Que es un modelo matematico ejemplos. Diversas formas de construir un modelo matemático.

Las computadoras han entrado firmemente en nuestras vidas, y prácticamente no existe un área de actividad humana donde las computadoras no se utilicen. Las computadoras ahora se usan ampliamente en el proceso de creación e investigación de nuevas máquinas, nuevas procesos tecnológicos y buscándolos mejores opciones; al decidir tareas economicas, al resolver los problemas de planificación y gestión de la producción en varios niveles. La creación de grandes objetos en cohetería, construcción de aeronaves, construcción naval, así como el diseño de presas, puentes, etc., es generalmente imposible sin el uso de computadoras.

Para usar una computadora en la resolución de problemas aplicados, en primer lugar, el problema aplicado debe "traducirse" a un lenguaje matemático formal, es decir, para un objeto, proceso o sistema real, se debe construir su modelo matemático.

La palabra "Modelo" proviene del latín modus (copia, imagen, esquema). El modelado es el reemplazo de algún objeto A con otro objeto B. El objeto A reemplazado se llama el original o el objeto de modelado, y el reemplazo B se llama el modelo. En otras palabras, un modelo es un objeto-reemplazo del objeto original, proporcionando el estudio de algunas propiedades del original.

El propósito del modelado es obtener, procesar, presentar y utilizar información sobre objetos que interactúan entre sí y ambiente externo; y el modelo aquí actúa como un medio para conocer las propiedades y patrones del comportamiento del objeto.

El modelado matemático es un medio para estudiar un objeto, proceso o sistema real reemplazándolos con un modelo matemático que es más conveniente para la investigación experimental usando una computadora.

El modelado matemático es el proceso de construir y estudiar modelos matemáticos de procesos y fenómenos reales. Todo natural y Ciencias Sociales, utilizando el aparato matemático, de hecho, se dedican a la modelización matemática: reemplazan el objeto real con su modelo y luego estudian este último. Como en el caso de cualquier simulación, el modelo matemático no describe completamente el fenómeno bajo estudio, y las preguntas sobre la aplicabilidad de los resultados obtenidos de esta manera son muy significativas. Un modelo matemático es una descripción simplificada de la realidad utilizando conceptos matemáticos.

Un modelo matemático expresa las características esenciales de un objeto o proceso en el lenguaje de las ecuaciones y otros medios matemáticos. Estrictamente hablando, las matemáticas mismas deben su existencia a lo que intentan reflejar, es decir. para modelar, en su propio lenguaje específico, los patrones del mundo circundante.

En modelo matematico el estudio del objeto se lleva a cabo por medio de un modelo formulado en el lenguaje de las matemáticas utilizando ciertos métodos matemáticos.

El camino del modelado matemático en nuestro tiempo es mucho más completo que el modelado natural. La llegada de las computadoras dio un gran impulso al desarrollo de los modelos matemáticos, aunque el método en sí nació simultáneamente con las matemáticas hace miles de años.

El modelado matemático como tal no siempre requiere soporte informático. Cada especialista que se dedica profesionalmente a la modelación matemática hace todo lo posible por el estudio analítico del modelo. Las soluciones analíticas (es decir, representadas por fórmulas que expresan los resultados del estudio a través de los datos iniciales) suelen ser más convenientes e informativas que las numéricas. Sin embargo, las posibilidades de los métodos analíticos para resolver problemas matemáticos complejos son muy limitadas y, por regla general, estos métodos son mucho más complicados que los numéricos.

Un modelo matemático es una representación aproximada de objetos, procesos o sistemas reales, expresados ​​en términos matemáticos y conservando las características esenciales del original. Los modelos matemáticos en forma cuantitativa, con la ayuda de construcciones lógicas y matemáticas, describen las principales propiedades de un objeto, proceso o sistema, sus parámetros, conexiones internas y externas.

Todos los modelos se pueden dividir en dos clases:

1. real,
2. ideal.

A su vez, los modelos reales se pueden dividir en:

1. natural,
2. físico,
3. matemático.

Los modelos ideales se pueden dividir en:

1. visual,
2. icónico,
3. matemático.

Los modelos reales a gran escala son objetos, procesos y sistemas reales en los que se realizan experimentos científicos, técnicos e industriales.

Los modelos físicos reales son maquetas, maniquíes, reproduciendo propiedades físicas originales (modelos cinemáticos, dinámicos, hidráulicos, térmicos, eléctricos, ligeros).

Las matemáticas reales son modelos analógicos, estructurales, geométricos, gráficos, digitales y cibernéticos.

Los modelos visuales ideales son diagramas, mapas, dibujos, gráficos, gráficos, análogos, modelos estructurales y geométricos.

Los modelos de signos ideales son los símbolos, el alfabeto, los lenguajes de programación, la notación ordenada, la notación topológica y la representación de redes.

Los modelos matemáticos ideales son modelos analíticos, funcionales, de simulación y combinados.

En la clasificación anterior, algunos modelos tienen una doble interpretación (por ejemplo, analógico). Todos los modelos, excepto los de escala real, se pueden combinar en una clase de modelos mentales, ya que son el producto del pensamiento abstracto del hombre.

Elementos de la teoría de juegos

En el caso general, resolver el juego es una tarea bastante difícil, y la complejidad del problema y la cantidad de cálculos necesarios para resolverlo aumentan considerablemente al aumentar . Sin embargo, estas dificultades no son de carácter fundamental y están asociadas únicamente a un volumen muy grande de cálculos, que en una serie de casos pueden resultar prácticamente inviables. El lado fundamental del método para encontrar una solución permanece para cualquier una y las mismas.

Ilustremos esto con el ejemplo de un juego. Démosle una interpretación geométrica, ya espacial. Nuestras tres estrategias, las representaremos con tres puntos en el plano ; el primero se encuentra en el origen (Fig. 1). el segundo y el tercero - en los ejes Oh Y UNED a distancias 1 del origen.

Los ejes I-I, II-II y III-III se dibujan a través de los puntos, perpendiculares al plano . En el eje I-I, los pagos de la estrategia se trazan en los ejes II-II y III-III: los pagos de las estrategias. Cada estrategia enemiga representado por un plano que corta ejes yo-yo, II-II y III-III, tramos iguales a ganancias

con la estrategia y la estrategia adecuadas . Construidas así todas las estrategias del enemigo, obtendremos una familia de planos sobre un triángulo (Fig. 2).

Para esta familia, también se puede construir un límite inferior de pagos, como hicimos en el caso, y encontrar un punto N en este límite con altura máxima plano liso . Esta altura será el precio del juego.

