25.09.2019
¿Cómo calcular los límites de las secuencias? Secuencia numérica: concepto, propiedades, métodos de asignación.
Las matemáticas son la ciencia que construye el mundo. Tanto el científico como el hombre común, nadie puede prescindir de él. Primero, a los niños pequeños se les enseña a contar, luego a sumar, restar, multiplicar y dividir, hasta escuela secundaria ven a jugar designaciones de letras, y en la vejez no puedes prescindir de ellos.
Pero hoy hablaremos de en qué se basan todas las matemáticas conocidas. Sobre una comunidad de números llamada "límites de secuencia".
¿Qué son las secuencias y dónde está su límite?
El significado de la palabra "secuencia" no es difícil de interpretar. Se trata de una disposición de cosas en la que alguien o algo se ubica en un determinado orden o cola. Por ejemplo, la cola para comprar entradas para el zoológico es una secuencia. ¡Y sólo puede haber uno! Si, por ejemplo, miras la cola en la tienda, esta es una secuencia. Y si una persona de esta cola se va de repente, entonces esta es una cola diferente, un orden diferente.
La palabra "límite" también se interpreta fácilmente: es el final de algo. Sin embargo, en matemáticas, los límites de las secuencias son aquellos valores en la recta numérica a los que tiende una secuencia de números. ¿Por qué se esfuerza y no termina? Es simple, la recta numérica no tiene fin y la mayoría de las secuencias, como los rayos, solo tienen un comienzo y se ven así:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Por tanto, la definición de una secuencia es función del argumento natural. Más en palabras simples es una serie de miembros de un determinado conjunto.
¿Cómo se construye la secuencia numérica?
Un ejemplo simple de una secuencia numérica podría verse así: 1, 2, 3, 4,…n…
En la mayoría de los casos, a efectos prácticos, las secuencias se construyen a partir de números, y cada miembro siguiente de la serie, designémoslo X, tiene su propio nombre. Por ejemplo:
x 1 es el primer miembro de la secuencia;
x 2 es el segundo término de la secuencia;
x 3 es el tercer término;
x n es el enésimo término.
En los métodos prácticos, la secuencia viene dada por una fórmula general en la que hay una determinada variable. Por ejemplo:
X n =3n, entonces la serie de números se verá así:
Vale la pena recordar que al escribir secuencias en general, puedes usar cualquier letra latina, no solo X. Por ejemplo: y, z, k, etc.
Progresión aritmética como parte de secuencias.
Antes de buscar los límites de las secuencias, conviene profundizar en el concepto mismo de similar. serie de números, que todos encontraron mientras estaban en la escuela secundaria. Una progresión aritmética es una serie de números en la que la diferencia entre términos adyacentes es constante.
Problema: “Sea a 1 = 15, y el paso de progresión de la serie numérica d = 4. Construya los primeros 4 términos de esta serie"
Solución: a 1 = 15 (por condición) es el primer término de la progresión (serie numérica).
y 2 = 15+4=19 es el segundo término de la progresión.
y 3 =19+4=23 es el tercer término.
y 4 =23+4=27 es el cuarto término.
Sin embargo, utilizando este método es difícil llegar valores grandes, por ejemplo hasta un 125. . Especialmente para tales casos, se derivó una fórmula conveniente para la práctica: a n =a 1 +d(n-1). En este caso, 125 =15+4(125-1)=511.
Tipos de secuencias
La mayoría de las secuencias son infinitas, vale la pena recordarlas por el resto de tu vida. Hay dos interesante serie numérica. El primero viene dado por la fórmula a n =(-1) n. Los matemáticos suelen llamar a esta secuencia destello. ¿Por qué? Revisemos su serie numérica.
1, 1, -1, 1, -1, 1, etc. Con un ejemplo como este, queda claro que los números en secuencias se pueden repetir fácilmente.
Secuencia factorial. Es fácil de adivinar: la fórmula que define la secuencia contiene un factorial. Por ejemplo: a n = (n+1)!
Entonces la secuencia se verá así:
a 2 = 1x2x3 = 6;
y 3 = 1x2x3x4 = 24, etc.
