Perfil del examen de ecuaciones exponenciales. Ecuación exponencial compleja

Colección para resolver ecuaciones exponenciales

Introducción

En el curso de matemáticas, uno de los lugares importantes se le da a la solución de ecuaciones exponenciales. Por primera vez, los estudiantes se encuentran con ecuaciones exponenciales en los grupos NPO en el segundo año de estudio y en los grupos SVE en el primer año de estudio. Las ecuaciones exponenciales también se encuentran en USAR asignaciones. En consecuencia, debe prestarse una atención considerable al estudio de los métodos para resolverlos. Al resolver ecuaciones exponenciales, a menudo surgen dificultades debido a las siguientes características: - traer un algoritmo para resolver ecuaciones exponenciales; - al resolver ecuaciones exponenciales, los estudiantes realizan transformaciones que son equivalentes a las ecuaciones originales; - al resolver una ecuación exponencial, introducen una nueva variable y se olvidan de volver a la sustitución inversa. El manual propuesto son las respuestas a la solución de ecuaciones exponenciales para Trabajo independiente Y exitoso pasando el examen.

Objetivo esta colección: para estudiar el material teórico sobre el tema, analizar este tema en los libros de texto de álgebra y el comienzo del análisis, sistematizar las tareas USE para resolver ecuaciones exponenciales, sistematizar y generalizar pautas resolviendo ecuaciones exponenciales. Para lograr este objetivo, es necesario resolver las siguientes tareas:

Estudiar los requisitos de las normas estatales sobre el tema "Ecuaciones exponenciales";

Analizar material sobre el tema en los libros de texto de álgebra y comenzó el análisis;

Sistematizar métodos para resolver ecuaciones exponenciales;

Sistematizar y resumir los rasgos metodológicos del estudio de este tema. La guía contiene dos secciones. La primera sección define una ecuación exponencial, propiedades de las potencias, tipos de ecuaciones exponenciales y métodos para resolverlas con soluciones de muestra. La segunda sección presenta una serie de ejemplos encontrados en las tareas del examen. Las respuestas a estas preguntas se proporcionan al final. Este manual puede ser utilizado tanto en el salón de clases como para el aprendizaje individual, así como para aquellos que quieran profundizar sus conocimientos sobre el tema: "Ecuaciones Exponenciales".

Definición. Una ecuación que contiene una incógnita en el exponente, llamado ejemplar.

¡Debe recordar!Al resolver ecuaciones exponenciales, a menudo se usa:

1. Teorema: si a 0 ;, a≠ 1 y = , entonces = .

2. Propiedades de los grados : a X * a y = a X + y = = * ( X = , ( y = ,

a - X = ; a 0 = 1, a 1 = a.

Considere los principales tipos de ecuaciones exponenciales y métodos de solución.

1. La ecuación exponencial más simple de la forma:

a X = b, Dóndea 0; b 0, a≠ 1, tiene soluciónX = .

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación 2 X = 3.

Solución : X =
Respuesta:

2. Para resolver ecuaciones de la forma: a F ( X ) = b, Dóndea0; b0, a ≠ 1, necesidad de proporcionar razones A como una potencia del mismo número, y luego compare los indicadores.

Ejemplo 2 Resuelva la Ecuación 5 2x+4 = 25.

3. Una ecuación exponencial de la forma

a F ( X ) = a ȹ( X ) , a0, a ≠ 1

se resuelve tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación a la base A. Su ecuación equivalente

F(X) = ȹ(X).

Ejemplo 3 Resuelve la ecuación 6 2x - 8 = 216x

Solución. 6 2x - 8 \u003d 6 3x, porque 216 = 6 3 = 6 * 6 * 6

2x - 3x = 8

Ejemplo 4(USE) Indicar el intervalo al que pertenece la raíz

ecuaciones 0.1x-1 = 16.

1). (-1;1]; 3). (-3; -1];

2). (1;10]; 4). (16; 20].

Solución. Representemos los números y el 16 como una potencia de 2:

2 -5 y 16 = 2 4

Obtenemos una ecuación equivalente a esta:

(2 -5) 0.1x-1 \u003d 2 4, es decir 2 -5 (0.1x - 1) \u003d 2 4.

Esta ecuación es equivalente a la ecuación

5(0.1x - 1) = 4

0.5x \u003d 4 - 5

El número 2 está contenido en el intervalo (1;10] indicado como una de las respuestas. Por lo tanto, la respuesta correcta es 2.

