Se puede especificar de diferentes formas (un punto y un vector, dos puntos y un vector, tres puntos, etc.). Teniendo esto en cuenta, la ecuación plana puede tener diferentes formas. Además, sujeto a determinadas condiciones, los planos pueden ser paralelos, perpendiculares, intersecantes, etc. Hablaremos de esto en este artículo. Aprenderemos cómo crear una ecuación general de un avión y más.

Forma normal de ecuación

Digamos que hay un espacio R 3 que tiene un sistema de coordenadas XYZ rectangular. Definimos el vector α, que saldrá del punto inicial O. Por el final del vector α dibujamos un plano P, que será perpendicular a él.

Denotemos un punto arbitrario en P como Q = (x, y, z). Firmemos el vector de radio del punto Q con la letra p. En este caso, la longitud del vector α es igual a р=IαI y Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este es un vector unitario que se dirige hacia un lado, como el vector α. α, β y γ son los ángulos que se forman entre el vector Ʋ y las direcciones positivas de los ejes espaciales x, y, z, respectivamente. La proyección de cualquier punto QϵП sobre el vector Ʋ es un valor constante que es igual a p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

La ecuación anterior tiene sentido cuando p=0. Lo único es que el plano P en este caso cortará el punto O (α=0), que es el origen de coordenadas, y el vector unitario Ʋ liberado desde el punto O será perpendicular a P, a pesar de su dirección, que significa que el vector Ʋ se determina con precisión al signo. La ecuación anterior es la ecuación de nuestro plano P, expresada en forma vectorial. Pero en coordenadas se verá así:

P aquí es mayor o igual a 0. Hemos encontrado la ecuación del plano en el espacio en forma normal.

ecuación general

Si multiplicamos la ecuación en coordenadas por cualquier número que no sea igual a cero, obtenemos una ecuación equivalente a ésta, definiendo ese mismo plano. Se verá así:

Aquí A, B, C son números que son simultáneamente diferentes de cero. Esta ecuación se llama ecuación del plano general.

Ecuaciones de planos. Casos especiales

La ecuación en forma general puede modificarse en presencia de condiciones adicionales. Veamos algunos de ellos.

Supongamos que el coeficiente A es 0. Esto significa que este plano es paralelo al eje Ox dado. En este caso, la forma de la ecuación cambiará: Ву+Cz+D=0.

De manera similar, la forma de la ecuación cambiará bajo las siguientes condiciones:

• En primer lugar, si B = 0, entonces la ecuación cambiará a Ax + Cz + D = 0, lo que indicará paralelismo con el eje Oy.
• En segundo lugar, si C=0, entonces la ecuación se transformará en Ax+By+D=0, lo que indicará paralelismo con el eje Oz dado.
• En tercer lugar, si D=0, la ecuación se verá como Ax+By+Cz=0, lo que significará que el plano intersecta a O (el origen).
• Cuarto, si A=B=0, entonces la ecuación cambiará a Cz+D=0, lo que resultará paralelo a Oxy.
• En quinto lugar, si B=C=0, entonces la ecuación se convierte en Ax+D=0, lo que significa que el plano a Oyz es paralelo.
• Sexto, si A=C=0, entonces la ecuación tomará la forma Ву+D=0, es decir, informará paralelismo a Oxz.

Tipo de ecuación en segmentos

En el caso de que los números A, B, C, D sean distintos de cero, la forma de la ecuación (0) puede ser la siguiente:

x/a + y/b + z/c = 1,

en el que a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Obtenemos como resultado Vale la pena señalar que este plano cortará el eje Ox en un punto con coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) y Oz - (0,0,c ).

Teniendo en cuenta la ecuación x/a + y/b + z/c = 1, no es difícil imaginar visualmente la ubicación del plano en relación con un sistema de coordenadas dado.

Coordenadas vectoriales normales

El vector normal n al plano P tiene coordenadas que son coeficientes de la ecuación general de este plano, es decir, n (A, B, C).

Para determinar las coordenadas de la normal n, basta con conocer la ecuación general de un plano dado.

Cuando se usa una ecuación en segmentos, que tiene la forma x/a + y/b + z/c = 1, así como cuando se usa una ecuación general, se pueden escribir las coordenadas de cualquier vector normal de un plano dado: (1 /a + 1/b + 1/ Con).

Vale la pena señalar que el vector normal ayuda a resolver una variedad de problemas. Los más comunes incluyen problemas que implican demostrar la perpendicularidad o paralelismo de planos, problemas de encontrar ángulos entre planos o ángulos entre planos y rectas.

Tipo de ecuación plana según las coordenadas del punto y vector normal

Un vector distinto de cero n perpendicular a un plano dado se llama normal para un plano dado.

Supongamos que en el espacio de coordenadas (sistema de coordenadas rectangulares) se dan Oxyz:

• punto Mₒ con coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
• vector cero n=A*i+B*j+C*k.

Es necesario crear una ecuación para un plano que pasará por el punto Mₒ perpendicular a la normal n.

Elegimos cualquier punto arbitrario en el espacio y lo denotamos M (x y, z). Sea el vector radio de cualquier punto M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, y el vector radio del punto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. El punto M pertenecerá a un plano dado si el vector MₒM es perpendicular al vector n. Escribamos la condición de ortogonalidad usando el producto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Dado que MₒM = r-rₒ, la ecuación vectorial del plano se verá así:

Esta ecuación puede tener otra forma. Para ello se utilizan las propiedades del producto escalar y se transforma el lado izquierdo de la ecuación. = - . Si lo denotamos como c, obtenemos la siguiente ecuación: - c = 0 o = c, que expresa la constancia de las proyecciones sobre el vector normal de los vectores de radio de puntos dados que pertenecen al plano.

Ahora podemos obtener la forma coordinada de escribir la ecuación vectorial de nuestro plano = 0. Dado que r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, y n = A*i+B *j+С*k, tenemos:

Resulta que tenemos una ecuación para un plano que pasa por un punto perpendicular a la normal n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tipo de ecuación plana según las coordenadas de dos puntos y un vector colineal al plano

Definamos dos puntos arbitrarios M′ (x′,y′,z′) y M″ (x″,y″,z″), así como un vector a (a′,a″,a‴).