Una secuencia definida por una progresión aritmética se llama infinitamente decreciente si la desigualdad -1 se satisface para todos sus términos y 3 = - 1/8, etc. Incluso hay una secuencia que consta del mismo número. Entonces, n =6 consta de un número infinito de seis. Los límites de secuencia existen desde hace mucho tiempo en matemáticas. Por supuesto, merecen un diseño propio y competente. Entonces, es hora de aprender la definición de límites de secuencia. Primero, veamos en detalle el límite de una función lineal: Es fácil entender que la definición del límite de una secuencia se puede formular de la siguiente manera: este es un número determinado al que todos los miembros de la secuencia se acercan infinitamente. Un ejemplo sencillo: ax = 4x+1. Entonces la secuencia en sí se verá así. 5, 9, 13, 17, 21…x… Por lo tanto, esta secuencia aumentará indefinidamente, lo que significa que su límite es igual al infinito cuando x→∞, y debería escribirse así: Si tomamos una secuencia similar, pero x tiende a 1, obtenemos: Y la serie de números quedará así: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944, etc. Cada vez deberás sustituir el número más cercano a uno (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). De esta serie se desprende claramente que el límite de la función es cinco. De esta parte conviene recordar cuál es el límite de una secuencia numérica, la definición y método de resolución de problemas sencillos. Habiendo examinado el límite de una secuencia numérica, su definición y ejemplos, podemos pasar a un tema más complejo. Absolutamente todos los límites de secuencias se pueden formular mediante una fórmula, que generalmente se analiza en el primer semestre. Entonces, ¿qué significa este conjunto de letras, módulos y signos de desigualdad? ∀ es un cuantificador universal, que reemplaza las frases “para todos”, “para todo”, etc. ∃ es un cuantificador existencial, en este caso significa que existe algún valor N perteneciente al conjunto de los números naturales. Un palo vertical largo que sigue a N significa que el conjunto N dado es “tal que”. En la práctica, puede significar “tal que”, “tal que”, etc. Para reforzar el material, lea la fórmula en voz alta. El método para encontrar el límite de secuencias, discutido anteriormente, aunque simple de usar, no es tan racional en la práctica. Intente encontrar el límite para esta función: Si sustituimos diferentes valores de “x” (aumentando cada vez: 10, 100, 1000, etc.), obtenemos ∞ en el numerador, pero también ∞ en el denominador. Esto da como resultado una fracción bastante extraña: ¿Pero es esto realmente así? Calcular el límite de una secuencia numérica en este caso parece bastante fácil. Sería posible dejar todo como está, porque la respuesta está lista y se recibió en condiciones razonables, pero existe otra forma específica para estos casos. Primero, encontremos el grado más alto en el numerador de la fracción: este es 1, ya que x se puede representar como x 1. Ahora encontremos el grado más alto en el denominador. También 1. Dividamos tanto el numerador como el denominador por la variable al máximo grado. En este caso, divide la fracción por x 1. A continuación, encontraremos a qué valor tiende cada término que contiene una variable. En este caso se consideran fracciones. Como x→∞, el valor de cada fracción tiende a cero. Al enviar su trabajo por escrito, deberá realizar las siguientes notas a pie de página: Esto da como resultado la siguiente expresión: ¡Por supuesto, las fracciones que contienen x no se convirtieron en ceros! Pero su valor es tan pequeño que está completamente permitido no tenerlo en cuenta en los cálculos. De hecho, x nunca será igual a 0 en este caso, porque no se puede dividir por cero. Supongamos que el profesor tiene a su disposición una secuencia compleja, dada, obviamente, por una fórmula igualmente compleja. El profesor ha encontrado la respuesta, pero ¿es correcta? Después de todo, todas las personas cometen errores. A Auguste Cauchy se le ocurrió una vez una manera excelente de demostrar los límites de las secuencias. Su método se llamó manipulación vecinal. Supongamos que existe un cierto punto a, cuya vecindad en ambas direcciones en la recta numérica es igual a ε (“épsilon”). Como la última variable es la distancia, su valor siempre es positivo. Ahora definamos alguna secuencia x n y supongamos que el décimo término de la secuencia (x 10) está en la vecindad de a. ¿Cómo podemos escribir este hecho en lenguaje matemático? Digamos que x 10 está a la derecha del punto a, entonces la distancia x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Ahora toca explicar en la práctica la fórmula comentada anteriormente. Es justo llamar a un cierto número a el punto final de una secuencia si para cualquiera de sus límites se satisface la desigualdad ε>0, y toda la vecindad tiene su propio número natural N, de modo que todos los miembros de la secuencia con números más altos estará dentro de la secuencia |x n - a|< ε. Con tal conocimiento es fácil resolver los límites de la secuencia, probar o refutar la respuesta ya preparada. Los teoremas sobre los límites de secuencias son un componente importante de la teoría, sin el cual la práctica es imposible. Solo hay cuatro teoremas principales, recordar cuáles pueden hacer que la solución o demostración sea mucho más fácil: A veces es necesario resolver un problema inverso para demostrar un límite dado de una secuencia numérica. Veamos un ejemplo. Demuestre que el límite de la secuencia dada por la fórmula es cero. Según la regla analizada anteriormente, para cualquier secuencia la desigualdad |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Expresemos n mediante “épsilon” para mostrar la existencia de un cierto número y demostrar la presencia de un límite de la secuencia. En este punto, es importante recordar que “épsilon” y “en” son números positivos y no son iguales a cero. Ahora es posible continuar con más transformaciones utilizando el conocimiento sobre las desigualdades adquirido en la escuela secundaria. ¿Cómo resulta que n > -3 + 1/ε? Como conviene recordar que estamos hablando de números naturales, el resultado se puede redondear poniéndolo entre corchetes. Así, se demostró que para cualquier valor de la vecindad “épsilon” del punto a = 0, se encontró un valor tal que se satisface la desigualdad inicial. Desde aquí podemos decir con seguridad que el número a es el límite de una secuencia dada. Q.E.D. Este conveniente método se puede utilizar para demostrar el límite de una secuencia numérica, sin importar cuán compleja pueda ser a primera vista. Lo principal es no entrar en pánico cuando veas la tarea. En la práctica, la existencia de un límite de coherencia no es necesaria. Puedes encontrarte fácilmente con series de números que realmente no tienen fin. Por ejemplo, la misma “luz intermitente” x n = (-1) n. Es obvio que una secuencia que consta de sólo dos dígitos, repetidas