Ejemplo 4(USAR) Encuentra la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación -5 = 9 -2x .

1) 26 2) 25 3) 17 4)13.

Solución. Usando las propiedades de los grados, transformamos el lado derecho de la ecuación: 9 -2x \u003d (3 2) -2x \u003d 3 -4x

Esta ecuación tomará la forma: -5 = 3 -4 .

De las propiedades de monotonicidad de una función exponencial se deduce que la ecuación exponencial es equivalente a la ecuación

x 2 - 5 \u003d -4x.

Nosotros decidiremos ecuación cuadrática x2 + 4x -5 = 0

re = segundo 2 - 4ac

D \u003d 4 2 - 4 * 1 * (-5) \u003d 16 + 20 \u003d 36 0, la ecuación tiene dos raíces:

Dado que la ecuación cuadrática es equivalente a la ecuación original, las raíces resultantes son los caballos de esta ecuación. En otros asuntos, puedes verificar por sustitución directa que los números -5 y 1 son las raíces de esta ecuación. Por tanto, la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación -5 = 9 -2x es igual a (-5) 2 + 1 2 = 25 +1 = 26.

Número de respuesta correcta - 1

4. Ecuación tipo a 0 a 2x +a 1 a X +a 2 = 0.

Esta ecuación se llama ecuación exponencial de tres términos. Pararse a X = y la convierte en la ecuación cuadrática habitual a 0 y 2 X + a 1 y + a 2 = 0 . Una vez resuelto, encontraremos las raíces. y 1 Y y 2 . Después de eso, la solución de la ecuación original se reduce a la solución de dos ecuaciones a X = y 1 , a X = y 2 . Las últimas ecuaciones tienen solución para y 1 0 Y y 2 0 .

Ejemplo 5. Resolver la Ecuación 2 2 X - 2 X - 2=0.

Solución. Sea 2 x = y, entonces la ecuación tomará la forma

y 2 - y - 2 = 0

D \u003d (-1) 2 - 41 (-2) \u003d 9 0, 2 raíces

a) 2 x = 2; b) 2 x = -1, sin solución, porque -1

Ejemplo 6. Resolver la Ecuación 9 X – 3 X – 6 = 0

Solución. El primer término de la ecuación se puede representar como 9 x = 3 2 x = (3 x) 2 . Entonces la ecuación original tomará la forma (3 x) 2 - 3 x - 6 = 0. Denota 3 x = y, entonces tenemos y 2 - y - 6 = 0

y1 = 3; y 2 \u003d -2.

a) 3 x = 3 b) 3 x = -2 – no hay solución, porque -2

5. Ecuación tipo

Esta ecuación se resuelve sacando el factor común entre paréntesis.

Ejemplo 7. Resuelve la ecuación

2 X +1 + 32 X -1 – 52 X + 6 = 0

Solución. Saquemos el factor común 2 x -1 entre paréntesis, obtenemos

2 x -1 (2 2 + 3 - 52) = -6

2 x -1 (-3) = -6

2 x -1 = -6: (-3)

6. Ecuación de la forma, donde f(x) es una expresión que contiene un número desconocido; a0; un ≠ 1.

Para resolver estas ecuaciones, necesitas:

1. reemplazar 1 = a 0; una f (x) = una 0 ;

2. resolver la ecuación f (x) = 0

Ejemplo 8. Resuelve la ecuación

Por definición de un grado con exponente cero, tenemos:

x 2 - 7x + 12 = 0, (porque 1 = 2 0)

re = segundo 2 - 4ac

Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos: x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 4.

Respuesta: 3; 4.

7. Vista de ecuación

Esta ecuación se reduce a una ecuación exponencial de tres términos dividiendo ambas partes por a X o b X .

Ejemplo 9 Resuelve la ecuación 9 X + 6 X = 2 2 X +1

Solución. Reescribamos la ecuación como 3 2 x + 2 x 3 x – 22 2 x = 0.

Dividiendo ambos lados de la ecuación por 2 2 X ≠ 0, obtenemos

Deje que la ecuación tome la forma

y 2 + y -2 = 0 . Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos = -2, = 1.

a) - no hay solución, porque -2

Ejemplos.