Las frecuencias de las estrategias en la estrategia óptima estarán determinadas por las coordenadas (x, y) puntos N, a saber:

Sin embargo, tal construcción geométrica, incluso para el caso, no es fácil de implementar y requiere una gran inversión de tiempo e imaginación. En el caso general del juego, sin embargo, se traslada al espacio -dimensional y pierde toda claridad, aunque el uso de terminología geométrica en algunos casos puede resultar útil. Al resolver juegos en la práctica, es más conveniente usar no analogías geométricas, sino métodos analíticos computacionales, especialmente porque estos métodos son los únicos adecuados para resolver problemas en las computadoras.

Todos estos métodos se reducen esencialmente a resolver el problema mediante pruebas sucesivas, pero ordenar la secuencia de pruebas le permite construir un algoritmo que conduce a una solución de la manera más económica.

Aquí nos detenemos brevemente en un método computacional para resolver juegos - en el llamado método de "programación lineal".

Para ello, primero damos un enunciado general del problema para encontrar una solución al juego. Que se dé el juego T estrategias del jugador A Y norte estrategias del jugador EN y se da la matriz de pagos

Se requiere encontrar una solución al juego, es decir, dos estrategias mixtas óptimas para los jugadores A y B

donde (algunos de los números y pueden ser iguales a cero).

Nuestra estrategia óptima S*A debería proporcionarnos un pago no menor que , por cualquier comportamiento del enemigo, y un pago igual a , por su comportamiento óptimo (estrategia S * B). Estrategia similar S * B debe proporcionar al enemigo una pérdida no mayor que , por cualquiera de nuestros comportamientos e igual a por nuestro comportamiento óptimo (estrategia S*A).

El valor del juego en este caso es desconocido para nosotros; supondremos que es igual a algún número positivo. Asumiendo esto, no violamos la generalidad del razonamiento; para que sea > 0, obviamente es suficiente que todos los elementos de la matriz sean no negativos. Esto siempre se puede lograr agregando un valor L positivo suficientemente grande a los elementos; en este caso, el costo del juego aumentará en L y la solución no cambiará.

Elijamos nuestra estrategia óptima S*A. Entonces nuestro pago promedio por la estrategia del oponente será igual a:

Nuestra estrategia óptima S*A tiene la propiedad de que, para cualquier comportamiento del oponente, proporciona una ganancia no menor a ; por lo tanto, cualquiera de los números no puede ser menor que . Obtenemos una serie de condiciones:

(1)

Divide las desigualdades (1) por un valor positivo y denota:

Entonces la condición (1) se puede escribir como

(2)

donde son números no negativos. Porque cantidades satisfacen la condición

Queremos que nuestra ganancia garantizada sea lo más alta posible; Obviamente, en este caso, el lado derecho de la igualdad (3) toma el valor mínimo.

Así, el problema de encontrar una solución al juego se reduce al siguiente problema matemático: definir cantidades no negativas condiciones satisfactorias (2), de modo que su suma

fue mínimo.

Por lo general, al resolver problemas relacionados con la búsqueda de valores extremos (máximos y mínimos), la función se deriva y las derivadas se igualan a cero. Pero tal técnica es inútil en este caso, ya que la función Ф, que Necesitar minimizar, es lineal, y sus derivadas con respecto a todos los argumentos son iguales a uno, es decir, no desaparecen en ninguna parte. En consecuencia, el máximo de la función se alcanza en algún lugar de la frontera de la región de cambio de los argumentos, que está determinada por el requisito de no negatividad de los argumentos y condiciones (2). El método de encontrar valores extremos utilizando la diferenciación tampoco es adecuado en aquellos casos en los que se determina el máximo del límite de pago inferior (o el mínimo del superior) para la solución del juego, como lo hicimos nosotros. por ejemplo, lo hicieron al resolver juegos De hecho, el límite inferior está formado por secciones de líneas rectas, y el máximo no se alcanza en el punto donde la derivada es igual a cero (no existe tal punto), pero en el límite del intervalo o en el punto de intersección de secciones rectas.

Para resolver tales problemas, que son bastante comunes en la práctica, se ha desarrollado un aparato especial en matemáticas. programación lineal.

El problema de programación lineal se plantea de la siguiente manera.

Dado un sistema de ecuaciones lineales:

(4)

Se requiere encontrar valores no negativos de cantidades que satisfagan las condiciones (4) y al mismo tiempo minimicen la función lineal homogénea dada de cantidades (forma lineal):

Es fácil ver que el problema de teoría de juegos planteado anteriormente es un caso particular del problema de programación lineal para

A primera vista, puede parecer que las condiciones (2) no son equivalentes a las condiciones (4), ya que en lugar de signos de igualdad contienen signos de desigualdad. Sin embargo, es fácil deshacerse de los signos de desigualdad introduciendo nuevas variables no negativas ficticias y escribiendo condiciones (2) en la forma:

(5)

La forma Ф, que debe ser minimizada, es igual a

El aparato de programación lineal permite, mediante un número relativamente pequeño de muestras sucesivas, seleccionar los valores , satisfaciendo los requisitos. Para mayor claridad, aquí demostraremos el uso de este aparato directamente sobre el material de resolución de juegos específicos.

Modelo matemático - este es un sistema de relaciones matemáticas - fórmulas, ecuaciones, desigualdades, etc., que reflejan las propiedades esenciales de un objeto o fenómeno.

Cada fenómeno de la naturaleza es infinito en su complejidad.. Ilustremos esto con la ayuda de un ejemplo tomado del libro de V.N. Trostnikov "Hombre e información" (Editorial "Nauka", 1970).

El profano formula el problema matemático de la siguiente manera: "¿Cuánto tiempo caerá una piedra desde una altura de 200 metros?" El matemático comenzará a crear su versión del problema algo así: "Supondremos que la piedra está cayendo al vacío y que la aceleración de la gravedad es de 9,8 metros por segundo por segundo. Entonces..."

- Déjame- puede decir "cliente", - No me gusta esta simplificación. Quiero saber exactamente cuánto tiempo caerá la piedra en condiciones reales y no en un vacío inexistente.

- Bien, el matemático está de acuerdo. - Supongamos que la piedra tiene forma esférica y un diámetro... ¿Cuál es su diámetro aproximado?

- Unos cinco centímetros. Pero no es esférico en absoluto, sino oblongo.

- Entonces supondremos quetiene la forma de un elipsoide con semiejes de cuatro, tres y tres centímetros y quecae de modo que el eje semi-mayor permanece vertical todo el tiempo . Tomamos la presión del aire igual a760 mmHg , de aquí encontramos la densidad del aire...