cíclicamente, no puede tener límite. La misma historia se repite con secuencias que consisten en un número, fraccionarios, que tienen incertidumbre de cualquier orden durante los cálculos (0/0, ∞/∞, ∞/0, etc.). Sin embargo, conviene recordar que también se producen cálculos incorrectos. A veces, volver a verificar su propia solución le ayudará a encontrar el límite de secuencia. Anteriormente se analizaron varios ejemplos de secuencias y métodos para resolverlas, y ahora intentemos tomar un caso más específico y llamarlo "secuencia monótona". Definición: cualquier secuencia puede considerarse con razón creciente monótonamente si se cumple la desigualdad estricta x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >xn +1. Junto con estas dos condiciones, también existen desigualdades no estrictas similares. En consecuencia, x n ≤ x n +1 (secuencia no decreciente) y x n ≥ x n +1 (secuencia no creciente). Pero es más fácil entender esto con ejemplos. La secuencia dada por la fórmula x n = 2+n forma la siguiente serie de números: 4, 5, 6, etc. Esta es una secuencia monótonamente creciente. Y si tomamos x n =1/n, obtenemos la serie: 1/3, ¼, 1/5, etc. Esta es una secuencia monótonamente decreciente. Una secuencia acotada es una secuencia que tiene un límite. Una secuencia convergente es una serie de números que tiene un límite infinitesimal. Por tanto, el límite de una secuencia acotada es cualquier número real o complejo. Recuerda que sólo puede haber un límite. El límite de una secuencia convergente es una cantidad infinitesimal (real o compleja). Si dibuja un diagrama de secuencia, en cierto punto parecerá converger y tenderá a convertirse en un determinado valor. De ahí el nombre: secuencia convergente. Puede que haya o no un límite para dicha secuencia. En primer lugar, es útil entender cuándo existe; desde aquí se puede empezar a demostrar la ausencia de un límite. Entre las secuencias monótonas se distinguen las convergentes y divergentes. Convergente es una secuencia que está formada por el conjunto x y tiene un límite real o complejo en este conjunto. Divergente es una secuencia que no tiene límite en su conjunto (ni real ni complejo). Además, la secuencia converge si, en una representación geométrica, sus límites superior e inferior convergen. El límite de una secuencia convergente puede ser cero en muchos casos, ya que cualquier secuencia infinitesimal tiene un límite conocido (cero). Cualquiera que sea la secuencia convergente que tomes, todas están acotadas, pero no todas las secuencias acotadas convergen. La suma, diferencia y producto de dos sucesiones convergentes también es una sucesión convergente. Sin embargo, ¡el cociente también puede ser convergente si está definido! Los límites de secuencia son tan significativos (en la mayoría de los casos) como los dígitos y los números: 1, 2, 15, 24, 362, etc. Resulta que algunas operaciones se pueden realizar con límites. Primero, al igual que los dígitos y los números, los límites de cualquier secuencia se pueden sumar y restar. Basado en el tercer teorema sobre los límites de las secuencias, se cumple la siguiente igualdad: el límite de la suma de las secuencias es igual a la suma de sus límites. En segundo lugar, según el cuarto teorema sobre los límites de las secuencias, se cumple la siguiente igualdad: el límite del producto del enésimo número de secuencias es igual al producto de sus límites. Lo mismo ocurre con la división: el límite del cociente de dos sucesiones es igual al cociente de sus límites, siempre que el límite no sea cero. Después de todo, si el límite de secuencias es igual a cero, entonces resultará la división por cero, lo cual es imposible. Parecería que el límite de la secuencia numérica ya se ha discutido con cierto detalle, pero frases como números "infinitamente pequeños" e "infinitamente grandes" se mencionan más de una vez. Obviamente, si hay una secuencia 1/x, donde x→∞, entonces dicha fracción es infinitesimal, y si la misma secuencia, pero el límite tiende a cero (x→0), entonces la fracción se convierte en un valor infinitamente grande. Y esas cantidades tienen sus propias características. Las propiedades del límite de una secuencia que tiene valores pequeños o grandes son las siguientes: De hecho, calcular el límite de una secuencia no es una tarea tan difícil si conoces un algoritmo simple. Pero los límites de la coherencia son un tema que requiere máxima atención y perseverancia. Por supuesto, basta con captar la esencia de la solución a tales expresiones. Empezando poco a poco, puedes alcanzar grandes alturas con el tiempo. Cuna. Pañales. Llorar. secuencia de vida SECUENCIA: números o elementos dispuestos en un orden organizado. Las sucesiones pueden ser finitas (tener un número limitado de elementos) o infinitas, como la secuencia completa de números naturales 1, 2, 3, 4….… … Diccionario enciclopédico científico y técnico. Definición:secuencia numérica se llama numérico dado en el conjunto N de números naturales. Para secuencias numéricas, generalmente en lugar de f(n) escribir un
y denota la secuencia de la siguiente manera: ( un
). Números a 1
,
a 2
, …,
un,…
llamado elementos de la secuencia. Por lo general, la secuencia numérica está determinada por la tarea. norteº elemento o una fórmula recurrente mediante la cual cada elemento posterior se determina a través del anterior. También es posible una forma descriptiva de especificar una secuencia numérica. Por ejemplo: Con el método recurrente, indique una fórmula que permita expresar norte desde el ésimo miembro de la secuencia hasta los anteriores, y especifique 1 o 2 miembros iniciales de la secuencia. Aquí y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; …. Aquí: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8; Secuencia expresada por fórmula de recurrencia y norte =y n-1
+ 4
También se puede especificar analíticamente: y norte= y 1 +4*(n-1)
Comprobemos: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11 Aquí no necesitamos conocer el miembro anterior de la secuencia numérica para calcular el enésimo elemento; solo necesitamos especificar su número y el valor del primer elemento. Como podemos ver, este método de especificar una secuencia numérica es muy similar al método analítico de especificar funciones. De hecho, una secuencia numérica es un tipo especial de función numérica, por lo que también se pueden considerar varias propiedades de las funciones para las secuencias. Secuencias numéricas Este es un tema muy interesante y educativo. Este tema se encuentra en tareas de mayor complejidad que ofrecen a los estudiantes los autores de materiales didácticos, en problemas de olimpíadas de matemáticas, exámenes de ingreso a instituciones de educación superior y. Y si quieres saber más sobre los diferentes tipos de secuencias numéricas, haz clic aquí. Bueno, si todo te resulta claro y sencillo, pero intenta responder. Se da la definición de una secuencia numérica. Se consideran ejemplos