Ahora podemos crear una ecuación para un plano dado que pasará por los puntos existentes M′ y M″, así como por cualquier punto M con coordenadas (x, y, z) paralelas al vector a dado.

En este caso, los vectores M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) y M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) deben ser coplanares con el vector a=(a′,a″,a‴), lo que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Entonces, nuestra ecuación plana en el espacio se verá así:

Tipo de ecuación de un plano que corta tres puntos.

Digamos que tenemos tres puntos: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que no pertenecen a la misma recta. Es necesario escribir la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados. La teoría de la geometría afirma que este tipo de plano existe realmente, pero es el único y único. Dado que este plano corta al punto (x′,y′,z′), la forma de su ecuación será la siguiente:

Aquí A, B, C son diferentes de cero al mismo tiempo. Además, el plano dado interseca dos puntos más: (x″,y″,z″) y (x‴,y‴,z‴). En este sentido, deberán cumplirse las siguientes condiciones:

Ahora podemos crear un sistema homogéneo con incógnitas u, v, w:

En nuestro caso, x, y o z es un punto arbitrario que satisface la ecuación (1). Dada la ecuación (1) y el sistema de ecuaciones (2) y (3), el sistema de ecuaciones indicado en la figura anterior se satisface con el vector N (A,B,C), que no es trivial. Por eso el determinante de este sistema es igual a cero.

La ecuación (1) que hemos obtenido es la ecuación del plano. Pasa exactamente por 3 puntos y esto es fácil de comprobar. Para hacer esto, necesitamos expandir nuestro determinante a los elementos de la primera fila. De las propiedades existentes del determinante se deduce que nuestro plano interseca simultáneamente tres puntos inicialmente dados (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Es decir, hemos resuelto la tarea que nos asignaron.

Ángulo diédrico entre planos

Un ángulo diédrico es una figura geométrica espacial formada por dos semiplanos que emanan de una línea recta. En otras palabras, esta es la parte del espacio que está limitada por estos semiplanos.

Digamos que tenemos dos planos con las siguientes ecuaciones:

Sabemos que los vectores N=(A,B,C) y N¹=(A¹,B¹,C¹) son perpendiculares según los planos dados. En este sentido, el ángulo φ entre los vectores N y N¹ es igual al ángulo (diédrico) que se sitúa entre estos planos. El producto escalar tiene la forma:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))).

Basta tener en cuenta que 0≤φ≤π.

De hecho, dos planos que se cruzan forman dos ángulos (diédricos): φ 1 y φ 2. Su suma es igual a π (φ 1 + φ 2 = π). En cuanto a sus cosenos, sus valores absolutos son iguales, pero difieren en signo, es decir, cos φ 1 = -cos φ 2. Si en la ecuación (0) reemplazamos A, B y C con los números -A, -B y -C, respectivamente, entonces la ecuación que obtenemos determinará el mismo plano, el único, el ángulo φ en la ecuación cos φ= NN 1 //| N||N 1 | será reemplazado por π-φ.

Ecuación de un plano perpendicular

Los planos entre los cuales el ángulo es de 90 grados se llaman perpendiculares. Usando el material presentado anteriormente, podemos encontrar la ecuación de un plano perpendicular a otro. Digamos que tenemos dos planos: Ax+By+Cz+D=0 y A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos decir que serán perpendiculares si cosφ=0. Esto significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Ecuación de planos paralelos

Dos planos que no contienen puntos comunes se llaman paralelos.

La condición (sus ecuaciones son las mismas que en el párrafo anterior) es que los vectores N y N¹, que son perpendiculares a ellos, sean colineales. Esto significa que se cumplen las siguientes condiciones de proporcionalidad:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Si se amplían las condiciones de proporcionalidad - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

esto indica que estos planos coinciden. Esto significa que las ecuaciones Ax+By+Cz+D=0 y A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 describen un plano.

Distancia al plano desde el punto

Digamos que tenemos un plano P, que viene dado por la ecuación (0). Es necesario encontrar la distancia a él desde un punto con coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para hacer esto, necesitas llevar la ecuación del plano P a su forma normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

En este caso, ρ (x,y,z) es el vector radio de nuestro punto Q ubicado en P, p es la longitud de la perpendicular P que se soltó desde el punto cero, v es el vector unitario, que se encuentra en la dirección a.

La diferencia ρ-ρº vector de radio de algún punto Q = (x, y, z), perteneciente a P, así como el vector de radio de un punto dado Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) es un vector de este tipo, el valor absoluto de cuya proyección sobre v es igual a la distancia d que hay que encontrar desde Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) hasta P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, pero

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Entonces resulta

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Así, encontraremos el valor absoluto de la expresión resultante, es decir, la d deseada.

Usando el lenguaje de parámetros, obtenemos lo obvio:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Si un punto dado Q 0 está al otro lado del plano P, como el origen de coordenadas, entonces entre el vector ρ-ρ 0 y v existe por tanto:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

En el caso de que el punto Q 0, junto con el origen de coordenadas, se encuentre en el mismo lado de P, entonces el ángulo creado es agudo, es decir:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Como resultado, resulta que en el primer caso (ρ 0 ,v)>р, en el segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente y su ecuación.

El plano tangente a la superficie en el punto de contacto Mº es un plano que contiene todas las tangentes posibles a las curvas trazadas por este punto de la superficie.

Con este tipo de ecuación de superficie F(x,y,z)=0, la ecuación del plano tangente en el punto tangente Mº(xº,yº,zº) quedará así:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Si especifica la superficie en forma explícita z=f (x,y), entonces el plano tangente se describirá mediante la ecuación:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Intersección de dos planos.

