Cálculo de una integral definida. Fórmula de Newton-Leibniz. Derivadas de orden superior Derivadas de orden superior de funciones especificadas implícitamente

El texto de la obra se publica sin imágenes ni fórmulas.
La versión completa del trabajo está disponible en la pestaña "Archivos de Trabajo" en formato PDF

"¡Yo también, el binomio de Newton!»

de la novela "El Maestro y Margarita"

“El triángulo de Pascal es tan simple que hasta un niño de diez años puede escribirlo. Al mismo tiempo, esconde tesoros inagotables y conecta diversos aspectos de las matemáticas que a primera vista no tienen nada en común. Propiedades tan inusuales nos permiten considerar el triángulo de Pascal como uno de los diagramas más elegantes de todas las matemáticas”.

Martín Gardner.

Objetivo del trabajo: Generalizar fórmulas de multiplicación abreviadas y mostrar su aplicación a la resolución de problemas.

Tareas:

1) estudiar y sistematizar información sobre este tema;

2) analizar ejemplos de problemas utilizando el binomio de Newton y fórmulas para la suma y diferencia de potencias.

Objetos de estudio: Binomio de Newton, fórmulas de sumas y diferencias de potencias.

Métodos de búsqueda:

Trabajar con literatura educativa y de divulgación científica, recursos de Internet.

Cálculos, comparación, análisis, analogía.

Relevancia. Una persona a menudo tiene que enfrentarse a problemas en los que necesita contar el número de todas las formas posibles de colocar algunos objetos o el número de todas las formas posibles de realizar alguna acción. Los diferentes caminos u opciones que una persona tiene que elegir suman una gran variedad de combinaciones. Y toda una rama de las matemáticas, llamada combinatoria, está ocupada buscando respuestas a las preguntas: ¿cuántas combinaciones hay en un caso dado?

Con cantidades combinatorias tienen que lidiar representantes de muchas especialidades: químico, biólogo, diseñador, despachador, etc. Recientemente, el rápido desarrollo de la cibernética y la tecnología informática ha provocado un mayor interés por la combinatoria.

Introducción

Cuando quieren enfatizar que el interlocutor está exagerando la complejidad de los problemas que enfrenta, dicen: “¡A mí también me gusta el binomio de Newton!”. Dicen, aquí está el binomio de Newton, es complicado, ¡pero qué problemas tienes! Incluso aquellas personas cuyos intereses no tienen nada que ver con las matemáticas han oído hablar del binomio de Newton.

La palabra "binomial" significa binomial, es decir la suma de dos términos. Las llamadas fórmulas de multiplicación abreviadas se conocen en el curso escolar:

( A+b) 2 =un 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 =un 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Una generalización de estas fórmulas es una fórmula llamada fórmula binomial de Newton. En la escuela también se utilizan fórmulas para factorizar diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos. ¿Se generalizan a otros grados? Sí, existen tales fórmulas, a menudo se usan para resolver diversos problemas: demostrar divisibilidad, reducir fracciones, cálculos aproximados.

El estudio de fórmulas generalizadoras desarrolla el pensamiento matemático deductivo y la capacidad de pensamiento general.

SECCIÓN 1. FÓRMULA BINOMAL DE NEWTON

Combinaciones y sus propiedades.

Sea X un conjunto formado por n elementos. Cualquier subconjunto Y de un conjunto X que contenga k elementos se denomina combinación de k elementos de n, con k ≤ n.

El número de combinaciones diferentes de k elementos de n se denota por C n k. Una de las fórmulas más importantes de la combinatoria es la siguiente fórmula para el número C n k:

Se puede escribir, tras obvias abreviaturas, de la siguiente manera:

En particular,

Esto es bastante coherente con el hecho de que en el conjunto X sólo hay un subconjunto de 0 elementos: el subconjunto vacío.

Los números C n k tienen varias propiedades notables.

La fórmula es correcta: С n k = С n - k n , (3)

El significado de la fórmula (3) es que existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos los subconjuntos de k miembros de X y el conjunto de todos los subconjuntos de (n - k) miembros de X: para establecer esta correspondencia, es suficiente que cada subconjunto de k miembros de Y compare su complemento en el conjunto X.