de secuencias infinitamente crecientes, convergentes y divergentes. Se considera una secuencia que contiene todos los números racionales. Definición . La secuencia se denota como el enésimo término encerrado entre llaves: . También son posibles las siguientes designaciones: . Indican explícitamente que el índice n pertenece al conjunto de los números naturales y que la secuencia en sí tiene un número infinito de términos. A continuación se muestran algunas secuencias de ejemplo: En otras palabras, una secuencia numérica es una función cuyo dominio de definición es el conjunto de los números naturales. El número de elementos de la secuencia es infinito. Entre los elementos también pueden existir miembros que tengan los mismos significados. Además, una secuencia puede considerarse como un conjunto numerado de números que consta de un número infinito de miembros. Nos interesará principalmente la cuestión de cómo se comportan las secuencias cuando n tiende a infinito: . Este material se presenta en la sección Límite de una secuencia: teoremas y propiedades básicos. Aquí veremos algunos ejemplos de secuencias. Considere la secuencia. El miembro común de esta secuencia es. Anotemos los primeros términos: Consideremos ahora una secuencia con un término común. Aquí están sus primeros miembros: Considere la secuencia. Su miembro común. Los primeros términos tienen la siguiente forma: A continuación, considere la secuencia. Su miembro común. Éstos son algunos de sus primeros miembros: Considere una secuencia con el siguiente término común: Ahora veamos una secuencia más interesante. Tomemos un segmento en la recta numérica. Dividámoslo por la mitad. Obtenemos dos segmentos. Dejar Como resultado, obtenemos una secuencia cuyos elementos están distribuidos en un intervalo abierto. (0; 1)
. Cualquier punto que tomemos del intervalo cerrado
, siempre podemos encontrar miembros de la secuencia que estarán arbitrariamente cerca de este punto o coincidirán con él. Luego, de la secuencia original se puede seleccionar una subsecuencia que convergerá a un punto arbitrario del intervalo
. Es decir, a medida que aumenta el número n, los miembros de la subsecuencia se acercarán cada vez más al punto preseleccionado. Por ejemplo, para el punto a = 0
Puedes elegir la siguiente subsecuencia: para el punto a = 1
Elijamos la siguiente subsecuencia: Dado que hay subsecuencias que convergen a diferentes significados, entonces la secuencia original en sí no converge a ningún número. Ahora construyamos una secuencia que contenga todos los números racionales. Además, cada número racional aparecerá en dicha secuencia un número infinito de veces. El número racional r se puede representar de la siguiente manera: Para hacer esto, dibuje los ejes p y q en el plano. Dibujamos líneas de cuadrícula a través de los valores enteros de p y q. Entonces cada nodo de esta cuadrícula corresponderá número racional. Todo el conjunto de números racionales estará representado por un conjunto de nodos. Necesitamos encontrar una manera de numerar todos los nodos para no perder ninguno. Esto es fácil de hacer si numeras los nodos por cuadrados, cuyos centros se encuentran en el punto (0; 0)
(ver imagen). En este caso, las partes inferiores de los cuadrados con q < 1
no lo necesitamos. Por lo tanto no se muestran en la figura. Entonces, para el lado superior del primer cuadrado tenemos: De esta forma obtenemos una secuencia que contiene todos los números racionales. Puedes notar que cualquier número racional aparece en esta secuencia un número infinito de veces. De hecho, junto con el nodo, esta secuencia también incluirá nodos, donde es un número natural. Pero todos estos nodos corresponden al mismo número racional. Luego, de la secuencia que hemos construido, podemos seleccionar una subsecuencia (que tiene un número infinito de elementos), todos cuyos elementos son iguales a un número racional predeterminado. Dado que la secuencia que construimos tiene subsecuencias que convergen a diferentes números, la secuencia no converge a ningún número. Aquí hemos dado una definición precisa de la secuencia numérica. También planteamos la cuestión de su convergencia, basada en ideas intuitivas. Definición precisa La convergencia se analiza en la página Determinación del límite de una secuencia. Las propiedades y teoremas relacionados se indican en la página. Eva Oganesyan Secuencias numéricas. Abstracto. Institución educativa presupuestaria municipal Secuencias numéricas Ensayo Trabajo completado: Barnaúl - 2014 Introducción………………………………………………………………………………2 Secuencias numéricas.…………………………………………………………...3 Métodos para especificar secuencias numéricas…………………………...4 Desarrollo de la doctrina de las progresiones………………………………………………..5 Propiedades de las secuencias numéricas……………………………………7 Progresión aritmética………………………………………………9 Progresión geométrica……………………………………………………………….10 Conclusión……………………………………………………………………………………11 Referencias…………………………………………………………11 Introducción Propósito de este resumen– estudio de conceptos básicos relacionados con las secuencias numéricas, su aplicación en la práctica. Actualmente, las secuencias numéricas se consideran casos especiales de una función. La secuencia numérica es función del argumento natural. El concepto de secuencia numérica surgió y se desarrolló mucho antes de la creación de la doctrina de la función. A continuación se muestran ejemplos de secuencias de números infinitos conocidas en la antigüedad: 1, 2, 3, 4, 5,… - una secuencia de números naturales. 2, 4, 6, 8, 10,… - una secuencia de números pares. 1, 3, 5, 7, 9,… - una secuencia de números impares. 1, 4, 9, 16, 25,… - una secuencia de cuadrados de números naturales. 2, 3, 5, 7, 11... - una secuencia de números primos. 1, ½, 1/3, ¼, 1/5,… - una secuencia de números recíprocos a los números naturales. El número de miembros de cada una de estas series es infinito; las primeras cinco secuencias aumentan monótonamente, la última disminuye monótonamente. Todas las secuencias enumeradas, excepto la quinta, se dan debido a que para cada una de ellas se conoce un término común, es decir, la regla para obtener un término con cualquier número. Para una secuencia de números primos, se desconoce el término común, pero se remonta al siglo III. antes de Cristo mi. el científico alejandrino Eratóstenes indicó un método (aunque muy engorroso) para obtener su enésimo miembro. Este método fue llamado el “tamiz de Eratóstenes”. Las progresiones, tipos particulares de secuencias numéricas, se encuentran en monumentos del segundo milenio antes de Cristo. mi. Secuencias numéricas Hay varias definiciones de una secuencia numérica. secuencia numérica –
es una secuencia de elementos del espacio numérico (Wikipedia). secuencia numérica –
es un conjunto de números numerados. Una función de la forma y = f (x), xse llama función de argumento natural osecuencia numéricay denotamos y = f(n) o ,
,
, …,
Para denotar la secuencia, la notación ().
