Nivel promedio

Círculo y ángulo inscrito. guía visual (2019)

Términos básicos.

¿Qué tan bien recuerdas todos los nombres asociados con el círculo? Por si acaso, recordamos: mire las imágenes, actualice sus conocimientos.

En primer lugar - El centro de un círculo es un punto desde el cual todos los puntos del círculo están a la misma distancia.

En segundo lugar - radio - un segmento de línea que conecta el centro y un punto en el círculo.

Hay muchos radios (tantos como puntos en un círculo), pero todos los radios tienen la misma longitud.

A veces para abreviar radio Ellos lo llaman longitud del segmento"el centro es un punto en el círculo", y no el segmento en sí.

Y esto es lo que sucede si conectas dos puntos en un circulo? ¿También un corte?

Entonces, este segmento se llama "acorde".

Al igual que en el caso del radio, el diámetro a menudo se llama la longitud de un segmento que conecta dos puntos en un círculo y pasa por el centro. Por cierto, ¿cómo se relacionan el diámetro y el radio? Mira de cerca. Por supuesto, el radio es la mitad del diámetro.

Además de los acordes, también hay secante.

¿Recuerdas la más sencilla?

El ángulo central es el ángulo entre dos radios.

Y ahora el ángulo inscrito

Un ángulo inscrito es el ángulo entre dos cuerdas que se cortan en un punto de un círculo.

En este caso, dicen que el ángulo inscrito se basa en un arco (o en una cuerda).

Mira la imagen:

Medición de arcos y ángulos.

Circunferencia. Los arcos y ángulos se miden en grados y radianes. Primero, sobre los grados. No hay problemas con los ángulos: debe aprender a medir el arco en grados.

La medida en grados (magnitud del arco) es el valor (en grados) de la correspondiente esquina central

¿Qué significa aquí la palabra "correspondiente"? Miremos detenidamente:

¿Ves los dos arcos y los dos ángulos centrales? Bueno, un arco más grande corresponde a un ángulo más grande (y está bien que sea más grande), y un arco más pequeño corresponde a un ángulo más pequeño.

Entonces, acordamos: el arco contiene el mismo número de grados que el ángulo central correspondiente.

¡Y ahora sobre lo terrible, sobre los radianes!

¿Qué clase de animal es este "radian"?

Imagina esto: los radianes son una forma de medir un ángulo... ¡en radios!

Un ángulo en radianes es un ángulo central cuya longitud de arco es igual al radio del círculo.

Entonces surge la pregunta: ¿cuántos radianes hay en un ángulo recto?

En otras palabras: ¿cuántos radios "caben" en medio círculo? O de otra manera: ¿cuántas veces la longitud de la mitad de un círculo es mayor que el radio?

Esta pregunta fue hecha por científicos en la antigua Grecia.

Y así, después de una larga búsqueda, encontraron que la relación entre la circunferencia y el radio no quiere expresarse en números "humanos", como, etc.

Y ni siquiera es posible expresar esta actitud a través de las raíces. Es decir, ¡resulta que no se puede decir que la mitad del círculo es el doble o el doble del radio! ¡¿Te imaginas lo increíble que fue descubrir personas por primera vez?! Para la relación entre la longitud de un semicírculo y el radio, los números "normales" fueron suficientes. Tuve que ingresar una letra.

Entonces, es un número que expresa la relación entre la longitud de un semicírculo y el radio.

Ahora podemos responder a la pregunta: ¿cuántos radianes hay en un ángulo recto? Tiene un radian. Precisamente porque la mitad del círculo es el doble del radio.

Gente antigua (y no tan) a través de las edades (!) intentaron calcular este número misterioso con mayor precisión, para expresarlo mejor (al menos aproximadamente) a través de números "ordinarios". Y ahora somos increíblemente perezosos: dos señales después de ocupado son suficientes para nosotros, estamos acostumbrados a

Piénselo, esto significa, por ejemplo, que y de un círculo con un radio de uno tiene aproximadamente la misma longitud, y es simplemente imposible escribir esta longitud con un número "humano": necesita una letra. Y entonces esta circunferencia será igual. Y por supuesto, la circunferencia del radio es igual.