En el sistema de coordenadas (rectangular) se ubica Oxyz, se dan dos planos П′ y П″, que se cruzan y no coinciden. Dado que cualquier plano ubicado en un sistema de coordenadas rectangular está determinado por una ecuación general, asumiremos que P′ y P″ están dados por las ecuaciones A′x+B′y+C′z+D′=0 y A″x +B″y+ С″z+D″=0. En este caso, tenemos la normal n′ (A′,B′,C′) del plano P′ y la normal n″ (A″,B″,C″) del plano P″. Como nuestros planos no son paralelos y no coinciden, estos vectores no son colineales. Usando el lenguaje matemático, podemos escribir esta condición de la siguiente manera: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Denotemos con la letra a la recta que se encuentra en la intersección de P′ y P″, en este caso a = P′ ∩ P″.

a es una línea recta que consta del conjunto de todos los puntos de los planos (comunes) P′ y P″. Esto significa que las coordenadas de cualquier punto perteneciente a la recta a deben satisfacer simultáneamente las ecuaciones A′x+B′y+C′z+D′=0 y A″x+B″y+C″z+D″=0 . Esto significa que las coordenadas del punto serán una solución parcial del siguiente sistema de ecuaciones:

Como resultado, resulta que la solución (general) de este sistema de ecuaciones determinará las coordenadas de cada uno de los puntos de la recta, que actuará como punto de intersección de P′ y P″, y determinará la recta a en el sistema de coordenadas Oxyz (rectangular) en el espacio.

Ecuación de un avión. ¿Cómo escribir una ecuación de un avión?
Disposición mutua de aviones. Tareas

La geometría espacial no es mucho más complicada que la geometría "plana", y nuestros vuelos al espacio comienzan con este artículo. Para dominar el tema es necesario tener un buen conocimiento de vectores Además, es recomendable estar familiarizado con la geometría del avión: habrá muchas similitudes, muchas analogías, por lo que la información se asimilará mucho mejor. En una serie de mis lecciones, el mundo 2D comienza con un artículo. Ecuación de una línea recta en un plano.. Pero ahora Batman ha abandonado la pantalla plana de televisión y se lanza desde el cosmódromo de Baikonur.

Comencemos con dibujos y símbolos. Esquemáticamente, el plano se puede dibujar en forma de paralelogramo, lo que crea la impresión de espacio:

El avión es infinito, pero tenemos la oportunidad de representar sólo una parte de él. En la práctica, además del paralelogramo, también se dibuja un óvalo o incluso una nube. Por razones técnicas, me resulta más cómodo representar el avión exactamente de esta manera y exactamente en esta posición. Los planos reales, que consideraremos en ejemplos prácticos, se pueden ubicar de cualquier manera: tome mentalmente el dibujo en sus manos y gírelo en el espacio, dándole al plano cualquier pendiente, cualquier ángulo.

Designaciones: los aviones suelen indicarse en minúsculas letras griegas, aparentemente para no confundirlos con línea recta en un avión o con línea recta en el espacio. Estoy acostumbrado a usar la letra. En el dibujo es la letra “sigma”, y no es un agujero en absoluto. Aunque el avión agujereado es ciertamente bastante divertido.

En algunos casos, conviene utilizar las mismas letras griegas con subíndices inferiores para designar planos, por ejemplo, .

Es obvio que el plano está definido únicamente por tres puntos diferentes que no se encuentran en la misma recta. Por lo tanto, las designaciones de aviones de tres letras son bastante populares: por los puntos que les pertenecen, por ejemplo, etc. A menudo las letras están entre paréntesis: para no confundir el plano con otra figura geométrica.

Para lectores experimentados daré menú de acceso rápido:

• ¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y dos vectores?
• ¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y un vector normal?

y no languideceremos en largas esperas:

Ecuación del plano general

La ecuación general del plano tiene la forma , donde los coeficientes no son iguales a cero al mismo tiempo.

Una serie de cálculos teóricos y problemas prácticos son válidos tanto para la base ortonormal habitual como para la base afín del espacio (si el petróleo es petróleo, regrese a la lección Dependencia lineal (no) de vectores. Base de vectores). Para simplificar, asumiremos que todos los eventos ocurren en forma ortonormal y en un sistema de coordenadas rectangular cartesiano.

Ahora practiquemos un poco nuestra imaginación espacial. Está bien si el tuyo es malo, ahora lo desarrollaremos un poco. Incluso jugar con los nervios requiere entrenamiento.

En el caso más general, cuando los números no son iguales a cero, el plano cruza los tres ejes de coordenadas. Por ejemplo, así:

Repito una vez más que el avión continúa indefinidamente en todas direcciones y tenemos la oportunidad de representar sólo una parte de él.

Consideremos las ecuaciones de planos más simples:

¿Cómo entender esta ecuación? Piénselo: “Z” SIEMPRE es igual a cero, para cualquier valor de “X” e “Y”. Ésta es la ecuación del plano de coordenadas "nativo". De hecho, formalmente la ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: , de donde se puede ver claramente que no nos importa qué valores tomen “x” e “y”, es importante que “z” sea igual a cero.

Asimismo:
– ecuación del plano coordenado;
– ecuación del plano coordenado.

Compliquemos un poco el problema, consideremos un plano (aquí y más adelante en el párrafo asumimos que los coeficientes numéricos no son iguales a cero). Reescribamos la ecuación en la forma: . ¿Cómo entenderlo? "X" es SIEMPRE, para cualquier valor de "Y" y "Z", igual a un número determinado. Este plano es paralelo al plano coordenado. Por ejemplo, un plano es paralelo a un plano y pasa por un punto.

Asimismo:
– ecuación de un plano paralelo al plano coordenado;
– ecuación de un plano paralelo al plano coordenado.

Agreguemos miembros: . La ecuación se puede reescribir de la siguiente manera: , es decir, "zet" puede ser cualquier cosa. ¿Qué significa? "X" e "Y" están conectados por la relación, que dibuja una determinada línea recta en el plano (lo descubrirás ecuación de una recta en un plano?). Como “z” puede ser cualquier cosa, esta línea recta se “replica” a cualquier altura. Por tanto, la ecuación define un plano paralelo al eje de coordenadas.

Asimismo:
– ecuación de un plano paralelo al eje de coordenadas;
– ecuación de un plano paralelo al eje de coordenadas.

