Fórmula para encontrar un ángulo inscrito. Ángulos centrales e inscritos de un círculo.

El concepto de ángulo inscrito y central.

Primero introduzcamos el concepto de ángulo central.

Nota 1

Tenga en cuenta que La medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados del arco sobre el que descansa..

Introduzcamos ahora el concepto de ángulo inscrito.

Definición 2

Un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan el mismo círculo se llama ángulo inscrito (Fig. 2).

Figura 2. Ángulo inscrito

Teorema del ángulo inscrito

Teorema 1

La medida en grados de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida en grados del arco sobre el que descansa.

Prueba.

Se nos dará un círculo con centro en el punto $O$. Denotemos el ángulo inscrito $ACB$ (Fig. 2). Son posibles los siguientes tres casos:

• El rayo $CO$ coincide con cualquier lado del ángulo. Sea este el lado $CB$ (Fig. 3).

Figura 3.

En este caso, el arco $AB$ es menor que $(180)^(()^\circ )$, por lo tanto, ángulo central$AOB$ es igual al arco $AB$. Como $AO=OC=r$, entonces el triángulo $AOC$ es isósceles. Esto significa que los ángulos base $CAO$ y $ACO$ son iguales entre sí. Según el teorema del ángulo externo de un triángulo, tenemos:

• Haz $CO$ divide esquina interna en dos ángulos. Deje que cruce el círculo en el punto $D$ (Fig. 4).

Figura 4.

Obtenemos

• El rayo $CO$ no divide el ángulo interior en dos ángulos y no coincide con ninguno de sus lados (Fig. 5).

Figura 5.

Consideremos los ángulos $ACD$ y $DCB$ por separado. De acuerdo a lo demostrado en el punto 1, obtenemos

Obtenemos

El teorema ha sido demostrado.

vamos a dar consecuencias de este teorema.

Corolario 1: Los ángulos inscritos que descansan sobre un mismo arco son iguales entre sí.

Corolario 2: Un ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto.

Muy a menudo, el proceso de preparación para el examen de matemáticas comienza con una repetición de definiciones, fórmulas y teoremas básicos, incluido el tema "Ángulos centrales e inscritos en un círculo". Como regla general, esta sección de la planimetría se estudia en escuela secundaria. No es sorprendente que muchos estudiantes se enfrenten a la necesidad de repasar conceptos y teoremas básicos sobre el tema "Ángulo central de un círculo". Habiendo comprendido el algoritmo para resolver tales problemas, los escolares podrán contar con recibir puntuaciones competitivas basadas en los resultados de aprobar el examen estatal unificado.

¿Cómo prepararse de forma fácil y eficaz para aprobar el examen de certificación?

Al estudiar antes de aprobar el examen estatal unificado, muchos estudiantes de secundaria se enfrentan al problema de encontrar la información necesaria sobre el tema "Ángulos centrales e inscritos en un círculo". No siempre se tiene a mano un libro de texto escolar. Y buscar fórmulas en Internet a veces lleva mucho tiempo.

Nuestro equipo le ayudará a "mejorar" sus habilidades y mejorar sus conocimientos en una sección tan difícil de la geometría como la planimetría. portal educativo. "Shkolkovo" ofrece a los estudiantes de secundaria y a sus profesores una nueva forma de desarrollar el proceso de preparación para el examen estatal unificado. Todo material de base presentado por nuestros especialistas en la forma más accesible. Después de leer la información de la sección “Antecedentes teóricos”, los estudiantes aprenderán qué propiedades tiene el ángulo central de un círculo, cómo encontrar su valor, etc.

Luego, para consolidar los conocimientos adquiridos y practicar las habilidades, recomendamos realizar los ejercicios adecuados. Selección larga Las tareas para encontrar el valor de un ángulo inscrito en un círculo y otros parámetros se presentan en la sección "Catálogo". Para cada ejercicio, nuestros expertos escribieron una solución detallada e indicaron la respuesta correcta. La lista de tareas en el sitio se complementa y actualiza constantemente.

