secuencia numérica

Eva Oganesyan

Secuencias numéricas. Abstracto.

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Institución educativa presupuestaria municipal
"Promedio escuela comprensiva N° 31"
ciudad de barnaúl

Secuencias numéricas

Ensayo

Trabajo completado:
Oganesyan Eva,
Estudiante de octavo grado de MBOU "Escuela secundaria No. 31"
Supervisor:
Poleva Irina Alexandrovna,
profesor de matemáticas MBOU "Escuela secundaria nº 31"

Barnaúl - 2014

Introducción………………………………………………………………………………2

Secuencias numéricas.…………………………………………………………...3

Métodos para especificar secuencias numéricas…………………………...4

Desarrollo de la doctrina de las progresiones………………………………………………..5

Propiedades de las secuencias numéricas……………………………………7

Progresión aritmética………………………………………………9

Progresión geométrica……………………………………………………………….10

Conclusión……………………………………………………………………………………11

Referencias…………………………………………………………11

Introducción

Propósito de este resumen– estudio de conceptos básicos relacionados con las secuencias numéricas, su aplicación en la práctica.
Tareas:

1. Estudiar los aspectos históricos del desarrollo de la doctrina de las progresiones;
2. Considere métodos para especificar y propiedades de secuencias numéricas;
3. Familiarizarse con las progresiones aritméticas y geométricas.

Actualmente, las secuencias numéricas se consideran casos especiales de una función. secuencia numérica es una función de argumento natural. El concepto de secuencia numérica surgió y se desarrolló mucho antes de la creación de la doctrina de la función. A continuación se muestran ejemplos de secuencias de números infinitos conocidas en la antigüedad:

1, 2, 3, 4, 5,… - secuencia números naturales.

2, 4, 6, 8, 10,… - una secuencia de números pares.

1, 3, 5, 7, 9,… - una secuencia de números impares.

1, 4, 9, 16, 25,… - una secuencia de cuadrados de números naturales.

2, 3, 5, 7, 11… - secuencia números primos.

1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - una secuencia de números recíprocos a los números naturales.

El número de miembros de cada una de estas series es infinito; las primeras cinco secuencias aumentan monótonamente, la última disminuye monótonamente. Todas las secuencias enumeradas, excepto la quinta, se dan debido a que para cada una de ellas se conoce un término común, es decir, la regla para obtener un término con cualquier número. Para una secuencia de números primos, se desconoce el término común, pero se remonta al siglo III. antes de Cristo mi. el científico alejandrino Eratóstenes indicó un método (aunque muy engorroso) para obtener su enésimo miembro. Este método fue llamado el “tamiz de Eratóstenes”.

Las progresiones, tipos particulares de secuencias numéricas, se encuentran en monumentos del segundo milenio antes de Cristo. mi.

Secuencias numéricas

Hay varias definiciones de una secuencia numérica.

secuencia numérica – es una secuencia de elementos del espacio numérico (Wikipedia).

secuencia numérica – es un conjunto de números numerados.

Una función de la forma y = f (x), xse llama función de argumento natural osecuencia numéricay denotamos y = f(n) o

, , , …, Para denotar la secuencia, la notación ().

Escribiremos números pares positivos en orden ascendente. El primero de esos números es 2, el segundo es 4, el tercero es 6, el cuarto es 8, etc., entonces obtenemos la secuencia: 2; 4; 6; 8; 10….

Obviamente, en el quinto lugar de esta secuencia estará el número 10, en el décimo lugar el número – 20, en el centésimo lugar el número – 200. En general, para cualquier número natural n, se puede indicar el positivo correspondiente. número par; es igual a 2n.

Veamos otra secuencia. Escribiremos fracciones propias con numerador igual a 1 en orden descendente:

; ; ; ; ; … .

Para cualquier número natural n, podemos indicar la fracción correspondiente; es igual. Entonces, en sexto lugar debería haber una fracción., el día treinta - , en la milésima - una fracción .