Si el que planteó el problema en lenguaje "humano" no interfiere más en el tren de pensamiento de un matemático, este último dará una respuesta numérica después de un tiempo. Pero el "consumidor" puede objetar como antes: la piedra en realidad no es elipsoidal en absoluto, la presión del aire en ese lugar y en ese momento no era igual a 760 mm de mercurio, etc. ¿Qué le responderá el matemático?

el respondera eso una solución exacta de un problema real es generalmente imposible. No solo eso forma de piedra, que afecta la resistencia del aire, no puede ser descrito por ninguna ecuación matemática; su rotación en vuelo también está fuera del control de las matemáticas por su complejidad. Más, el aire no es uniforme, ya que como resultado de la acción de factores aleatorios, surgen en él fluctuaciones de densidad. Profundizando aún más, hay que tener en cuenta que Según la ley de la gravitación universal, todo cuerpo actúa sobre todos los demás.. De ello se deduce que incluso el péndulo reloj de pared cambia la trayectoria de la piedra con su movimiento.

En resumen, si realmente queremos investigar con precisión el comportamiento de cualquier objeto, primero debemos conocer la ubicación y la velocidad de todos los demás objetos en el universo. Y esto, por supuesto. imposible .

El modelo matemático más efectivo se puede implementar en una computadora en forma de un modelo algorítmico, el llamado "experimento computacional" (ver [1], párrafo 26).

Por supuesto, los resultados de un experimento computacional pueden no corresponder a la realidad si algunos aspectos importantes de la realidad no se tienen en cuenta en el modelo.

Entonces, al crear un modelo matemático para resolver un problema, debe:

1. resaltar los supuestos en los que se basará el modelo matemático;
2. determinar qué considerar como datos de entrada y resultados;
3. escribir relaciones matemáticas que vinculen los resultados con los datos originales.

Al construir modelos matemáticos, no siempre es posible encontrar fórmulas que expresen explícitamente las cantidades deseadas a través de datos. En tales casos, se utilizan métodos matemáticos para dar respuestas con diversos grados de precisión. No solo existe el modelado matemático de cualquier fenómeno, sino también el modelado visual-natural, que se proporciona al mostrar estos fenómenos por medio de gráficos de computadora, es decir, al investigador se le muestra una especie de "caricatura de computadora" filmada en tiempo real. La visibilidad aquí es muy alta.

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Modelo matemático b es la representación matemática de la realidad.

Modelado matemático- el proceso de construcción y estudio de modelos matemáticos.

Todas las ciencias naturales y sociales que utilizan el aparato matemático están, de hecho, involucradas en el modelado matemático: reemplazan el objeto real con su modelo matemático y luego estudian este último.

Definiciones.

Ninguna definición puede cubrir completamente la actividad de la vida real del modelado matemático. A pesar de esto, las definiciones son útiles porque intentan resaltar las características más significativas.

Definición de modelo según A. A. Lyapunov: El modelado es un estudio práctico o teórico indirecto de un objeto, en el que no se estudia directamente el objeto que nos interesa, sino algún sistema artificial o natural auxiliar:

ubicado en alguna correspondencia objetiva con el objeto cognoscible;

capaz de reemplazarlo en ciertos aspectos;

que, durante su estudio, en última instancia proporciona información sobre el objeto que se está modelando.

Según el libro de texto de Sovetov y Yakovlev: "un modelo es un objeto sustituto del objeto original, que proporciona el estudio de algunas propiedades del original". “Reemplazar un objeto con otro para obtener información sobre las propiedades más importantes del objeto original usando el objeto modelo se llama modelado”. “Por modelado matemático entenderemos el proceso de establecer la correspondencia a un objeto real dado de algún objeto matemático, llamado modelo matemático, y el estudio de este modelo, que permite obtener las características del objeto real en consideración. El tipo de modelo matemático depende tanto de la naturaleza del objeto real como de las tareas de estudio del objeto y de la confiabilidad y precisión requeridas para resolver este problema”.

Según Samarsky y Mikhailov, un modelo matemático es un “equivalente” de un objeto, reflejando en forma matemática sus propiedades más importantes: las leyes a las que obedece, las conexiones inherentes a sus partes constituyentes, etc. Existe en las tríadas “ modelo-algoritmo-programa”. Una vez creada la tríada "modelo-algoritmo-programa", el investigador obtiene una herramienta universal, flexible y económica, que primero se depura y prueba en experimentos computacionales de prueba. Después de establecer la adecuación de la tríada al objeto original, se llevan a cabo varios y detallados "experimentos" con el modelo, dando todas las propiedades y características cualitativas y cuantitativas requeridas del objeto.

Según la monografía de Myshkis: “Pasemos a una definición general. Vamos a explorar algún conjunto S de propiedades de un objeto real a con

la ayuda de las matemáticas. Para hacer esto, elegimos un "objeto matemático" a" - un sistema de ecuaciones, o relaciones aritméticas, o formas geométricas, o una combinación de ambos, etc., cuyo estudio mediante las matemáticas debe responder a las cuestiones planteadas sobre las propiedades de S. En estas condiciones, a "se denomina modelo matemático del objeto a con respecto a la totalidad S de sus propiedades".

Según A. G. Sevostyanov: “Un modelo matemático es un conjunto de relaciones matemáticas, ecuaciones, desigualdades, etc., que describen los principales patrones inherentes al proceso, objeto o sistema en estudio”.

Una definición algo menos general de un modelo matemático, basada en una idealización de “entrada-salida-estado” tomada de la teoría de los autómatas, la da Wikcionario: “Una representación matemática abstracta de un proceso, dispositivo o idea teórica; utiliza un conjunto de variables para representar entradas, salidas y estados internos, y conjuntos de ecuaciones y desigualdades para describir sus interacciones”.

Finalmente, la definición más concisa de un modelo matemático: "Una ecuación que expresa una idea".

Clasificación formal de modelos.

La clasificación formal de modelos se basa en la clasificación de las herramientas matemáticas utilizadas. A menudo se construye en forma de dicotomías. Por ejemplo, uno de los conjuntos populares de dicotomías es:

Modelos lineales o no lineales; Sistemas concentrados o distribuidos; determinista o estocástico; Estático o dinámico; discreta o continua.

etcétera. Cada modelo construido es lineal o no lineal, determinista o estocástico, ... Naturalmente, también son posibles tipos mixtos: concentrados en un aspecto, modelos distribuidos en otro, etc.

Clasificación según la forma en que se representa el objeto.

Junto con la clasificación formal, los modelos difieren en la forma en que representan el objeto:

Los modelos estructurales representan un objeto como un sistema con su propio dispositivo y mecanismo de funcionamiento. Los modelos funcionales no usan tales representaciones y reflejan solo el comportamiento percibido externamente del objeto. En su expresión extrema, también se denominan modelos de "caja negra". También son posibles tipos combinados de modelos, que a veces se denominan modelos de "caja gris".