Si los términos libres son cero, entonces los planos pasarán directamente por los ejes correspondientes. Por ejemplo, la clásica “proporcionalidad directa”: . Dibuja una línea recta en el plano y multiplícala mentalmente hacia arriba y hacia abajo (ya que "Z" es cualquiera). Conclusión: el plano definido por la ecuación pasa por el eje de coordenadas.

Completamos el repaso: la ecuación del avión pasa por el origen. Bueno, aquí es bastante obvio que el punto satisface esta ecuación.

Y finalmente, el caso mostrado en el dibujo: – el plano es amigo de todos los ejes de coordenadas, mientras que siempre “corta” un triángulo, que puede ubicarse en cualquiera de los ocho octantes.

Desigualdades lineales en el espacio.

Para comprender la información es necesario estudiar bien. desigualdades lineales en el plano, porque muchas cosas serán similares. El párrafo será de carácter breve y resumido con varios ejemplos, ya que el material es bastante escaso en la práctica.

Si la ecuación define un plano, entonces las desigualdades
preguntar medios espacios. Si la desigualdad no es estricta (las dos últimas de la lista), entonces la solución de la desigualdad, además del semiespacio, también incluye el plano mismo.

Ejemplo 5

Encuentra el vector unitario normal del avión. .

Solución: Un vector unitario es un vector cuya longitud es uno. Denotemos este vector por . Está absolutamente claro que los vectores son colineales:

Primero, eliminamos el vector normal de la ecuación del plano: .

¿Cómo encontrar un vector unitario? Para encontrar el vector unitario, necesitas cada dividir la coordenada del vector por la longitud del vector.

Reescribamos el vector normal en la forma y encontremos su longitud:

Según lo anterior:

Respuesta:

Verificación: lo que se requería para ser verificado.

Los lectores que estudiaron detenidamente el último párrafo de la lección probablemente notaron que las coordenadas del vector unitario son exactamente los cosenos directores del vector:

Hagamos una pausa en el problema que nos ocupa: cuando te dan un vector arbitrario distinto de cero, y según la condición se requiere encontrar sus cosenos directores (ver los últimos problemas de la lección Producto escalar de vectores), entonces, de hecho, encuentras un vector unitario colineal a este. En realidad, dos tareas en una botella.

La necesidad de encontrar el vector normal unitario surge en algunos problemas de análisis matemático.

Hemos descubierto cómo extraer un vector normal, ahora respondamos la pregunta opuesta:

¿Cómo crear una ecuación de un plano usando un punto y un vector normal?

Esta construcción rígida de un vector normal y un punto es bien conocida por la diana. Estire la mano hacia adelante y seleccione mentalmente un punto arbitrario en el espacio, por ejemplo, un gato pequeño en el aparador. Evidentemente, a través de este punto puedes dibujar un único plano perpendicular a tu mano.

La ecuación de un plano que pasa por un punto perpendicular al vector se expresa mediante la fórmula:

Dejemos que los puntos M 1, M 2, M 3 no se encuentren en la misma recta. Como se sabe, tres de estos puntos definen de forma única un determinado plano p (Fig. 199).

Derivemos la ecuación del avión. R. Sea M un punto arbitrario en el espacio. Evidentemente el punto M pertenece al plano. R si y sólo si los vectores

\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) son coplanares. Una condición necesaria y suficiente para la coplanaridad de tres vectores es que su producto mixto sea igual a cero (§ 23*, Teorema 2). Por tanto, la ecuación de un plano que pasa por tres puntos que no se encuentran en la misma recta se puede escribir de la siguiente manera:

(\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)

Si a los puntos M 1, M 2 y M 3 se les dan coordenadas en algún sistema de coordenadas cartesiano rectangular, entonces la ecuación (1) se puede escribir en coordenadas.

Sea M 1 ( X 1 ; y 1 ; z 1), M 2 ( X 2 ; en 2 ; z 2), M 3 ( X 3 ; en 3 ; z 3) - datos puntuales. Denotemos las coordenadas de un punto arbitrario M en el plano p por x,y Y z. Encontremos las coordenadas de los vectores incluidos en la ecuación (1):

\(\overrightarrow(M_(1)M)\) = ( x-x 1 ; y - y 1 ; z-z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_2)\) = ( X 2 - X 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) = ( X 3 - X 1 ; en 3 -y 1 ; z 3 -z 1).

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante de tercer orden, cuyas líneas contienen las coordenadas de los vectores. Por tanto, la ecuación (1) en coordenadas tiene la forma

$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0\;\; (2)$$

Encontremos la ecuación de un plano que pasa por tres puntos A ( A; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; Con), cual A =/= 0, b =/= 0, C=/= 0. Estos puntos se encuentran en los ejes de coordenadas (Fig. 200).

Suponiendo en la ecuación (2) X 1 = A, en 1 = 0, z 1 = 0, X 2 = 0, en 2 = b, z 2 = 0, X 3 = 0, en 3 = 0, z 3 = Con, obtenemos

$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$

Desarrollando el determinante a los elementos de la primera fila, obtenemos la ecuación

antes de Cristo(x - un) + acy + abz = 0

bcx + asu + abz = abc,

X / a + y / b + z / C = 1. (3)

La ecuación (3) se llama ecuación del plano en segmentos, ya que los números a, b Y Con indique qué segmentos corta el plano en los ejes de coordenadas.

Tarea. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12). Simplifica la ecuación resultante. Obtener la ecuación de un plano dado en segmentos.

La ecuación (2) en este caso se escribe de la siguiente manera:

$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$

Esta es la ecuación de este avión. Desarrollando el determinante a lo largo de la primera fila, obtenemos

62(X+ 1) +93(y- 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2X + 3y + 2z - 12 = 0.

Dividiendo término a término por 12 y moviendo el término libre de la ecuación hacia el lado derecho, obtenemos la ecuación de este plano en segmentos

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

De la ecuación se desprende claramente que este plano corta segmentos en los ejes de coordenadas cuyas longitudes son iguales a 6, 4 y 6, respectivamente. Oh interseca el plano en un punto con una abscisa negativa, el eje UNED- en un punto con ordenada positiva, eje Onz- en un punto con aplicación positiva.

Para obtener la ecuación general de un avión, analicemos el avión que pasa por un punto dado.