Los números que forman la secuencia se llaman primero, segundo, tercero, cuarto, etc., respectivamente. miembros de la secuencia. Los miembros de una secuencia suelen designarse mediante letras con índices que indican el número de serie del miembro. Por ejemplo:, , etc. en general, el miembro de la secuencia con el número n, o, como dicen, enésimo término las secuencias denotan. La secuencia en sí se denota por (). Una secuencia puede contener un número infinito de términos o un número finito. En este caso se llama final. Por ejemplo: una secuencia de números de dos dígitos.10; once; 12; 13; ...; 98; 99

Métodos para especificar secuencias numéricas.

Las secuencias se pueden especificar de varias maneras.

Generalmente es más apropiado establecer la secuenciala fórmula para su enésimo término común, que te permite encontrar cualquier miembro de la secuencia conociendo su número. En este caso decimos que la secuencia está dada analíticamente. Por ejemplo: secuencia de términos pares positivos.=2norte.

Tarea: encuentre la fórmula para el término general de la secuencia (:

6; 20; 56; 144; 352;…

Solución. Escribamos cada miembro de la secuencia de la siguiente forma:

norte=1: 6 = 2 3 = 3 =

norte=2: 20 = 4 5 = 5 =

norte=3: 56 = 8 7 = 7 =

Como vemos, los términos de la secuencia son producto de una potencia de dos multiplicada por números impares sucesivos, con dos elevados a una potencia que es igual al número del elemento en cuestión. Así, concluimos que

Respuesta: fórmula de término general:

Otra forma de especificar una secuencia es especificar la secuencia usandorelación de recurrencia. Una fórmula que expresa cualquier miembro de una secuencia, desde algunos hasta los anteriores (uno o más), se llama recurrente (de la palabra latina recurro - regresar).

En este caso, se especifican uno o varios primeros elementos de la secuencia, y el resto se determinan según alguna regla.

Un ejemplo de una secuencia dada de forma recurrente es la secuencia de números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., en la que cada número posterior, comenzando por el tercero, es la suma de los dos anteriores. unos: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 y así sucesivamente. Esta secuencia se puede especificar de forma recurrente:

norte norte, = 1.

Tarea: subsecuenciase da usando la relación de recurrencia+ , norte norte, = 4. Escribe los primeros términos de esta secuencia.

Solución. Encontremos el tercer término de la secuencia dada:

+ =

Etc.

Al especificar secuencias de forma recurrente, los cálculos resultan muy engorrosos, ya que para encontrar elementos con números grandes, es necesario encontrar todos los miembros anteriores de la secuencia especificada, por ejemplo, encontrarNecesitamos encontrar a los 499 miembros anteriores.

Método descriptivoLa asignación de una secuencia numérica es que explica a partir de qué elementos se construye la secuencia.

Ejemplo 1. "Todos los términos de la secuencia son iguales a 1." Esto significa que estamos hablando de una secuencia estacionaria 1, 1, 1,…, 1,….

Ejemplo 2: "La secuencia consta de todos los números primos en orden ascendente". Por tanto, la secuencia dada es 2, 3, 5, 7, 11,…. Con este método de especificar la secuencia en este ejemplo, es difícil responder a qué es igual, digamos, el elemento número 1000 de la secuencia.

La secuencia numérica también se puede especificar simplementeenumerando a sus miembros.

Desarrollo de la doctrina de las progresiones.

La palabra progresión es de origen latino (progressio), significa literalmente “movimiento hacia adelante” (como la palabra “progreso”) y se encuentra por primera vez en el autor romano Boecio (siglos V-VI). Inicialmente, la palabra progresión se entendía como cualquier secuencia numérica construida según una ley que permite continuarla indefinidamente en una dirección, por ejemplo, una secuencia de números naturales, sus cuadrados y cubos. A finales de la Edad Media y principios de la Edad Moderna, este término deja de ser de uso común. En el siglo XVII, por ejemplo, J. Gregory utiliza el término "series" en lugar de progresión, y otro destacado matemático inglés, J. Wallis, utiliza el término "progresiones infinitas" para series infinitas.