Casi todos los autores que describen el proceso de modelado matemático indican que primero se construye una construcción ideal especial, un modelo significativo. No existe aquí una terminología establecida, y otros autores denominan a este objeto ideal modelo conceptual, modelo especulativo o premodelo. En este caso, la construcción matemática final se denomina modelo formal o simplemente modelo matemático obtenido como resultado de la formalización de este modelo de contenido. Se puede construir un modelo significativo utilizando un conjunto de idealizaciones listas para usar, como en mecánica, donde resortes ideales, cuerpos rígidos, péndulos ideales, medios elásticos, etc. proporcionan elementos estructurales listos para modelar con sentido. Sin embargo, en áreas del conocimiento donde no existen teorías formalizadas completamente completas, la creación de modelos significativos se vuelve mucho más complicada.

El trabajo de R. Peierls ofrece una clasificación de los modelos matemáticos utilizados en la física y, más ampliamente, en las ciencias naturales. En el libro de A. N. Gorban y R. G. Khlebopros se analiza y amplía esta clasificación. Esta clasificación se centra principalmente en la etapa de construcción de un modelo significativo.

Estos modelos "representan una descripción de prueba del fenómeno, y el autor cree en su posibilidad o incluso lo considera cierto". Según R. Peierls, por ejemplo, el modelo del sistema solar según Ptolomeo y el modelo copernicano, el modelo del átomo de Rutherford y el modelo del Big Bang.

Ninguna hipótesis científica puede probarse de una vez por todas. Richard Feynman lo dijo muy claramente:

“Siempre tenemos la capacidad de refutar una teoría, pero tenga en cuenta que nunca podemos probar que es correcta. Supongamos que presenta una hipótesis exitosa, calcula a dónde conduce y descubre que todas sus consecuencias se confirman experimentalmente. ¿Significa esto que tu teoría es correcta? No, simplemente significa que no lo refutaste.

Si se construye un modelo del primer tipo, significa que se reconoce temporalmente como verdadero y uno puede concentrarse en otros problemas. Sin embargo, esto no puede ser un punto en la investigación, sino solo una pausa temporal: el estado del modelo del primer tipo solo puede ser temporal.

El modelo fenomenológico contiene un mecanismo para describir el fenómeno. Sin embargo, este mecanismo no es lo suficientemente convincente, no puede ser suficientemente confirmado por los datos disponibles o no concuerda bien con las teorías disponibles y el conocimiento acumulado sobre el objeto. Por lo tanto, los modelos fenomenológicos tienen el estatus de soluciones temporales. Se cree que aún se desconoce la respuesta y es necesario continuar la búsqueda de "verdaderos mecanismos". Peierls refiere, por ejemplo, el modelo calórico y el modelo de quarks de partículas elementales al segundo tipo.

El papel del modelo en la investigación puede cambiar con el tiempo, puede suceder que nuevos datos y teorías confirmen los modelos fenomenológicos y se actualicen para

estado de hipótesis. Asimismo, los nuevos conocimientos pueden entrar progresivamente en conflicto con los modelos-hipótesis del primer tipo, y pueden trasladarse al segundo. Así, el modelo de quarks se está moviendo gradualmente hacia la categoría de hipótesis; el atomismo en la física surgió como una solución temporal, pero con el transcurso de la historia pasó al primer tipo. Pero los modelos de éter han pasado del tipo 1 al tipo 2, y ahora están fuera de la ciencia.

La idea de simplificación es muy popular cuando se construyen modelos. Pero la simplificación es diferente. Peierls distingue tres tipos de simplificaciones en el modelado.

Si es posible construir ecuaciones que describan el sistema en estudio, esto no significa que puedan resolverse incluso con la ayuda de una computadora. Una técnica común en este caso es el uso de aproximaciones. Entre ellos se encuentran los modelos de respuesta lineal. Las ecuaciones se reemplazan por ecuaciones lineales. El ejemplo estándar es la ley de Ohm.

Si usamos el modelo de gas ideal para describir gases suficientemente enrarecidos, entonces este es un modelo de tipo 3. A densidades de gas más altas, también es útil imaginar una situación de gas ideal más simple para la comprensión y evaluación cualitativas, pero entonces esto ya es tipo 4 .

En un modelo tipo 4, se descartan detalles que pueden afectar el resultado de manera notable y no siempre controlable. Las mismas ecuaciones pueden servir como un modelo Tipo 3 o Tipo 4, dependiendo del fenómeno que el modelo se use para estudiar. Entonces, si se utilizan modelos de respuesta lineal en ausencia de modelos más complejos, entonces estos ya son modelos lineales fenomenológicos, y pertenecen al siguiente tipo 4.

Ejemplos: aplicación de un modelo de gas ideal a uno no ideal, la ecuación de estado de van der Waals, la mayoría de los modelos de estado sólido, líquido y física nuclear. El camino desde la microdescripción hasta las propiedades de los cuerpos formados por un gran número de partículas es muy largo. Hay que omitir muchos detalles. Esto conduce a modelos del cuarto tipo.

El modelo heurístico conserva solo una similitud cualitativa con la realidad y hace predicciones solo "en orden de magnitud". Un ejemplo típico es la aproximación del camino libre medio en la teoría cinética. Da fórmulas simples para coeficientes de viscosidad, difusión, conductividad térmica, consistentes con la realidad en orden de magnitud.

Pero al construir una nueva física, está lejos de obtener de inmediato un modelo que proporcione al menos una descripción cualitativa de un objeto: un modelo del quinto tipo. En este caso, un modelo se usa a menudo por analogía, reflejando la realidad al menos de alguna manera.

R. Peierls cita la historia del uso de analogías en el primer artículo de W. Heisenberg sobre la naturaleza fuerzas nucleares. “Esto sucedió después del descubrimiento del neutrón, y aunque el propio W. Heisenberg entendió que los núcleos podían describirse como compuestos por neutrones y protones, aún no podía deshacerse de la idea de que el neutrón debería consistir en última instancia en un protón y un electrón. . En este caso, surgió una analogía entre la interacción en el sistema neutrón-protón y la interacción de un átomo de hidrógeno y un protón. Fue esta analogía la que lo llevó a la conclusión de que debe haber fuerzas de intercambio de interacción entre un neutrón y un protón, que son análogas a las fuerzas de intercambio en el sistema H − H, debido a la transición de un electrón entre dos protones. ... Más tarde, sin embargo, se demostró la existencia de fuerzas de intercambio de interacción entre un neutrón y un protón, aunque no se agotaron por completo.

interacción entre dos partículas... Pero, siguiendo la misma analogía, W. Heisenberg llegó a la conclusión de que no existen fuerzas nucleares de interacción entre dos protones ya la postulación de la repulsión entre dos neutrones. Estos dos últimos hallazgos están en conflicto con los hallazgos de estudios posteriores.