Que haya tres ejes de coordenadas que ya conocemos en el espacio: Buey, Oye Y Onz. Sostenga la hoja de papel para que quede plana. El plano será la propia hoja y su continuación en todas direcciones.

Dejar PAG plano arbitrario en el espacio. Todo vector perpendicular a él se llama vector normal a este avión. Naturalmente, estamos hablando de un vector distinto de cero.

Si se conoce algún punto del avión PAG y algún vector normal, entonces por estas dos condiciones el plano en el espacio está completamente definido(a través de un punto dado se puede dibujar un solo plano perpendicular al vector dado). La ecuación general del avión será:

Entonces, las condiciones que definen la ecuación del plano son. para conseguirte a ti mismo ecuación plana, teniendo la forma anterior, toma el avión. PAG arbitrario punto METRO con coordenadas variables X, y, z. Este punto pertenece al avión sólo si vector perpendicular al vector(Figura 1). Para ello, según la condición de perpendicularidad de los vectores, es necesario y suficiente que el producto escalar de estos vectores sea igual a cero, es decir

El vector se especifica por condición. Encontramos las coordenadas del vector usando la fórmula. :

.

Ahora, usando la fórmula del producto escalar de vectores , expresamos el producto escalar en forma de coordenadas:

Desde el punto M(x; y; z) se elige arbitrariamente en el plano, entonces la última ecuación se satisface con las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en el plano PAG. por un punto norte, no acostado en un plano determinado, es decir Se viola la igualdad (1).

Ejemplo 1. Escribe una ecuación para un plano que pasa por un punto y es perpendicular al vector.

Solución. Usemos la fórmula (1) y veámosla nuevamente:

En esta fórmula los números A , B Y C coordenadas vectoriales y números X0 , y0 Y z0 - coordenadas del punto.

Los cálculos son muy simples: sustituimos estos números en la fórmula y obtenemos

Multiplicamos todo lo que hay que multiplicar y sumamos solo números (que no tienen letras). Resultado:

.

La ecuación requerida del plano en este ejemplo resultó estar expresada por una ecuación general de primer grado con respecto a coordenadas variables. x, y, z punto arbitrario del plano.

Entonces, una ecuación de la forma

llamado ecuación del plano general .

Ejemplo 2. Construya en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular un plano dado por la ecuación .

Solución. Para construir un plano, es necesario y suficiente conocer tres de sus puntos que no se encuentran en la misma línea recta, por ejemplo, los puntos de intersección del plano con los ejes de coordenadas.

¿Cómo encontrar estos puntos? Para encontrar el punto de intersección con el eje. Onz, debes sustituir ceros por X e Y en la ecuación dada en el enunciado del problema: X = y= 0 . Por lo tanto obtenemos z= 6. Por tanto, el plano dado corta al eje Onz en el punto A(0; 0; 6) .

De la misma forma encontramos el punto de intersección del plano con el eje. Oye. En X = z= 0 obtenemos y= −3, es decir, el punto B(0; −3; 0) .

Y finalmente encontramos el punto de intersección de nuestro plano con el eje. Buey. En y = z= 0 obtenemos X= 2, es decir, un punto C(2; 0; 0) . Basado en los tres puntos obtenidos en nuestra solución. A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) y C(2; 0; 0) construye el plano dado.

Consideremos ahora casos especiales de la ecuación del plano general. Estos son casos en los que ciertos coeficientes de la ecuación (2) se vuelven cero.

1. cuando D= 0 ecuación define un plano que pasa por el origen, ya que las coordenadas del punto 0 (0; 0; 0) satisfacen esta ecuación.

2. cuando A = 0 ecuación define un plano paralelo al eje Buey, ya que el vector normal de este plano es perpendicular al eje Buey(su proyección sobre el eje Buey igual a cero). De manera similar, cuando B= 0 avión paralelo al eje Oye, y cuando C= 0 avión paralelo al eje Onz.

3. Cuando A=D= 0 ecuación define un plano que pasa por el eje Buey, ya que es paralelo al eje Buey (A =D= 0). De manera similar, el avión pasa por el eje. Oye, y el plano que pasa por el eje Onz.

4. Cuando A=B= 0 ecuación define un plano paralelo al plano coordenado xoy, ya que es paralelo a los ejes Buey (A= 0) y Oye (B= 0). De manera similar, el plano es paralelo al plano. yOz, y el avión es el avión xoz.

5. cuando A=B=D= 0 ecuación (o z = 0) define el plano de coordenadas xoy, ya que es paralelo al plano xoy (A=B= 0) y pasa por el origen ( D= 0). Asimismo, la Ec. y = 0 en el espacio define el plano de coordenadas xoz, y la ecuación x = 0 - plano de coordenadas yOz.

Ejemplo 3. Crea una ecuación del avión. PAG, pasando por el eje Oye y punto.

Solución. Entonces el avión pasa por el eje. Oye. Por lo tanto, en su ecuación y= 0 y esta ecuación tiene la forma . Para determinar los coeficientes. A Y C aprovechemos que el punto pertenece al avión PAG .

Por tanto, entre sus coordenadas se encuentran aquellas que se pueden sustituir en la ecuación plana que ya hemos derivado (). Miremos nuevamente las coordenadas del punto:

METRO0 (2; −4; 3) .

Entre ellos X = 2 , z= 3 . Los sustituimos en la ecuación general y obtenemos la ecuación para nuestro caso particular:

2A + 3C = 0 .

dejar 2 A en el lado izquierdo de la ecuación, mueve 3 C hacia el lado derecho y obtenemos

A = −1,5C .

Sustituyendo el valor encontrado A en la ecuación, obtenemos

o .

Esta es la ecuación requerida en la condición de ejemplo.

Resuelve el problema de la ecuación del plano tú mismo y luego mira la solución.

Ejemplo 4. Defina un plano (o planos, si hay más de uno) con respecto a los ejes de coordenadas o planos de coordenadas si los planos están dados por la ecuación.

Las soluciones a los problemas típicos que surgen durante las pruebas se encuentran en el libro de texto "Problemas en un plano: paralelismo, perpendicularidad, intersección de tres planos en un punto".