Actualmente consideramos las progresiones como casos especiales de secuencias numéricas.

La información teórica relacionada con las progresiones se encuentra por primera vez en los documentos de la Antigua Grecia que nos han llegado.

En el Salmo, Arquímedes primero compara las progresiones aritméticas y geométricas:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

Las progresiones se consideraban una continuación de las proporciones, razón por la cual los epítetos aritmético y geométrico se transfirieron de las proporciones a las progresiones.

Esta visión de las progresiones fue conservada por muchos matemáticos de los siglos XVII e incluso XVIII. Así es como se debe explicar el hecho de que el símbolo encontrado en Barrow, y luego en otros científicos ingleses de esa época, para denotar una proporción geométrica continua, comenzó a denotar una progresión geométrica en los libros de texto ingleses y franceses del siglo XVIII. Por analogía, la progresión aritmética comenzó a denotarse de esta manera.

Una de las pruebas de Arquímedes, expuesta en su obra “La cuadratura de la parábola”, se reduce esencialmente a la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente.

Para resolver algunos problemas de geometría y mecánica, Arquímedes derivó una fórmula para la suma de cuadrados de números naturales, aunque ya se había utilizado antes que él.

1/6n(n+1)(2n+1)

Los científicos chinos e indios conocían algunas fórmulas relacionadas con las progresiones. Así, Aryabhatta (siglo V) conocía fórmulas para el término general, la suma de una progresión aritmética, etc., Magavira (siglo IX) utilizó la fórmula: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) y otras series más complejas. Sin embargo, la regla para encontrar la suma de términos de una progresión aritmética arbitraria se encuentra por primera vez en el Libro del Ábaco (1202) de Leonardo de Pisa. En "La ciencia de los números" (1484), N. Schuke, como Arquímedes, compara la progresión aritmética con la geométrica y da regla general para sumar cualquier progresión geométrica decreciente infinitesimal. P. Fermat y otros matemáticos del siglo XVII conocían la fórmula para sumar una progresión infinitamente decreciente.

Los problemas sobre progresiones aritméticas (y geométricas) también se encuentran en el antiguo tratado chino “Matemáticas en nueve libros”, que, sin embargo, no contiene instrucciones sobre el uso de ninguna fórmula de suma.

Los primeros problemas de progresión que nos han llegado están relacionados con las exigencias de la vida económica y de la práctica social, como la distribución de productos, la división de la herencia, etc.

De una tablilla cuneiforme podemos concluir que, al observar la luna desde la luna nueva hasta la luna llena, los babilonios llegaron a la siguiente conclusión: en los primeros cinco días después de la luna nueva, el aumento de la iluminación del disco lunar se produce según la ley. de progresión geométrica con denominador 2. En otra tablilla posterior hablamos de la progresión geométrica sumatoria:

1+2+ +…+ . solución y respuesta S=512+(512-1), los datos en la tableta sugieren que el autor usó la fórmula.

Sn= +( -1), sin embargo, nadie sabe cómo llegó hasta allí.

La suma de progresiones geométricas y la compilación de los problemas correspondientes, que no siempre satisfacían las necesidades prácticas, fueron realizadas por muchos aficionados a las matemáticas a lo largo de la Edad Antigua y Media.

Propiedades de las secuencias numéricas

Secuencia numérica - caso especial función numérica y, por lo tanto, algunas propiedades de las funciones (limitación, monotonicidad) también se consideran para secuencias.

Secuencias restringidas

Subsecuencia () se llama acotado superiormente, que para cualquier número n, METRO.

Subsecuencia () se llama delimitado por debajo, si existe tal número m, que para cualquier número n, metro.

Subsecuencia () se llama limitado , si está acotado arriba y acotado abajo, es decir, existe tal número M0, que para cualquier número n, METRO.

Subsecuencia () se llama ilimitado , si existe tal número M0 que existe un número n tal que, METRO.

Tarea: explorar secuencia = a las limitaciones.

Solución. La secuencia dada está acotada, ya que para cualquier número natural n se cumplen las siguientes desigualdades:

0 1,

Es decir, la secuencia está acotada por abajo por cero y al mismo tiempo está acotada por arriba por uno y, por lo tanto, también está acotada.

Respuesta: la secuencia está limitada: desde abajo por cero y desde arriba por uno.

Secuencias ascendentes y descendentes.

Subsecuencia () se llama creciente , si cada miembro es mayor que el anterior:

Por ejemplo, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... es una secuencia creciente.

Subsecuencia () se llama decreciente , si cada uno de sus miembros es menor que el anterior:

Por ejemplo, 1; - secuencia decreciente.

Las secuencias crecientes y decrecientes se combinan mediante un término común:secuencias monótonas. Pongamos algunos ejemplos más.

1; - esta secuencia no es ni creciente ni decreciente (secuencia no monótona).

2n. Se trata de sobre la secuencia 2, 4, 8, 16, 32, ... - una secuencia creciente.

En general, si a > 1, entonces la secuencia= aumenta;

si 0 = disminuye.

Progresión aritmética

Una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, igual a la suma el término anterior y el mismo número d se llamanprogresión aritmética, y el número d es la diferencia de la progresión aritmética.

Por tanto, una progresión aritmética es una secuencia numérica.

X = = + d, (n = 2, 3, 4,…; a y d son números dados).

Ejemplo 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... es una progresión aritmética creciente, que= 1, re = 2.

Ejemplo 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,... es una progresión aritmética decreciente, que= 20, d = –3.

Ejemplo 3. Considere una secuencia de números naturales que, divididos por cuatro, dan un resto de 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21…

Cada uno de sus términos, a partir del segundo, se obtiene sumando al término anterior el número 4. Esta secuencia es un ejemplo de progresión aritmética.

No es difícil encontrar una expresión explícita (fórmula)hasta n. El valor del siguiente elemento aumenta en d en comparación con el anterior, por lo tanto, el valor n del elemento aumentará en (n – 1)d en comparación con el primer término de la progresión aritmética, es decir

= + d (norte – 1). Esta es la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.

Esta es la fórmula de la suma. n términos de una progresión aritmética.

La progresión se llama progresión aritmética porque cada término que contiene, excepto el primero, es igual a la media aritmética de los dos adyacentes: el anterior y el posterior, de hecho,

Progresión geométrica

Una secuencia numérica, todos cuyos términos son distintos de cero y cada uno de cuyos términos, a partir del segundo, se obtiene del término anterior multiplicando por el mismo número q, se llamaprogresión geométrica, y el número q es el denominador de la progresión geométrica. Por tanto, una progresión geométrica es una secuencia numérica (dado recursivamente por las relaciones

B, = q (n = 2, 3, 4...; b y q son números dados).

Ejemplo 1. 2, 6, 18, 54, ... – progresión geométrica creciente

2, q = 3.

Ejemplo 2. 2, –2, 2, –2,… – progresión geométrica= 2, q = –1.

Una de las propiedades obvias de una progresión geométrica es que si la secuencia es una progresión geométrica, entonces también lo es la secuencia de cuadrados, es decir; ;…-

es una progresión geométrica cuyo primer término es igual a, y el denominador es.

La fórmula para el enésimo término de la progresión geométrica es:

Fórmula para la suma de n términos de una progresión geométrica:

Propiedad característicaprogresión geométrica: una secuencia numérica es una progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último en el caso de una secuencia finita), es igual al producto de los términos anterior y posterior,

Conclusión

Muchos científicos han estado estudiando secuencias numéricas durante muchos siglos.Los primeros problemas de progresión que nos han llegado están relacionados con las exigencias de la vida económica y de la práctica social, como la distribución de productos, la división de la herencia, etc. Ellos son uno de los conceptos clave matemáticas. En mi trabajo traté de reflejar los conceptos básicos asociados con las secuencias numéricas, los métodos para definirlas, las propiedades y consideré algunos de ellos. Por separado, se consideraron las progresiones (aritméticas y geométricas) y se discutieron los conceptos básicos asociados con ellas.