Los estudiantes de secundaria pueden prepararse para el Examen Estatal Unificado practicando ejercicios, por ejemplo, para encontrar la magnitud de un ángulo central y la longitud de un arco de círculo, en línea, desde cualquier región de Rusia.

Si es necesario, la tarea completada se puede guardar en la sección "Favoritos" para volver a ella más tarde y analizar una vez más el principio de su solución.

Ángulo inscrito, teoría del problema. ¡Amigos! En este artículo hablaremos de tareas para las que necesitas conocer las propiedades de un ángulo inscrito. Este es todo un grupo de tareas, están incluidas en el Examen Estatal Unificado. La mayoría de ellos se pueden solucionar de forma muy sencilla, en una sola acción.

Hay problemas más difíciles, pero no te presentarán mucha dificultad; necesitas conocer las propiedades de un ángulo inscrito. Poco a poco iremos analizando todos los prototipos de tareas, ¡te invito al blog!

Ahora la teoría necesaria. Recordemos qué es un ángulo central e inscrito, una cuerda, un arco, sobre el que descansan estos ángulos:

El ángulo central de una circunferencia es un ángulo plano convértice en su centro.

La parte de un círculo ubicada dentro de un ángulo plano.llamado arco de circunferencia.

La medida en grados de un arco de círculo se llama medida en grados.el ángulo central correspondiente.

Se dice que un ángulo está inscrito en una circunferencia si su vértice se encuentraen un círculo, y los lados del ángulo cortan este círculo.

Un segmento que une dos puntos de una circunferencia se llamaacorde. La cuerda más grande pasa por el centro del círculo y se llamadiámetro.

Para resolver problemas que involucran ángulos inscritos en un círculo,necesitas conocer las siguientes propiedades:

1. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central, basado en el mismo arco.

2. Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco son iguales.

3. Todos los ángulos inscritos que se basan en la misma cuerda y cuyos vértices se encuentran en el mismo lado de esta cuerda son iguales.

4. Cualquier par de ángulos basados ​​en la misma cuerda, cuyos vértices se encuentran en lados opuestos de la cuerda, suman 180°.

Corolario: los ángulos opuestos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia suman 180 grados.

5. Todos los ángulos inscritos subtendidos por un diámetro son ángulos rectos.

En general, esta propiedad es consecuencia de la propiedad (1), esta es su caso especial. Mire: el ángulo central es igual a 180 grados (y este ángulo desplegado no es más que un diámetro), lo que significa, según la primera propiedad, el ángulo inscrito C es igual a la mitad del mismo, es decir, 90 grados.

Conocer esta propiedad ayuda a resolver muchos problemas y, a menudo, permite evitar cálculos innecesarios. Habiéndolo dominado bien podrás resolver más de la mitad de los problemas de este tipo de forma oral. Dos conclusiones que se pueden sacar:

Corolario 1: si un triángulo está inscrito en un círculo y uno de sus lados coincide con el diámetro de este círculo, entonces el triángulo es rectángulo (vértice ángulo recto se encuentra en el círculo).

Corolario 2: el centro de lo descrito sobre triángulo rectángulo el círculo coincide con la mitad de su hipotenusa.

Muchos prototipos de problemas estereométricos también se resuelven utilizando esta propiedad y estas consecuencias. Recuerde el hecho en sí: si el diámetro de un círculo es el lado de un triángulo inscrito, entonces este triángulo es rectángulo (el ángulo opuesto al diámetro es de 90 grados). Todas las demás conclusiones y consecuencias las puedes sacar tú mismo; no es necesario que las enseñes.

Como regla general, la mitad de los problemas sobre un ángulo inscrito se dan con un boceto, pero sin símbolos. Para comprender el proceso de razonamiento al resolver problemas (a continuación en el artículo), se introducen notaciones para vértices (ángulos). No es necesario hacer esto en el Examen Estatal Unificado.Consideremos las tareas:

¿Cuál es el valor de un ángulo inscrito agudo subtendido por una cuerda igual al radio del círculo? Da tu respuesta en grados.