La fórmula correcta es С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

La suma del lado izquierdo expresa el número de todos los subconjuntos del conjunto X (C 0 n es el número de subconjuntos de 0 miembros, C 1 n es el número de subconjuntos de un miembro, etc.).

Para cualquier k, 1≤ k≤ n, la igualdad es verdadera

C k norte = C norte -1 k + C norte -1 k -1 (5)

Esta igualdad es fácil de obtener usando la fórmula (1). En efecto,

1.2. Derivación de la fórmula binomial de Newton

Considere las potencias del binomio. un +b .

norte = 0, (a +b ) 0 = 1

norte = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

norte = 2,(un +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

norte = 3,(un +b ) 3 = 1 un 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

norte = 4,(un +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

norte = 5,(un +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Observemos los siguientes patrones:

El número de términos del polinomio resultante es uno mayor que el exponente del binomio;

El exponente del primer término disminuye de n a 0, el exponente del segundo término aumenta de 0 a n;

Los grados de todos los monomios son iguales al grado del binomio en la condición;

Cada monomio es el producto de la primera y la segunda expresión en varias potencias y un número determinado: un coeficiente binomial;

Los coeficientes binomiales equidistantes del principio y del final de la expansión son iguales.

Una generalización de estas fórmulas es la siguiente fórmula, llamada fórmula binomial de Newton:

(a + b ) norte = C 0 norte a norte b 0 + C 1 norte a norte -1 b + C 2 norte a norte -2 b 2 + ... + C norte -1 norte ab norte -1 + C norte norte a 0 b norte . (6)

En esta fórmula norte puede ser cualquier número natural.

Derivemos la fórmula (6). Antes que nada, anotemos:

(a + b ) norte = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

donde el número de paréntesis a multiplicar es igual a norte. De la regla habitual de multiplicar una suma por una suma se deduce que la expresión (7) es igual a la suma de todos los productos posibles, que pueden componerse de la siguiente manera: cualquier término de la primera de las sumas a+b multiplicado por cualquier término de la segunda suma a+b, a cualquier término de la tercera suma, etc.

De lo anterior queda claro que el término en la expresión para (a + b ) norte corresponden (uno a uno) a cadenas de longitud n compuestas de letras a y B. Entre los términos habrá términos similares; es obvio que dichos miembros corresponden a cadenas que contienen el mismo número de letras A. Pero el número de líneas que contienen exactamente k veces la letra A, es igual a C n k . Esto significa que la suma de todos los términos que contienen la letra a con un factor exactamente k veces es igual a C n k a norte - k b k . Dado que k puede tomar valores 0, 1, 2, ..., n-1, n, entonces la fórmula (6) se desprende de nuestro razonamiento. Tenga en cuenta que (6) se puede escribir de forma más breve: (8)

Aunque la fórmula (6) lleva el nombre de Newton, en realidad fue descubierta incluso antes que Newton (por ejemplo, Pascal lo sabía). El mérito de Newton radica en el hecho de que encontró una generalización de esta fórmula para el caso de exponentes no enteros. Fue I. Newton en 1664-1665. derivó una fórmula que expresa el grado del binomio para exponentes fraccionarios y negativos arbitrarios.

Los números C 0 n, C 1 n, ..., C n n incluidos en la fórmula (6) suelen denominarse coeficientes binomiales, que se definen de la siguiente manera:

De la fórmula (6) se pueden obtener varias propiedades de estos coeficientes. Por ejemplo, suponiendo A=1, b = 1, obtenemos:

2 norte = C 0 norte + C 1 norte + C 2 norte + C 3 norte + ... +C norte norte,

aquellos. fórmula (4). Si pones A= 1, b = -1, entonces tendremos:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

o C 0 norte + C 2 norte + C 4 norte + ... = C 1 norte + C 3 norte + + C 5 norte + ... .

Esto significa que la suma de los coeficientes de los términos pares del desarrollo es igual a la suma de los coeficientes de los términos impares del desarrollo; cada uno de ellos es igual a 2 n -1 .

Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos del desarrollo son iguales. Estas propiedades se derivan de la relación: C n k = C n n - k

Un caso especial interesante

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

o más corto (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Teorema del polinomio

Teorema.

Prueba.

Para obtener un monomio después de abrir los corchetes, es necesario seleccionar aquellos corchetes de los que se toma, aquellos corchetes de los que se toma, etc. y aquellos corchetes de los que se toma. El coeficiente de este monomio después de reunir términos similares es igual al número de formas en que se puede hacer tal elección. El primer paso de la secuencia de elecciones se puede realizar de alguna manera, el segundo paso - en, el tercero - etc., el décimo paso - de manera. El coeficiente requerido es igual al producto.

SECCIÓN 2. Derivados de orden superior.

El concepto de derivadas de orden superior.

Sea la función diferenciable en algún intervalo. Entonces su derivada, en términos generales, depende de X, es decir, es función de X. En consecuencia, en relación con él, se puede plantear nuevamente la cuestión de la existencia de un derivado.

Definición . La derivada de la primera derivada se llama derivada de segundo orden o derivada de segundo orden y se denota con el símbolo o, es decir

Definición . La derivada de la segunda derivada se llama derivada de tercer orden o derivada de tercer orden y se denota con el símbolo o.

Definición . Derivadonorte -ésimo orden funciones se llama primera derivada de la derivada (norte -1)ésimo orden de esta función y se denota con el símbolo o:

Definición . Las derivadas de orden superior al primero se llaman derivados superiores.

Comentario. De manera similar, podemos obtener la fórmula norte-ésima derivada de la función:

Segunda derivada de una función definida paramétricamente

Si una función está dada paramétricamente mediante ecuaciones, entonces para encontrar la derivada de segundo orden es necesario derivar la expresión de su primera derivada como una función compleja de la variable independiente.

Desde entonces

y teniendo en cuenta que,

Lo entendemos, eso es.

La tercera derivada se puede encontrar de manera similar.

Diferencial de suma, producto y cociente.

Dado que el diferencial se obtiene de la derivada multiplicándola por el diferencial de la variable independiente, entonces, conociendo las derivadas de las funciones elementales básicas, así como las reglas para encontrar derivadas, se pueden llegar a reglas similares para encontrar diferenciales.

1 0 . El diferencial de la constante es cero..

2 0 . El diferencial de una suma algebraica de un número finito de funciones diferenciables es igual a la suma algebraica de los diferenciales de estas funciones .

3 0 . El diferencial del producto de dos funciones diferenciables es igual a la suma de los productos de la primera función por el diferencial de la segunda y la segunda función por el diferencial de la primera. .

Consecuencia. El multiplicador constante se puede sacar del signo diferencial.

2.3. Funciones definidas paramétricamente, su diferenciación.

Definición . Se dice que una función está especificada paramétricamente si ambas variables X Y y se definen cada una por separado como funciones de un solo valor de la misma variable auxiliar - parámetrot :

Dóndet varía dentro.

Comentario . Presentemos las ecuaciones paramétricas de un círculo y una elipse.

a) Circunferencia con centro en el origen y radio r tiene ecuaciones paramétricas:

b) Escribamos las ecuaciones paramétricas de la elipse:

Al excluir el parámetro t A partir de las ecuaciones paramétricas de las líneas consideradas, se puede llegar a sus ecuaciones canónicas.

Teorema . Si la función y del argumento x está dada paramétricamente por ecuaciones donde y son diferenciables con respecto at funciones y luego.

2.4. Fórmula de Leibniz

Para encontrar la derivada norte El orden de décimo del producto de dos funciones, la fórmula de Leibniz es de gran importancia práctica.

Dejar tu Y v- algunas funciones de una variable X, teniendo derivadas de cualquier orden y y = ultravioleta. vamos a expresar norte-ésima derivada a través de derivadas de funciones tu Y v .

Hemos consistentemente

Es fácil notar la analogía entre las expresiones de la segunda y tercera derivada y el desarrollo del binomio de Newton en la segunda y tercera potencia, respectivamente, pero en lugar de exponentes hay números que determinan el orden de la derivada y las funciones mismas. pueden considerarse como “derivados de orden cero”. Teniendo esto en cuenta obtenemos la fórmula de Leibniz:

Esta fórmula se puede probar mediante inducción matemática.