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos.

Como ya se mencionó, una condición necesaria y suficiente para construir un plano, además de un punto y el vector normal, son también tres puntos que no se encuentran en la misma recta.

Sean dados tres puntos diferentes , y , que no están en la misma recta. Dado que los tres puntos indicados no se encuentran en la misma recta, los vectores no son colineales y, por lo tanto, cualquier punto en el plano se encuentra en el mismo plano que los puntos, y si y solo si los vectores , y coplanar, es decir entonces y sólo cuando producto mixto de estos vectores es igual a cero.

Usando la expresión del producto mixto en coordenadas, obtenemos la ecuación del plano

(3)

Después de revelar el determinante, esta ecuación se convierte en una ecuación de la forma (2), es decir ecuación general del avión.

Ejemplo 5. Escribe una ecuación para un avión que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en la misma línea recta:

y determinar un caso especial de la ecuación general de una recta, si ocurre.

Solución. Según la fórmula (3) tenemos:

Ecuación del plano normal. Distancia de un punto a un plano

La ecuación normal de un avión es su ecuación, escrita en la forma

1. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por un punto dado paralelo a dos vectores dados (no colineales)

Nota: 1 vía . Tomemos un punto arbitrario del plano M (x, y, z). Los vectores serán coplanares ya que se ubican en planos paralelos. Por lo tanto, su producto mixto
Escribiendo esta condición en coordenadas, obtenemos la ecuación del plano deseado:

Es más conveniente calcular este determinante expandiendo a lo largo de la primera línea.

Método 2 . Vectores
paralelo al plano deseado. Por lo tanto, un vector igual al producto vectorial de los vectores
perpendicular a este plano , es decir.
Y
. Vector es un vector normal del avión . Si
Y
, entonces el vector se encuentra mediante la fórmula:

Ecuación plana encontrar por punto
y vector normal

2. Encuentre la ecuación de un plano que pasa por dos puntos dados paralelos a un vector dado
.(
no colineal).

Nota: 1 vía. Sea M (x, y, z) un punto arbitrario en el plano. Entonces los vectores y
están ubicados en planos paralelos, por lo tanto, coplanares, es decir su producto mixto
Escribiendo esta condición en coordenadas, obtenemos la ecuación del plano deseado. .

Método 2 . El vector normal al plano deseado será igual al producto vectorial de los vectores.
, es decir.
o en coordenadas:

Ecuación del plano deseado. encontrado por vector normal y punto
(o punto
)por la fórmula (2.1.1)

(ver ejemplo 1, párrafo 2.2).

3. Encuentra la ecuación del plano que pasa por el punto.
paralelo al plano 2x – 6y – 3z +5 =0.

Nota: Vector normal de la ecuación general de este plano encontramos 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vector perpendicular a un plano dado, por tanto, es perpendicular a cualquier plano paralelo a él. Vector puede tomarse como el vector normal del plano deseado. Creemos una ecuación para el plano deseado basado en el punto.
y vector normal
(ver ejemplo 1, párrafo 2.2).

Respuesta:

4. Escribe una ecuación para un avión que pasa por un punto.
perpendicular a la línea de intersección de los planos 2x + y – 2z + 1 =0 y

x + y + z – 5 = 0.

Nota: 1 vía. Los vectores perpendiculares a cada uno de sus planos (las coordenadas de los vectores se obtienen a partir de las ecuaciones generales de planos, fórmula (2.2.1)) son perpendiculares a la línea de su intersección y, por tanto, paralelos al plano deseado. El plano deseado pasa por el punto.
paralelo a dos vectores
(ver tarea 1 punto 5).

La ecuación del plano deseado tiene la forma:

Desarrollando el determinante de tercer orden a lo largo de la primera recta, obtenemos la ecuación requerida.

Método 2. Creemos una ecuación del plano basada en un punto.
y vector normal según la fórmula (2.2.1). Vector normal igual al producto vectorial de vectores
,aquellos.
Desde vectores
son perpendiculares a la línea de intersección de los planos, entonces el vector paralelo a la línea de intersección de los planos y perpendicular al plano deseado.

Vectores (ver fórmula 2.2.1), luego

Creemos una ecuación del plano basada en un punto.
y vector normal

(ver ejemplo 1 cláusula 2.2)

Respuesta:

5. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos.
Y
perpendicular al plano 3x – y + 3z +15 = 0.

Nota: 1 vía. Anotemos las coordenadas del vector normal de un n dado brillo

3x – y + 3z +15 = 0:
Como los planos son perpendiculares, entonces el vector paralelo al plano deseado Compongamos la ecuación del plano deseado.
que es paralelo al vector y pasa por los puntos
(ver solución al problema 2, punto 5; método 1).

Calculando el determinante, obtenemos la ecuación del plano deseado.

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

Método 2. Compongamos la ecuación del plano deseado. por punto
y el vector normal
Vector

Hacemos la ecuación del plano deseado. .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (ver problema 2, punto 5; método 2). Divide ambos lados de la ecuación por 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Respuesta: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos.

Y

Nota: Creemos una ecuación para un plano que pasa por tres puntos (ver ejemplo 1, párrafo 2.3, fórmula 2.3.1).

Ampliando el determinante, obtenemos

Respuesta:

Comentario. Para comprobar la exactitud del cálculo del determinante, se recomienda sustituir en la ecuación resultante las coordenadas de estos puntos por donde pasa el plano. El resultado debería ser una identidad; de lo contrario, hay un error en los cálculos.

7. Escribe una ecuación para un avión que pasa por un punto.
paralelo al plano x – 4y + 5z + 1 = 0.

Nota: De la ecuación general de un plano dado.
x – 4y + 5z + 1 = 0 encontrar el vector normal
(fórmula 2.2.1). Vector perpendicular al plano deseado
Creemos una ecuación del plano basada en un punto.
y vector normal
(ver ejemplo 1; párrafo 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Respuesta: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Escribe una ecuación para un avión que pasa por un punto.
paralelo a los vectores

Nota: Ver solución al problema 1, punto 5. Resolvemos el problema utilizando uno de los métodos indicados.