Volvamos a los radianes.

Ya hemos descubierto que un ángulo recto contiene un radián.

Que tenemos:

Que alegría, que alegría. De la misma forma se obtiene una placa con los ángulos más populares.

La relación entre los valores de los ángulos inscritos y centrales.

Hay un hecho sorprendente:

El valor del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente.

Vea cómo se ve esta declaración en la imagen. Un ángulo central "correspondiente" es aquel en el que los extremos coinciden con los extremos del ángulo inscrito y el vértice está en el centro. Y al mismo tiempo, el ángulo central "correspondiente" debe "mirar" a la misma cuerda () que el ángulo inscrito.

¿Porque? Echemos un vistazo primero a caso sencillo. Deja que una de las cuerdas pase por el centro. Después de todo, eso sucede a veces, ¿verdad?

¿Qué pasa aquí? Considerar. Es isósceles, después de todo, y son radios. Entonces, (los denotó).

Ahora echemos un vistazo. Esta es la esquina exterior! Recordamos que un ángulo exterior es igual a la suma de dos interiores no adyacentes a él, y escribimos:

¡Eso es! Un efecto inesperado. Pero también hay un ángulo central para el inscrito.

Entonces, para este caso, demostramos que el ángulo central es el doble del ángulo inscrito. Pero duele caso especial: ¿es cierto que la cuerda no siempre pasa directamente por el centro? Pero nada, ahora este caso especial nos va a ayudar mucho. Ver: segundo caso: dejar que el centro esté dentro.

Hagamos esto: dibuja un diámetro. Y luego… vemos dos cuadros que ya han sido analizados en el primer caso. Por lo tanto, ya tenemos

Entonces (en el dibujo, a)

Bueno, queda el último caso: el centro está fuera de la esquina.

Hacemos lo mismo: dibujamos un diámetro a través de un punto. Todo es lo mismo, pero en lugar de la suma, la diferencia.

¡Eso es todo!

Formemos ahora dos consecuencias principales y muy importantes del enunciado de que el ángulo inscrito es la mitad del central.

Corolario 1

Todos los ángulos inscritos que cortan el mismo arco son iguales.

Ilustramos:

Hay innumerables ángulos inscritos basados ​​en un mismo arco (tenemos este arco), pueden verse completamente diferentes, pero todos tienen el mismo ángulo central (), lo que significa que todos estos ángulos inscritos son iguales entre sí.

consecuencia 2

El ángulo basado en el diámetro es un ángulo recto.

Mira: ¿qué esquina es central?

Ciertamente, . ¡Pero él es igual! Bueno, es por eso (así como por muchos ángulos inscritos basados ​​en) y es igual a.

Ángulo entre dos cuerdas y secantes

Pero, ¿y si el ángulo que nos interesa NO está inscrito y NO es central, sino, por ejemplo, así:

¿o así?

¿Es posible expresarlo de alguna manera a través de algunos ángulos centrales? Resulta que puedes. Mira, estamos interesados.

a) (como esquina exterior para). Pero - inscrito, basado en el arco - . - inscrito, basado en el arco - .

De la belleza dicen:

El ángulo entre cuerdas es igual a la mitad de la suma de los valores angulares de los arcos incluidos en este ángulo.

Esto está escrito para ser breve, pero por supuesto, al usar esta fórmula, debes tener en cuenta los ángulos centrales.

b) ¡Y ahora - "afuera"! ¿Cómo ser? ¡Sí, casi lo mismo! Solo ahora (nuevamente aplique la propiedad de la esquina exterior a). Eso es ahora.

Y eso significa . Aportemos belleza y brevedad en los registros y formulaciones:

El ángulo entre las secantes es igual a la mitad de la diferencia de los valores angulares de los arcos encerrados en este ángulo.

Bueno, ahora estás armado con todo el conocimiento básico sobre los ángulos asociados con un círculo. ¡Adelante, al asalto de las tareas!

