Si una línea recta corta segmentos iguales. El teorema de Tales. Línea media del triángulo

Sobre paralelas y secantes.

Fuera de la literatura en lengua rusa, el teorema de Tales a veces se denomina otro teorema de la planimetría, es decir, la afirmación de que el ángulo inscrito subtendido por el diámetro de un círculo es un ángulo recto. De hecho, el descubrimiento de este teorema se atribuye a Tales, como lo demuestra Proclo.

Formulaciones

Si en una de dos líneas se colocan varios segmentos iguales uno tras otro y en sus extremos se trazan líneas paralelas que cortan la segunda línea, se cortarán segmentos iguales en la segunda línea.

Una formulación más general, también llamada teorema del segmento proporcional

Las rectas paralelas cortan segmentos proporcionales en las secantes:

Notas

• El teorema no tiene restricciones sobre la posición relativa de las secantes (es válido tanto para rectas que se cruzan como para rectas paralelas). Tampoco importa dónde se encuentren los segmentos de las secantes.

• El teorema de Tales es un caso especial del teorema de los segmentos proporcionales, ya que segmentos iguales pueden considerarse segmentos proporcionales con un coeficiente de proporcionalidad igual a 1.

Prueba en el caso de secantes

Consideremos la opción con pares de segmentos no conectados: dejemos que el ángulo se cruce con líneas rectas. Un Un 1 | | Si Si 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) y donde A B = C D (\displaystyle AB=CD).

Prueba en el caso de rectas paralelas.

hagamos un directo ANTES DE CRISTO.. Anglos A B C Y BCD igual que interno transversalmente con líneas paralelas AB Y CD y secante ANTES DE CRISTO. y los ángulos ACB Y CDB igual que interno transversalmente con líneas paralelas C.A. Y BD y secante ANTES DE CRISTO.. Entonces, según el segundo criterio para la igualdad de triángulos, los triángulos A B C Y DCB son iguales. Resulta que C.A. = BD Y AB = CD. ■

Variaciones y generalizaciones.

Teorema inverso

Si en el teorema de Tales segmentos iguales comienzan desde el vértice (a menudo en literatura escolar Si se utiliza tal formulación), entonces el teorema inverso también será cierto. Para secantes que se cruzan se formula de la siguiente manera:

EN recíproco del teorema Tales, es importante que desde el vértice partan segmentos iguales

Así (ver figura) del hecho de que C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), sigue que A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Si las secantes son paralelas, entonces es necesario exigir que los segmentos de ambas secantes sean iguales entre sí; de lo contrario, esta afirmación se vuelve falsa (un contraejemplo es un trapezoide cortado por una línea que pasa por los puntos medios de las bases).

Este teorema se utiliza en navegación: una colisión entre barcos que se mueven a velocidad constante es inevitable si se mantiene la dirección de un barco a otro.

El lema de Sollertinsky

La siguiente afirmación es dual con el lema de Sollertinsky:

En el caso del teorema de Tales, la cónica será el punto en el infinito, correspondiente a la dirección de las rectas paralelas.

Esta afirmación, a su vez, es un caso límite de la siguiente afirmación:

Si las rectas paralelas que cortan los lados de un ángulo cortan segmentos iguales en un lado, entonces cortan segmentos iguales en el otro lado.

Prueba. Sean A 1, A 2, A 3 los puntos de intersección de rectas paralelas con uno de los lados del ángulo y A 2 se encuentra entre A 1 y A 3 (Fig. 1).

Sean B 1 B 2, B 3 los puntos de intersección correspondientes de estas líneas con el otro lado del ángulo. Demostremos que si A 1 A 2 = A 2 A 3, entonces B 1 B 2 = B 2 B 3.

Dibujemos una recta EF que pase por el punto B 2, paralela a la recta A 1 A 3. Por la propiedad de un paralelogramo A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.

Y como A 1 A 2 = A 2 A 3, entonces FB 2 = B 2 E.

Los triángulos B 2 B 1 F y B 2 B 3 E son iguales según el segundo criterio. Tienen B 2 F = B 2 E según lo demostrado. Los ángulos en el vértice B 2 son iguales a la vertical, y los ángulos B 2 FB 1 y B 2 EB 3 son iguales a los internos transversalmente al paralelo A 1 B 1 y A 3 B 3 y la secante EF. De la igualdad de triángulos se desprende la igualdad de lados: B 1 B 2 = B 2 B 3. El teorema ha sido demostrado.

Utilizando el teorema de Tales, se establece el siguiente teorema.

Teorema 2. linea intermedia de un triángulo es paralelo al tercer lado e igual a la mitad del mismo.

La línea media de un triángulo es el segmento que une los puntos medios de sus dos lados. En la Figura 2, el segmento ED es la línea media del triángulo ABC.

ED - línea media del triángulo ABC

Ejemplo 1. Divide este segmento en cuatro partes iguales.

Solución. Sea AB un segmento dado (Fig. 3), que debe dividirse en 4 partes iguales.

Dividir un segmento en cuatro partes iguales

Para hacer esto, dibuje una media línea arbitraria a que pase por el punto A y trace secuencialmente cuatro segmentos iguales AC, CD, DE, EK.

Conectemos los puntos B y K con un segmento. Dibujemos líneas rectas paralelas a la línea BK a través de los puntos restantes C, D, E, de modo que corten al segmento AB.