Escribiremos números pares positivos en orden ascendente. El primero de esos números es 2, el segundo es 4, el tercero es 6, el cuarto es 8, etc., entonces obtenemos la secuencia: 2; 4; 6; 8; 10…. Obviamente, en el quinto lugar de esta secuencia estará el número 10, en el décimo lugar el número – 20, en el centésimo lugar el número – 200. En general, para cualquier número natural n, puedes indicar el positivo correspondiente número par; es igual a 2n. Veamos otra secuencia. Escribiremos fracciones propias con numerador igual a 1 en orden descendente: ;
;
;
;
; … .
Para cualquier número natural n, podemos indicar la fracción correspondiente; es igual. Entonces, en sexto lugar debería haber una fracción., el día treinta - , en la milésima - una fracción .
Los números que forman la secuencia se llaman primero, segundo, tercero, cuarto, etc., respectivamente. miembros de la secuencia. Los miembros de una secuencia suelen designarse mediante letras con índices que indican el número de serie del miembro. Por ejemplo:,
,
etc. en general, el miembro de la secuencia con el número n, o, como dicen, enésimo término las secuencias denotan. La secuencia en sí se denota por (). Una secuencia puede contener un número infinito de términos o un número finito. En este caso se llama final. Por ejemplo: una secuencia de números de dos dígitos.10; once; 12; 13; ...; 98; 99 Métodos para especificar secuencias numéricas. Las secuencias se pueden especificar de varias maneras. Generalmente es más apropiado establecer la secuenciala fórmula para su enésimo término común, que te permite encontrar cualquier miembro de la secuencia conociendo su número. En este caso decimos que la secuencia está dada analíticamente. Por ejemplo: secuencia de términos pares positivos.=2norte. Tarea: encuentre la fórmula para el término general de la secuencia (:
6; 20; 56; 144; 352;…
Solución. Escribamos cada miembro de la secuencia de la siguiente forma: norte=1: 6 = 2 3 = 3 = norte=2: 20 = 4 5 = 5 = norte=3: 56 = 8 7 = 7 = Como vemos, los términos de la secuencia son producto de una potencia de dos multiplicada por números impares sucesivos, con dos elevados a una potencia que es igual al número del elemento en cuestión. Así, concluimos que Respuesta: fórmula de término general: Otra forma de especificar una secuencia es especificar la secuencia usandorelación de recurrencia.
Una fórmula que expresa cualquier miembro de una secuencia, desde algunos hasta los anteriores (uno o más), se llama recurrente (de la palabra latina recurro - regresar). En este caso, se especifican uno o varios primeros elementos de la secuencia, y el resto se determinan según alguna regla. Un ejemplo de una secuencia dada de forma recurrente es la secuencia de números de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., en la que cada número posterior, comenzando por el tercero, es la suma de los dos anteriores. unos: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 y así sucesivamente. Esta secuencia se puede especificar de forma recurrente: norte norte, = 1. Tarea: subsecuenciase da usando la relación de recurrencia+ , norte norte, = 4. Escribe los primeros términos de esta secuencia. Solución. Encontremos el tercer término de la secuencia dada: +
=
Etc. Al especificar secuencias de forma recurrente, los cálculos resultan muy engorrosos, ya que para encontrar elementos con números grandes, es necesario encontrar todos los miembros anteriores de la secuencia especificada, por ejemplo, encontrarNecesitamos encontrar a los 499 miembros anteriores. Método descriptivoLa asignación de una secuencia numérica es que explica a partir de qué elementos se construye la secuencia. Ejemplo 1. "Todos los términos de la secuencia son iguales a 1." Esto significa que estamos hablando de una secuencia estacionaria 1, 1, 1,…, 1,…. Ejemplo 2: "La secuencia consta de todos los números primos en orden ascendente". Por tanto, la secuencia dada es 2, 3, 5, 7, 11,…. Con este método de especificar la secuencia en este ejemplo, es difícil responder a qué es igual, digamos, el elemento número 1000 de la secuencia. La secuencia numérica también se puede especificar simplementeenumerando a sus miembros. Desarrollo de la doctrina de las progresiones. La palabra progresión es de origen latino (progressio), significa literalmente “movimiento hacia adelante” (como la palabra “progreso”) y se encuentra por primera vez en el autor romano Boecio (siglos V-VI). Inicialmente, la palabra progresión se entendía como cualquier secuencia numérica construida según una ley que permite continuarla indefinidamente en una dirección, por ejemplo, una secuencia de números naturales, sus cuadrados y cubos. A finales de la Edad Media y principios de la Edad Moderna, este término deja de ser de uso común. En el siglo XVII, por ejemplo, J. Gregory utiliza el término "series" en lugar de progresión, y otro destacado matemático inglés, J. Wallis, utiliza el término "progresiones infinitas" para series infinitas. Actualmente consideramos las progresiones como casos especiales de secuencias numéricas. La información teórica relacionada con las progresiones se encuentra por primera vez en los documentos de la Antigua Grecia que nos han llegado. En el Salmo, Arquímedes primero compara las progresiones aritméticas y geométricas: 1,2,3,4,5,………………..
10,
,
………….