I. Resolver ecuaciones:

31. 0,5 x +7 0,5 1-2 x = 2

32.0.6 x 0.6 3 =

34. 3 2 x -1 + 3 2 x = 108

35. 2x +1 + 2x -1 + 2x = 28

36. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

37. 3x -1 - 3x + 3x +1 = 63

40. 7x - 7x-1 = 6

41,5 3x += 140

42. 3 2y-1 +3 2y-2 -3 2y-4 = 315

43. 2x+1 + 32x-1 -52x+6=0

44,9x - 43x +3 =0

45,16 x -174 x +16 =0

46. ​​​​25x - 65x + 5 = 0

47.64x-8x-56=0

48. 84x - 62x + 1 = 0

50. 13 2 x +1 - 13 x - 12 = 0

Yo. (USE) Indique a qué intervalo pertenece la raíz de la ecuación:

1. 3 4 x +5 = 81

1) (-1;0] 2) (0;3] 3) (3;4] 4) (4;+∞]

2,45 x -8 = 64

1) (-∞; -3] 2) (-3; -2] 3) (-2;0] 4) (0; 3]

3.6 3 x +5 = 36

1) (-∞;-8] 2) (-8;0] 3) (0;20) 4) 4) (1;3)

6.6 10 x -1 = 36

1) (-4;-1) 2) [-1;0) 3) (0;1) 4) 2) (0;1) 3) 4)

1) [-1;1] 2) (1;2) 3)

10,5 2 x +1 = 125

1) [-2;0] 2) (0;2) 3) 4)

11,25 x +1 = 4

1) [-4;-2] 2) [-2;-1] 3) [-1;1] 4)

1) [-6;-4] 2) [-4;-3] 3) [-3;1] 4)

13.6 2 x +2 = 216

1) 2) 3) [-2;0] 4)

14,72 x +2 = 343

1) [-4;-3] 2) [-3;-2] 3) [-2;0] 4)

15. 3 3 x +3 = 9

1) [-1;1] 2) 3) 4)

16.2 3 x +1 = 8

1) [-6;-4] 2) [-4;-2] 3) [-2;2] 4)

1) [-7;-5] 2) [-5;-3] 3) [-3;0] 4)

18. 0.1 2x = 100 3x +1

1) [-] 2) [; 1] 3) (-1;-0.5) 4) (0.5;1)

19. 0,2 x -0,5 = 0,04 x -1

1) [-1] 2) 3) (-1;0) 4) (1.5; 3)

20.008 x = 5 1-2 x

1) [-1; 1.5] 2) 3) (-1; -0.5) 4) (0.5;1)

tercero Encuentra la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

1) 10 2) 4 3) 8 4) 0.04

1) 10 2) 13 3) 37 4) 0.25

1) 0 2) 2 3) 1 4) 0.25

1) 26 2) 25 3) 17 4) 13

1) 9 2) 0 3) 4 4)

1) 9 2) 1 3) 8 4)

respuestas

I.resolver ecuaciones

Yo. (USE) Indique a qué intervalo pertenece la raíz de la ecuación

tercero. Encuentra la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación

Ejemplos adicionales:

1. 4 3-2x = 4 2-x

2. 2 5 x +1 = 4 2 x

3,5 3 = 25 x +0,5

8,5 x -4 = 25 2

11,4 x +2 x -24 = 0

12. 9 x - 4 * 3 x - 45 = 0

13. 4x - 3 * 2x = 40

14. 2 4 x - 50 * 2 2 x \u003d 896

15. 7 2 x - 6 * 7 x - 7 = 0

16. 9 x - 8 * 3 x - 9 = 0

17. 16 x + 4 * 4 x - 5 = 0

18. 4x -9 * 2x + 8 = 0

19. 36 x - 4 * 6 x - 12 = 0

20. 64 x - 8 x - 56 = 0

21. 7x+2 + 4 * 7x+1 = 539

22. 2x +1 + 3 * 2x -1 - 5 * 2x + 6 = 0

23. 7x + 7x +2 = 350

24. 7 * 5 x - 5 x +1 = 2 * 5 3

25. 3 x +2 + 4 * 3 x +1 = 21

26,5 1+2x+5 2x+3 = 650

27. 6x+1+35 * 6x-1 = 71

28. 4x +1 +4x = 320

29. 3x+1 - 2 * 3x-2 = 25

30. 2 3 x +2 - 2 3 x -2 = 30

33.4 x = 5 - x

35. 2-3 x = 2x - 3

36. 3 * 2 2 x + 6 x -2 * 3 2 x = 0

37. 2 * 2 2 x - 5 * 2 x * 3 x + 3 * 3 2 x \u003d 0

38. 3 * 16x + 2 * 81x = 5 * 36x

39. 3 * 4 2 x - 4 x * 9 x + 2 * 9 2 x = 0

40. 6 * 4 x - 13 * 6 x + 6 * 9 x = 0

41. 3 * 2 2 x + * 9 x +1 - 6 * 4 x +1 = - * 9 x +2

42. 4x + 3x -1 = 4x -1 + 3x +2

44. 7 x -5 * - 49 * + 3 * 7 x -5 = 147

45. 3 * 2x +1 +2 * 5x -2 = 5x + 2x -2

47. 0.125 * 2 -4x-16 \u003d

51. (0,2) x + 0,5 = (0,04) x

53. 32 (x + 8) (x-4) \u003d 0.25 *

54. 5x+1 = 5x-1

55. 7 x + 1 - 7 x + 2 * 7 x-1 - 14 * 7 x-2 \u003d 48

56. 3 2x-1 - 9x + = 675

57. 5 2x-1 + 5x + 1 = 250

58. – 5 * + 4 = 0

59. 2 2+x + 2 2-x = 17

60. 2 x + 1 * 5 x \u003d 10 x + 1 * 5 x + 2

61. 2x * 5x-1 = 200

64. 7 x + 1 + 3 * 7 x \u003d 3 x + 2 + 3 x

65. 9x - 5x - 3 2x * 15 + 5x + 1 * 3 = 0

66. 25 x - 7 x - 7 * 5 2x + 1 + 5 * 7 x + 1 \u003d 0

67. 9 x + 6 x - 2 * 4 x \u003d 0

68. 4 * 2 2x - 6x \u003d 18 * 9x

69. 4 x \u003d 2 * 10 x + 3 * 25 x

70. 64 * 9 -x - 84 * 12 -x + 27 * 16 -x \u003d 0

72. 8x + 8 = 3 * 4x + 3 * 2x + 1

73. 3 -12x-1 - 9 -6x-1 - 27 -4x-1 + 81 1-3x \u003d 2192

Conclusión

Resumiendo, se pueden sacar las siguientes conclusiones:

1, Las ecuaciones exponenciales son de interés para los estudiantes. Al resolver ecuaciones exponenciales se desarrollan habilidades de sistematización, pensamiento lógico al elegir el método de solución correcto, mejora la creatividad y capacidad mental.

2. Para cada tipo de ecuaciones, pueden surgir dificultades para determinar el método de solución.

En el curso de álgebra y el comienzo del análisis, las ecuaciones exponenciales a menudo se encuentran en las tareas de USE. En las lecciones, se dedica poco tiempo a estudiar este tema, no todos los métodos para resolver ecuaciones exponenciales se muestran en los libros de texto, se dan pocos ejemplos para la solución independiente. Por lo tanto, este manual ayudará a los estudiantes a profundizar en la solución, asimilar el material del programa de este tema para aprobar con éxito el examen escrito del curso. Escuela secundaria, así como para aquellos que deseen realizar el examen.

Literatura

Matemáticas en tablas y diagramas. Para escolares y principiantes. San Petersburgo, Victoria Plus LLC, 2004, 224 p.

Matemáticas. Control medir materiales examen estatal unificado en 2004. M .: Centro de Pruebas del Ministerio de Educación de Rusia, 2004.

El sistema de ejercicios y tareas de entrenamiento en matemáticas / A.Ya. Simonov, D. S. Bakaev, A.G. Epelman y otros - M .: Educación, 1991. -208 p.

Preparándose para el examen estatal unificado. Matemáticas / J1.0. Denishcheva, E. M. Boychenko, Yu.A. Glazkov y otros - 2ª ed., estereotipo. - M.: Avutarda, 2004, - 120 p.

Lappo L.D., Popov M.A. Matemáticas. Típico tareas de prueba: Educativo - guía práctica/ LD Lappo, MA Popov. - M.: Editorial "Examen", 2004 - 48 p.

Examen estatal unificado: matemáticas: 2004 - 2005: Control. medirá, materiales / L. O. Denishcheva, G.K. Bezrukova, E. M. Boychenko y otros; edición G. S. Kovaleva; M - en educación y ciencia Ros. Federación. Federal. servicio de supervisión en el campo de la educación y la ciencia. - M. : Educación, 2005. - 80 p.