A. Einstein fue uno de los grandes maestros del experimento mental. Aquí está uno de sus experimentos. Fue concebido en la juventud y finalmente condujo a la construcción teoría especial relatividad. Supongamos que en la física clásica seguimos una onda de luz a la velocidad de la luz. Observaremos un campo electromagnético que cambia periódicamente en el espacio y constante en el tiempo. Según las ecuaciones de Maxwell, esto no puede ser. A partir de esto, el joven Einstein concluyó: o las leyes de la naturaleza cambian cuando cambia el marco de referencia, o la velocidad de la luz no depende del marco de referencia. Eligió el segundo - más hermosa opción. Otro famoso experimento mental de Einstein es la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen.

Y aquí está el tipo 8, que se usa ampliamente en modelos matemáticos de sistemas biológicos.

Estos también son experimentos mentales con entidades imaginarias, lo que demuestra que el supuesto fenómeno es consistente con los principios básicos y es internamente consistente. Esta es la principal diferencia con los modelos de tipo 7, que revelan contradicciones ocultas.

Uno de los experimentos más famosos es la geometría de Lobachevsky. Otro ejemplo es la producción en masa de modelos formalmente cinéticos de oscilaciones químicas y biológicas, autoondas, etc. La paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen fue concebida como un modelo tipo 7 para demostrar la inconsistencia mecánica cuántica. De una manera completamente imprevista, eventualmente se convirtió en un modelo tipo 8, una demostración de la posibilidad de teletransportación cuántica de información.

Considerar sistema mecánico, que consta de un resorte fijo en un extremo y una carga de masa m unida al extremo libre del resorte. Asumiremos que la carga solo puede moverse en la dirección del eje del resorte. Construyamos un modelo matemático de este sistema. Describiremos el estado del sistema por la distancia x desde el centro de la carga hasta su posición de equilibrio. Describimos la interacción de un resorte y una carga usando la ley de Hooke, después de lo cual usamos la segunda ley de Newton para expresarla en forma de ecuación diferencial:

donde significa la segunda derivada de x con respecto al tiempo..

La ecuación resultante describe el modelo matemático del sistema físico considerado. Este patrón se llama "oscilador armónico".

Según la clasificación formal, este modelo es lineal, determinista, dinámico, concentrado, continuo. En el proceso de construcción, hicimos muchas suposiciones que pueden no ser ciertas en la realidad.

En relación con la realidad, este es, en la mayoría de los casos, un modelo tipo 4, una simplificación, ya que se omiten algunas características universales esenciales. En cierta aproximación, tal modelo describe bastante bien un sistema mecánico real, ya que

los factores descartados tienen una influencia insignificante en su comportamiento. Sin embargo, el modelo se puede refinar teniendo en cuenta algunos de estos factores. Esto conducirá a un nuevo modelo, con un alcance más amplio.

Sin embargo, cuando se refina el modelo, la complejidad de su estudio matemático puede aumentar significativamente y hacer que el modelo sea prácticamente inútil. A menudo, un modelo más simple le permite explorar mejor y más profundamente el sistema real que uno más complejo.

Si aplicamos el modelo del oscilador armónico a objetos que están lejos de la física, su estado significativo puede ser diferente. Por ejemplo, al aplicar este modelo a poblaciones biológicas, lo más probable es que se atribuya a la analogía del tipo 6.

Modelos duros y blandos.

El oscilador armónico es un ejemplo de un modelo llamado "duro". Se obtiene como resultado de una fuerte idealización de un sistema físico real. Para resolver la cuestión de su aplicabilidad, es necesario comprender cuán significativos son los factores que hemos descuidado. En otras palabras, es necesario investigar el modelo "suave", que se obtiene por una pequeña perturbación del modelo "duro". Se puede dar, por ejemplo, mediante la siguiente ecuación:

Aquí, alguna función, que puede tener en cuenta la fuerza de fricción o la dependencia del coeficiente de rigidez del resorte en el grado de su estiramiento, ε, algún parámetro pequeño. La forma explícita de la función f no nos interesa por el momento. Si demostramos que el comportamiento de un modelo blando no es fundamentalmente diferente del comportamiento de un modelo duro, el problema se reducirá al estudio de un modelo duro. De lo contrario, la aplicación de los resultados obtenidos en el estudio del modelo rígido requerirá de investigación adicional. Por ejemplo, la solución a la ecuación de un oscilador armónico son funciones de la forma

Es decir, oscilaciones de amplitud constante. ¿Se sigue de esto que un oscilador real oscilará indefinidamente con una amplitud constante? No, porque considerando un sistema con una fricción arbitrariamente pequeña, obtenemos oscilaciones amortiguadas. El comportamiento del sistema ha cambiado cualitativamente.

Si un sistema conserva su comportamiento cualitativo bajo una pequeña perturbación, se dice que es estructuralmente estable. El oscilador armónico es un ejemplo de un sistema estructuralmente inestable. Sin embargo, este modelo se puede utilizar para estudiar procesos en intervalos de tiempo limitados.

Versatilidad del modelo.

Los modelos matemáticos más importantes suelen tener una importante propiedad de universalidad: el mismo modelo matemático puede describir fenómenos reales fundamentalmente diferentes. Por ejemplo, un oscilador armónico describe no solo el comportamiento de una carga sobre un resorte, sino también otros procesos oscilatorios, a menudo de una naturaleza completamente diferente: pequeñas oscilaciones de un péndulo, fluctuaciones en el nivel del líquido en un recipiente en forma de U o un cambio en la intensidad de la corriente en un circuito oscilatorio. Así, al estudiar un modelo matemático, estudiamos a la vez toda una clase de fenómenos descritos por él. Es este isomorfismo de leyes expresado por modelos matemáticos en varios segmentos el conocimiento científico, la hazaña de Ludwig von Bertalanffy para crear " teoría general sistemas".

Problemas directos e inversos de modelización matemática.

Hay muchos problemas asociados con el modelado matemático. Primero, es necesario llegar al esquema básico del objeto que se está modelando, para reproducirlo en el marco de las idealizaciones de esta ciencia. Entonces, el vagón de tren se convierte en un sistema de placas y más complejo.

cuerpos de diferentes materiales, cada material se especifica como su idealización mecánica estándar, después de lo cual se compilan las ecuaciones, en el camino se descartan algunos detalles como insignificantes, se hacen cálculos, se comparan con las mediciones, se refina el modelo, etc. Sin embargo, para el desarrollo de tecnologías de modelado matemático, es útil desarmar este proceso en sus principales elementos constituyentes.