Las progresiones se consideraban una continuación de las proporciones, razón por la cual los epítetos aritmético y geométrico se transfirieron de las proporciones a las progresiones. Esta visión de las progresiones fue conservada por muchos matemáticos de los siglos XVII e incluso XVIII. Así es como se debe explicar el hecho de que el símbolo encontrado en Barrow, y luego en otros científicos ingleses de esa época, para denotar una proporción geométrica continua, comenzó a denotar una progresión geométrica en los libros de texto ingleses y franceses del siglo XVIII. Por analogía, la progresión aritmética comenzó a denotarse de esta manera. Una de las pruebas de Arquímedes, expuesta en su obra “La cuadratura de la parábola”, se reduce esencialmente a la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente. Para resolver algunos problemas de geometría y mecánica, Arquímedes derivó una fórmula para la suma de cuadrados de números naturales, aunque ya se había utilizado antes que él. 1/6n(n+1)(2n+1) Los científicos chinos e indios conocían algunas fórmulas relacionadas con las progresiones. Así, Aryabhatta (siglo V) conocía fórmulas para el término general, la suma de una progresión aritmética, etc., Magavira (siglo IX) utilizó la fórmula: +
+
+ ... +
= 1/6n(n+1)(2n+1) y otras series más complejas. Sin embargo, la regla para encontrar la suma de términos de una progresión aritmética arbitraria se encuentra por primera vez en el Libro del Ábaco (1202) de Leonardo de Pisa. En "La ciencia de los números" (1484), N. Schuke, como Arquímedes, compara la progresión aritmética con la geométrica y da regla general para sumar cualquier progresión geométrica decreciente infinitesimal. P. Fermat y otros matemáticos del siglo XVII conocían la fórmula para sumar una progresión infinitamente decreciente. Los problemas sobre progresiones aritméticas (y geométricas) también se encuentran en el antiguo tratado chino “Matemáticas en nueve libros”, que, sin embargo, no contiene instrucciones sobre el uso de ninguna fórmula de suma. Los primeros problemas de progresión que nos han llegado están relacionados con las exigencias de la vida económica y de la práctica social, como la distribución de productos, la división de la herencia, etc. De una tablilla cuneiforme podemos concluir que, al observar la luna desde la luna nueva hasta la luna llena, los babilonios llegaron a la siguiente conclusión: en los primeros cinco días después de la luna nueva, el aumento de la iluminación del disco lunar se produce según la ley. de progresión geométrica con denominador 2. En otra tablilla posterior hablamos de la progresión geométrica sumatoria: 1+2+
+…+
. solución y respuesta S=512+(512-1), los datos en la tableta sugieren que el autor usó la fórmula. Sn= +( -1), sin embargo, nadie sabe cómo llegó hasta allí. La suma de progresiones geométricas y la compilación de los problemas correspondientes, que no siempre satisfacían las necesidades prácticas, fueron realizadas por muchos aficionados a las matemáticas a lo largo de la Edad Antigua y Media. Propiedades de las secuencias numéricas Secuencia numérica - caso especial función numérica y, por lo tanto, algunas propiedades de las funciones (limitación, monotonicidad) también se consideran para secuencias. Secuencias restringidas Subsecuencia () se llama acotado superiormente, que para cualquier número n, METRO. Subsecuencia () se llama delimitado por debajo, si existe tal número m, que para cualquier número n, metro. Subsecuencia () se llama limitado , si está acotado arriba y acotado abajo, es decir, existe tal número M0, que para cualquier número n, METRO. Subsecuencia () se llama ilimitado , si existe tal número M0 que existe un número n tal que, METRO. Tarea: explorar secuencia =
a las limitaciones. Solución. La secuencia dada está acotada, ya que para cualquier número natural n se cumplen las siguientes desigualdades: 0
1,
Es decir, la secuencia está acotada por abajo por cero y al mismo tiempo está acotada por arriba por uno y, por lo tanto, también está acotada. Respuesta: la secuencia está limitada: desde abajo por cero y desde arriba por uno. Secuencias ascendentes y descendentes. Subsecuencia () se llama creciente , si cada miembro es mayor que el anterior: Por ejemplo, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... es una secuencia creciente. Subsecuencia () se llama decreciente , si cada uno de sus miembros es menor que el anterior: Por ejemplo, 1; - secuencia decreciente. Las secuencias crecientes y decrecientes se combinan mediante un término común:secuencias monótonas. Pongamos algunos ejemplos más. 1; -
esta secuencia no es ni creciente ni decreciente (secuencia no monótona). 2n. Se trata de sobre la secuencia 2, 4, 8, 16, 32, ... - una secuencia creciente. En general, si a > 1, entonces la secuencia= aumenta; si 0 = disminuye. Progresión aritmética Una secuencia numérica, cada miembro de la cual, a partir del segundo, es igual a la suma del miembro anterior y el mismo número d, se llamaprogresión aritmética, y el número d es la diferencia de la progresión aritmética. Por tanto, una progresión aritmética es una secuencia numérica. X = = + d, (n = 2, 3, 4,…; a y d son números dados). Ejemplo 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... es una progresión aritmética creciente, que= 1, re = 2. Ejemplo 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,... es una progresión aritmética decreciente, que= 20, d = –3. Ejemplo 3. Considere una secuencia de números naturales que, divididos por cuatro, dan un resto de 1: 1; 5; 9; 13; 17; 21… Cada uno de sus términos, a partir del segundo, se obtiene sumando al término anterior el número 4. Esta secuencia es un ejemplo de progresión aritmética. No es difícil encontrar una expresión explícita (fórmula)hasta n. El valor del siguiente elemento aumenta en d en comparación con el anterior, por lo tanto, el valor n del elemento aumentará en (n – 1)d en comparación con el primer término de la progresión aritmética, es decir =
+ d (norte – 1). Esta es la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética. Esta es la fórmula de la suma. n términos de una progresión aritmética. La progresión se llama progresión aritmética porque cada término que contiene, excepto el primero, es igual a la media aritmética de los dos adyacentes: el anterior y el posterior, de hecho, Progresión geométrica Una secuencia numérica, todos cuyos términos son distintos de cero y cada uno de cuyos términos, a partir del segundo, se obtiene del término anterior multiplicando por el mismo número q, se llamaprogresión geométrica, y el número q es el denominador de la progresión geométrica. Por tanto, una progresión geométrica es una secuencia numérica (dado recursivamente por las relaciones B, = q (n = 2, 3, 4...; b y q son números dados). Ejemplo 1. 2, 6, 18, 54, ... – progresión geométrica creciente 2, q = 3. Ejemplo 2. 2, –2, 2, –2,… – progresión geométrica= 2, q = –1. Una de las propiedades obvias de una progresión geométrica es que si la secuencia es una progresión geométrica, entonces también lo es la secuencia de cuadrados, es decir;
;…-
es una progresión geométrica cuyo primer término es igual a, y el denominador es.
