Sumar y restar números racionales. Lección de repetición de generalización multinivel sobre el tema: “Suma y resta de fracciones racionales

Esta lección cubrirá la suma y resta de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Ya sabemos sumar y restar fracciones comunes con distintos denominadores. Para ello, las fracciones deben reducirse a un denominador común. Resulta que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas. Al mismo tiempo, ya sabemos cómo reducir fracciones algebraicas a un denominador común. Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores es uno de los temas más importantes y difíciles del curso de octavo grado. Además, este tema aparecerá en muchos temas del curso de álgebra que estudiarás en el futuro. Como parte de la lección, estudiaremos las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores y también analizaremos una serie completa. ejemplos típicos.

Consideremos ejemplo más simple Para fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Sumar fracciones: .

Solución:

Recordemos la regla para sumar fracciones. Para empezar, las fracciones deben reducirse a un denominador común. El denominador común de las fracciones ordinarias es minimo común multiplo(MCM) de los denominadores originales.

Definición

El menos número natural, que es simultáneamente divisible por los números y .

Para encontrar el MCM, debes factorizar los denominadores en factores primos y luego seleccionar todos los factores primos que están incluidos en la expansión de ambos denominadores.

; . Entonces el MCM de números debe incluir dos de dos y dos de tres: .

Después de encontrar el denominador común, debes encontrar un factor adicional para cada fracción (de hecho, divide el denominador común por el denominador de la fracción correspondiente).

Luego, cada fracción se multiplica por el factor adicional resultante. Obtenemos fracciones con los mismos denominadores, que aprendimos a sumar y restar en lecciones anteriores.

Obtenemos: .

Respuesta:.

Consideremos ahora la suma de fracciones algebraicas con diferentes denominadores. Primero, veamos fracciones cuyos denominadores son números.

Ejemplo 2. Sumar fracciones: .

Solución:

El algoritmo de solución es absolutamente similar al ejemplo anterior. Es fácil encontrar el denominador común de estas fracciones: y factores adicionales para cada una de ellas.

.

Respuesta:.

Entonces, formulemos algoritmo para sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores:

1. Encuentra el mínimo común denominador de fracciones.

2. Encuentra factores adicionales para cada una de las fracciones (dividiendo el denominador común por el denominador de la fracción dada).

3. Multiplica los numeradores por los factores adicionales correspondientes.

4. Sumar o restar fracciones usando las reglas para sumar y restar fracciones con denominadores similares.

Consideremos ahora un ejemplo con fracciones cuyo denominador contiene expresiones de letras.

Ejemplo 3. Sumar fracciones: .

Solución:

Dado que las expresiones de letras en ambos denominadores son iguales, debes encontrar un denominador común para los números. El denominador común final será el siguiente: . Por tanto, la solución a este ejemplo es la siguiente:

Respuesta:.

Ejemplo 4. Restar fracciones: .

Solución:

Si no puedes “hacer trampa” al elegir un denominador común (no puedes factorizarlo ni usar fórmulas de multiplicación abreviadas), entonces debes tomar el producto de los denominadores de ambas fracciones como denominador común.

Respuesta:.

En general, al resolver este tipo de ejemplos, la tarea más difícil es encontrar un denominador común.

Veamos un ejemplo más complejo.

Ejemplo 5. Simplifica: .

Solución:

Al encontrar un denominador común, primero debes intentar factorizar los denominadores de las fracciones originales (para simplificar el denominador común).

En este caso particular:

Entonces es fácil determinar el denominador común: .

Determinamos factores adicionales y resolvemos este ejemplo:

Respuesta:.

Ahora establezcamos las reglas para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores.

Ejemplo 6. Simplifica: .

Solución:

Respuesta:.

Ejemplo 7. Simplifica: .

Solución:

.

Respuesta:.

Consideremos ahora un ejemplo en el que no se suman dos, sino tres fracciones (después de todo, las reglas de suma y resta para un mayor número de fracciones siguen siendo las mismas).

Ejemplo 8. Simplifica: .

Sujeto " Sumar y restar fracciones racionales ” es uno de los líderes plan de estudios en álgebra de octavo grado. Y la habilidad adquirida durante su estudio es extremadamente necesaria para el estudiante durante todos los años posteriores de escolarización.

No es ningún secreto que los niños dominan muy mal la tecnología. sumando fracciones racionales con diferentes denominadores, por lo que la tasa de éxito en la escuela secundaria disminuye.

Este artículo sugiere cuento de hadas matemático Octavo grado en el tema " Suma de fracciones racionales “, que se enfoca en memorizar el algoritmo para sumar y restar fracciones racionales con diferentes denominadores.

Este algoritmo se llama "Regla de las tres C" (versión rusa).

“Suma de fracciones racionales”

Fedya estaba preparando sus deberes. Empecé a resolver el problema de álgebra al final.

Abrí la sección “Fracciones racionales”, cerré los ojos y comencé a pensar.

“Estas X otra vez. Y nuestra Anna Romanovna, ¡oh, cómo los ama! ¡Así que se les ocurrieron las reglas! Suma, resta de fracciones... con iguales denominadores y con diferentes. Intenta recordar qué denominador, dónde escribir y qué numerador. Y el multiplicador adicional vino de alguna parte. Y el ejemplo del libro se resuelve de alguna manera incomprensible. ¿Cómo lidiar con estas X? »

Mientras hablaba de las X, Fedya se quedó dormido. Y sueña que es muy pequeño y un enorme gigante se para frente a él y le dice: “¿Por qué tú, Fedya, no me amas tanto? No te hice nada malo".

Y Fedya en un sueño: “No tengo nada contra ti. Pero cuando estás en fracciones racionales y hay que sumarlas y restarlas, me rindo…”

“Te ayudaré”, sugirió X. “Recuerda la regla de las tres c , que significa: Desde abajo, Desde el costado y Desde arriba.

Abajo significa escribir primero el denominador común, que está en la parte inferior.

En el costado, esto significa que luego escriba el factor adicional, está en el costado.

Arriba está el numerador, ya que está encima de la fracción.

Lea atentamente en el libro de texto cómo encontrarlos”.

Fedya se despertó y miró la regla escrita. sumando fracciones racionales con diferentes denominadores y de repente entendí todo.

Matemáticas Kazka 8vo grado "Suma de fracciones racionales".

Fedko preparó productos caseros. El departamento de álgebra empezó a trabajar en el resto.

Al abrir la sección “Fracciones racionales”, mis ojos se aplanaron y comenzaron a desvanecerse. “Te conozco de nuevo. Y nuestra Ganna Romanivna, ¡oh, cómo amarlos! ¡No siguieron las reglas! Suma, eliminación de fracciones, con pancartas nuevas y con otras diferentes. Trate de recordar cuál escribir y cuál escribir. Y también vea el multiplicador adicional. Y la culata del libro se desató como si estuviera inconsciente. ¿Cómo puedo casarme con estas X?

Fedko murmuró algo sobre Ixi y se quedó dormido. Y sueño que es incluso pequeño, y el Veletensky Iksishche está de pie junto a él y le dice: “¿Por qué, Fedya, no me amas tanto? No te he hecho nada desagradable”.

Y Fedko en tus sueños: “No quiero nada contra ti. Por desgracia, cuando estás frente a fracciones racionales y es necesario sumarlas y eliminarlas, mis manos se dan por vencidas”.

“Te ayudaré”, dijo X. “Memoriza regla de tres "Z" , que significa: Desde abajo, desde el costado y desde arriba.

Debajo significa que desde el principio escriba el cartel para dormir, debajo.

Al lado, esto significa que luego escriba el multiplicador adicional, al lado.

En la parte superior hay un numerador, porque está en el plano bestial.

Para conocerlos, léelos atentamente a tu amigo”.

Fedko se quedó dormido y se maravilló de lo grabado. regla para agregar y eliminar fracciones con diferentes banners Y todos empezaron a rapear.

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¡Atención!

Algoritmo Sumar y restar fracciones racionales con diferentes denominadores. , así como ejemplos con análisis detallado las soluciones son posibles

¡Queridos lectores!

Esta lección cubrirá la suma y resta de fracciones algebraicas con denominadores similares. Ya sabemos sumar y restar fracciones comunes con denominadores similares. Resulta que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas. Aprender a trabajar con fracciones con denominadores comunes es una de las piedras angulares del aprendizaje de cómo trabajar con fracciones algebraicas. En particular, comprender este tema facilitará el dominio de más tema dificil- suma y resta de fracciones con diferentes denominadores. Como parte de la lección, estudiaremos las reglas para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores comunes y también analizaremos una serie de ejemplos típicos.

Regla para sumar y restar fracciones algebraicas con denominadores iguales

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih fracciones de uno a ti -mi know-me-na-te-la-mi (coincide con la regla análoga para los golpes de tiro ordinarios): es decir, para la suma o el cálculo de fracciones al-geb-ra-i-che-skih con uno para ti know-me-on-the-la-mi necesario -ho-di-mo-compilar una suma al-geb-ra-i-che-suma de números correspondiente, y el sign-me-na-tel se va sin ninguno.

Entendemos esta regla tanto para el ejemplo de los empates ven ordinarios como para el ejemplo de los empates al-geb-ra-i-che.

Ejemplos de aplicación de la regla para fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Sumar fracciones: .

Solución

Sumemos el número de fracciones y dejemos el signo igual. Después de esto, descomponemos el número y firmamos en multiplicidades y combinaciones simples. Consigámoslo: .

Nota: un error estándar que se permite al resolver tipos similares de ejemplos, para -klu-cha-et-sya en la siguiente posible solución: . Esto es un grave error, ya que el signo sigue siendo el mismo que en las fracciones originales.

Ejemplo 2. Sumar fracciones: .

Solución

Éste no se diferencia en nada del anterior: .

Ejemplos de aplicación de la regla para fracciones algebraicas.

De los dro-beats ordinarios pasamos a al-geb-ra-i-che-skim.

Ejemplo 3. Sumar fracciones: .

Solución: como ya se mencionó anteriormente, la composición de las fracciones al-geb-ra-i-che no difiere en nada de la palabra igual que las peleas a tiros habituales. Por tanto, el método de solución es el mismo: .

Ejemplo 4. Eres la fracción: .

Solución

You-chi-ta-nie de fracciones al-geb-ra-i-che-skih de la suma solo por el hecho de que en el número pi-sy-va-et-sya hay diferencia en el número de fracciones utilizadas. Es por eso .

Ejemplo 5. Eres la fracción: .

Solución: .

Ejemplo 6. Simplifica: .

Solución: .

Ejemplos de aplicación de la regla seguida de reducción.

En una fracción que tiene el mismo significado en el resultado de la capitalización o cálculo, las combinaciones son posibles nia. Además, no debes olvidarte de la ODZ de las fracciones al-geb-ra-i-che-skih.

Ejemplo 7. Simplifica: .

Solución: .

Donde. En general, si la ODZ de las fracciones iniciales coincide con la ODZ del total, entonces se puede omitir (después de todo, la fracción que está en la respuesta tampoco existirá con los cambios significativos correspondientes). Pero si la ODZ de las fracciones utilizadas y la respuesta no coinciden, entonces es necesario indicar la ODZ.

Ejemplo 8. Simplifica: .

Solución: . Al mismo tiempo, y (la ODZ de las fracciones iniciales no coincide con la ODZ del resultado).

Sumar y restar fracciones con diferentes denominadores

Para sumar y leer fracciones al-geb-ra-i-che con diferentes know-me-on-the-la-mi, hacemos ana-lo -giyu con fracciones ordinarias-ven-ny y lo transferimos a al-geb -ra-i-che-fracciones.

Veamos el ejemplo más simple de fracciones ordinarias.

Ejemplo 1. Sumar fracciones: .

Solución:

Recordemos las reglas para sumar fracciones. Para empezar con una fracción, es necesario llevarla a un signo común. En el papel de signo general para fracciones ordinarias, actúas minimo común multiplo(NOK) signos iniciales.

Definición

El número más pequeño, que al mismo tiempo se divide en números y.

Para encontrar el NOC, es necesario dividir el conocimiento en conjuntos simples y luego seleccionar todo lo que hay muchos, que se incluyen en la división de ambos signos.

; . Entonces el MCM de números debe incluir dos de dos y dos de tres: .

Después de encontrar el conocimiento general, es necesario encontrar un residente de multiplicidad completo para cada una de las fracciones (de hecho, verter el signo común en el signo de la fracción correspondiente).

Luego cada fracción se multiplica por un factor medio completo. Saquemos algunas fracciones de las mismas que conoces, sumémoslas y léalas en voz alta -estudiado en lecciones anteriores.

Comamos: .

Respuesta:.

Veamos ahora la composición de fracciones al-geb-ra-i-che con diferentes signos. Ahora miremos las fracciones y veamos si hay números.

Sumar y restar fracciones algebraicas con diferentes denominadores

Ejemplo 2. Sumar fracciones: .

Solución:

Al-go-ritmo de la decisión ab-so-lyut-pero ana-lo-gi-chen al ejemplo anterior. Es fácil tomar el signo común de las fracciones dadas y multiplicadores adicionales para cada una de ellas.

.

Respuesta:.

Entonces, formemos al-go-ritmo de suma y cálculo de fracciones al-geb-ra-i-che-skih con diferentes signos:

1. Encuentra el signo común más pequeño de la fracción.

2. Encuentre multiplicadores adicionales para cada una de las fracciones (de hecho, el signo común del signo se da -ésima fracción).

3. Números hasta muchos en las correspondientes multiplicidades hasta completas.

4. Sumar o calcular fracciones, utilizando las reglas de composición y cálculo de fracciones con el mismo conocimiento -me-na-te-la-mi.

Ahora veamos un ejemplo con fracciones, en cuyo signo hay letras you -nia.