SECCIÓN 3. APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE LEIBNITZ.

Para calcular la derivada de cualquier orden a partir del producto de dos funciones, sin pasar por la aplicación secuencial de la fórmula para calcular la derivada del producto de dos funciones, utilice Fórmula de Leibniz.

Usando esta fórmula, consideraremos ejemplos de cómo calcular la derivada de enésimo orden del producto de dos funciones.

Ejemplo 1.

Encuentra la derivada de segundo orden de una función.

Según la definición, la segunda derivada es la primera derivada de la primera derivada, es decir

Por lo tanto, primero encontramos la derivada de primer orden de la función dada de acuerdo con reglas de diferenciación y usando tabla de derivados:

Ahora encontremos la derivada de la derivada de primer orden. Esta será la derivada de segundo orden deseada:

Respuesta:

Ejemplo 2.

Encuentra la derivada de orden ésimo de una función.

Solución.

Encontraremos secuencialmente derivadas de primer, segundo, tercer orden, etc., de una función dada para establecer un patrón que pueda generalizarse a la enésima derivada.

Encontramos la derivada de primer orden como derivada del cociente:

Aquí la expresión se llama factorial de un número. El factorial de un número es igual al producto de números del uno al, es decir

La derivada de segundo orden es la primera derivada de la primera derivada, es decir

Derivada de tercer orden:

Cuarta derivada:

Note el patrón: en el numerador hay un factorial de un número que es igual al orden de la derivada, y en el denominador la expresión elevada a la potencia es uno mayor que el orden de la derivada, es decir

Respuesta.

Ejemplo 3.

Encuentra el valor de la tercera derivada de la función en un punto.

Solución.

De acuerdo a tabla de derivadas de orden superior, tenemos:

En el ejemplo considerado, es decir, obtenemos

Tenga en cuenta que se podría obtener un resultado similar encontrando secuencialmente las derivadas.

En un punto dado la tercera derivada es igual a:

Respuesta:

Ejemplo 4.

Encuentra la segunda derivada de una función.

Solución. Primero, encontremos la primera derivada:

Para encontrar la segunda derivada, derivamos nuevamente la expresión de la primera derivada:

Respuesta:

Ejemplo 5.

encontrar si

Dado que la función dada es producto de dos funciones, para encontrar la derivada de cuarto orden sería aconsejable aplicar la fórmula de Leibniz:

Encontremos todas las derivadas y calculemos los coeficientes de los términos.

1) Calculemos los coeficientes de los términos:

2) Encuentra las derivadas de la función:

3) Encuentra las derivadas de la función:

Respuesta:

Ejemplo 6.

Dada la función y=x 2 cos3x. Encuentra la derivada de tercer orden.

Sea u=cos3x, v=x 2 . Luego, usando la fórmula de Leibniz, encontramos:

Las derivadas de esta expresión tienen la forma:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Por lo tanto, la tercera derivada de la función dada es igual a

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Ejemplo 7.

Encuentra la derivada norte función de orden y=x 2 cosx.

Usemos la fórmula de Leibniz, suponiendou=cosx, v=x 2 . Entonces

Los restantes términos de la serie son iguales a cero, ya que(x2)(i)=0 para i>2.

derivada sustantivo, femenino— ésimo orden de la función coseno:

Por lo tanto, la derivada de nuestra función es igual a

CONCLUSIÓN

En la escuela se estudian y utilizan las llamadas fórmulas de multiplicación abreviadas: cuadrados y cubos de la suma y diferencia de dos expresiones y fórmulas para factorizar la diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos de dos expresiones. Una generalización de estas fórmulas es la fórmula llamada fórmula binomial de Newton y la fórmula para factorizar la suma y diferencia de potencias. Estas fórmulas se utilizan a menudo para resolver diversos problemas: demostrar divisibilidad, reducir fracciones y cálculos aproximados. Se consideran propiedades interesantes del triángulo de Pascal, que están estrechamente relacionadas con el binomio de Newton.