Construyamos un ángulo central para un ángulo inscrito dado y designemos los vértices:

Según la propiedad de un ángulo inscrito en una circunferencia:

El ángulo AOB es igual a 60 0, ya que el triángulo AOB es equilátero, y en un triángulo equilátero todos los ángulos son iguales a 60 0. Los lados del triángulo son iguales, ya que la condición dice que la cuerda es igual al radio.

Por tanto, el ángulo inscrito ACB es igual a 30 0.

Respuesta: 30

Encuentre la cuerda sostenida por un ángulo de 30 0 inscrito en una circunferencia de radio 3.

Este es esencialmente el problema inverso (del anterior). Construyamos el ángulo central.

Es dos veces más grande que el inscrito, es decir, el ángulo AOB es igual a 60 0. De esto podemos concluir que el triángulo AOB es equilátero. Por tanto, la cuerda es igual al radio, es decir, tres.

Respuesta: 3

El radio del círculo es 1. Encuentra la magnitud del ángulo obtuso inscrito subtendido por la cuerda igual a la raíz de dos. Da tu respuesta en grados.

Construyamos el ángulo central:

Conociendo el radio y la cuerda, podemos encontrar el ángulo central ASV. Esto se puede hacer usando el teorema del coseno. Conociendo el ángulo central, podemos encontrar fácilmente el ángulo inscrito ACB.

Teorema del coseno: cuadrar cualquier lado del triangulo igual a la suma cuadrados de los otros dos lados, sin duplicar el producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

Por lo tanto, el segundo ángulo central es 360 0. – 90 0 = 270 0 .

El ángulo ACB, según la propiedad de un ángulo inscrito, es igual a la mitad del mismo, es decir, 135 grados.

Respuesta: 135

Encuentre la cuerda subtendida por un ángulo de 120 grados inscrito en un círculo de radio raíz de tres.

Conectemos los puntos A y B con el centro del círculo. Denotémoslo como O:

Conocemos el radio y el ángulo inscrito ASV. Podemos encontrar el ángulo central AOB (mayor de 180 grados), luego encontrar el ángulo AOB en el triángulo AOB. Y luego, usando el teorema del coseno, calcula AB.

Según la propiedad del ángulo inscrito, el ángulo central AOB (que es mayor que 180 grados) será igual al doble del ángulo inscrito, es decir, 240 grados. Esto significa que el ángulo AOB en el triángulo AOB es igual a 360 0 – 240 0 = 120 0.

Según el teorema del coseno:

Respuesta:3

Encuentra el ángulo inscrito subtendido por un arco que es el 20% del círculo. Da tu respuesta en grados.

Según la propiedad de un ángulo inscrito, este mide la mitad del ángulo central basado en el mismo arco, en este caso estamos hablando del arco AB.

Se dice que el arco AB mide el 20 por ciento de la circunferencia. Esto significa que el ángulo central AOB también es el 20 por ciento de 360 ​​0.*Un círculo es un ángulo de 360 ​​grados. Medio,

Por tanto, el ángulo inscrito ACB es de 36 grados.

Respuesta: 36

Arco de círculo C.A., que no contiene un punto B, es de 200 grados. Y el arco de círculo BC, que no contiene un punto. A, es de 80 grados. Encuentra el ángulo inscrito ACB. Da tu respuesta en grados.

Para mayor claridad, designemos los arcos cuyas medidas angulares se dan. Arco correspondiente a 200 grados – Color azul, el arco correspondiente a 80 grados es rojo, la parte restante del círculo es amarilla.

Así, la medida en grados del arco AB (amarillo), y por tanto del ángulo central AOB es: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

El ángulo inscrito ACB tiene la mitad del tamaño del ángulo central AOB, es decir, igual a 40 grados.