La fórmula para el enésimo término de la progresión geométrica es: Fórmula para la suma de n términos de una progresión geométrica: Propiedad característicaprogresión geométrica: una secuencia numérica es una progresión geométrica si y sólo si el cuadrado de cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último en el caso de una secuencia finita), es igual al producto de los términos anterior y posterior, Conclusión Muchos científicos han estado estudiando secuencias numéricas durante muchos siglos.Los primeros problemas de progresión que nos han llegado están relacionados con las exigencias de la vida económica y de la práctica social, como la distribución de productos, la división de la herencia, etc. Ellos son uno de los conceptos clave matemáticas. En mi trabajo traté de reflejar los conceptos básicos asociados con las secuencias numéricas, los métodos para definirlas, las propiedades y consideré algunos de ellos. Por separado, se consideraron las progresiones (aritméticas y geométricas) y se discutieron los conceptos básicos asociados con ellas. Bibliografía M.: Educación, 1964. Supongamos que a cada número natural le corresponde un determinado número real: el número 1 corresponde a un 1, el número 2 a un 2, el número n a un n. En este caso decimos que está dada una secuencia numérica, la cual se escribe de la siguiente manera: a 1, a 2,..., a n, donde a 1 es el primer término, y 2 es el segundo término,..., y n es el enésimo término de la secuencia. Hay tres formas principales de definir una secuencia. 1. Analítico. La secuencia viene dada por la fórmula del enésimo término; por ejemplo, la fórmula a n = n/(n+1) especifica la secuencia a 1, a 2, ..., a n, para la cual y 1 = 1/(1+1) = 1/2; y 2 = 2/(2+1) = 2/3...; aquellos. secuencia 1/2, 2/3, 3/4,…, n/(n + 1). 2. Recurrente. Cualquier miembro de una secuencia se expresa a través de sus miembros precedentes. En este método Para especificar una secuencia, se debe indicar el primer miembro de la secuencia y una fórmula que permita calcular cualquier miembro de la secuencia a partir de miembros anteriores conocidos. Encontremos varios términos de la secuencia a 1 = 1, a 2 = 1..., a n +2 = a n + a n +1. un 3 = un 1 + un 2 = 1 + 1 = 2; un 4 = un 2 + un 3 = 1 + 2 = 3, etc. Como resultado, obtenemos la secuencia: 1, 1, 2, 3, 5…. 3. Verbales. Esta es una asignación de secuencia por descripción. Por ejemplo, una secuencia de aproximaciones decimales para la deficiencia del número e. Las secuencias pueden ser crecientes o decrecientes. Una secuencia (a n), cada miembro de la cual es menor que el siguiente, es decir Si una< а n +1 для любого n, называется возрастающей последовательностью. Una secuencia (a n), cada miembro de la cual es mayor que el siguiente, es decir si a n > a n +1 para cualquier n, se llama secuencia decreciente. Por ejemplo: a) 1, 4, 9, 16, 25,…, n 2,… – secuencia creciente; b) -1, -2, -3, -4, ..., -n, ... – la secuencia es decreciente; c) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, (-1) n ∙ n, … – secuencia no creciente y no decreciente; d) 3, 3, 3, 3, 3, 3,…, 3,… – secuencia constante (estacionaria). Si cada miembro de la secuencia (a n), a partir del segundo, es igual al anterior, sumado al mismo número d, entonces dicha secuencia se llama progresión aritmética. El número d se llama diferencia de progresión. Así, la progresión aritmética viene dada por la igualdad: a n +1 = a n + d. Por ejemplo, un 5 = un 4 + d. Para d > 0, la progresión aritmética aumenta, para d< 0 убывает. La secuencia 3, 5, 7, 9, 11, 13... es una progresión aritmética, A veces no se considera toda la secuencia, que es una progresión aritmética, sino sólo sus primeros términos. En este caso hablamos de una progresión aritmética finita. La progresión aritmética tiene tres propiedades.. 1. Fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética: un norte = un 1 + re (norte – 1) 2. Fórmulas para la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética: a) S norte = ((un 1 + un norte)/2) ∙ norte; b) S norte = ((2a 1 + d(n – 1))/2) ∙ norte. Aquí S 1 = a 1, S n = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n. 3. Propiedad característica de una progresión aritmética: una sucesión es aritmética si y sólo si cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último en el caso de una progresión aritmética finita), es igual a la media aritmética de los términos anterior y posterior: un norte = (un norte -1 + un norte +1) / 2. Si el primer término de la secuencia (b n) es distinto de cero y cada término, comenzando por el segundo, es igual al anterior multiplicado por el mismo número q distinto de cero, entonces dicha secuencia se llama progresión geométrica. El número q se llama denominador de la progresión. Así, la progresión geométrica viene dada por la igualdad b n +1 = b n ∙ q La secuencia 100, 30, 9, 27/10,... es una progresión geométrica, donde b 1 = 100, q = 3/10. La progresión geométrica se caracteriza por tres propiedades. 1. Fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica: segundo norte = segundo 1 ∙ q norte -1 . 2. Fórmulas para la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica: a) S norte = (b norte q – b 1) / (q – 1); b) S norte = (b 1 (q norte – 1)) / (q – 1). 3. Propiedad característica de la progresión geométrica: una sucesión es una sucesión geométrica si y sólo si cada uno de sus términos, excepto el primero (y el último en el caso de una progresión geométrica finita), está relacionado con los términos anterior y posterior mediante la fórmula: segundo norte 2 = segundo norte -1 ∙ segundo norte +1 . blog.site, al copiar material total o parcialmente, se requiere un enlace a la fuente original.Determinar el límite de secuencia
Designación general para el límite de secuencias.