Matemáticas. Capacitación Pruebas de USO 2004 - 2005 / T.A. Koreshkova, V. V. Miroshin, Nevada Shevelev. - M.6 Ed - en Eksmo, 2005. - 80 p. (Preparación para el examen)

a) Resuelva la ecuación: .

b) Indica las raíces de esta ecuación que pertenecen al segmento.

La solución del problema

Esta lección muestra cómo usar correctamente el reemplazo en una ecuación exponencial, cómo resolver la ecuación trigonométrica más simple y determinar sus raíces que pertenecen a un cierto intervalo. La primera parte del problema es la solución de la ecuación exponencial. Para ello se realiza una sustitución y se obtiene una ecuación racional fraccionaria cuya solución es posible de varias formas: reducción a ecuación cuadrática o selección. En este caso, ambos métodos son aceptables, ya que la ecuación no es muy complicada. Después de obtener las raíces, realizamos un reemplazo inverso y obtenemos dos ecuaciones trigonométricas simples de la forma sina=t. Las raíces de esta ecuación se encuentran mediante fórmulas estándar. Para determinar las raíces adicionales en la solución, lo más óptimo es usar un círculo unitario, con las raíces de la ecuación marcadas en él. Por lo tanto, obtenemos la solución general de la ecuación: la respuesta al punto a) del problema. Para responder el punto b), es necesario tener en cuenta correctamente la brecha y calcular las raíces. En este caso, esto es muy fácil de hacer, ya que es fácil marcar todas las raíces en el círculo unitario y encontrar su valor usando la periodicidad del seno y el coseno (no olvidemos que el período del seno y el coseno es 2π). Decisión recibida.

La solución a este problema se recomienda para estudiantes en el grado 10 cuando estudian el tema " Ecuaciones trigonométricas"("Arcsine", "Arcsine y la solución de la ecuación sina=t"); para estudiantes en los grados 11 cuando estudian el tema "Funciones exponenciales y logarítmicas" ("Función exponencial, sus propiedades. Las ecuaciones exponenciales más simples", "Ecuaciones exponenciales"). Al prepararse para el examen, se recomienda la lección al repetir los temas "Ecuaciones trigonométricas", "Funciones exponenciales y logarítmicas".

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Ecuaciones, parte $C$

Una igualdad que contiene un número desconocido, denotado por una letra, se llama ecuación. La expresión a la izquierda del signo igual se llama el lado izquierdo de la ecuación, y la expresión a la derecha se llama el lado derecho de la ecuación.

Esquema para resolver ecuaciones complejas:

1. Antes de resolver la ecuación, es necesario anotar el área de valores admisibles (ODV) para la misma.
2. Resuelve la ecuación.
3. Elija de las raíces obtenidas de la ecuación aquellas que satisfagan la ODZ.

ODZ de varias expresiones (bajo la expresión entenderemos el registro alfanumérico):

1. La expresión en el denominador no debe ser igual a cero.

$(f(x))/(g(x)); g(x)≠0$

2. La expresión raíz no debe ser negativa.

$√(g(x)); g(x) ≥ 0$.

3. La expresión radical en el denominador debe ser positiva.

$(f(x))/(√(g(x))); g(x) > 0$

4. Para el logaritmo: la expresión sublogarítmica debe ser positiva; la base debe ser positiva; la base no puede ser igual a uno.

$log_(f(x))g(x)\table\(\ g(x) > 0;\ f(x) > 0;\ f(x)≠1;$

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son ecuaciones de la forma $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$, donde $a$ es un número positivo diferente de $1$, y ecuaciones que se reducen a esta forma.

Para resolver ecuaciones logarítmicas, necesitas conocer las propiedades de los logaritmos: consideraremos todas las propiedades de los logaritmos para $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ - cualquier número real.