Bibliografía

1. A.G. Mordkovich, Álgebra, décimo grado, libro de texto, 2012.
2. A.G. Mordkovich, Álgebra, noveno grado, libro de texto, 2012.
3. Gran libro de referencia para escolares. Moscú, Avutarda, 2001.
4. SOLDADO AMERICANO. Glaser, "La historia de las matemáticas en la escuela",

M.: Educación, 1964.

1. “Matemáticas en la escuela”, revista, 2002.
2. Educativo servicios en línea webmath.ru
3. Enciclopedia en línea de divulgación científica universal "Krugosvet"

La secuencia numérica y su límite representan uno de los problemas más importantes matemáticas a lo largo de la historia de esta ciencia. Conocimientos constantemente actualizados, nuevos teoremas y demostraciones formulados: todo esto nos permite considerar este concepto desde nuevas posiciones y bajo diferentes

Una secuencia numérica, según una de las definiciones más comunes, es una función matemática, cuya base es un conjunto de números naturales ordenados según un patrón particular.

Hay varias opciones para crear secuencias numéricas.

En primer lugar, esta función se puede especificar de la forma llamada "explícita", cuando hay fórmula específica, con la ayuda del cual cada uno de sus miembros se puede determinar simplemente sustituyendo un número de serie en una secuencia determinada.

El segundo método se llama "recurrente". Su esencia es que se especifican los primeros términos de una secuencia numérica, así como una fórmula recurrente especial, con la ayuda de la cual, conociendo el término anterior, se puede encontrar el siguiente.

Finalmente, la mayoría de manera general La asignación de secuencias se denomina así cuando, sin mucha dificultad, no sólo es posible identificar uno u otro miembro bajo un determinado número de serie, sino también, conociendo varios miembros consecutivos, llegar a una fórmula general para una función determinada.

La secuencia numérica puede ser decreciente o creciente. En el primer caso, cada miembro posterior es menor que el anterior, y en el segundo, por el contrario, es mayor.

Al considerar este tema, no se puede dejar de abordar la cuestión de los límites de las secuencias. El límite de una secuencia es un número cuando, para cualquier valor, incluido uno infinitesimal, existe un número ordinal después del cual la desviación de los sucesivos miembros de la secuencia desde un punto dado en forma numérica se vuelve menor que el valor especificado durante la formación. de esta función.

El concepto de límite de una secuencia numérica se utiliza activamente al realizar ciertos cálculos integrales y diferenciales.

Las secuencias matemáticas tienen todo un conjunto de propiedades bastante interesantes.

En primer lugar, cualquier secuencia numérica es un ejemplo de función matemática, por lo tanto, aquellas propiedades que son características de las funciones se pueden aplicar de forma segura a las secuencias. lo mas un ejemplo brillante tales propiedades es la disposición sobre series aritméticas crecientes y decrecientes, que están unidas por una concepto general- secuencias monótonas.

En segundo lugar, hay suficiente grupo grande Las secuencias que no se pueden clasificar como crecientes o decrecientes son secuencias periódicas. En matemáticas, se suelen considerar aquellas funciones en las que existe la denominada duración del período, es decir, con cierto punto(n) comienza a aplicarse la siguiente igualdad: y n = y n+T, donde T será la duración misma del período.

Antes de empezar a decidir problemas de progresión aritmética, consideremos qué es una secuencia numérica, ya que una progresión aritmética es un caso especial de una secuencia numérica.

Una secuencia numérica es un conjunto de números, cada elemento del cual tiene su propio número de serie.. Los elementos de este conjunto se llaman miembros de la secuencia. El número de serie de un elemento de secuencia se indica mediante un índice:

El primer elemento de la secuencia;

Quinto elemento de la secuencia;

- el "enésimo" elemento de la secuencia, es decir elemento "parado en cola" en el número n.

Existe una relación entre el valor de un elemento de secuencia y su número de secuencia. Por tanto, podemos considerar una secuencia como una función cuyo argumento es el número ordinal del elemento de la secuencia. En otras palabras, podemos decir que la secuencia es función del argumento natural:

La secuencia se puede establecer de tres maneras:

1 . La secuencia se puede especificar mediante una tabla. En este caso, simplemente establecemos el valor de cada miembro de la secuencia.

Por ejemplo, alguien decidió dedicarse a la gestión personal de su tiempo y, para empezar, contar cuánto tiempo pasa en VKontakte durante la semana. Al registrar el tiempo en la tabla, recibirá una secuencia que consta de siete elementos:

La primera línea de la tabla indica el número del día de la semana, la segunda, el tiempo en minutos. Vemos que, es decir, el lunes alguien pasó 125 minutos en VKontakte, es decir, el jueves, 248 minutos, y es decir, el viernes solo 15.

2 . La secuencia se puede especificar usando la fórmula del enésimo término.

En este caso, la dependencia del valor de un elemento de secuencia de su número se expresa directamente en forma de fórmula.

Por ejemplo, si , entonces

Para encontrar el valor de un elemento de secuencia con un número dado, sustituimos el número del elemento en la fórmula del enésimo término.

Hacemos lo mismo si necesitamos encontrar el valor de una función si se conoce el valor del argumento. Sustituimos el valor del argumento en la ecuación de la función:

Si, por ejemplo, , Eso

Permítanme señalar una vez más que en una secuencia, a diferencia de una función numérica arbitraria, el argumento sólo puede ser un número natural.

3 . La secuencia se puede especificar mediante una fórmula que expresa la dependencia del valor del miembro número n de la secuencia de los valores de los miembros anteriores. En este caso, no basta con saber sólo el número del miembro de la secuencia para encontrar su valor. Necesitamos especificar el primer miembro o los primeros miembros de la secuencia.

Por ejemplo, considere la secuencia ,

Podemos encontrar los valores de los miembros de la secuencia. en secuencia, a partir del tercero:

Es decir, cada vez que, para encontrar el valor del enésimo término de la secuencia, volvemos a los dos anteriores. Este método de especificar una secuencia se llama recurrente, de la palabra latina recurro- regresar.

Ahora podemos definir una progresión aritmética. Una progresión aritmética es un caso especial simple de una secuencia numérica.

Progresión aritmética es una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual al anterior sumado al mismo número.

el numero se llama diferencia de progresión aritmética. La diferencia de una progresión aritmética puede ser positiva, negativa o igual a cero.

Si título="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} creciente.

Por ejemplo, 2; 5; 8; once;...

Si , entonces cada término de una progresión aritmética es menor que el anterior y la progresión es decreciente.

Por ejemplo, 2; -1; -4; -7;...

Si , entonces todos los términos de la progresión son iguales al mismo número y la progresión es estacionario.

Por ejemplo, 2;2;2;2;...

La principal propiedad de una progresión aritmética:

Miremos el dibujo.

Vemos eso

, y al mismo tiempo

Sumando estas dos igualdades obtenemos:

.

Dividamos ambos lados de la igualdad por 2:

Entonces, cada miembro de la progresión aritmética, a partir del segundo, es igual a la media aritmética de los dos vecinos:

Es más, desde

, y al mismo tiempo

, Eso

, y por lo tanto

Cada término de una progresión aritmética, comenzando con title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

Fórmula del décimo término.

Vemos que los términos de la progresión aritmética satisfacen las siguientes relaciones:

y finalmente

Tenemos fórmula del enésimo término.

¡IMPORTANTE! Cualquier miembro de una progresión aritmética se puede expresar mediante y. Conociendo el primer término y la diferencia de una progresión aritmética, puedes encontrar cualquiera de sus términos.

La suma de n términos de una progresión aritmética.

En una progresión aritmética arbitraria, las sumas de términos equidistantes de los extremos son iguales entre sí:

Considere una progresión aritmética con n términos. Sea la suma de n términos de esta progresión igual a .

