resolverlo requieren un enfoque versátil para este problema. Sin embargo, esta opción es una de las más sencillas.

Otro método de cálculo

Es posible que las descripciones de los diferentes métodos para demostrar el teorema de Pitágoras no signifiquen nada hasta que empieces a practicar por tu cuenta. Muchas técnicas implican no sólo cálculos matemáticos, sino también la construcción de nuevas figuras a partir del triángulo original.

En este caso, es necesario completar otro triángulo rectángulo VSD desde el lado BC. Por tanto, ahora hay dos triángulos con un cateto común BC.

Sabiendo que las áreas de figuras semejantes tienen una razón como los cuadrados de sus dimensiones lineales semejantes, entonces:

S avs * c 2 - S avd * en 2 = S avd * a 2 - S vsd * a 2

S avs *(de 2 - a 2) = a 2 *(S avd -S vsd)

de 2 - a 2 =a 2

c 2 =a 2 +b 2

Dado que entre los diversos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras para el grado 8, esta opción no es adecuada, puede utilizar el siguiente método.

La forma más sencilla de demostrar el teorema de Pitágoras. Reseñas

Según los historiadores, este método se utilizó por primera vez para demostrar el teorema en antigua Grecia. Es el más sencillo, ya que no requiere absolutamente ningún cálculo. Si dibujas el dibujo correctamente, entonces la prueba de la afirmación de que a 2 + b 2 = c 2 será claramente visible.

Condiciones para este método será ligeramente diferente al anterior. Para demostrar el teorema, supongamos que el triángulo rectángulo ABC es isósceles.

Tomamos la hipotenusa AC como lado del cuadrado y dibujamos sus tres lados. Además, en el cuadrado resultante es necesario dibujar dos líneas diagonales. De modo que en su interior queden cuatro triángulos isósceles.

También necesitas dibujar un cuadrado en los catetos AB y CB y dibujar una línea recta diagonal en cada uno de ellos. Dibujamos la primera línea desde el vértice A, la segunda desde C.

Ahora debes mirar cuidadosamente el dibujo resultante. Dado que en la hipotenusa AC hay cuatro triángulos iguales al original, y en los lados dos, esto indica la veracidad de este teorema.

Por cierto, gracias a este método de demostración del teorema de Pitágoras nació la famosa frase: “Los pantalones de Pitágoras son iguales en todas direcciones”.

Prueba de J. Garfield

James Garfield es el vigésimo presidente de los Estados Unidos de América. Además de dejar su huella en la historia como gobernante de los Estados Unidos, también fue un talentoso autodidacta.

Al comienzo de su carrera fue un profesor ordinario en una escuela pública, pero pronto se convirtió en director de una de las más altas Instituciones educacionales. El deseo de autodesarrollo le permitió proponer una nueva teoría para demostrar el teorema de Pitágoras. El teorema y un ejemplo de su solución son los siguientes.

Primero debes dibujar dos triángulos rectángulos en una hoja de papel para que el cateto de uno de ellos sea una continuación del segundo. Los vértices de estos triángulos deben estar conectados para finalmente formar un trapezoide.

Como sabes, el área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de sus bases por su altura.

S=a+b/2 * (a+b)

Si consideramos el trapezoide resultante como una figura que consta de tres triángulos, entonces su área se puede encontrar de la siguiente manera:

S=media/2 *2 + s 2 /2

Ahora necesitamos igualar las dos expresiones originales.

2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2

c 2 =a 2 +b 2

Se podría escribir más de un volumen sobre el teorema de Pitágoras y los métodos para demostrarlo. ayuda para enseñar. ¿Pero tiene algún sentido cuando este conocimiento no se puede aplicar en la práctica?

Aplicación práctica del teorema de Pitágoras

Desafortunadamente, en la actualidad programas escolares Este teorema está destinado a utilizarse únicamente en problemas geométricos. Los graduados pronto dejarán la escuela sin saber cómo pueden aplicar sus conocimientos y habilidades en la práctica.

De hecho, utiliza el teorema de Pitágoras en tu La vida cotidiana todos pueden. Y no sólo en actividad profesional, pero también en las tareas domésticas habituales. Consideremos varios casos en los que el teorema de Pitágoras y los métodos para demostrarlo pueden ser extremadamente necesarios.

Relación entre el teorema y la astronomía.

Parecería cómo se pueden conectar estrellas y triángulos en papel. De hecho, la astronomía es campo científico, que hace un uso extensivo del teorema de Pitágoras.