1. Para cualquier número real $m$ y $n$ las igualdades son verdaderas:

$log_(a)b^m=mlog_(a)b;$

$log_(a^m)b=(1)/(m)log_(a)b.$

$log_(a^n)b^m=(m)/(n)log_(a)b$

$log_(3)3^(10)=10log_(3)3=10;$

$log_(5^3)7=(1)/(3)log_(5)7;$

$log_(3^7)4^5=(5)/(7)log_(3)4;$

2. Logaritmo del producto es igual a la suma logaritmos en la misma base de cada factor.

$log_a(bc)=log_(a)b+log_(a)c$

3. El logaritmo del cociente es igual a la diferencia entre los logaritmos del numerador y denominador en la misma base

$log_(a)(b)/(c)=log_(a)b-log_(a)c$

4. Al multiplicar dos logaritmos, puedes intercambiar sus bases

$log_(a)b∙log_(c)d=log_(c)b∙log_(a)d$ si $a, b, c$ y $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_(a)b)=b^(log_(a)b)$, donde $a, b, c > 0, a≠1$

6. Fórmula para pasar a un nuevo fondo

$log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)$

7. En particular, si es necesario intercambiar la base y la expresión sublogarítmica

$registro_(a)b=(1)/(registro_(b)a)$

Hay varios tipos principales de ecuaciones logarítmicas:

Las ecuaciones logarítmicas más simples: $log_(a)x=b$. La solución de este tipo de ecuaciones se sigue de la definición del logaritmo, es decir $x=a^b$ y $x > 0$

Representemos ambos lados de la ecuación en forma de logaritmo en base $2$

$registro_(2)x=registro_(2)2^3$

Si los logaritmos son iguales en la misma base, entonces las expresiones sublogarítmicas también son iguales.

Respuesta: $x = $8

Ecuaciones de la forma: $log_(a)f(x)=log_(a)g(x)$. Porque las bases son las mismas, entonces igualamos las expresiones sublogarítmicas y tomamos en cuenta la ODZ:

$\tabla\(\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, a > 0, a≠1;$

$log_(3)(x^2-3x-5)=log_(3)(7-2x)$

Porque las bases son iguales, entonces igualamos las expresiones sublogarítmicas

Transferimos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y damos términos similares

Comprobemos las raíces encontradas según las condiciones $\table\(\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

Al sustituir en la segunda desigualdad, la raíz $x=4$ no cumple la condición, por lo tanto, es una raíz extraña

Respuesta: $x=-3$

• Método de sustitución de variables.

En este método, necesitas:

1. Escribe la ecuación ODZ.
2. De acuerdo con las propiedades de los logaritmos, asegúrese de que se obtengan los mismos logaritmos en la ecuación.
3. Reemplace $log_(a)f(x)$ con cualquier variable.
4. Resuelve la ecuación para la nueva variable.
5. Regrese al paso 3, sustituya un valor en lugar de una variable y obtenga la ecuación más simple de la forma: $log_(a)x=b$
6. Resuelve la ecuación más simple.
7. Después de encontrar las raíces ecuación logarítmica es necesario colocarlos en el ítem 1 y verificar el estado de la ODZ.

Resuelve la ecuación $log_(2)√x+2log_(√x)2-3=0$

1. Escribamos las ecuaciones ODZ:

$\table\(\ x>0,\text"porque está bajo el signo de la raíz y el logaritmo";\ √x≠1→x≠1;$

2. Hagamos logaritmos a la base $2$, para ello usaremos la regla de transición a una nueva base en el segundo término:

$registro_(2)√x+(2)/(registro_(2)√x)-3=0$

4. Obtenemos una ecuación fraccionaria - racional con respecto a la variable t

Reduzcamos todos los términos a un denominador común $t$.

$(t^2+2-3t)/(t)=0$

Una fracción es cero cuando el numerador es cero y el denominador no es cero.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Resolvemos la ecuación cuadrática resultante usando el teorema de Vieta:

6. Volvamos al paso 3, hagamos la sustitución inversa y obtengamos dos ecuaciones logarítmicas simples:

$log_(2)√x=1$, $log_(2)√x=2$

Tomamos el logaritmo de las partes derechas de las ecuaciones

$log_(2)√x=log_(2)2$, $log_(2)√x=log_(2)4$

Igualar expresiones sublogarítmicas

$√x=2$, $√x=4$

Para deshacernos de la raíz, elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Sustituyamos las raíces de la ecuación logarítmica en el punto 1 y verifiquemos la condición de la ODZ.

$\(\tabla\ 4 >0; \4≠1;$

La primera raíz satisface la ODZ.

$\(\table\ 16 >0; \16≠1;$ La segunda raíz también satisface el DDE.

Respuesta: $4; 16$

• Ecuaciones de la forma $log_(a^2)x+log_(a)x+c=0$. Tales ecuaciones se resuelven introduciendo una nueva variable y pasando a la ecuación cuadrática habitual. Después de encontrar las raíces de la ecuación, es necesario seleccionarlas teniendo en cuenta la ODZ.