Organicemos los términos de la progresión primero en orden ascendente de números y luego en orden descendente:

Sumemos por parejas:

La suma en cada paréntesis es , el número de pares es n.

Obtenemos:

Entonces, La suma de n términos de una progresión aritmética se puede encontrar usando las fórmulas:

Consideremos resolver problemas de progresión aritmética.

1 . La secuencia viene dada por la fórmula del enésimo término: . Demuestre que esta secuencia es una progresión aritmética.

Demostremos que la diferencia entre dos términos adyacentes de la secuencia es igual al mismo número.

Encontramos que la diferencia entre dos miembros adyacentes de la secuencia no depende de su número y es una constante. Por tanto, por definición, esta secuencia es una progresión aritmética.

2 . Dada una progresión aritmética -31; -27;...

a) Encuentra 31 términos de la progresión.

b) Determina si el número 41 está incluido en esta progresión.

A) Vemos eso ;

Escribamos la fórmula para el enésimo término de nuestra progresión.

En general

En nuestro caso , Es por eso

Obtenemos:

b) Supongamos que el número 41 es miembro de la secuencia. Busquemos su número. Para hacer esto, resolvamos la ecuación:

Tenemos valor natural n, por lo tanto, sí, el número 41 es miembro de la progresión. Si el valor encontrado de n no fuera un número natural, entonces responderíamos que el número 41 NO es miembro de la progresión.

3 . a) Entre los números 2 y 8, inserta 4 números para que, junto con estos números, formen una progresión aritmética.

b) Calcula la suma de los términos de la progresión resultante.

A) Insertemos cuatro números entre los números 2 y 8:

Obtuvimos una progresión aritmética con 6 miembros.

Encontremos la diferencia de esta progresión. Para ello utilizamos la fórmula del enésimo término:

Ahora es fácil encontrar el significado de los números:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

Respuesta: a) sí; segundo) 30

4. El camión transporta una carga de piedra triturada que pesa 240 toneladas, aumentando la tasa de transporte en la misma cantidad de toneladas cada día. Se sabe que el primer día se transportaron 2 toneladas de piedra triturada. Determine cuántas toneladas de piedra triturada se transportaron el duodécimo día si todo el trabajo se completó en 15 días.

Según la condición del problema, la cantidad de piedra triturada que transporta el camión aumenta en la misma cantidad todos los días. Por tanto, estamos ante una progresión aritmética.

Formulemos este problema en términos de una progresión aritmética.

Durante el primer día se transportaron 2 toneladas de piedra triturada: a_1=2.

Todo el trabajo se completó en 15 días: .

El camión transporta un lote de piedra triturada que pesa 240 toneladas:

Necesitamos encontrar.

Primero, encontremos la diferencia de progresión. Usemos la fórmula para la suma de n términos de una progresión.

En nuestro caso:

La función a n =f (n) del argumento natural n (n=1; 2; 3; 4;...) se llama secuencia numérica.

Números un 1; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, que forman una secuencia, se llaman miembros de una secuencia numérica. Entonces a 1 =f (1); a 2 = f (2); a 3 = f (3); a 4 = f (4);…

Entonces, los miembros de la secuencia se designan con letras que indican los índices: los números de serie de sus miembros: a 1 ; un 2 ; un 3 ; a 4 ;…, por lo tanto, a 1 es el primer miembro de la secuencia;

un 2 es el segundo término de la secuencia;

un 3 es el tercer miembro de la secuencia;

un 4 es el cuarto término de la secuencia, etc.

Brevemente la secuencia numérica se escribe de la siguiente manera: a n =f (n) o (a n).

Existen las siguientes formas de especificar una secuencia numérica:

1) Método verbal. Representa un patrón o regla para la disposición de los miembros de una secuencia, descrito con palabras.

Ejemplo 1. Escribe una secuencia de todos los números no negativos que sean múltiplos de 5.

Solución. Como todos los números que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5, la secuencia se escribirá así:

0; 5; 10; 15; 20; 25; ...

Ejemplo 2. Dada la secuencia: 1; 4; 9; dieciséis; 25; 36; ... . Pregúntalo verbalmente.

Solución. Observamos que 1=1 2 ; 4=2 2 ; 9=3 2 ; 16=4 2 ; 25=5 2 ; 36=6 2 ; ... Concluimos: dada una secuencia formada por cuadrados de números naturales.

2) Método analítico. La secuencia viene dada por la fórmula del enésimo término: a n =f (n). Usando esta fórmula, puedes encontrar cualquier miembro de la secuencia.

Ejemplo 3. Se conoce la expresión para el k-ésimo término de una secuencia numérica: a k = 3+2·(k+1). Calcula los primeros cuatro términos de esta secuencia.

a 1 =3+2∙(1+1)=3+4=7;

a 2 =3+2∙(2+1)=3+6=9;

a 3 =3+2∙(3+1)=3+8=11;

a 4 =3+2∙(4+1)=3+10=13.

Ejemplo 4. Determine la regla para componer una secuencia numérica usando sus primeros miembros y exprese el término general de la secuencia usando una fórmula más simple: 1; 3; 5; 7; 9; ... .

Solución. Notamos que nos dan una secuencia de números impares. Cualquier número impar se puede escribir en la forma: 2k-1, donde k es un número natural, es decir k=1; 2; 3; 4; ... . Respuesta: a k = 2k-1.

3) Método recurrente. La secuencia también está dada por una fórmula, pero no por una fórmula de término general, que depende únicamente del número del término. Se especifica una fórmula mediante la cual cada término siguiente se encuentra a través de los términos anteriores. En el caso del método recurrente de especificar una función, siempre se especifican adicionalmente uno o varios primeros miembros de la secuencia.

Ejemplo 5. Escribe los primeros cuatro términos de la secuencia (a n ),

si un 1 =7; un norte+1 = 5+un norte .

un 2 =5+un 1 =5+7=12;

a 3 =5+a 2 =5+12=17;

a 4 =5+a 3 =5+17=22. Respuesta: 7; 12; 17; 22; ... .

Ejemplo 6. Escribe los primeros cinco términos de la secuencia (b n),

si b 1 = -2, b 2 = 3; segundo norte+2 = 2b norte + segundo norte+1 .

segundo 3 = 2∙b 1 + segundo 2 = 2∙(-2) + 3 = -4+3=-1;

segundo 4 = 2∙b 2 + segundo 3 = 2∙3 +(-1) = 6 -1 = 5;

segundo 5 = 2∙b 3 + segundo 4 = 2∙(-1) + 5 = -2 +5 = 3. Respuesta: -2; 3; -1; 5; 3; ... .

4) Método gráfico. La secuencia numérica está dada por un gráfico, que representa puntos aislados. Las abscisas de estos puntos son números naturales: n=1; 2; 3; 4; ... . Las ordenadas son los valores de los miembros de la secuencia: a 1 ; un 2 ; un 3 ; un 4 ;… .

Ejemplo 7. Escriba gráficamente los cinco términos de la secuencia numérica dada.

Cada punto en este plano de coordenadas tiene coordenadas (n; a n). Anotamos las coordenadas de los puntos marcados en orden ascendente de abscisa n.

Obtenemos: (1; -3), (2; 1), (3; 4), (4; 6), (5; 7).

Por tanto, a 1 = -3; un 2 =1; un 3 =4; un 4 =6; un 5 = 7.

Respuesta: -3; 1; 4; 6; 7.

La secuencia numérica considerada como función (en el ejemplo 7) está dada por el conjunto de los primeros cinco números naturales (n=1; 2; 3; 4; 5), por lo tanto, es secuencia de números finitos(consta de cinco miembros).

Si se da una secuencia numérica como función para todo el conjunto de números naturales, entonces dicha secuencia será una secuencia numérica infinita.

La secuencia numérica se llama creciente, si sus miembros son crecientes (an+1 >a n) y decrecientes, si sus miembros están disminuyendo(un n+1

Una secuencia numérica creciente o decreciente se llama monótono.