Respuesta: x – y – z – 1 = 0.

9. Escribe una ecuación para un avión que pasa por un punto.
perpendicular a la línea de intersección de los planos 3x – 2y – z + 1 = 0 y x – y – z = 0.

Nota: Ver la solución al problema 4, punto 5. Resolvemos el problema utilizando uno de los métodos indicados.

Respuesta: x +2y – z – 8 = 0.

10. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos.

perpendicular al plano 3x – y – 4z = 0.

Nota: Ver solución al problema 5, punto 5.

Respuesta: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos.

paralela a la recta definida por los puntos A (5; –2; 3) y B (6; 1; 0).

Nota: El plano deseado es paralelo a la recta AB, por lo tanto es paralelo al vector
Ecuación del plano deseado. encontramos, como en el problema 2 del párrafo 5 (por uno de los métodos).

Respuesta: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. El punto P (2; –1; –2) sirve como base de una perpendicular que cae desde el origen al plano. Escribe una ecuación para este avión.

Nota: Vector normal al plano deseado es el vector
Encontremos sus coordenadas: P (2; –1; –2) y O(0; 0; 0)

aquellos.
Creemos una ecuación del avión. por punto y vector normal
(ver ejemplo 1, párrafo 2.2).

Respuesta: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Escribe una ecuación para un avión que pasa por un punto.
paralelo al plano: a)xoy; b) yoz; c) xoz.

Nota: Vector
– el vector del eje unitario oz es perpendicular al plano xoy, por lo tanto, es perpendicular al plano deseado
Componemos la ecuación del plano en el punto A (0; –1; 2) y

= (0; 0; 1), porque
(ver solución al problema 3, punto 5).
z – 2 = 0.

Resolvemos los problemas b) yc) de manera similar.

b)
Dónde
(1; 0; 0).

V)
Dónde (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Respuesta: a)z – 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos.
Y

B (2; 1; –1) perpendicular al plano: a) xoy; b) xoz.

Nota: El vector normal del plano xoy es el vector

= (0; 0; 1) – vector unitario del eje oz. Creemos una ecuación para un avión que pasa por dos puntos.
y B (2; 1; –1) y perpendicular al plano que tiene un vector normal
(0; 0; 1), utilizando uno de los métodos para resolver el problema 5 del párrafo 5.
y – 1 = 0.

De manera similar para el problema b):
donde = (0; 1; 0).

Respuesta: a) y – 1 = 0; b) x + z – 1 = 0.

15. Escribe una ecuación para un plano que pasa por los puntos.
Y

B (2; 3; –1) paralelo al eje oz.

Nota: En el eje oz podemos tomar un vector unitario = (0; 0; 1). La solución al problema es similar a la solución del problema 2, punto 5 (por cualquier método).

Respuesta: x – y + 1 = 0.

16. Crea una ecuación para un plano que pasa por el eje del buey y el punto.

Nota: Avión
pasa por el eje buey, por tanto, por el punto O(0; 0; 0). En el eje buey podemos tomar un vector unitario = (1; 0; 0). Componemos la ecuación del plano deseado usando dos puntos A(2; –1; 6) y O(0; 0; 0) y el vector paralelo al plano. (Ver solución al problema 2, punto 5).

Respuesta: 6y + z = 0.

17. ¿A qué valor de A serán perpendiculares los planos Ax + 2y – 7z – 1 = 0 y 2x – y + 2z = 0?

Nota: De las ecuaciones generales de planos.

Hacha + 2y – 7z – 1 = 0 y
2x – y + 2z = 0 vectores normales

= (A; 2; –7) y
= (2; –1; 2) (2.2.1). Condición de perpendicularidad de dos planos. (2.6.1).

Respuesta: A = 8.

18. ¿A qué valor A del plano 2x + 3y – 6z – 23 = 0 y

4x + Ay – 12z + 7 = 0 serán paralelos?

Nota:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 y
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) y
= (4;A; –12) (2.2.1). Porque
(2.5.1)

Respuesta: A = 6.

19. Encuentra el ángulo entre dos planos 2x + y + z + 7 = 0 y x – 2y + 3z = 0.

Nota:
2x + y + z + 7 = 0 y
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) y
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Respuesta:

20. Redactar ecuaciones canónicas de una recta que pasa por un punto.

A (1; 2; –3) paralela al vector =(1; –2; 1).

Nota: Ver la solución al ejemplo del párrafo 3.1.

Respuesta:

21. Escribe ecuaciones paramétricas para una recta que pasa por un punto.

A (–2; 3; 1) paralelo al vector =(3; –1; 2).

Nota: Vea la solución al ejemplo en el párrafo 3.2.

Respuesta:
.

22. Redactar ecuaciones canónicas y paramétricas de una recta que pasa por los puntos A (1; 0; –2) y B (1; 2; –4).

Nota: Ver la solución al ejemplo 1 de la cláusula 3.3.

Respuesta: A)
b)

23. Componer ecuaciones canónicas y paramétricas de una recta definida como la intersección de dos planos x – 2y +3z – 4 = 0 y 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Nota: Véase el ejemplo 1, párrafo 3.4. Sea z = 0, entonces las coordenadas x e y del punto
encontramos a partir de la solución del sistema

Por lo tanto, el punto
, que se encuentra en la línea deseada, tiene coordenadas

(2; –1; 0). Encontrar el vector director de la recta deseada a partir de las ecuaciones generales de planos.
x – 2y +3z – 4 = 0 y
3x + 2y – 5z – 4 = 0

encontrar vectores normales =(1; –2; 3) y
=(3; 2; –5).

Encontramos las ecuaciones canónicas de una línea recta desde un punto.
(2; –1; 0) y el vector de dirección

(Ver fórmula (3.1.1)).

Las ecuaciones paramétricas de una línea recta se pueden encontrar usando la fórmula (3.2.1) o a partir de ecuaciones canónicas:
Tenemos:

Respuesta:
;
.

24. A través del punto
(2; –3; –4) dibuja una línea paralela a la línea

.