Ecuaciones fraccionariamente racionales

• Si la fracción es cero, entonces el numerador es cero y el denominador no es cero.
• Si al menos una parte de una ecuación racional contiene una fracción, entonces la ecuación se llama racional fraccionario.

Para resolver una ecuación fraccionalmente racional, necesitas:

1. Encuentra los valores de la variable para la cual la ecuación no tiene sentido (ODV)
2. Encuentra el denominador común de las fracciones incluidas en la ecuación;
3. Multiplica ambos lados de la ecuación por un denominador común;
4. Resuelva la ecuación completa resultante;
5. Excluir de sus raíces aquellas que no cumplan la condición ODZ.

• Si dos fracciones están involucradas en la ecuación y los numeradores son sus expresiones iguales, entonces los denominadores se pueden igualar entre sí y la ecuación resultante se puede resolver sin prestar atención a los numeradores. PERO dada la ODZ de toda la ecuación original.

ecuaciones exponenciales

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que la incógnita está contenida en el exponente.

Al resolver ecuaciones exponenciales se utilizan las propiedades de las potencias, recordemos algunas de ellas:

1. Al multiplicar potencias con las mismas bases, la base permanece igual y se suman los exponentes.

$a^n a^m=a^(n+m)$

2. Al dividir grados con las mismas bases, la base permanece igual y los indicadores se restan

$a^n:a^m=a^(n-m)$

3. Al elevar un grado a una potencia, la base sigue siendo la misma y los exponentes se multiplican

$(a^n)^m=a^(n∙m)$

4. Al elevar un producto a una potencia, cada factor se eleva a esta potencia

$(a b)^n=a^n b^n$

5. Al elevar una fracción a una potencia, el numerador y el denominador se elevan a esta potencia

$((a)/(b))^n=(a^n)/(b^n)$

6. Al elevar cualquier base a un exponente cero, el resultado es igual a uno

7. La base en cualquier exponente negativo se puede representar como una base en el mismo exponente positivo cambiando la posición de la base en relación con la línea de la fracción.

$a^(-n)=(1)/(a^n)$

$(a^(-n))/(b^(-k))=(b^k)/(a^n)$

8. El radical (raíz) se puede representar como un grado con un exponente fraccionario

$√^n(a^k)=a^((k)/(n))$

Tipos de ecuaciones exponenciales:

1. Ecuaciones exponenciales simples:

a) La forma $a^(f(x))=a^(g(x))$, donde se desconoce $a >0, a≠1, x$. Para resolver tales ecuaciones, usamos la propiedad de las potencias: las potencias con la misma base ($a >0, a≠1$) son iguales solo cuando sus exponentes son iguales.

b) Una ecuación de la forma $a^(f(x))=b, b>0$

Para resolver tales ecuaciones, es necesario tomar ambas partes del logaritmo en la base $a$, resulta

$log_(a)a^(f(x))=log_(a)b$

2. Método de ajuste de base.

3. Método de factorización y cambio de variable.

• Para este método en toda la ecuación, por la propiedad de las potencias, es necesario transformar las potencias a una forma $a^(f(x))$.
• Cambie la variable $a^(f(x))=t, t > 0$.
• Obtenemos una ecuación racional, que debe resolverse factorizando la expresión.
• Realizamos sustituciones inversas, teniendo en cuenta que $t >

Resuelve la ecuación $2^(3x)-7 2^(2x-1)+7 2^(x-1)-1=0$

Por la propiedad de los grados, transformamos la expresión para que se obtenga el grado 2^x.

$(2^x)^3-(7 (2^x)^2)/(2)+(7 2^x)/(2-1)=0$

Cambiemos la variable $2^x=t; t>0$

Obtenemos una ecuación cúbica de la forma

$t^3-(7 toneladas^2)/(2)+(7 toneladas)/(2)-1=0$

Multiplica toda la ecuación por $2$ para deshacerte de los denominadores

$2t^3-7t^2+7t-2=0$

Expandamos el lado izquierdo de la ecuación por el método de agrupación

$(2t^3-2)-(7t^2-7t)=0$

Sacamos el factor común $2$ del primer paréntesis, $7t$ del segundo paréntesis

$2(t^3-1)-7t(t-1)=0$

Adicionalmente, en el primer paréntesis vemos la fórmula de la diferencia de cubos

$(t-1)(2t^2+2t+2-7t)=0$

El producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero

1) $(t-1)=0;$ 2) $2t^2+2t+2-7t=0$

Resolvamos la primera ecuación.