El trabajo sistematiza información sobre el tema, proporciona ejemplos de problemas que utilizan el binomio de Newton y fórmulas para la suma y diferencia de potencias. El trabajo se puede utilizar en el trabajo de un círculo matemático, así como para el estudio independiente por parte de aquellos interesados ​​en las matemáticas.

LISTA DE FUENTES UTILIZADAS

1.Vilenkin N.Ya. Combinatoria.- ed. "La ciencia". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra e inicio del análisis matemático. Décimo grado: libro de texto. para educación general organizaciones niveles básico y avanzado - M.: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.

3. Resolución de problemas de estadística, combinatoria y teoría de probabilidades. 7-9 grados / autor - compilador V.N. Studenétskaya. - editor. 2do, revisado, - Volgogrado: Profesor, 2009.

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Ecuaciones algebraicas de grados superiores / manual metodológico para estudiantes del departamento preparatorio interuniversitario. - San Petersburgo, 2001.

5. Sharygin I.F. Curso optativo de matemáticas: Resolución de problemas. Libro de texto para décimo grado. escuela secundaria. - M.: Educación, 1989.

6.Ciencia y vida, el binomio de Newton y el triángulo de Pascal[Recurso electrónico]. - Modo de acceso: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Se da la fórmula de Leibniz para calcular la enésima derivada del producto de dos funciones. Su demostración se da de dos maneras. Se considera un ejemplo de cálculo de la derivada de enésimo orden.

Ver también: Derivada del producto de dos funciones

Fórmula de Leibniz

Usando la fórmula de Leibniz, puedes calcular la derivada de enésimo orden del producto de dos funciones. Se parece a esto:
(1) ,
Dónde
- coeficientes binomiales.

Los coeficientes binomiales son los coeficientes de la expansión de un binomio en potencias y:
.
Además, el número es el número de combinaciones de n a k.

Prueba de la fórmula de Leibniz

Apliquemos la fórmula para la derivada del producto de dos funciones:
(2) .
Reescribamos la fórmula (2) de la siguiente forma:
.
Es decir, consideramos que una función depende de la variable x y la otra de la variable y. Al final del cálculo asumimos . Entonces la fórmula anterior se puede escribir de la siguiente manera:
(3) .
Dado que la derivada es igual a la suma de los términos, y cada término es el producto de dos funciones, entonces para calcular derivadas de órdenes superiores, se puede aplicar la regla (3) de manera consistente.

Entonces para la derivada de enésimo orden tenemos:

.
Considerando que y , obtenemos la fórmula de Leibniz:
(1) .

Prueba por inducción

Presentemos una prueba de la fórmula de Leibniz utilizando el método de inducción matemática.

Escribamos una vez más la fórmula de Leibniz:
(4) .
Para n = 1 tenemos:
.
Esta es la fórmula para la derivada del producto de dos funciones. Ella es justa.

Supongamos que la fórmula (4) es válida para la derivada de enésimo orden. Demostremos que es válido para la derivada n + 1 -ésimo orden.

Diferenciamos (4):
;



.
Entonces encontramos:
(5) .

Sustituyamos en (5) y tengamos en cuenta que:

.
Esto muestra que la fórmula (4) tiene la misma forma para la derivada n + 1 -ésimo orden.

Entonces, la fórmula (4) es válida para n = 1 . Del supuesto de que es válido para algún número n = m se deduce que es válido para n = m + 1 .
La fórmula de Leibniz ha sido probada.

Ejemplo

Calcular la enésima derivada de una función.
.

Apliquemos la fórmula de Leibniz
(2) .
En nuestro caso
;
.

De la tabla de derivadas tenemos:
.
Aplicamos las propiedades de las funciones trigonométricas:
.
Entonces
.
Esto muestra que la diferenciación de la función seno conduce a su desplazamiento en . Entonces
.

Encontrar derivadas de la función.
;
;
;
, .

Dado que para , en la fórmula de Leibniz sólo los tres primeros términos son distintos de cero. Encontrar coeficientes binomiales.
;
.

Según la fórmula de Leibniz tenemos:

.

La resolución de problemas aplicados se reduce a calcular la integral, pero no siempre es posible hacerlo con precisión. A veces es necesario conocer el valor de una determinada integral con cierto grado de precisión, por ejemplo, hasta la milésima.