Respuesta: 40

¿Cuál es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.

Es necesario conocer la propiedad de un ángulo inscrito; comprenda cuándo y cómo utilizar el teorema del coseno, aprenda más sobre él.

¡Eso es todo! ¡Te deseo éxito!

Atentamente, Alexander Krutitskikh

Profesora de matemáticas en la escuela de tercer grado:
- Niños, díganme, ¿cuánto es 6*6?
Los niños responden al unísono:
- ¡Setenta y seis!
- ¡Pues qué estáis diciendo, niños! Seis por seis serán treinta y seis… bueno, quizás otros 37, 38, 39… bueno, máximo 40… ¡pero setenta y seis no!

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.

En este artículo te diré cómo solucionar los problemas que utilizan.

Primero, como siempre, recordemos las definiciones y teoremas que necesita saber para resolver con éxito problemas en .

1.ángulo inscrito es un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados cortan el círculo:

2.ángulo central es el ángulo cuyo vértice coincide con el centro del círculo:

Valor en grados de un arco circular medido por la magnitud del ángulo central que descansa sobre él.

En este caso, el valor en grados del arco AC es igual al valor del ángulo AOS.

3. Si los ángulos inscritos y centrales se basan en el mismo arco, entonces El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central.:

4. Todos los ángulos inscritos que descansan sobre un arco son iguales entre sí:

5. El ángulo inscrito subtendido por el diámetro es 90°:

Resolvamos varios problemas.

1 . Tarea B7 (Nº 27887)

Encontremos el valor del ángulo central que descansa sobre el mismo arco:

Obviamente, el ángulo AOC es igual a 90°, por lo tanto, el ángulo ABC es igual a 45°

Respuesta: 45°

2.Tarea B7 (Nº 27888)

Encuentra el tamaño del ángulo ABC. Da tu respuesta en grados.

Obviamente, el ángulo AOC mide 270°, luego el ángulo ABC mide 135°.

Respuesta: 135°

3. Tarea B7 (Nº 27890)

Encuentre el valor en grados del arco AC del círculo subtendido por el ángulo ABC. Da tu respuesta en grados.

Encontremos el valor del ángulo central que descansa sobre el arco AC:

La magnitud del ángulo AOS es 45°, por lo tanto, la medida en grados del arco AC es 45°.

Respuesta: 45°.

4 . Tarea B7 (Nº 27885)

Encuentre el ángulo ACB si los ángulos inscritos ADB y DAE descansan sobre arcos circulares cuyos valores de grados son iguales a y respectivamente. Da tu respuesta en grados.

El ángulo ADB descansa sobre el arco AB, por lo tanto, el valor del ángulo central AOB es igual a 118°, por lo tanto, el ángulo BDA es igual a 59°, y el ángulo adyacente ADC es igual a 180°-59° = 121°

De manera similar, el ángulo DOE es de 38° y el ángulo inscrito correspondiente DAE es de 19°.

Considere el triángulo ADC:

La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.

El ángulo ACB es igual a 180°- (121°+19°)=40°

Respuesta: 40°

5 . Tarea B7 (Nº 27872)

Los lados del cuadrilátero ABCD AB, BC, CD y AD subtienden arcos de círculo circunscrito cuyos valores de grados son iguales a , , y , respectivamente. Encuentra el ángulo B de este cuadrilátero. Da tu respuesta en grados.

El ángulo B descansa sobre el arco ADC, cuyo valor es igual a la suma de los valores de los arcos AD y CD, es decir, 71°+145°=216°

El ángulo inscrito B es igual a la mitad de la magnitud del arco ADC, es decir, 108°

Respuesta: 108°

6. Tarea B7 (Nº 27873)

Los puntos A, B, C, D, ubicados en un círculo, dividen este círculo en cuatro arcos AB, BC, CD y AD, cuyos valores de grados están en la proporción 4:2:3:6 respectivamente. Encuentra el ángulo A del cuadrilátero ABCD. Da tu respuesta en grados.