Por ejemplo, consideremos el movimiento de un rayo de luz en el espacio. Se sabe que la luz se mueve en ambas direcciones a la misma velocidad. Llamemos AB a la trayectoria por la que se mueve el rayo de luz. yo. Y llamemos a la mitad del tiempo que tarda la luz en llegar del punto A al punto B. t. Y la velocidad del rayo - C. Resulta que: c*t=l

Si miras este mismo rayo desde otro plano, por ejemplo, desde un transatlántico que se mueve con velocidad v, al observar los cuerpos de esta manera, su velocidad cambiará. En este caso, incluso los elementos estacionarios comenzarán a moverse con velocidad v en la dirección opuesta.

Digamos que el cómic navega hacia la derecha. Luego, los puntos A y B, entre los cuales se precipita el rayo, comenzarán a moverse hacia la izquierda. Además, cuando el rayo se mueve del punto A al punto B, el punto A tiene tiempo de moverse y, en consecuencia, la luz ya llegará a un nuevo punto C. Para encontrar la mitad de la distancia que se ha movido el punto A, es necesario multiplicar la velocidad del revestimiento a la mitad del tiempo de recorrido de la viga (t ").

Y para saber qué tan lejos podría viajar un rayo de luz durante este tiempo, es necesario marcar la mitad del camino con una nueva letra s y obtener la siguiente expresión:

Si imaginamos que los puntos de luz C y B, así como el transatlántico, son los vértices triángulo isósceles, entonces el segmento desde el punto A hasta el revestimiento lo dividirá en dos triángulos rectángulos. Por tanto, gracias al teorema de Pitágoras, se puede encontrar la distancia que podría recorrer un rayo de luz.

Este ejemplo, por supuesto, no es el más exitoso, ya que sólo unos pocos pueden tener la suerte de probarlo en la práctica. Por lo tanto, consideremos aplicaciones más mundanas de este teorema.

Rango de transmisión de señal móvil

Ya no se puede imaginar la vida moderna sin la existencia de los teléfonos inteligentes. Pero, ¿de qué utilidad serían si no pudieran conectar a los suscriptores a través de comunicaciones móviles?

La calidad de las comunicaciones móviles depende directamente de la altura a la que se encuentra la antena del operador de telefonía móvil. Para calcular a qué distancia de una torre de telefonía móvil puede recibir señal un teléfono, se puede aplicar el teorema de Pitágoras.

Digamos que necesita encontrar la altura aproximada de una torre estacionaria para que pueda distribuir una señal en un radio de 200 kilómetros.

AB (altura de la torre) = x;

BC (radio de transmisión de señal) = 200 km;

SO (radio globo) = 6380 kilómetros;

OB=OA+ABOB=r+x

Aplicando el teorema de Pitágoras, encontramos que la altura mínima de la torre debe ser de 2,3 kilómetros.

Teorema de Pitágoras en la vida cotidiana

Curiosamente, el teorema de Pitágoras puede resultar útil incluso en asuntos cotidianos, como, por ejemplo, para determinar la altura de un armario. A primera vista, no es necesario utilizar cálculos tan complejos, ya que simplemente se pueden tomar medidas con una cinta métrica. Pero mucha gente se pregunta por qué surgen ciertos problemas durante el proceso de montaje si todas las medidas se tomaron con mayor precisión.

El hecho es que el armario se ensambla en posición horizontal y solo luego se levanta e instala contra la pared. Por lo tanto, durante el proceso de elevación de la estructura, el lateral del gabinete debe moverse libremente tanto a lo largo de la altura como en diagonal de la habitación.

Supongamos que hay un armario con una profundidad de 800 mm. Distancia del suelo al techo - 2600 mm. Un fabricante de muebles experimentado dirá que la altura del mueble debe ser 126 mm menor que la altura de la habitación. ¿Pero por qué exactamente 126 mm? Veamos un ejemplo.

Con dimensiones de gabinete ideales, verifiquemos el funcionamiento del teorema de Pitágoras:

AC =√AB 2 +√BC 2

AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - todo encaja.

Digamos que la altura del gabinete no es de 2474 mm, sino de 2505 mm. Entonces:

CA=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.

Por lo tanto, este gabinete no es adecuado para su instalación en esta habitación. Porque levantarlo a una posición vertical puede causar daños a su cuerpo.

Quizás, habiendo considerado diferentes métodos de prueba del teorema de Pitágoras por parte de diferentes científicos, podamos concluir que esto es más que cierto. Ahora puede utilizar la información recibida en su vida diaria y estar completamente seguro de que todos los cálculos no solo serán útiles, sino también correctos.