Hay problemas en los que sería necesario encontrar el valor aproximado de una determinada integral con la precisión requerida, entonces se utiliza integración numérica como el método de Simposny, trapecios y rectángulos. No todos los casos nos permiten calcularlo con cierta precisión.

Este artículo examina la aplicación de la fórmula de Newton-Leibniz. Esto es necesario para un cálculo preciso de la integral definida. Daremos ejemplos detallados, consideraremos cambios de variable en la integral definida y encontraremos los valores de la integral definida al integrar por partes.

Fórmula de Newton-Leibniz

Cuando la función y = y (x) es continua desde el intervalo [ a ; b ] , y F (x) es una de las primitivas de la función de este segmento, entonces Fórmula de Newton-Leibniz considerado justo. Escribámoslo así: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Esta fórmula se considera La fórmula básica del cálculo integral.

Para demostrar esta fórmula, es necesario utilizar el concepto de integral con un límite superior variable disponible.

Cuando la función y = f (x) es continua desde el intervalo [ a ; b ], entonces el valor del argumento x ∈ a; b , y la integral tiene la forma ∫ a x f (t) d t y se considera una función del límite superior. Es necesario tomar la notación de la función que tomará la forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , es continua, y una desigualdad de la forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f(x) es válida para ello.

Fijemos que el incremento de la función Φ (x) corresponde al incremento del argumento ∆ x , es necesario utilizar la quinta propiedad principal de la integral definida y obtenemos

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆x

donde valor c ∈ x; x + ∆ x .

Fijemos la igualdad en la forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Por definición de la derivada de una función, es necesario ir al límite como ∆ x → 0, luego obtenemos una fórmula de la forma Φ " (x) = f (x). Encontramos que Φ (x) es una de las primitivas de una función de la forma y = f (x), ubicada en [a;b]. De lo contrario, la expresión se puede escribir

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, donde el valor de C es constante.

Calculemos F (a) usando la primera propiedad de la integral definida. Entonces entendemos eso

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, por lo tanto obtenemos que C = F (a). El resultado es aplicable al calcular F (b) y obtenemos:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), en otras palabras, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a). La igualdad se demuestra mediante la fórmula de Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Tomamos el incremento de la función como F x a b = F (b) - F (a) . Usando la notación, la fórmula de Newton-Leibniz toma la forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Para aplicar la fórmula es necesario conocer una de las primitivas y = F (x) de la función integrando y = f (x) del segmento [ a ; b ], calcule el incremento de la antiderivada de este segmento. Veamos algunos ejemplos de cálculos que utilizan la fórmula de Newton-Leibniz.

Ejemplo 1

Calcula la integral definida ∫ 1 3 x 2 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.

Solución

Considere que el integrando de la forma y = x 2 es continuo desde el intervalo [ 1 ; 3 ], entonces es integrable en este intervalo. De la tabla de integrales indefinidas vemos que la función y = x 2 tiene un conjunto de primitivas para todos los valores reales de x, lo que significa x ∈ 1; 3 se escribirá como F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Es necesario tomar la antiderivada con C = 0, luego obtenemos que F (x) = x 3 3.

Usamos la fórmula de Newton-Leibniz y encontramos que el cálculo de la integral definida toma la forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Respuesta:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Ejemplo 2

Calcula la integral definida ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x usando la fórmula de Newton-Leibniz.

Solución

La función dada es continua desde el segmento [-1; 2 ], lo que significa que es integrable en él. Es necesario encontrar el valor de la integral indefinida ∫ x · e x 2 + 1 d x usando el método de subsumir bajo el signo diferencial, luego obtenemos ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 mi x 2 + 1 + C .

Por tanto tenemos un conjunto de primitivas de la función y = x · e x 2 + 1, que son válidas para todo x, x ∈ - 1; 2.