CÍRCULO Y ÁNGULO INCORPORADO. NIVEL PROMEDIO

Qué es un círculo, hasta un niño de cinco años lo sabe, ¿verdad? Los matemáticos, como siempre, tienen una definición abstrusa sobre este tema, pero no la vamos a dar (ver), sino recordar cómo se llaman los puntos, rectas y ángulos asociados a una circunferencia.

Términos importantes

En primer lugar:

En segundo lugar:

Aquí hay otra expresión aceptada: "la cuerda contrae el arco". Aquí, aquí en la figura, por ejemplo, una cuerda contrae un arco. Y si la cuerda pasa repentinamente por el centro, entonces tiene un nombre especial: "diámetro".

Por cierto, ¿cómo se relacionan el diámetro y el radio? Mira de cerca. Por supuesto,

Y ahora, los nombres de las esquinas.

Naturalmente, ¿no? Los lados de la esquina salen del centro, lo que significa que la esquina es central.

Aquí es donde a veces surgen las dificultades. Prestar atención - NO CUALQUIER ángulo dentro de un círculo es un inscrito, pero solo uno cuyo vértice "se asiente" en el círculo mismo.

Veamos la diferencia en las imágenes:

También dicen de otra manera:

Hay un punto complicado aquí. ¿Qué es un ángulo central “correspondiente” o “propio”? ¿Solo un ángulo con vértice en el centro del círculo y termina en los extremos del arco? No ciertamente de esa manera. Mira la foto.

Uno de ellos, sin embargo, ni siquiera parece una esquina, es más grande. Pero en un triángulo no puede haber más ángulos, pero en un círculo, ¡bien puede! Entonces: un arco AB más pequeño corresponde a un ángulo más pequeño (naranja), y uno más grande a uno más grande. Al igual que, ¿no es así?

Relación entre ángulos inscritos y centrales

Recuerde una declaración muy importante:

En los libros de texto, les gusta escribir el mismo hecho así:

Es cierto, con un ángulo central, ¿la formulación es más simple?

Pero aún así, encontremos una correspondencia entre las dos formulaciones y, al mismo tiempo, aprendamos cómo encontrar el ángulo central "correspondiente" y el arco en el que el ángulo inscrito "se apoya" en las figuras.

Mira, aquí hay un círculo y un ángulo inscrito:

¿Dónde está su ángulo central "correspondiente"?

Miremos de nuevo:

¿Cuál es la regla?

¡Pero! En este caso, es importante que los ángulos inscritos y centrales "se vean" en el mismo lado del arco. Por ejemplo:

Curiosamente, ¡azul! ¡Porque el arco es largo, más largo que la mitad del círculo! ¡Así que nunca te confundas!

¿Qué consecuencia se puede deducir de la "mitad" del ángulo inscrito?

Y aquí, por ejemplo:

Ángulo basado en el diámetro

Ya habrás notado que a los matemáticos les gusta mucho hablar de lo mismo. Diferentes palabras? ¿Por qué es para ellos? Verás, el lenguaje de las matemáticas, aunque formal, está vivo, y por lo tanto, como en lenguaje ordinario, cada vez quiero decir la forma en que es más conveniente. Bueno, ya hemos visto lo que es “el ángulo descansa sobre el arco”. E imagina, la misma imagen se llama "el ángulo descansa sobre la cuerda". ¿En que? ¡Sí, por supuesto, en el que tira de este arco!

¿Cuándo es más conveniente confiar en una cuerda que en un arco?

Bueno, en particular, cuando esta cuerda es un diámetro.

¡Hay una declaración asombrosamente simple, hermosa y útil para tal situación!

Mira: aquí hay un círculo, un diámetro y un ángulo que descansa sobre él.

CÍRCULO Y ÁNGULO INCORPORADO. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

1. Conceptos básicos.

3. Medidas de arcos y ángulos.

Un ángulo en radianes es un ángulo central cuya longitud de arco es igual al radio del círculo.

Este es un número que expresa la relación entre la longitud de un semicírculo y el radio.

La circunferencia del radio es igual a.

4. La relación entre los valores de los ángulos inscritos y centrales.

Concepto de ángulo inscrito y central

Primero introduzcamos el concepto de un ángulo central.

Observación 1

Tenga en cuenta que la medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados del arco que intercepta.

Introducimos ahora el concepto de ángulo inscrito.

Definición 2

Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados intersecan el mismo círculo se llama ángulo inscrito (Fig. 2).

Figura 2. Ángulo inscrito

Teorema del ángulo inscrito

Teorema 1

La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del arco que intercepta.

Prueba.

Sea una circunferencia con centro en el punto $O$. Denote el ángulo inscrito $ACB$ (Fig. 2). Son posibles los siguientes tres casos:

• El rayo $CO$ coincide con algún lado del ángulo. Sea este el lado $CB$ (Fig. 3).

figura 3

En este caso el arco $AB$ es menor que $(180)^(()^\circ )$, por lo que el ángulo central $AOB$ es igual al arco $AB$. Como $AO=OC=r$, el triángulo $AOC$ es isósceles. Por lo tanto, los ángulos de la base $CAO$ y $ACO$ son iguales. Según el teorema del ángulo exterior de un triángulo, tenemos:

• Viga $CO$ divide Esquina interior a dos esquinas. Deja que corte el círculo en el punto $D$ (Fig. 4).

Figura 4

Obtenemos

• El rayo $CO$ no divide un ángulo interior en dos ángulos y no coincide con ninguno de sus lados (Fig. 5).

Figura 5

Considere por separado los ángulos $ACD$ y $DCB$. Por lo demostrado en el punto 1, obtenemos

Obtenemos

El teorema ha sido probado.

vamos a traer consecuencias de este teorema.

Corolario 1: Los ángulos inscritos que cortan el mismo arco son iguales.

Corolario 2: Un ángulo inscrito que intercepta un diámetro es un ángulo recto.

Ángulo inscrito, teoría del problema. ¡Amigos! En este artículo hablaremos sobre tareas, para cuya solución es necesario conocer las propiedades de un ángulo inscrito. Este es un grupo completo de tareas, están incluidas en el examen. La mayoría de ellos se resuelven de forma muy sencilla, en un solo paso.

Hay tareas más difíciles, pero no te presentarán mucha dificultad, necesitas conocer las propiedades del ángulo inscrito. Poco a poco iremos analizando todos los prototipos de tareas, ¡los invito al blog!

Ahora la teoría necesaria. Recuerde qué ángulo central e inscrito, cuerda, arco, en el que se basan estos ángulos:

El ángulo central en un círculo se llama ángulo plano conpináculo en su centro.

La parte de un círculo que está dentro de una esquina planallamado arco de un círculo.

La medida en grados de un arco de círculo es la medida en gradosángulo central correspondiente.

Se dice que un ángulo está inscrito en una circunferencia si el vértice del ángulo se encuentraen un círculo, y los lados del ángulo intersecan este círculo.

Un segmento de línea que conecta dos puntos en un círculo se llamaacorde. La cuerda más larga pasa por el centro del círculo y se llamadiámetro.

Para resolver problemas de ángulos inscritos en un círculo,necesitas conocer las siguientes propiedades:

1. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central basado en el mismo arco.

2. Todos los ángulos inscritos basados ​​en el mismo arco son iguales.

3. Todos los ángulos inscritos basados ​​en la misma cuerda, cuyos vértices están en el mismo lado de esta cuerda, son iguales.

4. Cualquier par de ángulos basados ​​en la misma cuerda, cuyos vértices se encuentran en lados opuestos de la cuerda, suman 180°.

Corolario: Los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en un círculo suman 180 grados.

5. Todos los ángulos inscritos basados ​​en el diámetro son rectos.

En general, esta propiedad es una consecuencia de la propiedad (1), este es su caso especial. Mira, el ángulo central es igual a 180 grados (y este ángulo desarrollado no es más que un diámetro), lo que significa que según la primera propiedad, el ángulo C inscrito es igual a su mitad, es decir, 90 grados.

El conocimiento de esta propiedad ayuda a resolver muchos problemas y, a menudo, le permite evitar cálculos innecesarios. Habiéndolo dominado bien, serás capaz de resolver oralmente más de la mitad de este tipo de problemas. Dos consecuencias que se pueden sacar:

Corolario 1: si un triángulo está inscrito en una circunferencia y uno de sus lados coincide con el diámetro de esta circunferencia, entonces el triángulo es rectángulo (vértice ángulo recto se encuentra en el círculo).

Corolario 2: el centro de lo descrito sobre triángulo rectángulo círculo coincide con el punto medio de su hipotenusa.

Muchos prototipos de problemas estereométricos también se resuelven usando esta propiedad y estos corolarios. Recuerda el hecho en sí: si el diámetro de un círculo es un lado de un triángulo inscrito, entonces este triángulo tiene un ángulo recto (el ángulo opuesto al diámetro es de 90 grados). Puede sacar todas las demás conclusiones y consecuencias usted mismo, no necesita enseñarlas.

Por regla general, la mitad de los problemas de un ángulo inscrito se dan con un croquis, pero sin notación. Para comprender el proceso de razonamiento al resolver problemas (a continuación en el artículo), se introducen las designaciones de vértices (esquinas). En el examen, no se puede hacer esto.Considere las tareas:

¿Qué es un ángulo agudo inscrito que corta a una cuerda igual al radio del círculo? Da tu respuesta en grados.

Construyamos un ángulo central para un ángulo inscrito dado, denotemos los vértices:

Según la propiedad de un ángulo inscrito en una circunferencia:

El ángulo AOB es igual a 60 0, ya que el triángulo AOB es equilátero, y en un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales a 60 0 . Los lados del triángulo son iguales, ya que la condición dice que la cuerda es igual al radio.

Así, el ángulo inscrito DIA es 30 0 .

Respuesta: 30

Encuentre la cuerda sobre la que descansa el ángulo 30 0, inscrito en un círculo de radio 3.

Este es esencialmente el problema inverso (del anterior). Construyamos una esquina central.

Es el doble del inscrito, es decir, el ángulo AOB es 60 0 . De esto podemos concluir que el triángulo AOB es equilátero. Así, la cuerda es igual al radio, es decir, tres.

Respuesta: 3

El radio del círculo es 1. Encuentra el valor de un ángulo inscrito obtuso basado en una cuerda igual a la raíz de dos. Da tu respuesta en grados.

Construyamos el ángulo central:

Conociendo el radio y la cuerda, podemos encontrar el ángulo central DIA. Esto se puede hacer usando la ley de los cosenos. Conociendo el ángulo central, podemos encontrar fácilmente el ángulo inscrito ACB.

Teorema del coseno: el cuadrado de cualquier lado de un triangulo es igual a la suma cuadrados de los otros dos lados, sin duplicar el producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

Por lo tanto, el segundo ángulo central es 360 0 – 90 0 = 270 0 .

Según la propiedad de un ángulo inscrito, el ángulo DIA es igual a su mitad, es decir, 135 grados.

Respuesta: 135

Encuentre la cuerda en la que el ángulo de 120 grados, la raíz de tres, está inscrito en un círculo de radio.

Conecta los puntos A y B con el centro del círculo. Llamémoslo O:

Conocemos el radio y el ángulo inscrito DIA. Podemos encontrar el ángulo central AOB (mayor de 180 grados), luego encontrar el ángulo AOB en el triángulo AOB. Y luego, usando el teorema del coseno, calcula AB.

Por la propiedad de un ángulo inscrito, el ángulo central AOB (que es mayor de 180 grados) será igual al doble del ángulo inscrito, es decir, 240 grados. Esto significa que el ángulo AOB en el triángulo AOB es 360 0 - 240 0 = 120 0 .

Según la ley de los cosenos:

Respuesta:3

Encuentra el ángulo inscrito basado en el arco que es el 20% del círculo. Da tu respuesta en grados.

Por la propiedad de un ángulo inscrito, es la mitad del ángulo central con base en el mismo arco, en este caso estamos hablando del arco AB.

Se dice que el arco AB es el 20 por ciento de la circunferencia. Esto significa que el ángulo central AOB también es el 20 por ciento de 360 ​​0 .* Un círculo es un ángulo de 360 ​​grados. Medio,

Por lo tanto, el ángulo inscrito ACB es de 36 grados.

Respuesta: 36

arco de círculo C.A., que no contiene puntos B, es de 200 grados. Y el arco del círculo BC, que no contiene puntos A, es de 80 grados. Encuentre el ángulo inscrito ACB. Da tu respuesta en grados.

Denotemos para mayor claridad los arcos cuyas medidas angulares se dan. Arco correspondiente a 200 grados - Color azul, el arco correspondiente a 80 grados es rojo, el resto del círculo es amarillo.

Así, la medida en grados del arco AB (amarillo), y por lo tanto del ángulo central AOB es: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

El ángulo inscrito DAB es la mitad del ángulo central AOB, es decir, igual a 40 grados.

Respuesta: 40

¿Cuál es el ángulo inscrito basado en el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.

En este artículo te diré cómo resolver problemas que usan .

Primero, como de costumbre, recordamos las definiciones y los teoremas que necesita saber para resolver con éxito problemas en .

1.ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice se encuentra en el círculo y cuyos lados intersecan el círculo:

2.esquina central es el ángulo cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia:

Magnitud en grados del arco de un círculo medido por el valor del ángulo central sobre el que descansa.

En este caso, el valor en grados del arco AC es igual al valor del ángulo AOC.

3. Si los ángulos inscrito y central se basan en el mismo arco, entonces el angulo inscrito es el doble del angulo central:

4. Todos los ángulos inscritos que se apoyan en un arco son iguales entre sí:

5. El ángulo inscrito en base al diámetro es de 90°:

Resolveremos varios problemas.

1 . Tarea B7 (#27887)

Encontremos el valor del ángulo central, que se basa en el mismo arco:

Obviamente, el valor del ángulo AOC es de 90°, por lo tanto, el ángulo ABC es de 45°

Respuesta: 45°

2. Tarea B7 (No. 27888)

Encuentra el ángulo ABC. Da tu respuesta en grados.

Obviamente, el ángulo AOC mide 270°, luego el ángulo ABC mide 135°.

Respuesta: 135°

3 . Tarea B7 (#27890)

Encuentre el valor en grados del arco AC del círculo sobre el cual descansa el ángulo ABC. Da tu respuesta en grados.

Encontremos el valor del ángulo central, que se basa en el arco AC:

El valor del ángulo AOC es 45°, por lo tanto, la medida en grados del arco AC es 45°.

Respuesta: 45°.

4 . Tarea B7 (#27885)

Encuentre el ángulo ACB si los ángulos inscritos ADB y DAE se basan en arcos de círculo, cuyos valores en grados son, respectivamente, y . Da tu respuesta en grados.

El ángulo ADB descansa sobre el arco AB, por lo tanto, el valor del ángulo central AOB es 118°, por lo tanto, el ángulo BDA es 59°, y el ángulo adyacente ADC es 180°-59°=121°

De manera similar, el ángulo DOE es de 38° y el correspondiente ángulo inscrito DAE es de 19°.

Considere el triángulo ADC:

La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

El valor del ángulo ASV es 180°- (121°+19°)=40°

Respuesta: 40°

5 . Tarea B7 (#27872)

Los lados del cuadrilátero ABCD AB, BC, CD y AD subtienden los arcos de la circunferencia circunscrita, cuyos valores de grado son , , y , respectivamente. Encuentra el ángulo B de este cuadrilátero. Da tu respuesta en grados.

El ángulo B descansa sobre el arco ADC, cuyo valor es igual a la suma de los valores de los arcos AD y CD, es decir, 71°+145°=216°

El ángulo inscrito B es igual a la mitad del valor del arco ADC, es decir, 108°

Respuesta: 108°

6. Tarea B7 (#27873)

Los puntos A, B, C, D, ubicados en un círculo, dividen este círculo en cuatro arcos AB, BC, CD y AD, cuyos valores de grado están relacionados respectivamente como 4:2:3:6. Encuentra el ángulo A del cuadrilátero ABCD. Da tu respuesta en grados.