Tradicionalmente, existen dos clases principales de problemas asociados con los modelos matemáticos: directos e inversos.

Tarea directa: la estructura del modelo y todos sus parámetros se consideran conocidos, la tarea principal es estudiar el modelo para extraer conocimiento útil sobre el objeto. ¿Qué carga estática puede soportar el puente? Cómo reaccionará a una carga dinámica, cómo el avión superará la barrera del sonido, si se desmoronará por el aleteo: estos son ejemplos típicos de un problema directo. La formulación de un problema directo correcto requiere una habilidad especial. Si no se hacen las preguntas correctas, el puente puede colapsar incluso si se construyó. buen modelo por su comportamiento. Entonces, en 1879 en el Reino Unido, se derrumbó un puente de metal sobre el río Tey, cuyos diseñadores construyeron un modelo del puente, lo calcularon para un margen de seguridad de 20 veces para la carga útil, pero se olvidaron de los vientos que soplan constantemente en esos lugares. Y después de un año y medio se derrumbó.

EN En el caso más simple, el problema directo es muy simple y se reduce a una solución explícita de esta ecuación.

Problema inverso: se conoce un conjunto de modelos posibles, es necesario elegir un modelo específico en función de datos adicionales sobre el objeto. La mayoría de las veces, se conoce la estructura del modelo y es necesario determinar algunos parámetros desconocidos. La información adicional puede consistir en datos empíricos adicionales o en los requisitos del objeto. Los datos adicionales pueden provenir independientemente del proceso de resolución del problema inverso o ser el resultado de un experimento especialmente planeado en el curso de la resolución.

Uno de los primeros ejemplos de una solución virtuosa de un problema inverso con el uso más completo posible de los datos disponibles fue el método construido por I. Newton para reconstruir las fuerzas de fricción a partir de las oscilaciones amortiguadas observadas.

EN Otro ejemplo es la estadística matemática. La tarea de esta ciencia es el desarrollo de métodos para registrar, describir y analizar datos observacionales y experimentales con el fin de construir modelos probabilísticos de fenómenos masivos aleatorios. Aquellos. el conjunto de modelos posibles está limitado por modelos probabilísticos. En problemas específicos, el conjunto de modelos es más limitado.

Sistemas informáticos de modelado.

Para respaldar el modelado matemático, se han desarrollado sistemas matemáticos informáticos, por ejemplo, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, etc. Le permiten crear modelos formales y de bloques de procesos y dispositivos simples y complejos y cambiar fácilmente los parámetros del modelo durante simulación. Los modelos de bloques están representados por bloques, cuyo conjunto y conexión están especificados por el diagrama del modelo.

Ejemplos adicionales.

La tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población actual. Está descrita por la ecuación diferencial

donde α es algún parámetro determinado por la diferencia entre fecundidad y mortalidad. La solución a esta ecuación es la función exponencial x = x0 e. Si la tasa de natalidad excede la tasa de mortalidad, el tamaño de la población aumenta indefinidamente y muy rápidamente. Es claro que en realidad esto no puede suceder debido a la limitada

recursos. Cuando se alcanza un determinado tamaño poblacional crítico, el modelo deja de ser adecuado, ya que no tiene en cuenta los recursos limitados. Un refinamiento del modelo de Malthus puede ser el modelo logístico, que se describe mediante la ecuación diferencial de Verhulst

donde xs es el tamaño de la población de "equilibrio", en el que la tasa de natalidad se compensa exactamente con la tasa de mortalidad. El tamaño de la población en tal modelo tiende al valor de equilibrio xs, y este comportamiento es estructuralmente estable.

Supongamos que dos clases de animales viven en un determinado territorio: conejos y zorros. Sea x el número de conejos y y el número de zorros. Utilizando el modelo de Malthus con las correcciones necesarias, teniendo en cuenta el consumo de conejos por parte de los zorros, llegamos al siguiente sistema, que lleva el nombre de modelo de Lotka-Volterra:

Este sistema tiene un estado de equilibrio cuando el número de conejos y zorros es constante. La desviación de este estado conduce a fluctuaciones en el número de conejos y zorros, similares a las fluctuaciones en el oscilador armónico. Como en el caso de un oscilador armónico, este comportamiento no es estructuralmente estable: un pequeño cambio en el modelo puede conducir a un cambio cualitativo en el comportamiento. Por ejemplo, el estado de equilibrio puede volverse estable y las fluctuaciones de la población se desvanecerán. La situación opuesta también es posible, cuando cualquier pequeña desviación de la posición de equilibrio tendrá consecuencias catastróficas, hasta extinción total uno de los tipos. A la pregunta de cuál de estos escenarios se realiza, el modelo Volterra-Lotka no da una respuesta: aquí se requiere investigación adicional.

En el artículo presentado a su atención, ofrecemos ejemplos de modelos matemáticos. Además, prestaremos atención a las etapas de creación de modelos y analizaremos algunos de los problemas asociados con el modelado matemático.

Otro tema nuestro son los modelos matemáticos en economía, ejemplos de los cuales consideraremos una definición un poco más adelante. Proponemos iniciar nuestra conversación con el concepto mismo de “modelo”, considerar brevemente su clasificación y pasar a nuestras preguntas principales.

El concepto de "modelo"

A menudo escuchamos la palabra "modelo". ¿Qué es? Este término tiene muchas definiciones, aquí hay solo tres de ellas:

• un objeto específico que se crea para recibir y almacenar información, reflejando algunas propiedades o características, etc., del original de este objeto (este objeto específico se puede expresar en diferente forma: mental, descripción mediante signos, etc.);
• un modelo también significa una exhibición de cualquier situación, vida o gestión específica;
• una pequeña copia de un objeto puede servir como modelo (se crean para un estudio y análisis más detallado, ya que el modelo refleja la estructura y las relaciones).

En base a todo lo que se dijo anteriormente, podemos sacar una pequeña conclusión: el modelo le permite estudiar en detalle un sistema u objeto complejo.

Todos los modelos se pueden clasificar según una serie de características:

• por área de uso (educativo, experimental, científico y técnico, juegos, simulación);
• por dinámica (estática y dinámica);
• por rama de conocimiento (físico, químico, geográfico, histórico, sociológico, económico, matemático);
• según el método de presentación (material e informativo).

Los modelos de información, a su vez, se dividen en signos y verbales. E icónico: en computadora y no computadora. Ahora pasemos a una consideración detallada de ejemplos de un modelo matemático.