Es necesario tomar la antiderivada en C = 0 y aplicar la fórmula de Newton-Leibniz. Luego obtenemos una expresión de la forma

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 mi 2 (mi 3 - 1)

Respuesta:∫ - 1 2 x mi x 2 + 1 d x = 1 2 mi 2 (mi 3 - 1)

Ejemplo 3

Calcula las integrales ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x y ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Solución

Segmento - 4; - 1 2 dice que la función bajo el signo integral es continua, lo que significa que es integrable. A partir de aquí encontramos el conjunto de primitivas de la función y = 4 x 3 + 2 x 2. lo entendemos

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Es necesario tomar la antiderivada F (x) = 2 x 2 - 2 x, luego, aplicando la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos la integral, que calculamos:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Procedemos al cálculo de la segunda integral.

Del segmento [-1; 1 ] tenemos que el integrando se considera ilimitado, porque lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , entonces se deduce que es una condición necesaria para la integrabilidad del segmento. Entonces F (x) = 2 x 2 - 2 x no es antiderivada para y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [ - 1 ; 1 ], ya que el punto O pertenece al segmento, pero no está incluido en el dominio de definición. Esto significa que existe una integral definida de Riemann y Newton-Leibniz para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [- 1; 1 ] .

Respuesta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , existe una integral definida de Riemann y Newton-Leibniz para la función y = 4 x 3 + 2 x 2 del intervalo [- 1 ; 1 ] .

Antes de utilizar la fórmula de Newton-Leibniz, es necesario saber exactamente acerca de la existencia de una integral definida.

Cambiar una variable en una integral definida

Cuando la función y = f (x) es definida y continua desde el intervalo [ a ; b], luego el conjunto disponible [a; b] se considera el rango de valores de la función x = g (z), definido en el segmento α; β con la derivada continua existente, donde g (α) = a y g β = b, obtenemos de esto que ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Esta fórmula se usa cuando necesitas calcular la integral ∫ a b f (x) d x, donde la integral indefinida tiene la forma ∫ f (x) d x, la calculamos usando el método de sustitución.

Ejemplo 4

Calcula una integral definida de la forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Solución

La función integrando se considera continua en el intervalo de integración, lo que significa que existe una integral definida. Demos la notación que 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. El valor x = 9 significa que z = 2 9 - 9 = 9 = 3, y para x = 18 obtenemos que z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, entonces g α = g (3) = 9, g β = gramo 3 3 = 18. Al sustituir los valores obtenidos en la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z obtenemos que

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Según la tabla de integrales indefinidas tenemos que una de las primitivas de la función 2 z 2 + 9 toma el valor 2 3 a r c t g z 3 . Luego, al aplicar la fórmula de Newton-Leibniz, obtenemos que

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

El hallazgo podría realizarse sin utilizar la fórmula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Si usando el método de reemplazo usamos una integral de la forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, entonces podemos llegar al resultado ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

A partir de aquí realizaremos cálculos utilizando la fórmula de Newton-Leibniz y calcularemos la integral definida. lo entendemos

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Los resultados fueron los mismos.

Respuesta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integración por partes al calcular una integral definida

Si en el segmento [ a ; b ] las funciones u (x) y v (x) son definidas y continuas, entonces sus derivadas de primer orden v " (x) · u (x) son integrables, por lo tanto a partir de este segmento para la función integrable u " (x) · v (x) la igualdad ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x es verdadera.

La fórmula se puede utilizar entonces, es necesario calcular la integral ∫ a b f (x) d x, y ∫ f (x) d x fue necesario buscarla mediante integración por partes.

Ejemplo 5

Calcula la integral definida ∫ - π 2 3 π 2 x · sen x 3 + π 6 d x .

Solución

La función x · sin x 3 + π 6 es integrable en el intervalo - π 2 ; 3 π 2, lo que significa que es continua.

Sea u (x) = x, entonces d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, y d (u (x)) = u " (x) d x = d x, y v (x) = - 3 porque π 3 + π 6 . De la fórmula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x obtenemos que

∫ - π 2 3 π 2 x · pecado x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 pecado π 2 + π 6 - pecado - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

El ejemplo se puede resolver de otra manera.

Encuentra el conjunto de primitivas de la función x · sen x 3 + π 6 usando integración por partes usando la fórmula de Newton-Leibniz:

∫ x · sen x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sen x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sen x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sen x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Respuesta: ∫ x · sen x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter