Mikä on matemaattinen malli esimerkkejä. Erilaisia ​​tapoja rakentaa matemaattinen malli

Tietokoneet ovat tulleet tiukasti elämäämme, eikä käytännössä ole sellaista ihmisen toiminnan aluetta, jossa tietokoneita ei käytettäisi. Tietokoneita käytetään nykyään laajasti uusien koneiden luomisessa ja tutkimisessa teknisiä prosesseja ja etsii niitä parhaat vaihtoehdot; päättäessään taloudellisia tehtäviä, kun ratkaistaan ​​tuotannon suunnittelun ja johtamisen ongelmia eri tasoilla. Suurten esineiden luominen rakettialalla, lentokoneiden rakentamisessa, laivanrakennuksessa sekä patojen, siltojen jne. suunnittelussa on yleensä mahdotonta ilman tietokoneiden käyttöä.

Jotta tietokonetta voitaisiin käyttää sovellettujen ongelmien ratkaisemisessa, sovellettu ongelma on ensin "käännettävä" muodolliseksi matemaattiseksi kieleksi, ts. todellista esinettä, prosessia tai järjestelmää varten on rakennettava sen matemaattinen malli.

Sana "malli" tulee latinan sanasta modus (kopio, kuva, ääriviiva). Mallintaminen on jonkin kohteen A korvaamista toisella objektilla B. Korvattua objektia A kutsutaan alkuperäiseksi tai mallinnusobjektiksi ja korvaavaa objektia B malliksi. Toisin sanoen malli on alkuperäisen kohteen korvaava objekti, joka tarjoaa alkuperäisen joidenkin ominaisuuksien tutkimuksen.

Mallintamisen tarkoituksena on hankkia, käsitellä, esittää ja käyttää tietoa objekteista, jotka ovat vuorovaikutuksessa keskenään ja ulkoinen ympäristö; ja malli toimii tässä keinona tietää kohteen ominaisuudet ja käyttäytymismallit.

Matemaattinen mallintaminen on tapa tutkia todellista esinettä, prosessia tai järjestelmää korvaamalla ne matemaattisella mallilla, joka on kätevämpi kokeelliseen tietokonetutkimukseen.

Matemaattinen mallintaminen on prosessi, jossa rakennetaan ja tutkitaan todellisten prosessien ja ilmiöiden matemaattisia malleja. Kaikki luonnolliset ja yhteiskuntatieteet, jotka käyttävät matemaattista laitteistoa, itse asiassa harjoittavat matemaattista mallintamista: he korvaavat todellisen kohteen mallillaan ja tutkivat sitten jälkimmäistä. Kuten mikä tahansa simulaatio, matemaattinen malli ei täysin kuvaa tutkittavaa ilmiötä, ja kysymykset näin saatujen tulosten soveltuvuudesta ovat erittäin merkityksellisiä. Matemaattinen malli on yksinkertaistettu kuvaus todellisuudesta matemaattisten käsitteiden avulla.

Matemaattinen malli ilmaisee kohteen tai prosessin olennaiset ominaisuudet yhtälöiden ja muiden matemaattisten keinojen kielellä. Tarkkaan ottaen matematiikka itsessään on velkaa sen olemassaolon, mitä se yrittää heijastaa, ts. mallintaa omalla kielellään ympäröivän maailman malleja.

klo matemaattinen mallinnus objektin tutkimus suoritetaan matematiikan kielellä tietyillä matemaattisilla menetelmillä muotoillun mallin avulla.

Matemaattisen mallinnuksen polku meidän aikanamme on paljon kattavampi kuin luonnollinen mallinnus. Valtavan sysäyksen matemaattisen mallintamisen kehitykselle antoi tietokoneiden tulo, vaikka itse menetelmä syntyi samanaikaisesti matematiikan kanssa tuhansia vuosia sitten.

Matemaattinen mallintaminen sinänsä ei aina vaadi tietokonetukea. Jokainen matemaattiseen mallintamiseen ammattimaisesti sitoutunut asiantuntija tekee kaikkensa mallin analyyttisen tutkimuksen eteen. Analyyttiset ratkaisut (eli kaavoilla, jotka ilmaisevat tutkimuksen tuloksia lähtötietojen kautta) ovat yleensä kätevämpiä ja informatiivisempia kuin numeeriset ratkaisut. Analyyttisten menetelmien mahdollisuudet monimutkaisten matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen ovat kuitenkin hyvin rajalliset, ja nämä menetelmät ovat yleensä paljon monimutkaisempia kuin numeeriset.

Matemaattinen malli on likimääräinen esitys todellisista objekteista, prosesseista tai järjestelmistä, ilmaistuna matemaattisesti ja säilyttäen alkuperäisen olennaiset piirteet. Matemaattiset mallit kvantitatiivisessa muodossa loogisten ja matemaattisten konstruktien avulla kuvaavat kohteen, prosessin tai järjestelmän pääominaisuuksia, parametreja, sisäisiä ja ulkoisia yhteyksiä

Kaikki mallit voidaan jakaa kahteen luokkaan:

1. todellinen,
2. ihanteellinen.

Oikeat mallit puolestaan ​​voidaan jakaa:

1. luonnollinen,
2. fyysinen,
3. matemaattinen.

Ihanteelliset mallit voidaan jakaa:

1. visuaalinen,
2. ikoninen,
3. matemaattinen.

Todelliset täysimittaiset mallit ovat todellisia esineitä, prosesseja ja järjestelmiä, joilla suoritetaan tieteellisiä, teknisiä ja teollisia kokeita.

Todelliset fyysiset mallit ovat malleja, nukkeja, lisääntymistä fyysiset ominaisuudet alkuperäiset (kinemaattiset, dynaamiset, hydrauliset, lämpö-, sähkö-, kevyet mallit).

Todellisia matemaattisia ovat analogiset, rakenteelliset, geometriset, graafiset, digitaaliset ja kyberneettiset mallit.

Ihanteellisia visuaalisia malleja ovat kaaviot, kartat, piirustukset, kaaviot, kaaviot, analogit, rakenne- ja geometriset mallit.

Ihanteellisia merkkimalleja ovat symbolit, aakkoset, ohjelmointikielet, järjestetyt merkinnät, topologiset merkinnät, verkkoesitys.

Ihanteellisia matemaattisia malleja ovat analyyttiset, toiminnalliset, simulaatiomallit, yhdistetyt mallit.

Yllä olevassa luokituksessa joillakin malleilla on kaksinkertainen tulkinta (esimerkiksi analoginen). Kaikki mallit, paitsi täysimittaiset mallit, voidaan yhdistää yhdeksi henkisten mallien luokkaan, koska ne ovat ihmisen abstraktin ajattelun tuotetta.

Peliteorian elementtejä

Yleisesti ottaen pelin ratkaiseminen on melko vaikea tehtävä, ja ongelman monimutkaisuus ja ratkaisemiseen tarvittavien laskelmien määrä kasvavat jyrkästi . Nämä vaikeudet eivät kuitenkaan ole luonteeltaan perustavanlaatuisia, ja niihin liittyy vain erittäin suuri määrä laskelmia, jotka voivat monissa tapauksissa osoittautua käytännössä mahdottomiksi. Ratkaisun löytämismenetelmän perustavanlaatuinen puoli jää kaikille yksi ja sama.

Havainnollistetaan tätä pelin esimerkillä. Annetaan sille geometrinen tulkinta - jo spatiaalinen. Kolme strategiaamme, kuvaamme kolmella pisteellä tasossa ; ensimmäinen on origossa (kuva 1). toinen ja kolmas - akseleilla vai niin Ja OU etäisyydellä 1 origosta.

Akselit I-I, II-II ja III-III piirretään pisteiden läpi kohtisuoraan tasoon nähden . I-I-akselilla strategian voitot on piirretty akseleille II-II ja III-III - strategioiden voitot. Jokainen vihollisen strategia edustaa taso, joka katkaisee akselit I-I, II-II ja III-III, voitot vastaavat segmentit

sopivalla strategialla ja strategialla . Kun näin on rakennettu kaikki vihollisen strategiat, saamme kolmion ylittävien tasojen perheen (kuva 2).

Tälle perheelle voidaan myös rakentaa alempi voittoraja, kuten teimme tapauksessa, ja löytää piste N tälle rajalle maksimi korkeus tasainen kone . Tämä korkeus tulee olemaan pelin hinta.

Optimaalisen strategian strategioiden taajuudet määräytyvät koordinaattien mukaan (x, y) kohdat N, nimittäin:

Tällainen geometrinen rakenne, edes kotelolle, ei kuitenkaan ole helppo toteuttaa ja vaatii paljon aikaa ja mielikuvitusta. Pelin yleisessä tapauksessa se kuitenkin siirtyy -ulotteiseen avaruuteen ja menettää kaiken selkeyden, vaikka geometrisen terminologian käyttö saattaa joissain tapauksissa olla hyödyllistä. Käytännössä pelejä ratkaistaessa on kätevämpää käyttää ei geometrisia analogioita, vaan laskennallisia analyyttisiä menetelmiä, varsinkin kun nämä menetelmät ovat ainoat, jotka soveltuvat ongelmien ratkaisemiseen tietokoneilla.

Kaikki nämä menetelmät rajoittuvat olennaisesti ongelman ratkaisemiseen peräkkäisillä kokeiluilla, mutta koejärjestyksen järjestäminen mahdollistaa algoritmin rakentamisen, joka johtaa ratkaisuun edullisimmalla tavalla.

Pysähdymme tässä lyhyesti yhteen laskennalliseen menetelmään pelien ratkaisemiseksi - niin sanotulla "lineaarisen ohjelmoinnin" menetelmällä.

Tätä varten annamme ensin yleisen selvityksen ongelmasta löytää ratkaisu peliin . Anna pelin antaa T pelaajastrategioita A Ja n pelaajastrategioita SISÄÄN ja voittomatriisi on annettu

Peliin on löydettävä ratkaisu, eli kaksi optimaalista sekoitettua strategiaa pelaajille A ja B

jossa (jotkut luvuista ja voivat olla yhtä suuria kuin nolla).

Optimaalinen strategiamme S*A pitäisi tarjota meille voitto vähintään , mistä tahansa vihollisen käytöksestä ja voitto, joka on yhtä suuri kuin , hänen optimaalisesta käyttäytymisestään (strategia S*B).Samalla tavalla strategia S*B sen on annettava viholliselle tappio, joka ei ole suurempi kuin , jokaisesta käyttäytymisestämme ja yhtä suuri kuin optimaalisen käyttäytymisemme kannalta (strategia S*A).

Pelin arvo tässä tapauksessa on meille tuntematon; oletetaan, että se on yhtä suuri kuin jokin positiivinen luku. Olettaen tämän, emme riko päättelyn yleisyyttä; jotta se olisi > 0, riittää ilmeisesti, että kaikki matriisin elementit eivät ole negatiivisia. Tämä voidaan aina saavuttaa lisäämällä elementteihin riittävän suuri positiivinen arvo L, jolloin pelin hinta nousee L:llä, eikä ratkaisu muutu.

Valitsemme optimaalisen strategiamme S*A. Silloin keskimääräinen voittomme vastustajan strategiasta on yhtä suuri:

Optimaalinen strategiamme S*A sillä on se ominaisuus, että se tuo voittoa vähintään ; siksi mikään luvuista ei voi olla pienempi kuin . Saamme useita ehtoja:

(1)

Jaa epäyhtälöt (1) positiivisella arvolla ja merkitse:

Sitten ehto (1) voidaan kirjoittaa muodossa

(2)

missä ovat ei-negatiiviset luvut. Koska määrät täyttävät ehdon

Haluamme tehdä takuuvoitosta mahdollisimman korkean; Ilmeisesti tässä tapauksessa yhtälön (3) oikea puoli saa minimiarvon.

Siten ongelma löytää ratkaisu peliin on pelkistetty seuraavaan matemaattiseen ongelmaan: määrittää ei-negatiiviset suuret täyttävät ehdot (2), niin että niiden summa

oli minimaalinen.

Yleensä ääriarvojen (maksimien ja minimien) löytämiseen liittyviä ongelmia ratkaistaessa funktio eristetään ja derivaatat rinnastetaan nollaan. Mutta tällainen tekniikka on tässä tapauksessa hyödytön, koska funktio Ф, joka tarvitsee minimoida, on lineaarinen ja sen derivaatat kaikkien argumenttien suhteen ovat yhtä suuria kuin yksi, eli ne eivät katoa mihinkään. Näin ollen funktion maksimi saavutetaan jossain argumenttien muutosalueen rajalla, joka määräytyy argumenttien ja ehtojen ei-negatiivisuuden vaatimuksella (2). Menetelmä ääriarvojen löytämiseksi eriyttämisen avulla ei sovellu myös niissä tapauksissa, joissa pelin ratkaisulle määritetään alemman (tai ylemmän) voittorajan maksimi, kuten teimme. He tekivät sen esimerkiksi pelejä ratkoessaan. Alaraja koostuukin suorien viivojen osista, eikä maksimi saavuteta siinä kohdassa, jossa derivaatta on yhtä suuri kuin nolla (tällaista pistettä ei ole ollenkaan), mutta välin rajalla tai suorien osien leikkauspisteessä.

Tällaisten, käytännössä melko yleisten ongelmien ratkaisemiseksi matematiikassa on kehitetty erityinen laite. lineaarinen ohjelmointi.

Lineaarisen ohjelmoinnin ongelma esitetään seuraavasti.

Annettu lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

(4)

On löydettävä ei-negatiiviset suureiden arvot, jotka täyttävät ehdot (4) ja samalla minimoidaan annettu homogeeninen suureiden lineaarinen funktio (lineaarinen muoto):

On helppo nähdä, että edellä esitetty peliteoriaongelma on erityinen tapaus lineaarisen ohjelmoinnin ongelmasta

Ensi silmäyksellä saattaa vaikuttaa siltä, ​​että ehdot (2) eivät vastaa ehtoja (4), koska yhtäläisyysmerkkien sijaan ne sisältävät eriarvoisuusmerkkejä. Epätasa-arvomerkeistä on kuitenkin helppo päästä eroon ottamalla käyttöön uusia fiktiivisiä ei-negatiivisia muuttujia ja kirjoitusehtoja (2) muodossa:

(5)

Muoto Ф, joka tulee minimoida, on yhtä suuri kuin

Lineaarinen ohjelmointilaitteisto mahdollistaa arvojen valitsemisen suhteellisen pienellä määrällä peräkkäisiä näytteitä , vaatimukset täyttävä. Selvyyden vuoksi tässä esittelemme tämän laitteen käyttöä suoraan tiettyjen pelien ratkaisumateriaalilla.

Matemaattinen malli - tämä on matemaattisten suhteiden järjestelmä - kaavoja, yhtälöitä, epäyhtälöitä jne., jotka heijastavat esineen tai ilmiön olennaisia ​​ominaisuuksia.

Jokainen luonnonilmiö on monimutkaisuudessaan ääretön.. Havainnollistakaamme tätä V.N.:n kirjasta otetun esimerkin avulla. Trostnikov "Ihminen ja tieto" (Kustantamo "Science", 1970).

Maallikko muotoilee matematiikan ongelman seuraavasti: "Kuinka kauan kivi putoaa 200 metrin korkeudesta?" Matemaatikko alkaa luoda oman versionsa ongelmasta jotakuinkin näin: "Oletetaan, että kivi putoaa tyhjiöön ja painovoiman kiihtyvyys on 9,8 metriä sekunnissa sekunnissa. Sitten..."

- Anna minun- osaa sanoa "asiakas", - En pidä tästä yksinkertaistamisesta. Haluan tietää tarkalleen kuinka kauan kivi putoaa todellisissa olosuhteissa, ei olemattomassa tyhjiössä.

- Hieno, matemaatikko on samaa mieltä. - Oletetaan, että kivellä on pallomainen muoto ja halkaisija... Mikä on sen likimääräinen halkaisija?

- Noin viisi senttiä. Mutta se ei ole ollenkaan pallomainen, vaan pitkänomainen.

- Sitten oletetaan niinon ellipsoidin muotoinen akselin akseleilla neljä, kolme ja kolme senttimetriä ja että hänputoaa niin, että puolipääakseli pysyy pystysuorassa koko ajan . Otamme ilmanpaineen yhtä suureksi kuin760 mmHg , täältä löydämme ilman tiheyden...

Jos ongelman "inhimilliseen" kieleen asettaja ei puutu enempää matemaatikon ajatuskulkuun, niin jälkimmäinen antaa numeerisen vastauksen hetken kuluttua. Mutta "kuluttaja" voi vastustaa kuten ennenkin: kivi ei itse asiassa ole ollenkaan ellipsoidinen, ilmanpaine siinä paikassa ja sillä hetkellä ei vastannut 760 mm elohopeaa jne. Mitä matemaatikko vastaa hänelle?

Hän vastaa siihen todellisen ongelman tarkka ratkaisu on yleensä mahdotonta. Eikä vain se kiven muoto, joka vaikuttaa ilmanvastukseen, ei voida kuvata millään matemaattisella yhtälöllä; sen pyöriminen lennossa on myös matematiikan hallinnan ulkopuolella sen monimutkaisuuden vuoksi. Edelleen, ilma ei ole tasaista, koska satunnaisten tekijöiden toiminnan seurauksena siihen syntyy tiheysvaihteluiden vaihteluita. Kun mennään vielä syvemmälle, se on otettava huomioon universaalin painovoiman lain mukaan jokainen ruumis vaikuttaa kaikkiin muihin kehoihin. Tästä seuraa, että jopa heiluri seinäkello muuttaa kiven liikerataa liikkeellään.

Lyhyesti sanottuna, jos haluamme vakavasti tutkia minkä tahansa kohteen käyttäytymistä, meidän on ensin tiedettävä kaikkien muiden universumin esineiden sijainti ja nopeus. Ja tämä tietysti. mahdotonta.

Tehokkain matemaattinen malli voidaan toteuttaa tietokoneella algoritmisen mallin - ns. "laskentakokeen" - muodossa (ks. [1], kappale 26).

Tietenkin laskennallisen kokeen tulokset eivät välttämättä vastaa todellisuutta, jos joitain tärkeitä todellisuuden puolia ei oteta huomioon mallissa.

Joten, kun luot matemaattisen mallin ongelman ratkaisemiseksi, sinun on:

1. korostaa oletuksia, joihin matemaattinen malli perustuu;
2. määrittää, mitä pidetään syöttötietoina ja -tuloksina;
3. kirjoita ylös matemaattiset suhteet, jotka yhdistävät tulokset alkuperäisiin tietoihin.

Matemaattisia malleja rakennettaessa ei läheskään aina ole mahdollista löytää kaavoja, jotka ilmaisevat halutut suureet yksiselitteisesti tiedon kautta. Tällaisissa tapauksissa käytetään matemaattisia menetelmiä antamaan erilaisia ​​tarkkuutta vastaavia vastauksia. Ei ole olemassa vain minkä tahansa ilmiön matemaattista mallintamista, vaan myös visuaalista-luonnollista mallinnusta, joka saadaan esittämällä nämä ilmiöt tietokonegrafiikalla, ts. tutkijalle näytetään eräänlainen "tietokonesarjakuva", joka on kuvattu reaaliajassa. Näkyvyys täällä on erittäin korkea.

Muut merkinnät

10.6.2016. 8.3 Mitkä ovat ohjelmistokehitysprosessin päävaiheet? 8.4 Kuinka ohjata ohjelman tekstiä ennen tulostamista tietokoneelle?

8.3 Mitkä ovat ohjelmistokehitysprosessin päävaiheet? Ohjelman kehitysprosessi voidaan ilmaista seuraavalla kaavalla: Virheiden esiintyminen äskettäin kehitetyssä ohjelmassa on melko normaalia ...

10.6.2016. 8.5 Mitä varten vianetsintä ja testaus on? 8.6. Mitä on virheenkorjaus? 8.7 Mitä on testaus ja testaus? 8.8 Mitä testitietojen pitäisi olla? 8.9. Mitkä ovat testausprosessin vaiheet?

8.5 Mitä varten vianetsintä ja testaus on? Ohjelman virheenkorjaus on prosessi, jossa etsitään ja poistetaan ohjelman virheitä sen tietokoneella suorituksen tulosten perusteella. Testaus…

10.6.2016. 8.10. Mitä ovat tyypilliset ohjelmointivirheet? 8.11. Osoittaako syntaksivirheiden puuttuminen ohjelman oikeellisuutta? 8.12 Mitä virheitä kääntäjä ei havaitse? 8.13. Mitä on ohjelmatuki?

8.10. Mitä ovat tyypilliset ohjelmointivirheet? Virheitä voidaan tehdä kaikissa ongelman ratkaisun vaiheissa - sen muotoilusta toteutukseen. Erilaisia ​​virheitä ja vastaavia esimerkkejä annetaan ...

Matemaattinen malli b on todellisuuden matemaattinen esitys.

Matemaattinen mallinnus- matemaattisten mallien rakentamis- ja tutkimisprosessi.

Kaikki luonnon- ja yhteiskuntatieteet, jotka käyttävät matemaattista laitteistoa, harjoittavat itse asiassa matemaattista mallintamista: ne korvaavat todellisen kohteen sen matemaattisella mallilla ja tutkivat sitten jälkimmäistä.

Määritelmät.

Mikään määritelmä ei voi täysin kattaa matemaattisen mallinnuksen tosielämän toimintaa. Tästä huolimatta määritelmät ovat hyödyllisiä, koska ne pyrkivät tuomaan esiin tärkeimmät piirteet.

Mallin määritelmä A. A. Lyapunovin mukaan: Mallintaminen on kohteen epäsuora käytännöllinen tai teoreettinen tutkimus, jossa ei tutkita suoraan meitä kiinnostavaa kohdetta, vaan jotain apukeinotekoista tai luonnollista järjestelmää:

sijaitsee jossain objektiivisessa vastaavuudessa tunnistettavissa olevan kohteen kanssa;

voi korvata hänet tietyissä suhteissa;

joka tutkimuksensa aikana lopulta antaa tietoa mallinnettavasta kohteesta.

Sovetovin ja Jakovlevin oppikirjan mukaan "malli on alkuperäisen esineen objektin korvike, joka tarjoaa alkuperäisen joidenkin ominaisuuksien tutkimuksen." "Osen korvaamista toisella, jotta saadaan tietoa alkuperäisen kohteen tärkeimmistä ominaisuuksista malliobjektin avulla, kutsutaan mallintamiseksi." "Matemaattisessa mallinnuksessa ymmärrämme prosessin, jossa muodostetaan vastaavuus tietylle matemaattiselle objektille, jota kutsutaan matemaattiseksi malliksi, ja tämän mallin tutkimista, joka mahdollistaa tarkasteltavan todellisen kohteen ominaisuuksien saamisen. Matemaattisen mallin tyyppi riippuu sekä todellisen kohteen luonteesta että objektin tutkimisen tehtävistä sekä tämän ongelman ratkaisemisen vaadittavasta luotettavuudesta ja tarkkuudesta.

Samarskin ja Mikhailovin mukaan matemaattinen malli on esineen "ekvivalentti", joka heijastaa matemaattisessa muodossa sen tärkeimpiä ominaisuuksia: lakeja, joita se noudattaa, sen osien luontaisia ​​yhteyksiä jne. Se on olemassa kolmiossa " malli-algoritmi-ohjelma”. Luotuaan "malli-algoritmi-ohjelma"-kolmikon tutkija saa universaalin, joustavan ja edullisen työkalun, joka ensin debuggoidaan ja testataan koelaskentakokeissa. Kun kolmikon soveltuvuus alkuperäiseen kohteeseen on todettu, mallilla suoritetaan erilaisia ​​ja yksityiskohtaisia ​​"kokeita", jotka antavat kaikki objektin vaadittavat laadulliset ja määrälliset ominaisuudet ja ominaisuudet.

Myshkisin monografian mukaan: "Siirrytään yleiseen määritelmään. Aiomme tutkia todellisen kohteen a ominaisuuksien joukkoa S

matematiikan avulla. Tätä varten valitsemme "matemaattisen objektin" a" - yhtälöjärjestelmän tai aritmeettisen suhteen tai geometriset kuviot, tai molempien yhdistelmä jne., joita tutkimalla matematiikan avulla pitäisi vastata S:n ominaisuuksista esitettyihin kysymyksiin. Näissä olosuhteissa "a kutsutaan objektin a matemaattiseksi malliksi kokonaisuuden S suhteen sen ominaisuuksista."

A. G. Sevostyanovin mukaan: "Matemaattinen malli on joukko matemaattisia suhteita, yhtälöitä, epäyhtälöitä jne., jotka kuvaavat tutkittavan prosessin, objektin tai järjestelmän päämalleja."

Wikisanakirja antaa hieman vähemmän yleisen matemaattisen mallin määritelmän, joka perustuu "input-output-state" idealisointiin, joka on lainattu automaattiteoriasta: "Abstrakti matemaattinen esitys prosessista, laitteesta tai teoreettisesta ideasta; se käyttää joukkoa muuttujia kuvaamaan syötteitä, lähtöjä ja sisäisiä tiloja sekä yhtälö- ja epäyhtälösarjoja kuvaamaan niiden vuorovaikutusta."

Lopuksi matemaattisen mallin ytimekkäin määritelmä: "Yhtälö, joka ilmaisee idean."

Mallien muodollinen luokittelu.

Mallien muodollinen luokittelu perustuu käytettyjen matemaattisten työkalujen luokitukseen. Usein rakennettu dikotomioiden muodossa. Esimerkiksi yksi suosituimmista dikotomioista on:

Lineaariset tai epälineaariset mallit; Keskitetyt tai hajautetut järjestelmät; Deterministinen tai stokastinen; Staattinen tai dynaaminen; diskreetti tai jatkuva.

ja niin edelleen. Jokainen rakennettu malli on lineaarinen tai epälineaarinen, deterministinen tai stokastinen, ... Luonnollisesti myös sekatyypit ovat mahdollisia: keskittyneet yhdessä suhteessa, hajautetut mallit toisessa jne.

Luokittelu kohteen esitystavan mukaan.

Muodollisen luokituksen ohella mallit eroavat tavasta, jolla ne edustavat objektia:

Rakennemallit edustavat kohdetta järjestelmänä, jolla on oma laite ja toimintamekanismi. Funktionaaliset mallit eivät käytä tällaisia ​​esityksiä ja heijastavat vain kohteen ulkoisesti havaittua käyttäytymistä. Äärimmäisessä ilmaisussaan niitä kutsutaan myös "musta laatikko" -malleiksi. Myös yhdistetyt mallit ovat mahdollisia, joita joskus kutsutaan "harmaiksi laatikoiksi".

Melkein kaikki matemaattisen mallintamisen prosessia kuvaavat kirjoittajat osoittavat, että ensin rakennetaan erityinen ideaalinen konstruktio, mielekäs malli. Tässä ei ole vakiintunutta terminologiaa, ja muut kirjoittajat kutsuvat tätä ihanneobjektia käsitteelliseksi malliksi, spekulatiiviseksi malliksi tai esimalliksi. Tässä tapauksessa lopullista matemaattista konstruktiota kutsutaan muodolliseksi malliksi tai yksinkertaisesti matemaattiseksi malliksi, joka saadaan tämän sisältömallin formalisoinnin tuloksena. Mielekäs malli voidaan rakentaa käyttämällä valmiita idealisaatioita, kuten mekaniikassa, jossa ideaaliset jouset, jäykät kappaleet, ideaaliset heilurit, elastiset väliaineet jne. tarjoavat valmiita rakenneosia mielekkääseen mallinnukseen. Kuitenkin niillä tiedon aloilla, joilla ei ole täysin valmiita formalisoituja teorioita, mielekkäiden mallien luominen tulee paljon monimutkaisempaa.

R. Peierlsin työ antaa luokituksen fysiikassa ja laajemmin luonnontieteissä käytetyistä matemaattisista malleista. A. N. Gorbanin ja R. G. Khleboprosin kirjassa tätä luokitusta analysoidaan ja laajennetaan. Tämä luokittelu keskittyy ensisijaisesti mielekkään mallin rakentamisvaiheeseen.

Nämä mallit "edustavat ilmiön koekuvausta, ja kirjoittaja joko uskoo sen mahdollisuuteen tai jopa pitää sitä todeksi". R. Peierlsin mukaan esimerkiksi aurinkokunnan malli Ptolemaioksen ja Kopernikaanisen mallin mukaan, Rutherfordin atomimalli ja alkuräjähdyksen malli.

Mitään tieteen hypoteesia ei voida todistaa lopullisesti. Richard Feynman ilmaisi asian hyvin selvästi:

"Meillä on aina kyky kumota teoria, mutta huomaa, että emme voi koskaan todistaa sen olevan oikea. Oletetaan, että esität onnistuneen hypoteesin, lasket mihin se johtaa ja huomaat, että kaikki sen seuraukset vahvistetaan kokeellisesti. Tarkoittaako tämä, että teoriasi on oikea? Ei, se tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, ettet pystynyt kumoamaan sitä.

Jos ensimmäisen tyypin malli rakennetaan, tämä tarkoittaa, että se tunnistetaan tilapäisesti todeksi ja voidaan keskittyä muihin ongelmiin. Tämä ei kuitenkaan voi olla tutkimuksen pointti, vaan vain väliaikainen tauko: ensimmäisen tyypin mallin tila voi olla vain väliaikainen.

Fenomenologinen malli sisältää mekanismin ilmiön kuvaamiseksi. Tämä mekanismi ei kuitenkaan ole tarpeeksi vakuuttava, sitä ei voida riittävästi vahvistaa saatavilla olevilla tiedoilla tai se ei ole hyvin yhtäpitävä esineestä saatavilla olevien teorioiden ja kertyneen tiedon kanssa. Siksi fenomenologisilla malleilla on tilapäisten ratkaisujen asema. Uskotaan, että vastausta ei vielä tiedetä, ja on tarpeen jatkaa "oikeiden mekanismien" etsimistä. Peierls viittaa esimerkiksi alkuainehiukkasten kalorimalliin ja kvarkkimalliin toiseen tyyppiin.

Mallin rooli tutkimuksessa voi muuttua ajan myötä, voi tapahtua, että uusi data ja teoriat vahvistavat fenomenologiset mallit ja niitä päivitetään

hypoteesin tila. Samoin uusi tieto voi vähitellen joutua ristiriitaan ensimmäisen tyypin mallien-hypoteesien kanssa ja siirtyä toiseen. Siten kvarkkimalli on vähitellen siirtymässä hypoteesien kategoriaan; Fysiikan atomismi syntyi väliaikaisena ratkaisuna, mutta historian kuluessa se siirtyi ensimmäiseen tyyppiin. Mutta eetterimallit ovat siirtyneet tyypistä 1 tyyppiin 2, ja nyt ne ovat tieteen ulkopuolella.

Yksinkertaistamisen idea on erittäin suosittu mallien rakentamisessa. Mutta yksinkertaistaminen on eri asia. Peierls erottaa mallinnuksen kolme tyyppiä yksinkertaistamista.

Jos tutkittavaa järjestelmää kuvaavia yhtälöitä on mahdollista rakentaa, se ei tarkoita, että ne voitaisiin ratkaista edes tietokoneen avulla. Yleinen tekniikka tässä tapauksessa on approksimaatioiden käyttö. Niiden joukossa on lineaarisia vastemalleja. Yhtälöt korvataan lineaarisilla. Vakioesimerkki on Ohmin laki.

Jos käytämme ideaalikaasumallia kuvaamaan riittävän harvinaisia ​​kaasuja, niin tämä on malli 3. Suuremmilla kaasutiheyksillä on myös hyödyllistä kuvitella yksinkertaisempi ideaalikaasutilanne kvalitatiivista ymmärtämistä ja arviointia varten, mutta silloin tämä on jo tyyppi 4. .

Tyypin 4 mallissa hylätään yksityiskohdat, jotka voivat vaikuttaa tulokseen huomattavasti, eivätkä aina hallittavasti. Samat yhtälöt voivat toimia tyypin 3 tai tyypin 4 mallina riippuen ilmiöstä, jota mallia käytetään tutkimaan. Joten jos lineaarisia vastemalleja käytetään monimutkaisempien mallien puuttuessa, niin nämä ovat jo fenomenologisia lineaarisia malleja ja kuuluvat seuraavaan tyyppiin 4.

Esimerkkejä: ihanteellisen kaasumallin soveltaminen ei-ideaaliseen malliin, van der Waalsin tilayhtälö, useimmat kiinteän olomuodon, nesteen ja ydinfysiikan mallit. Polku mikrokuvauksesta suuresta määrästä hiukkasista koostuvien kappaleiden ominaisuuksiin on hyvin pitkä. Monet yksityiskohdat on jätettävä pois. Tämä johtaa neljännen tyypin malleihin.

Heuristinen malli säilyttää vain laadullisen samankaltaisuuden todellisuuden kanssa ja tekee ennusteita vain "suuruusjärjestyksessä". Tyypillinen esimerkki on keskimääräinen vapaan polun approksimaatio kineettisessä teoriassa. Se antaa yksinkertaisia ​​kaavoja viskositeetti-, diffuusio- ja lämmönjohtavuuskertoimille, jotka ovat suuruusjärjestyksessä todellisuuden mukaisia.

Mutta kun rakennetaan uutta fysiikkaa, ei välttämättä saada heti mallia, joka antaa ainakin laadullisen kuvauksen kohteesta - viidennen tyypin malli. Tässä tapauksessa mallia käytetään usein analogisesti, heijastaen todellisuutta ainakin jollain tavalla.

R. Peierls lainaa analogioiden käytön historiaa W. Heisenbergin ensimmäisessä luontoa käsittelevässä artikkelissa ydinvoimat. "Tämä tapahtui neutronin löytämisen jälkeen, ja vaikka W. Heisenberg itse ymmärsi, että ytimiä voidaan kuvata neutroneista ja protoneista koostuvana, hän ei kuitenkaan päässyt eroon ajatuksesta, että neutronin tulisi lopulta koostua protonista ja elektronista . Tässä tapauksessa syntyi analogia neutroni-protonijärjestelmän vuorovaikutuksen ja vetyatomin ja protonin vuorovaikutuksen välillä. Juuri tämä analogia johti hänet siihen johtopäätökseen, että neutronin ja protonin välillä täytyy olla vuorovaikutuksen vaihtovoimia, jotka ovat analogisia H - H -järjestelmän vaihtovoimien kanssa, koska elektroni siirtyy kahden protonin välillä. ... Myöhemmin neutronin ja protonin välisten vuorovaikutusvoimien olemassaolo kuitenkin todistettiin, vaikka ne eivät olleetkaan täysin loppuneet

kahden hiukkasen välinen vuorovaikutus... Mutta samaa analogiaa seuraten W. Heisenberg päätyi siihen johtopäätökseen, että kahden protonin välillä ei ole ydinvoimia ja kahden neutronin välistä hylkimistä. Molemmat viimeksi mainitut havainnot ovat ristiriidassa myöhempien tutkimusten tulosten kanssa.

A. Einstein oli yksi ajatuskokeilun suurista mestareista. Tässä on yksi hänen kokeiluistaan. Se syntyi nuoruudessa ja johti lopulta rakentamiseen erityinen teoria suhteellisuusteoria. Oletetaan, että klassisessa fysiikassa seuraamme valoaaltoa valonnopeudella. Tarkkailemme sähkömagneettista kenttää, joka muuttuu ajoittain avaruudessa ja muuttuu ajassa vakiona. Maxwellin yhtälöiden mukaan näin ei voi olla. Tästä nuori Einstein päätteli: joko luonnonlait muuttuvat, kun vertailukehys muuttuu, tai valon nopeus ei riipu viitekehyksestä. Hän valitsi toisen - enemmän kaunis vaihtoehto. Toinen kuuluisa Einsteinin ajatuskoe on Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi.

Ja tässä on tyyppi 8, jota käytetään laajalti biologisten järjestelmien matemaattisissa malleissa.

Nämä ovat myös ajatuskokeita kuvitteellisilla kokonaisuuksilla, jotka osoittavat, että väitetty ilmiö on perusperiaatteiden mukainen ja sisäisesti johdonmukainen. Tämä on tärkein ero tyypin 7 malleista, jotka paljastavat piilotetut ristiriidat.

Yksi tunnetuimmista tällaisista kokeista on Lobachevskyn geometria. Toinen esimerkki on kemiallisten ja biologisten värähtelyjen, autoaaltojen jne. muodollisesti kineettisten mallien massatuotanto. Einstein-Podolsky-Rosenin paradoksi suunniteltiin tyypin 7 malliksi epäjohdonmukaisuuden osoittamiseksi. kvanttimekaniikka. Täysin suunnittelemattomalla tavalla siitä tuli lopulta tyypin 8 malli - osoitus tiedon kvanttiteleportaation mahdollisuudesta.

Harkitse mekaaninen järjestelmä, joka koostuu toiseen päähän kiinnitetystä jousesta ja jousen vapaaseen päähän kiinnitetystä kuormasta, jonka massa on m. Oletetaan, että kuorma voi liikkua vain jousen akselin suunnassa. Tehdään tästä järjestelmästä matemaattinen malli. Kuvaamme järjestelmän tilaa etäisyydellä x kuorman keskipisteestä sen tasapainoasentoon. Kuvaamme jousen ja kuorman vuorovaikutusta käyttämällä Hooken lakia, minkä jälkeen käytämme Newtonin toista lakia ilmaisemaan se differentiaaliyhtälön muodossa:

jossa tarkoittaa x:n toista derivaatta ajan suhteen.

Tuloksena oleva yhtälö kuvaa tarkasteltavan fyysisen järjestelmän matemaattista mallia. Tätä mallia kutsutaan "harmoniseksi oskillaattoriksi".

Muodollisen luokituksen mukaan tämä malli on lineaarinen, deterministinen, dynaaminen, keskittynyt, jatkuva. Sen rakentamisen aikana teimme monia oletuksia, jotka eivät ehkä pidä paikkaansa todellisuudessa.

Todellisuuden suhteen tämä on useimmiten tyypin 4 malli, yksinkertaistus, koska joitakin olennaisia ​​universaaleja piirteitä on jätetty pois. Joissakin likimäärissä tällainen malli kuvaa todellista mekaanista järjestelmää melko hyvin, koska

hylätyillä tekijöillä on vähäinen vaikutus sen käyttäytymiseen. Mallia voidaan kuitenkin jalostaa ottamalla huomioon joitain näistä tekijöistä. Tämä johtaa uuteen malliin, jolla on laajempi soveltamisala.

Kuitenkin, kun mallia jalostetaan, sen matemaattisen tutkimuksen monimutkaisuus voi kasvaa merkittävästi ja tehdä mallista käytännössä hyödyttömän. Usein yksinkertaisempi malli mahdollistaa todellisen järjestelmän tutkimisen paremmin ja syvemmälle kuin monimutkaisempi malli.

Jos käytämme harmonista oskillaattorimallia objekteihin, jotka ovat kaukana fysiikasta, sen merkityksellinen tila voi olla erilainen. Esimerkiksi kun tätä mallia sovelletaan biologisiin populaatioihin, se tulisi mitä todennäköisimmin katsoa tyypin 6 analogiaksi.

Kovia ja pehmeitä malleja.

Harmoninen oskillaattori on esimerkki niin sanotusta "kovasta" mallista. Se saadaan todellisen fyysisen järjestelmän vahvan idealisoinnin tuloksena. Sen sovellettavuuden ratkaisemiseksi on välttämätöntä ymmärtää, kuinka merkittäviä ovat tekijät, jotka olemme laiminlyöneet. Toisin sanoen on tarpeen tutkia "pehmeää" mallia, joka saadaan "kovan" pienellä häiriöllä. Se voidaan antaa esimerkiksi seuraavalla yhtälöllä:

Tässä - jokin toiminto, joka voi ottaa huomioon kitkavoiman tai jousen jäykkyyskertoimen riippuvuuden sen venytysasteesta, ε - jokin pieni parametri. F-funktion eksplisiittinen muoto ei kiinnosta meitä tällä hetkellä. Jos todistetaan, että pehmeän mallin käyttäytyminen ei pohjimmiltaan eroa kovan mallin käyttäytymisestä, ongelma rajoittuu kovan mallin tutkimiseen. Muuten jäykän mallin tutkimuksessa saatujen tulosten soveltaminen vaatii lisätutkimusta. Esimerkiksi harmonisen oskillaattorin yhtälön ratkaisut ovat muodon funktioita

Eli värähtelyjä, joilla on vakioamplitudi. Seuraako tästä, että todellinen oskillaattori värähtelee loputtomasti vakioamplitudilla? Ei, koska kun otetaan huomioon systeemi, jossa on mielivaltaisen pieni kitka, saamme vaimentuneet värähtelyt. Järjestelmän käyttäytyminen on muuttunut laadullisesti.

Jos järjestelmä säilyttää laadullisen käyttäytymisensä pienessä häiriössä, sen sanotaan olevan rakenteellisesti vakaa. Harmoninen oskillaattori on esimerkki rakenteellisesti epävakaasta järjestelmästä. Tätä mallia voidaan kuitenkin käyttää prosessien tutkimiseen rajoitetuilla aikaväleillä.

Mallin monipuolisuus.

Tärkeimmillä matemaattisilla malleilla on yleensä tärkeä universaalisuuden ominaisuus: olennaisesti erilaisia ​​todellisia ilmiöitä voidaan kuvata samalla matemaattisella mallilla. Esimerkiksi harmoninen oskillaattori kuvaa jousen kuorman käyttäytymisen lisäksi myös muita värähtelyprosesseja, usein täysin erilaisia: heilurin pieniä värähtelyjä, nesteen pinnan vaihteluita U-muotoisessa astiassa tai virran voimakkuuden muutos värähtelevässä piirissä. Siten tutkimalla yhtä matemaattista mallia tutkimme kerralla kokonaista luokkaa sen kuvaamia ilmiöitä. Tämä on matemaattisten mallien eri segmenttien lakien isomorfismi tieteellinen tietämys, Ludwig von Bertalanffyn saavutus luoda " yleinen teoria järjestelmät."

Matemaattisen mallinnuksen suorat ja käänteiset ongelmat

Matemaattiseen mallintamiseen liittyy monia ongelmia. Ensinnäkin on tarpeen keksiä mallinnettavan kohteen peruskaavio, toistaa se tämän tieteen idealisaatioiden puitteissa. Joten junavaunu muuttuu kilpijärjestelmäksi ja monimutkaisemmaksi

ruumiit alkaen erilaisia ​​materiaaleja, jokainen materiaali määritellään sen vakiomekaaniseksi idealisoinniksi, jonka jälkeen laaditaan yhtälöt, matkan varrella hylätään joitakin yksityiskohtia merkityksettöminä, tehdään laskelmia, verrataan mittauksiin, jalostetaan mallia ja niin edelleen. Matemaattisten mallinnustekniikoiden kehittämisen kannalta on kuitenkin hyödyllistä purkaa tämä prosessi sen tärkeimpiin osatekijöihin.

Perinteisesti matemaattisiin malleihin liittyy kaksi pääasiallista ongelmaluokkaa: suora ja käänteinen.

Suora tehtävä: mallin rakenne ja kaikki sen parametrit katsotaan tunnetuiksi, päätehtävänä on tutkia mallia hyödyllisen tiedon saamiseksi kohteesta. Mitä staattista kuormitusta silta kestää? Miten se reagoi dynaamiseen kuormaan, miten kone ylittää äänivallin, hajoaako se lepatusta - nämä ovat tyypillisiä esimerkkejä suorasta ongelmasta. Oikean suoran ongelman muotoilu vaatii erityistaitoa. Jos oikeita kysymyksiä ei kysytä, silta voi romahtaa, vaikka se olisi rakennettu. hyvä malli hänen käytöksensä vuoksi. Joten vuonna 1879 Isossa-Britanniassa romahti metallisilta Tey-joen yli, jonka suunnittelijat rakensivat sillan mallin, laskivat sen hyötykuorman 20-kertaiseksi turvamarginaaliksi, mutta unohtivat niissä jatkuvasti puhaltavat tuulet. paikoissa. Ja puolentoista vuoden kuluttua se romahti.

SISÄÄN Yksinkertaisimmassa tapauksessa suora ongelma on hyvin yksinkertainen ja pelkistyy tämän yhtälön eksplisiittiseksi ratkaisuksi.

Käänteinen ongelma: joukko mahdollisia malleja tunnetaan, on tarpeen valita tietty malli objektia koskevien lisätietojen perusteella. Useimmiten mallin rakenne tunnetaan ja joitain tuntemattomia parametreja on määritettävä. Lisätiedot voivat sisältää empiirisiä lisätietoja tai kohteen vaatimuksia. Lisätietoa voi tulla käänteisongelman ratkaisuprosessista riippumatta tai ratkaisun yhteydessä erityisesti suunnitellun kokeen tulosta.

Yksi ensimmäisistä esimerkeistä käänteisen ongelman virtuoosista ratkaisusta mahdollisimman täydellä käytettävissä olevalla datalla oli I. Newtonin rakentama menetelmä kitkavoimien rekonstruoimiseksi havaituista vaimennetuista värähtelyistä.

SISÄÄN Toinen esimerkki on matemaattiset tilastot. Tämän tieteen tehtävänä on kehittää menetelmiä havainnointi- ja kokeellisen tiedon tallentamiseksi, kuvaamiseksi ja analysoimiseksi, jotta voidaan rakentaa todennäköisyysmalleja massasatunnaisista ilmiöistä. Nuo. mahdollisten mallien joukkoa rajoittavat todennäköisyysmallit. Tietyissä ongelmissa mallien joukko on rajallisempi.

Mallintamisen tietokonejärjestelmät.

Matemaattisen mallintamisen tukemiseksi on kehitetty tietokonematemaattisia järjestelmiä, esimerkiksi Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim jne. Niiden avulla voit luoda muodollisia ja lohkomalleja sekä yksinkertaisista että monimutkaisista prosesseista ja laitteista sekä muuttaa malliparametreja helposti niiden aikana. simulointi. Lohkomalleja edustavat lohkot, joiden sarja ja kytkentä määritellään mallikaaviossa.

Muita esimerkkejä.

Kasvuvauhti on verrannollinen nykyiseen väestömäärään. Sitä kuvataan differentiaaliyhtälöllä

jossa α on jokin hedelmällisyyden ja kuolleisuuden välisen eron määräämä parametri. Tämän yhtälön ratkaisu on eksponentiaalinen funktio x = x0 e. Jos syntyvyys ylittää kuolleisuuden, väestön koko kasvaa loputtomasti ja erittäin nopeasti. On selvää, että todellisuudessa näin ei voi tapahtua rajallisuuden vuoksi

resursseja. Kun tietty kriittinen populaatiokoko saavutetaan, malli lakkaa olemasta riittävä, koska se ei ota huomioon rajallisia resursseja. Malthus-mallin jalostus voi olla logistinen malli, jota kuvaa Verhulstin differentiaaliyhtälö

missä xs on "tasapainon" populaation koko, jossa kuolleisuus kompensoi täsmälleen syntyvyyden. Populaatiokoko tällaisessa mallissa pyrkii tasapainoarvoon xs , ja tämä käyttäytyminen on rakenteellisesti stabiilia.

Oletetaan, että tietyllä alueella elää kahdenlaisia ​​eläimiä: kaneja ja kettuja. Olkoon kanien lukumäärä x, kettujen lukumäärä y. Käyttämällä Malthus-mallia tarvittavin korjauksin, ottaen huomioon kettujen syömän kanin, päädymme seuraavaan järjestelmään, joka kantaa Lotka-Volterra-mallin nimeä:

Tällä järjestelmällä on tasapainotila, kun kanien ja kettujen lukumäärä on vakio. Tästä tilasta poikkeaminen johtaa kanien ja kettujen lukumäärän vaihteluihin, jotka ovat samanlaisia ​​kuin harmonisen oskillaattorin vaihtelut. Kuten harmonisen oskillaattorin tapauksessa, tämä käyttäytyminen ei ole rakenteellisesti vakaata: pieni muutos mallissa voi johtaa laadulliseen muutokseen käyttäytymisessä. Esimerkiksi tasapainotila voi muuttua vakaaksi ja väestönvaihtelut hiipuvat. Myös päinvastainen tilanne on mahdollinen, kun pienikin poikkeama tasapainoasennosta johtaa katastrofaalisiin seurauksiin, jopa täydellinen sukupuutto yksi tyypeistä. Kysymykseen, mikä näistä skenaarioista toteutuu, Volterra-Lotka-malli ei anna vastausta: tässä tarvitaan lisätutkimusta.

Tiedoksi tuomassa artikkelissa tarjoamme esimerkkejä matemaattisista malleista. Lisäksi kiinnitämme huomiota mallien luomisen vaiheisiin ja analysoimme joitain matemaattiseen mallintamiseen liittyviä ongelmia.

Toinen ongelmamme ovat taloustieteen matemaattiset mallit, joiden esimerkkejä tarkastelemme määritelmää hieman myöhemmin. Ehdotamme, että aloitamme keskustelumme "mallin" käsitteestä, harkitsemme lyhyesti niiden luokittelua ja siirrymme pääkysymyksiimme.

Käsite "malli"

Kuulemme usein sanan "malli". Mikä se on? Tällä termillä on monia määritelmiä, tässä on vain kolme niistä:

• tietty objekti, joka on luotu vastaanottamaan ja tallentamaan tietoja, jotka kuvastavat tämän objektin alkuperäisen alkuperäisen joitakin ominaisuuksia tai ominaisuuksia ja niin edelleen (tämä tietty objekti voidaan ilmaista eri muoto: henkinen, kuvaus merkkejä käyttäen ja niin edelleen);
• malli tarkoittaa myös minkä tahansa tietyn tilanteen, elämän tai johtamisen esitystä;
• pieni kopio esineestä voi toimia mallina (ne luodaan tarkempaa tutkimusta ja analysointia varten, koska malli heijastaa rakennetta ja suhteita).

Kaiken aiemmin sanotun perusteella voimme tehdä pienen johtopäätöksen: mallin avulla voit tutkia yksityiskohtaisesti monimutkaista järjestelmää tai objektia.

Kaikki mallit voidaan luokitella useiden kriteerien mukaan:

• käyttöalueen mukaan (koulutus, kokeellinen, tieteellinen ja tekninen, peli, simulointi);
• dynamiikan perusteella (staattinen ja dynaaminen);
• Tiedonalojen mukaan (fyysinen, kemiallinen, maantieteellinen, historiallinen, sosiologinen, taloudellinen, matemaattinen);
• esitystavan mukaan (aineisto ja tiedotus).

Tietomallit puolestaan ​​jaetaan merkki- ja verbaalisiin. Ja ikoninen - tietokoneella ja ei-tietokoneella. Siirrytään nyt matemaattisen mallin esimerkkien yksityiskohtaiseen tarkasteluun.

Matemaattinen malli

Kuten arvata saattaa, matemaattinen malli heijastaa joitain esineen tai ilmiön ominaisuuksia käyttämällä erityisiä matemaattisia symboleja. Matematiikkaa tarvitaan mallintamaan maailman lakeja omalla kielellään.

Matemaattisen mallintamisen menetelmä sai alkunsa melko kauan sitten, tuhansia vuosia sitten, tämän tieteen myötä. Systeen tämän mallintamismenetelmän kehittämiseen antoi kuitenkin tietokoneiden (elektronisten tietokoneiden) ulkonäkö.

Siirrytään nyt luokitteluun. Se voidaan myös suorittaa joidenkin merkkien mukaan. Ne on esitetty alla olevassa taulukossa.

Kutsumme sinut pysähtymään ja katsomaan lähemmin. uusin luokitus, koska se heijastaa mallinnuksen yleisiä malleja ja luotavien mallien tavoitteita.

Kuvailevat mallit

Tässä luvussa ehdotamme, että käsittelemme yksityiskohtaisemmin kuvaavia matemaattisia malleja. Jotta kaikki olisi hyvin selvää, annetaan esimerkki.

Aluksi tätä näkemystä voidaan kutsua kuvaavaksi. Tämä johtuu siitä, että teemme vain laskelmia ja ennusteita, mutta emme voi vaikuttaa tapahtuman lopputulokseen millään tavalla.

Silmiinpistävä esimerkki kuvaavasta matemaattisesta mallista on aurinkokuntamme avaruusalueille tunkeutuneen komeetan lentoradan, nopeuden ja etäisyyden laskeminen Maasta. Tämä malli on kuvaava, koska kaikki saadut tulokset voivat vain varoittaa meitä jonkinlaisesta vaarasta. Valitettavasti emme voi vaikuttaa tapahtuman lopputulokseen. Saatujen laskelmien perusteella on kuitenkin mahdollista toteuttaa mitä tahansa toimenpiteitä elämän säilyttämiseksi maapallolla.

Optimointimallit

Puhumme nyt hieman taloudellisista ja matemaattisista malleista, joista esimerkkejä voivat olla erilaiset tilanteet. Tässä tapauksessa puhumme malleista, jotka auttavat löytämään oikean vastauksen tietyissä olosuhteissa. Niillä täytyy olla joitain parametreja. Jotta se olisi hyvin selkeä, harkitse esimerkkiä maataloudesta.

Meillä on aitta, mutta vilja pilaantuu hyvin nopeasti. Tässä tapauksessa meidän on valittava oikea lämpötilajärjestelmä ja optimoitava varastointiprosessi.

Siten voimme määritellä "optimointimallin" käsitteen. Matemaattisessa mielessä tämä on yhtälöjärjestelmä (sekä lineaarinen että ei), jonka ratkaisu auttaa löytämään optimaalisen ratkaisun tietyssä taloudellisessa tilanteessa. Olemme pohtineet esimerkkiä matemaattisesta mallista (optimointi), mutta haluaisin lisätä vielä yhden asian: tämä tyyppi kuuluu äärimmäisten ongelmien luokkaan, ne auttavat kuvaamaan talousjärjestelmän toimintaa.

Huomaamme vielä yhden vivahteen: mallit voivat olla luonteeltaan erilaisia ​​(katso alla oleva taulukko).

Monikriteerimallit

Nyt kutsumme sinut puhumaan hieman moniobjektiivisen optimoinnin matemaattisesta mallista. Ennen sitä annoimme esimerkin matemaattisesta mallista prosessin optimoimiseksi minkä tahansa kriteerin mukaan, mutta entä jos niitä on paljon?

Silmiinpistävä esimerkki monikriteeritehtävästä on oikean, terveellisen ja samalla taloudellisen ravinnon järjestäminen. suuria ryhmiä ihmisistä. Tällaisia ​​tehtäviä kohdataan usein armeijassa, koulujen ruokaloissa, kesäleireillä, sairaaloissa ja niin edelleen.

Mitä kriteerejä meille annetaan tässä tehtävässä?

1. Ruoan tulee olla terveellistä.
2. Ruokakulut tulee pitää minimissä.

Kuten näette, nämä tavoitteet eivät ole ollenkaan samat. Tämä tarkoittaa, että ongelmaa ratkaistaessa on etsittävä optimaalinen ratkaisu, tasapaino näiden kahden kriteerin välillä.

Pelimallit

Pelimalleista puhuttaessa on välttämätöntä ymmärtää "peliteorian" käsite. Yksinkertaisesti sanottuna nämä mallit heijastavat matemaattisia malleja todellisista konflikteista. On vain syytä ymmärtää, että toisin kuin todellisessa konfliktissa, pelin matemaattisella mallilla on omat erityiset säännöt.

Annan nyt minimitietoa peliteoriasta, mikä auttaa sinua ymmärtämään, mikä pelimalli on. Ja niin, mallissa on välttämättä osapuolia (kaksi tai useampia), joita yleensä kutsutaan pelaajiksi.

Kaikilla malleilla on tietyt ominaisuudet.

Pelimalli voi olla parillinen tai useita. Jos meillä on kaksi aihetta, konflikti on paritettu, jos useampi - useita. Myös antagonistinen peli voidaan erottaa, sitä kutsutaan myös nollasummapeliksi. Tämä on malli, jossa yhden osallistujan voitto on yhtä suuri kuin toisen tappio.

simulaatiomalleja

Tässä osiossa keskitymme simulaatiomatemaattisiin malleihin. Esimerkkejä tehtävistä ovat:

• mikro-organismien lukumäärän dynamiikan malli;
• molekyyliliikkeen malli ja niin edelleen.

Tässä tapauksessa puhumme malleista, jotka ovat mahdollisimman lähellä todellisia prosesseja. Yleensä ne jäljittelevät mitä tahansa ilmenemismuotoa luonnossa. Ensimmäisessä tapauksessa voimme esimerkiksi mallintaa muurahaisten lukumäärän dynamiikkaa yhdessä pesäkkeessä. Tässä tapauksessa voit tarkkailla jokaisen henkilön kohtaloa. Tässä tapauksessa matemaattista kuvausta käytetään harvoin, useammin on kirjallisia ehtoja:

• viiden päivän kuluttua naaras munii;
• 20 päivän kuluttua muurahainen kuolee ja niin edelleen.

Joten käytetään kuvaamaan iso järjestelmä. Matemaattinen päätelmä on vastaanotettujen tilastotietojen käsittelyä.

Vaatimukset

On erittäin tärkeää tietää, että tämän tyyppisille malleille on joitain vaatimuksia, joista yksi on alla olevassa taulukossa esitetty.

Mallintamisen vaiheet

Kaiken kaikkiaan matemaattisessa mallintamisessa on tapana erottaa neljä vaihetta.

1. Mallin osia yhdistävien lakien muotoilu.
2. Matemaattisten ongelmien tutkiminen.
3. Käytännön ja teoreettisten tulosten yhteensopivuuden selvittäminen.
4. Mallin analyysi ja modernisointi.

Taloudellinen ja matemaattinen malli

Tässä osiossa korostamme asiaa lyhyesti. Esimerkkejä tehtävistä voivat olla:

• tuotantoohjelman muodostaminen lihatuotteiden tuotantoa varten, mikä varmistaa tuotannon suurimman voiton;
• organisaation voiton maksimoiminen laskemalla huonekalutehtaassa valmistettavien pöytien ja tuolien optimaalinen määrä ja niin edelleen.

Talous-matemaattinen malli esittää taloudellista abstraktiota, joka ilmaistaan ​​matemaattisilla termeillä ja merkeillä.

Tietokoneen matemaattinen malli

Esimerkkejä tietokonematemaattisista malleista ovat:

• hydrauliikkatehtävät vuokaavioiden, kaavioiden, taulukoiden ja niin edelleen avulla;
• ongelmia kiinteässä mekaniikassa ja niin edelleen.

Tietokonemalli on kuva esineestä tai järjestelmästä, joka esitetään seuraavasti:

• taulukot;
• lohkokaaviot;
• kaaviot;
• grafiikkaa ja niin edelleen.

Samalla tämä malli heijastaa järjestelmän rakennetta ja keskinäisiä yhteyksiä.

Taloudellisen ja matemaattisen mallin rakentaminen

Olemme jo puhuneet siitä, mikä on talousmatemaattinen malli. Esimerkkiä ongelman ratkaisemisesta harkitaan juuri nyt. Meidän on analysoitava tuotanto-ohjelma tunnistaaksemme reservi voittojen kasvattamiseen valikoiman muutoksella.

Emme tarkastele ongelmaa täysin, vaan rakennamme vain taloudellisen ja matemaattisen mallin. Tehtävämme kriteeri on voiton maksimointi. Tällöin funktiolla on muoto: Л=р1*х1+р2*х2… maksimissaan. Tässä mallissa p on voitto yksikköä kohti, x on tuotettujen yksiköiden lukumäärä. Lisäksi rakennetun mallin perusteella on tarpeen tehdä laskelmia ja tehdä yhteenveto.

Esimerkki yksinkertaisen matemaattisen mallin rakentamisesta

Tehtävä. Kalastaja palasi seuraavan saaliin kanssa:

• 8 kalaa - pohjoisten merien asukkaita;
• 20 % saaliista - eteläisten merien asukkaat;
• paikallisesta joesta ei löytynyt yhtään kalaa.

Kuinka monta kalaa hän osti kaupasta?

Joten esimerkki tämän ongelman matemaattisen mallin rakentamisesta on seuraava. Me nimeämme kaikki yhteensä kalastaa x Tilan mukaan 0,2x on eteläisillä leveysasteilla elävien kalojen määrä. Nyt yhdistämme kaikki saatavilla olevat tiedot ja saamme tehtävän matemaattisen mallin: x=0,2x+8. Ratkaisemme yhtälön ja saamme vastauksen pääkysymykseen: hän osti 10 kalaa kaupasta.

MATEMAATTINEN MALLI - esitys konkreettisessa tieteellisessä tiedossa tutkitusta ilmiöstä tai prosessista matemaattisten käsitteiden kielellä. Samanaikaisesti mallin todellisten matemaattisten ominaisuuksien tutkimisen polulla oletetaan saavan useita tutkittavan ilmiön ominaisuuksia. Rakentaminen M.m. Useimmiten sanelee tarve kvantitatiiviseen analyysiin tutkituista ilmiöistä ja prosesseista, jota ilman puolestaan ​​on mahdotonta tehdä kokeellisesti todennettavia ennusteita niiden etenemisestä.

Matemaattisen mallinnuksen prosessi käy pääsääntöisesti läpi seuraavat vaiheet. Ensimmäisessä vaiheessa tulevan M.m.:n pääparametrien väliset linkit. Ensinnäkin puhumme tutkittavien ilmiöiden laadullisesta analyysistä ja tärkeimmät tutkimuskohteet yhdistävien mallien muotoilusta. Tämän perusteella suoritetaan kvantitatiivisen kuvauksen mahdollistavien esineiden tunnistaminen. Vaihe päättyy hypoteettisen mallin rakentamiseen, toisin sanoen matemaattisten käsitteiden kieleen kirjaamiseen laadullisista ideoista mallin pääobjektien välisistä suhteista, jotka voidaan kvantitatiivisesti karakterisoida.

Toisessa vaiheessa tutkitaan todellisia matemaattisia ongelmia, joihin rakennettu hypoteettinen malli johtaa. Tässä vaiheessa tärkeintä on saada mallin matemaattisen analyysin tuloksena empiirisesti todennettavat teoreettiset seuraukset (suoran ongelman ratkaisu). Samaan aikaan tapaukset eivät ole harvinaisia, kun M.m. V eri alueita Konkreettisen tieteellisen tiedon vuoksi käytetään samaa matemaattista laitteistoa (esimerkiksi differentiaaliyhtälöt) ja syntyy samantyyppisiä matemaattisia ongelmia, vaikka ne eivät ole kussakin yksittäistapauksessa hyvin ei-triviaaleja. Lisäksi tässä vaiheessa nopean laskentatekniikan (tietokoneen) käyttö tulee erittäin tärkeäksi, mikä mahdollistaa likimääräisen ratkaisun ongelmiin, jotka ovat usein mahdottomia puhtaan matematiikan puitteissa, aiemmin saavuttamattomilla (ilman tietokoneen käyttö) tarkkuusaste.

Kolmannelle vaiheelle on tunnusomaista toimet, joilla tunnistetaan konstruoidun hypoteettisen M.m.:n riittävyysaste. ne ilmiöt ja prosessit, joiden tutkimiseen se oli tarkoitettu. Siinä tapauksessa, että kaikki malliparametrit on määritelty, tutkijat yrittävät selvittää, kuinka havaintojen tarkkuuden puitteissa heidän tulokset ovat yhdenmukaisia ​​mallin teoreettisten seurausten kanssa. Havaintojen tarkkuuden ylittävät poikkeamat osoittavat mallin riittämättömyyttä. Usein on kuitenkin tapauksia, joissa mallia rakennettaessa monet sen parametrit pysyvät muuttumattomina.

toistaiseksi. Ongelmia, joissa mallin parametriset ominaisuudet on määritetty siten, että teoreettiset seuraukset ovat havaintojen tarkkuudessa vertailukelpoisia empiiristen kokeiden tulosten kanssa, kutsutaan käänteisongelmiksi.

Neljännessä vaiheessa, ottaen huomioon konstruoidun hypoteettisen mallin riittävyysasteen tunnistaminen ja uuden kokeellisen tiedon ilmaantuminen tutkittavista ilmiöistä, tapahtuu mallin myöhempi analyysi ja modifiointi. Tässä tehty päätös vaihtelee sovellettujen matemaattisten työkalujen ehdottomasta hylkäämisestä konstruoidun mallin omaksumiseen perustana perustavanlaatuisen uuden tieteellisen teorian rakentamiselle.

Ensimmäinen M.m. ilmestyi muinaisessa tieteessä. Joten aurinkokunnan mallintamiseksi kreikkalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä Eudoxus antoi kullekin planeetalle neljä palloa, joiden liikkeen yhdistelmä loi virtahevon - matemaattisen käyrän, joka oli samanlainen kuin planeetan havaittu liike. Koska tämä malli ei kuitenkaan pystynyt selittämään kaikkia planeettojen liikkeessä havaittuja poikkeavuuksia, se korvattiin myöhemmin Pergen Apolloniuksen episyklisellä mallilla. Viimeisin malli käytti tutkimuksissaan Hipparkhos, ja sitten, alistaen siihen joitain muutoksia, ja Ptolemaios. Tämä malli, kuten edeltäjänsä, perustui uskomukseen, että planeetat tekevät yhtenäisiä ympyräliikkeitä, joiden päällekkäisyys selitti ilmeiset epäsäännöllisyydet. Samalla on huomattava, että Kopernikaaninen malli oli pohjimmiltaan uusi vain laadullisessa mielessä (mutta ei M.M.:na). Ja vain Kepler rakensi Tycho Brahen havaintojen perusteella uuden M.m. Aurinkokunta, joka osoittaa, että planeetat eivät liiku ympyrämäisesti, vaan elliptisellä kiertoradalla.

Tällä hetkellä M.m. on rakennettu kuvaamaan mekaanisia ja fyysisiä ilmiöitä. M.m. fysiikan ulkopuolella voidaan muutamaa poikkeusta lukuun ottamatta puhua melko varovaisesti. Siitä huolimatta hypoteettisuuden ja usein yksinkertaisesti riittämättömyyden korjaaminen M.m. eri tiedonaloilla niiden roolia tieteen kehityksessä ei pidä aliarvioida. Usein esiintyy tapauksia, joissa jopa kaukana riittämättömistä, suurelta osin organisoidut ja jatkotutkimusta kannustavat mallit sekä virheelliset johtopäätökset sisälsivät niitä totuudenjyviä, jotka oikeuttavat täysin näiden mallien kehittämiseen käytetyt ponnistelut.

Kirjallisuus:

Matemaattinen mallinnus. M., 1979;

Ruzavin G.I. Tieteellisen tiedon matematisointi. M., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Differentiaaliyhtälöt ekologiassa: historiallinen ja metodologinen pohdiskelu // Luonnontieteen ja tekniikan historian kysymyksiä. 1997. Nro 3.

Filosofisten termien sanakirja. Tieteellinen painos professori V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, s. 310-311.