(ver el dibujo de la tarea anterior)

Como hemos dado la razón de las magnitudes de los arcos, introducimos el elemento unidad x. Entonces la magnitud de cada arco se expresará de la siguiente manera:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Todos los arcos forman un círculo, es decir, su suma es 360°.

4x+2x+3x+6x=360°, por lo tanto x=24°.

El ángulo A descansa sobre los arcos BC y CD, que en total tienen un valor de 5x=120°.

Por lo tanto, el ángulo A es de 60°

Respuesta: 60°

7. Tarea B7 (#27874)

cuadrilátero A B C D inscrito en un círculo. Esquina A B C es igual, ángulo CANALLA

El ángulo ABC es un ángulo inscrito. Descansa sobre el arco AC, encerrado entre sus lados (Fig. 330).

Teorema. Un ángulo inscrito se mide por la mitad del arco que intercepta.

Esto debe entenderse como sigue: un ángulo inscrito contiene tantos grados angulares, minutos y segundos como grados, minutos y segundos de arco están contenidos en la mitad del arco sobre el que descansa.

Para probar este teorema, necesitamos considerar tres casos.

Primer caso. El centro del círculo se encuentra en el lado del ángulo inscrito (Fig. 331).

Sea ∠ABC un ángulo inscrito y el centro del círculo O se encuentra en el lado BC. Se requiere probar que se mide por la mitad del arco AC.

Conecta el punto A al centro del círculo. Obtenemos el \(\Delta\)AOB isósceles, en el que AO = OB, como los radios del mismo círculo. Por lo tanto, ∠A = ∠B.

∠AOC es externo al triángulo AOB, entonces ∠AOC = ∠A + ∠B, y dado que los ángulos A y B son iguales, ∠B es 1/2 ∠AOC.

Pero ∠AOC se mide por el arco AC, por lo tanto, ∠B se mide por la mitad del arco AC.

Por ejemplo, si \(\breve(AC)\) contiene 60°18', entonces ∠B contiene 30°9'.

Segundo caso. El centro del círculo se encuentra entre los lados del ángulo inscrito (Fig. 332).

Sea ∠ABD un ángulo inscrito. El centro del círculo O se encuentra entre sus lados. Se requiere demostrar que ∠ABD se mide por la mitad del arco AD.

Para probar esto, dibujemos el diámetro BC. El ángulo ABD se divide en dos ángulos: ∠1 y ∠2.

∠1 se mide por la mitad del arco AC, y ∠2 se mide por la mitad del arco CD, por lo tanto, todo el ∠ABD se mide por 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \( \breve(CD)\), es decir, la mitad del arco AD.

Por ejemplo, si \(\breve(AD)\) contiene 124°, entonces ∠B contiene 62°.

Tercer caso. El centro del círculo se encuentra fuera del ángulo inscrito (Fig. 333).

Sea ∠MAD un ángulo inscrito. El centro del círculo O está fuera de la esquina. Se requiere demostrar que ∠MAD se mide por la mitad del arco MD.

Para probar esto, dibujemos el diámetro AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Pero ∠MAB mide 1/2 \(\breve(MB)\) y ∠DAB mide 1/2 \(\breve(DB)\).

Por lo tanto, ∠MAD mide 1 / 2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), es decir, 1 / 2 \(\breve(MD)\).

Por ejemplo, si \(\breve(MD)\) contiene 48° 38", entonces ∠MAD contiene 24° 19' 8".

Consecuencias
1. Todos los ángulos inscritos basados ​​en el mismo arco son iguales entre sí, ya que se miden por la mitad del mismo arco. (Fig. 334, a).

2. Un ángulo inscrito basado en un diámetro es un ángulo recto porque está basado en medio círculo. La mitad del círculo contiene 180 grados de arco, lo que significa que el ángulo basado en el diámetro contiene 90 grados angulares (Fig. 334, b).