Incertidumbre y certeza del límite
¿Qué es un barrio?
Teoremas
Prueba de secuencias
¿O tal vez no está allí?
secuencia monótona
Límite de una secuencia convergente y acotada
Límite de una secuencia monótona
Varias acciones con límites.
Propiedades de las cantidades de secuencia
Palabra. Paso. Frío. Doctor.
Corriendo alrededor. Juguetes. Hermano.
Patio Balancearse. Jardín de infancia.
Escuela. Dos. Troica. Cinco.
Pelota. Paso. Yeso. Cama.
Luchar. Sangre. Nariz rota.
Patio Amigos. Fiesta. Fuerza.
Instituto. Primavera. Arbustos.
Verano. Sesión. Cruz.
Cerveza. Vodka. Ginebra con hielo.
Café. Sesión. Diploma.
Romanticismo. Amar. Estrella.
Manos. Labios. Una noche sin dormir.
Boda. Suegra. Suegro. Trampa.
Argumento. Club. Amigos. Taza.
Casa. Trabajo. Casa. Familia.
Sol. Verano. Nieve. Invierno.
Hijo. Pañales. Cuna.
Estrés. Amante. Cama.
Negocio. Dinero. Plan. Emergencia.
TELEVISOR. Serie.
Casa de Campo. Cerezas. Calabacín.
Pelo canoso. Migraña. Anteojos.
Nieto. Pañales. Cuna.
Estrés. Presión. Cama.
Corazón. Riñones. Huesos. Doctor.
Discursos. Ataúd. Despedida. Llorar.
secuencia numérica (xn)
llamada ley (regla), según la cual todos número natural norte= 1, 2, 3, . . .
se asigna un cierto número x n.
El elemento x n se llama enésimo miembro o elemento de la secuencia.
,
,
.
Ejemplos de secuencia
Ejemplos de secuencias infinitamente crecientes.
.
Se puede observar que a medida que aumenta el número n, los elementos aumentan indefinidamente hacia valores positivos. Podemos decir que esta secuencia tiende a: para .
.
A medida que aumenta el número n, los elementos de esta secuencia aumentan ilimitadamente en valor absoluto, pero no tienen un signo constante. Es decir, esta secuencia tiende a: en .Ejemplos de secuencias que convergen en un número finito.
.
Se puede ver que a medida que aumenta el número n, los elementos de esta secuencia se acercan a su valor límite a = 0
: en . Entonces cada término subsiguiente está más cerca de cero que el anterior. En cierto sentido, podemos considerar que existe un valor aproximado para el número a = 0
con error. Está claro que a medida que n aumenta, este error tiende a cero, es decir, eligiendo n, el error puede ser tan pequeño como se desee. Además, para cualquier error dado ε > 0
puede especificar un número N tal que para todos los elementos con números mayores que N:, la desviación del número del valor límite a no excederá el error ε:.
.
En esta secuencia, los términos con números pares son iguales a cero. Los términos con n impar son iguales. Por lo tanto, a medida que n aumenta, sus valores se acercan al valor límite a = 0
. Esto también se desprende del hecho de que
.
Al igual que en el ejemplo anterior, podemos especificar un error arbitrariamente pequeño ε > 0
, para lo cual es posible encontrar un número N tal que los elementos con números mayores que N se desvíen del valor límite a = 0
por una cantidad que no exceda el error especificado. Por lo tanto esta secuencia converge al valor a = 0
: en .Ejemplos de secuencias divergentes
Aquí están sus primeros integrantes:
.
Se puede observar que términos con números pares:
,
converge al valor a 1 = 0
. Miembros impares:
,
converge al valor a 2 = 2
. La secuencia en sí, a medida que n crece, no converge a ningún valor.Secuencia con términos distribuidos en el intervalo (0;1)
.
Dividamos nuevamente cada uno de los segmentos por la mitad. Obtenemos cuatro segmentos. Dejar
.
Dividamos cada segmento por la mitad nuevamente. Echemos
.
Etcétera.
.
= 0
.
.
Los términos de esta subsecuencia convergen al valor a = 1
.
Secuencia que contiene todos los números racionales.
,
donde es un número entero; - natural.
Necesitamos asociar cada número natural n con un par de números p y q para que cualquier par p y q quede incluido en nuestra secuencia.
.
A continuación numeramos la parte superior del siguiente cuadrado:
.
Numeramos la parte superior del siguiente cuadrado:
.
Etcétera.Conclusión
Descargar:
Avance:
"Promedio escuela comprensiva N° 31"
ciudad de barnaúl
Oganesyan Eva,
Estudiante de octavo grado de MBOU "Escuela secundaria No. 31"
Supervisor:
Poleva Irina Alexandrovna,
profesor de matemáticas MBOU "Escuela secundaria nº 31"
Tareas:
donde a 1 = 3, d = 2 (5 – 3, 7 – 5, 9 – 7, etc.).
. Por ejemplo, b 7 = b 6 ∙ q.