Modelo matemático

Como puede suponer, un modelo matemático refleja algunas características de un objeto o fenómeno utilizando símbolos matemáticos especiales. Las matemáticas son necesarias para modelar las leyes del mundo en su propio lenguaje específico.

El método de modelado matemático se originó hace bastante tiempo, hace miles de años, junto con el advenimiento de esta ciencia. Sin embargo, el impulso para el desarrollo de este método de modelado vino dado por la aparición de las computadoras (computadoras electrónicas).

Ahora pasemos a la clasificación. También se puede llevar a cabo de acuerdo con algunos signos. Se presentan en la siguiente tabla.

Te invitamos a detenerte y echar un vistazo más de cerca. última clasificación, ya que refleja los patrones generales de modelado y los objetivos de los modelos que se crean.

Modelos Descriptivos

En este capítulo, nos proponemos detenernos con más detalle en los modelos matemáticos descriptivos. Para que quede todo muy claro, se dará un ejemplo.

Para empezar, esta vista puede llamarse descriptiva. Esto se debe al hecho de que simplemente hacemos cálculos y pronósticos, pero no podemos influir en el resultado del evento de ninguna manera.

Un ejemplo sorprendente de un modelo matemático descriptivo es el cálculo de la trayectoria de vuelo, la velocidad, la distancia desde la Tierra de un cometa que invadió las extensiones de nuestro sistema solar. Este modelo es descriptivo, ya que todos los resultados obtenidos solo pueden advertirnos de algún tipo de peligro. Lamentablemente, no podemos influir en el resultado del evento. Sin embargo, según los cálculos obtenidos, es posible tomar cualquier medida para preservar la vida en la Tierra.

Modelos de optimización

Ahora hablaremos un poco sobre modelos económicos y matemáticos, cuyos ejemplos pueden ser diversas situaciones. En este caso, estamos hablando de modelos que ayudan a encontrar la respuesta correcta en ciertas condiciones. Deben tener algunos parámetros. Para que quede muy claro, considere un ejemplo de la parte agraria.

Tenemos un granero, pero el grano se echa a perder muy rápido. En este caso, debemos elegir el régimen de temperatura adecuado y optimizar el proceso de almacenamiento.

Así, podemos definir el concepto de "modelo de optimización". En un sentido matemático, este es un sistema de ecuaciones (tanto lineales como no), cuya solución ayuda a encontrar la solución óptima en una situación económica particular. Hemos considerado un ejemplo de modelo matemático (optimización), pero me gustaría agregar una cosa más: este tipo pertenece a la clase de problemas extremos, ayudan a describir el funcionamiento del sistema económico.

Notamos un matiz más: los modelos pueden ser de diferente naturaleza (ver la tabla a continuación).

Modelos multicriterio

Ahora te invitamos a hablar un poco sobre el modelo matemático de optimización multiobjetivo. Antes de eso, dimos un ejemplo de un modelo matemático para optimizar un proceso de acuerdo con cualquier criterio, pero ¿y si hay muchos de ellos?

Un ejemplo llamativo de una tarea multicriterio es la organización de una nutrición adecuada, saludable y al mismo tiempo económica. grandes grupos de la gente. Tales tareas se encuentran a menudo en el ejército, comedores escolares, campamentos de verano, hospitales, etc.

¿Qué criterios se nos dan en esta tarea?

1. La comida debe ser saludable.
2. Los gastos de alimentación deben mantenerse al mínimo.

Como puedes ver, estos objetivos no coinciden en absoluto. Esto quiere decir que a la hora de resolver un problema hay que buscar la solución óptima, un equilibrio entre los dos criterios.

Modelos de juego

Hablando de modelos de juegos, es necesario entender el concepto de "teoría de juegos". En pocas palabras, estos modelos reflejan modelos matemáticos de conflictos reales. Solo vale la pena entender que, a diferencia de un conflicto real, un modelo matemático de juego tiene sus propias reglas específicas.

Ahora daré un mínimo de información de la teoría de juegos, que te ayudará a entender qué es un modelo de juego. Y así, en el modelo necesariamente hay partidos (dos o más), que suelen llamarse jugadores.

Todos los modelos tienen ciertas características.

El modelo de juego puede ser pareado o múltiple. Si tenemos dos sujetos, entonces el conflicto está emparejado, si es más, múltiple. También se puede distinguir un juego antagónico, también se le llama juego de suma cero. Este es un modelo en el que la ganancia de uno de los participantes es igual a la pérdida del otro.

modelos de simulación

En esta sección, nos centraremos en los modelos matemáticos de simulación. Ejemplos de tareas son:

• modelo de la dinámica del número de microorganismos;
• modelo de movimiento molecular, y así sucesivamente.

En este caso, estamos hablando de modelos que se acercan lo más posible a los procesos reales. En general, imitan cualquier manifestación de la naturaleza. En el primer caso, por ejemplo, podemos modelar la dinámica del número de hormigas en una colonia. En este caso, puede observar el destino de cada individuo. En este caso, la descripción matemática rara vez se usa, más a menudo hay condiciones escritas:

• después de cinco días, la hembra pone huevos;
• después de veinte días la hormiga muere, y así sucesivamente.

Tan usado para describir gran sistema. La conclusión matemática es el procesamiento de los datos estadísticos recibidos.

Requisitos

Es muy importante saber que existen algunos requisitos para este tipo de modelo, entre los que se encuentran los que se dan en la siguiente tabla.

Pasos de modelado

En total, se acostumbra distinguir cuatro etapas en el modelado matemático.

1. Formulación de leyes que vinculan partes del modelo.
2. Estudio de problemas matemáticos.
3. Averiguar la coincidencia de resultados prácticos y teóricos.
4. Análisis y modernización del modelo.

Modelo económico y matemático

En esta sección, destacaremos brevemente el problema. Ejemplos de tareas pueden ser:

• formación de un programa de producción para la producción de productos cárnicos, asegurando el máximo beneficio de producción;
• maximizar el beneficio de la organización calculando el número óptimo de mesas y sillas que se producirán en una fábrica de muebles, etc.

El modelo económico-matemático presenta una abstracción económica, que se expresa mediante términos y signos matemáticos.

Modelo matemático por computadora

Ejemplos de un modelo matemático por computadora son:

• tareas de hidráulica mediante diagramas de flujo, diagramas, tablas, etc.;
• problemas de mecánica de sólidos, etc.

Un modelo de computadora es una imagen de un objeto o sistema, presentado como:

• mesas;
• diagramas de bloques;
• diagramas;
• gráficos, y así sucesivamente.

Al mismo tiempo, este modelo refleja la estructura y las interconexiones del sistema.

Construcción de un modelo económico y matemático

Ya hemos hablado de lo que es un modelo económico-matemático. En este momento se considerará un ejemplo de cómo resolver el problema. Necesitamos analizar el programa de producción para identificar la reserva para aumentar las ganancias con un cambio en el surtido.

No consideraremos completamente el problema, sino que solo construiremos un modelo económico y matemático. El criterio de nuestra tarea es la maximización del beneficio. Entonces la función tiene la forma: Л=р1*х1+р2*х2… tendiendo al máximo. En este modelo, p es el beneficio por unidad, x es el número de unidades producidas. Además, con base en el modelo construido, es necesario hacer cálculos y resumir.

Un ejemplo de construcción de un modelo matemático simple

Tarea. El pescador volvió con la siguiente pesca:

• 8 peces - habitantes de los mares del norte;
• 20% de la captura - los habitantes de los mares del sur;
• no se encontró un solo pez en el río local.

¿Cuántos pescados compró en la tienda?

Entonces, un ejemplo de construcción de un modelo matemático de este problema es el siguiente. nosotros designamos total pescado para x Siguiendo la condición, 0.2x es el número de peces que viven en las latitudes del sur. Ahora combinamos toda la información disponible y obtenemos un modelo matemático del problema: x=0.2x+8. Resolvemos la ecuación y obtenemos la respuesta a la pregunta principal: compró 10 pescados en la tienda.

MODELO MATEMÁTICO - representación de un fenómeno o proceso estudiado en un conocimiento científico concreto en el lenguaje de los conceptos matemáticos. Al mismo tiempo, se supone que se obtienen una serie de propiedades del fenómeno en estudio en el camino del estudio de las características matemáticas reales del modelo. Construcción de M.m. la mayoría de las veces dictada por la necesidad de tener un análisis cuantitativo de los fenómenos y procesos estudiados, sin el cual, a su vez, es imposible hacer predicciones experimentalmente verificables sobre su curso.

El proceso de modelado matemático, por regla general, pasa por las siguientes etapas. En la primera etapa, los vínculos entre los principales parámetros del futuro M.m. En primer lugar, estamos hablando de un análisis cualitativo de los fenómenos en estudio y la formulación de patrones que vinculan los principales objetos de investigación. Sobre esta base, se lleva a cabo la identificación de objetos que permitan una descripción cuantitativa. La etapa finaliza con la construcción de un modelo hipotético, es decir, un registro en el lenguaje de los conceptos matemáticos de ideas cualitativas sobre las relaciones entre los objetos principales del modelo, que se pueden caracterizar cuantitativamente.

En la segunda etapa, tiene lugar el estudio de los problemas matemáticos reales, a los que conduce el modelo hipotético construido. Lo principal en esta etapa es obtener consecuencias teóricas empíricamente comprobables (solución del problema directo) como resultado del análisis matemático del modelo. Al mismo tiempo, no son raros los casos en que, para la construcción y el estudio de M.m. V varios campos conocimiento científico concreto, se utiliza el mismo aparato matemático (por ejemplo, ecuaciones diferenciales) y se plantean problemas matemáticos del mismo tipo, aunque muy poco triviales en cada caso concreto. Además, en esta etapa cobra gran importancia el uso de la tecnología informática de alta velocidad (computadora), que permite obtener una solución aproximada de problemas, muchas veces imposibles en el marco de las matemáticas puras, con un antes no disponible (sin el uso de una computadora) grado de precisión.

La tercera etapa se caracteriza por actividades para identificar el grado de adecuación del M.m. hipotético construido. aquellos fenómenos y procesos para el estudio de los cuales fue destinado. Es decir, en el caso de que se hayan especificado todos los parámetros del modelo, los investigadores tratan de averiguar cómo, dentro de la precisión de las observaciones, sus resultados son consistentes con las consecuencias teóricas del modelo. Las desviaciones más allá de la precisión de las observaciones indican la inadecuación del modelo. Sin embargo, a menudo hay casos en los que, al construir un modelo, varios de sus parámetros permanecen sin cambios.

indefinido. Los problemas en los que las características paramétricas del modelo se establecen de tal manera que las consecuencias teóricas son comparables dentro de la precisión de las observaciones con los resultados de las pruebas empíricas se denominan problemas inversos.

En la cuarta etapa, teniendo en cuenta la identificación del grado de adecuación del modelo hipotético construido y la aparición de nuevos datos experimentales sobre los fenómenos objeto de estudio, se procede al posterior análisis y modificación del modelo. Aquí, la decisión tomada varía desde un rechazo incondicional de las herramientas matemáticas aplicadas hasta la adopción del modelo construido como base para construir una teoría científica fundamentalmente nueva.

El primer M.m. apareció en la ciencia antigua. Entonces, para modelar el sistema solar, el matemático y astrónomo griego Eudoxus le dio a cada planeta cuatro esferas, cuya combinación de movimiento creó un hippopede, una curva matemática similar al movimiento observado del planeta. Sin embargo, dado que este modelo no podía explicar todas las anomalías observadas en el movimiento de los planetas, más tarde fue reemplazado por el modelo epicíclico de Apolonio de Perge. Ultimo Modelo usado en sus estudios por Hiparco, y luego, sometiéndolo a alguna modificación, y Ptolomeo. Este modelo, como sus predecesores, se basaba en la creencia de que los planetas realizan movimientos circulares uniformes, cuya superposición explicaba las aparentes irregularidades. Al mismo tiempo, cabe señalar que el modelo copernicano era fundamentalmente nuevo solo en un sentido cualitativo (pero no como M.M.). Y solo Kepler, basado en las observaciones de Tycho Brahe, construyó un nuevo M.m. El sistema solar, demostrando que los planetas no se mueven en órbitas circulares, sino elípticas.

En la actualidad, M.m. construido para describir mecánica y fenomeno fisico. Sobre la adecuación de M.m. fuera de la física uno puede, con algunas excepciones, hablar con bastante cautela. Sin embargo, fijando la hipotética, y a menudo simplemente la inadecuación de M.m. en varios campos del conocimiento, su papel en el desarrollo de la ciencia no debe ser subestimado. Hay casos frecuentes en los que incluso modelos que están lejos de ser adecuados en gran medida organizaron y estimularon más investigaciones, junto con conclusiones erróneas, contenían esos granos de verdad que justificaron plenamente los esfuerzos invertidos en desarrollar estos modelos.

Literatura:

Modelado matemático. M., 1979;

Ruzavin G.I. Matematización del conocimiento científico. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Ecuaciones diferenciales en ecología: reflexión histórica y metodológica // Problemas de la historia de las ciencias naturales y la tecnología. 1997. Nº 3.

Diccionario de términos filosóficos. Edición científica del profesor V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, pág. 310-311.