Nota: Ecuaciones canónicas de la recta deseada. busquemos por punto
y vector de dirección Porque
luego para el vector de dirección derecho puedes tomar un vector de dirección L recta. A continuación, vea la solución al problema 23, párrafo 5 o el ejemplo 1, párrafo 3.4.

Respuesta:

25. Dados los vértices del triángulo A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) y C (–1; 3; 5). Encuentra la ecuación de la mediana del triángulo ABC extraído del vértice B.

Nota: Encontramos las coordenadas del punto M a partir de la condición AM = MC (BM es la mediana del triángulo ABC).

CON Dejemos las ecuaciones canónicas de la recta BM para dos puntos B (2; 4; –1) y
(Ver ejemplo 1, párrafo 3.3).

Respuesta:

26. Redactar ecuaciones canónicas y paramétricas de una recta que pasa por un punto.
(–1; –2; 2) paralelo al eje del buey.

Nota: Vector
– el vector unitario axisox es paralelo a la línea deseada. Por tanto, se puede tomar como vector director de la recta.
= (1; 0; 0). Compongamos las ecuaciones de una línea recta desde un punto.

(–1; –2: 2) y vector = (1; 0; 0) (ver ejemplo, párrafo 3.1 y ejemplo 1, párrafo 3.2).

Respuesta:
;

27. Redactar ecuaciones canónicas de una recta que pasa por un punto.
(3; –2; 4) perpendicular al plano 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Nota: De la ecuación general del avión.
5x + 3y – 7z + 1 = 0 encontrar el vector normal = (5; 3; –7). Según la condición, la línea recta requerida.
de ahí el vector
aquellos. vector es el vector director de la recta L: = (5; 3; –7). Redactamos las ecuaciones canónicas de una línea recta desde un punto.
(3; –2; 4) y vector de dirección

= (5; 3; –7). (Ver ejemplo punto 3.1).

Respuesta:

28. Redacte ecuaciones paramétricas para una perpendicular caída desde el origen al plano 4x – y + 2z – 3 = 0.

Nota: Creemos una ecuación para la perpendicular deseada, es decir recta perpendicular al plano
4x – y + 2z – 3 = 0 y pasando por el punto O (0; 0; 0). (Ver la solución al problema 27, párrafo 5 y el ejemplo 1, párrafo 3.2).

Respuesta:

29. Encuentra el punto de intersección de una línea.
y aviones

x – 2y + z – 15 = 0.

Nota: Encontrar el punto M de intersección de una recta.

L:
y aviones

x – 2y + z – 15 = 0, necesitamos resolver el sistema de ecuaciones:

;

Para resolver el sistema, transformamos las ecuaciones canónicas de la recta en ecuaciones paramétricas. (Ver tarea 23, párrafo 5).

Respuesta:

30. Encuentre la proyección del punto M (4; –3; 1) sobre el plano x + 2y – z – 3 = 0.

Nota: La proyección del punto M sobre el plano será el punto P - punto p intersección de una perpendicular caída desde el punto M a un plano
y planitud Compongamos las ecuaciones paramétricas de la perpendicular MR (ver solución al problema 28, punto 5).

Encontremos el punto P: el punto de intersección de la recta MR y el plano. (Ver solución al problema 29, punto 5).

Respuesta:

31. Encuentra la proyección del punto A(1; 2; 1) sobre la recta.

Nota: Proyección del punto A sobre la recta L:
es t puntos B intersección de la recta L y el plano
que pasa por el punto A y es perpendicular a la recta L. De las ecuaciones canónicas de la recta L escribimos el vector director =(3; –1; 2). Avión es perpendicular a la recta L, por lo tanto,
Entonces el vector se puede tomar como el vector normal del avión
= (3; –1; 2). Creemos una ecuación del avión. en el punto A(1; 2; 1) y = (3; –1; 2) (ver ejemplo 1, párrafo 2.2):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Encuentra el punto B de la intersección de una recta y un plano (ver problema 29, párrafo 5):

Respuesta:

32. Por el punto M (3; –1; 0) trazar una línea recta paralela a dos planos x – y + z – 3 = 0 y x + y + 2z – 3 = 0.

Nota: Aviones
x – y + z – 3 = 0 y
x + y + 2z – 3 = 0 no son paralelos, porque no se cumple la condición (2.5.1):
Aviones
intersecarse. La recta requerida L, paralela a los planos.
paralelo a la línea de intersección de estos planos. (Ver solución a los problemas 24 y 23, párrafo 5).

Respuesta:

33. Escribe una ecuación para un plano que pasa por dos rectas.

Nota:1 vía. Compongamos la ecuación del plano deseado. por punto
, tendido en la línea recta , y el vector normal . Vector será igual al producto vectorial de los vectores directores de las rectas
, que encontramos a partir de las ecuaciones canónicas de rectas.
(fórmula 3.1.1): = (7; 3; 5) y

= (5; 5; –3)

Coordenadas de puntos
encontramos a partir de las ecuaciones canónicas de la línea recta.

Componemos la ecuación del avión. por punto
y el vector normal =(–34; 46; 20) (ver ejemplo 1, párrafo 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

Método 2. Encontrar vectores de dirección = (7; 3; 5) y = (5; 5; –3) de las ecuaciones canónicas de líneas
Punto final
(0; 2; –1) se encuentra a partir de la ecuación

. Tomemos un punto arbitrario en el avión.

M(x;y;z). Vectores
– son coplanares, por lo tanto,
De esta condición obtenemos la ecuación del plano:

Respuesta: 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Escribe una ecuación para un avión que pasa por un punto.
(2; 0; 1) y recta

Nota: Primero que nada, asegurémonos de que el punto
en esta línea recta setos:
Punto final
y vector de dirección encontramos a partir de las ecuaciones canónicas de la línea recta.
:
(1; –1; –1) y

= (1; 2; –1). Vector normal del plano deseado.
Encontramos las coordenadas del vector normal, conociendo las coordenadas. =(1; 2; –1) y

= (1; 1; 2):

Componemos la ecuación de un plano desde un punto.
(2; 0; 1) y vector normal = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Respuesta: 5x – 3y – z – 9 = 0.