Resolvemos la segunda ecuación a través del discriminante

$D=25-4 2 2=9=3^2$

$t_2=(5-3)/(4)=(1)/(2)$

$t_3=(5+3)/(4)=2$

$2^x=1; 2^x=(1)/(2); 2^x=2$

$2^x=2^0; 2^x=2^(-1); 2^x=2^1$

$x_1=0; x_2=-1; x_3=1$

Respuesta: $-1; 0; 1$

4. Método para convertir a una ecuación cuadrática

• Tenemos una ecuación de la forma $A·a^(2f(x))+В·a^(f(x))+С=0$, donde $A, B$ y $C$ son coeficientes.
• Hacemos el cambio $a^(f(x))=t, t > 0$.
• Resulta una ecuación cuadrática de la forma $A·t^2+B·t+С=0$. Resolvemos la ecuación resultante.
• Realizamos la sustitución inversa, teniendo en cuenta que $t > 0$. Obtenemos la ecuación exponencial más simple $a^(f(x))=t$, la resolvemos y escribimos el resultado como respuesta.

Métodos de factorización:

• Sacando el factor común fuera de paréntesis.

Para factorizar un polinomio sacando el factor común entre paréntesis, necesitas:

1. Determinar el factor común.
2. Divide el polinomio dado por él.
3. Escribe el producto del factor común y el cociente resultante (encerrando este cociente entre paréntesis).

Factoriza el polinomio: $10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a$.

El factor común de este polinomio es $2a$, ya que todos los términos son divisibles entre $2$ y "a". A continuación, encontramos el cociente de dividir el polinomio original por "2a", obtenemos:

$10a^(3)b-8a^(2)b^2+2a=2a((10a^(3)b)/(2a)-(8a^(2)b^2)/(2a)+( 2a)/(2a))=2a(5a^(2)b-4ab^2+1)$

Este es el resultado final de la factorización.

Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviada

1. El cuadrado de la suma se descompone en el cuadrado del primer número más el doble del producto del primer número por el segundo número y más el cuadrado del segundo número.

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

2. El cuadrado de la diferencia se descompone en el cuadrado del primer número menos el doble del producto del primer número por el segundo y más el cuadrado del segundo número.

$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

3. La diferencia de cuadrados se descompone en el producto de la diferencia de números y su suma.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

4. El cubo de la suma es igual al cubo del primer número más tres veces el cuadrado del primero y el segundo número más tres veces el producto del primero y el cuadrado del segundo número más el cubo del segundo número .

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

5. El cubo de la diferencia es igual al cubo del primer número menos tres veces el producto del cuadrado del primero y el segundo número, más tres veces el producto del primero y el cuadrado del segundo número, y menos el cubo del segundo numero

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

6. La suma de cubos es igual al producto de la suma de números y el cuadrado incompleto de la diferencia.

$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

7. La diferencia de cubos es igual al producto de la diferencia de números por el cuadrado incompleto de la suma.

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

método de agrupación

El método de agrupación es conveniente cuando es necesario factorizar un polinomio con un número par de términos. EN este método hay que juntar los términos por grupos y sacar el factor común del paréntesis de cada grupo. Varios grupos, después de ser colocados entre paréntesis, deben obtener las mismas expresiones, luego tomamos este paréntesis como un factor común y lo multiplicamos por el paréntesis del cociente resultante.

Factoriza el polinomio $2a^3-a^2+4a-2$

Para expandir este polinomio usamos el método de agrupación sumando, para ello agrupamos los dos primeros y los dos últimos términos, si bien es importante poner correctamente el signo delante de la segunda agrupación, ponemos el signo + y por lo tanto escribimos el términos con sus signos entre paréntesis.

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

Después de sacar los factores comunes, obtuvimos un par de paréntesis idénticos. Ahora sacamos este paréntesis como factor común.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

El producto de estos corchetes es el resultado final de la factorización.

Usando la fórmula de un trinomio cuadrado.

Si hay un trinomio cuadrado de la forma $ax^2+bx+c$, entonces se puede expandir con la fórmula

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, donde $x_1$ y $x_2$ son las raíces de un trinomio cuadrado