(ver dibujo de la tarea anterior)

Como hemos dado la razón de las magnitudes de los arcos, introducimos el elemento unitario x. Entonces la magnitud de cada arco estará expresada por la siguiente relación:

AB=4x, BC=2x, CD=3x, AD=6x. Todos los arcos forman un círculo, es decir, su suma es 360°.

4x+2x+3x+6x=360°, por lo tanto x=24°.

El ángulo A está sostenido por los arcos BC y CD, que juntos tienen un valor de 5x=120°.

Por lo tanto, el ángulo A es de 60°.

Respuesta: 60°

7. Tarea B7 (Nº 27874)

Cuadrilátero A B C D inscrito en un círculo. Esquina A B C igual a, ángulo CANALLA

ángulo central es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia.
ángulo inscrito- un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados lo cortan.

La figura muestra los ángulos centrales e inscritos, así como sus propiedades más importantes.

Entonces, la magnitud del ángulo central es igual a la magnitud angular del arco sobre el que descansa. Esto significa que un ángulo central de 90 grados descansará sobre un arco igual a 90°, es decir, un círculo. El ángulo central, igual a 60°, descansa sobre un arco de 60 grados, es decir, sobre la sexta parte del círculo.

La magnitud del ángulo inscrito es dos veces menor que el ángulo central basado en el mismo arco..

Además, para resolver problemas necesitaremos el concepto de “acorde”.

Ángulos centrales iguales subtienden cuerdas iguales.

1. ¿Cuál es el ángulo inscrito subtendido por el diámetro del círculo? Da tu respuesta en grados.

Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto.

2. El ángulo central es 36° mayor que el ángulo agudo inscrito subtendido por el mismo arco circular. Encuentra el ángulo inscrito. Da tu respuesta en grados.

Sea el ángulo central igual a x y el ángulo inscrito subtendido por el mismo arco sea igual a y.

Sabemos que x = 2y.
Por tanto 2y = 36 + y,
y = 36.

3. El radio del círculo es igual a 1. Calcula el valor del ángulo obtuso inscrito subtendido por la cuerda, igual a . Da tu respuesta en grados.

Sea la cuerda AB igual a . El ángulo obtuso inscrito basado en esta cuerda se denotará por α.
En el triángulo AOB, los lados AO y OB son iguales a 1, el lado AB es igual a . Ya nos hemos encontrado con triángulos de este tipo. Obviamente, el triángulo AOB es rectangular e isósceles, es decir, el ángulo AOB mide 90°.
Entonces el arco ACB es igual a 90° y el arco AKB es igual a 360° - 90° = 270°.
El ángulo inscrito α descansa sobre el arco AKB y es igual a la mitad del valor angular de este arco, es decir, 135°.

Respuesta: 135.

4. La cuerda AB divide el círculo en dos partes, cuyos valores de grados están en la proporción 5:7. ¿En qué ángulo es visible esta cuerda desde el punto C, que pertenece al arco más pequeño del círculo? Da tu respuesta en grados.

Lo principal en esta tarea es el correcto dibujo y comprensión de las condiciones. ¿Cómo entiendes la pregunta: "¿En qué ángulo es visible la cuerda desde el punto C?"
Imagina que estás sentado en el punto C y necesitas ver todo lo que sucede en el acorde AB. Es como si el acorde AB fuera una pantalla de cine :-)
Obviamente, necesitas encontrar el ángulo ACB.
La suma de los dos arcos en que la cuerda AB divide la circunferencia es igual a 360°, es decir
5x + 7x = 360°
Por tanto x = 30°, y entonces el ángulo inscrito ACB descansa sobre un arco igual a 210°.
La magnitud del ángulo inscrito es igual a la mitad de la magnitud angular del arco sobre el que descansa, lo que significa que el ángulo ACB es igual a 105°.