Según el teorema de Tales, el segmento AB se dividirá en cuatro partes iguales.

Ejemplo 2. La diagonal de un rectángulo es a. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados del rectángulo?

Solución. Deje que la Figura 4 cumpla las condiciones del problema.

Entonces EF es la línea media del triángulo ABC y, por lo tanto, por el Teorema 2. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$

De manera similar $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ y por lo tanto el perímetro del cuadrilátero EFGH es 2a.

Ejemplo 3. Los lados de un triángulo miden 2 cm, 3 cm y 4 cm, y sus vértices son los puntos medios de los lados de otro triángulo. Encuentra el perímetro del triángulo grande.

Solución. Deje que la Figura 5 cumpla las condiciones del problema.

Los segmentos AB, BC, AC son las rectas medias del triángulo DEF. Por lo tanto, según el Teorema 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ o $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ de donde $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ y, por tanto, el perímetro del triángulo DEF es 18 cm.

Ejemplo 4. EN triángulo rectángulo por la mitad de su hipotenusa hay líneas rectas paralelas a sus catetos. Encuentra el perímetro del rectángulo resultante si los lados del triángulo miden 10 cm y 8 cm.

Solución. En el triángulo ABC (Fig.6)

∠ A es una línea recta, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD y MD son las líneas medias del triángulo ABC, de donde $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 cm. \\ MD = \ frac(1) (2)AB = 5 cm $$ El perímetro del rectángulo K DMA es de 18 cm.

Tema de la lección

Objetivos de la lección

• Familiarícese con nuevas definiciones y recuerde algunas ya estudiadas.
• Formule y pruebe las propiedades de un cuadrado, pruebe sus propiedades.
• Aprenda a aplicar las propiedades de las formas al resolver problemas.
• De desarrollo: para desarrollar la atención, la perseverancia, la perseverancia, pensamiento lógico, discurso matemático.
• Educativo: a través de la lección, cultive una actitud atenta hacia los demás, inculque la capacidad de escuchar a los camaradas, la asistencia mutua y la independencia.

Objetivos de la lección

• Pon a prueba las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes.

Plan de estudios

1. Referencia histórica.
2. Tales como matemático y sus obras.
3. Es útil recordar.

Referencia histórica

• El teorema de Tales todavía se utiliza en la navegación marítima como regla de que una colisión entre barcos que se mueven a una velocidad constante es inevitable si los barcos mantienen un rumbo uno hacia el otro.

• Fuera de la literatura en lengua rusa, el teorema de Tales a veces se denomina otro teorema de la planimetría, es decir, la afirmación de que el ángulo inscrito basado en el diámetro de un círculo es recto. De hecho, el descubrimiento de este teorema se atribuye a Tales, como lo demuestra Proclo.

• Tales aprendió los conceptos básicos de la geometría en Egipto.

Descubrimientos y méritos de su autor.

¿Sabías que Tales de Mileto fue uno de los siete más famosos de esa época, el sabio de Grecia? Fundó la escuela jónica. La idea que Tales promovió en esta escuela fue la unidad de todas las cosas. El sabio creía que hay un único comienzo a partir del cual se originaron todas las cosas.

El gran mérito de Tales de Mileto es la creación de la geometría científica. Esta gran enseñanza supo crear a partir del arte egipcio de la medición una geometría deductiva, cuya base son los puntos comunes.

Además de sus enormes conocimientos de geometría, Tales también conocía bien la astronomía. Fue el primero en predecir un eclipse total de Sol. Pero esto no sucedió en mundo moderno, y allá por el 585, incluso antes de Cristo.

Tales de Mileto fue el hombre que se dio cuenta de que el norte podía determinarse con precisión mediante la constelación de la Osa Menor. Pero este no fue su último descubrimiento, ya que pudo determinar con precisión la duración del año, dividirlo en trescientos sesenta y cinco días y también establecer la época de los equinoccios.

De hecho, Tales era un hombre sabio y ampliamente desarrollado. Además de ser famoso como un excelente matemático, físico y astrónomo, también era un auténtico meteorólogo y sabía predecir con bastante precisión la cosecha de aceitunas.

Pero lo más destacable es que Tales nunca limitó sus conocimientos sólo al campo científico y teórico, sino que siempre trató de consolidar la evidencia de sus teorías en la práctica. Y lo más interesante es que el gran sabio no se centró en ningún área de su conocimiento, su interés tenía varias direcciones.

El nombre Tales se convirtió en un nombre familiar para el sabio incluso entonces. Su importancia y trascendencia para Grecia fue tan grande como el nombre de Lomonosov para Rusia. Por supuesto, su sabiduría se puede interpretar de diferentes maneras. Pero definitivamente podemos decir que se caracterizó por el ingenio, el ingenio práctico y, hasta cierto punto, el desapego.

Tales de Mileto fue un excelente matemático, filósofo, astrónomo, le encantaba viajar, era comerciante y empresario, se dedicaba al comercio, y también fue un buen ingeniero, diplomático, vidente y participó activamente en la vida política.

Incluso logró determinar la altura de la pirámide utilizando un bastón y una sombra. Y fue así. Un hermoso día soleado, Tales colocó su bastón en el borde donde terminaba la sombra de la pirámide. Luego, esperó hasta que la longitud de la sombra de su bastón fuera igual a su altura y midió la longitud de la sombra de la pirámide. Entonces, parecería que Tales simplemente determinó la altura de la pirámide y demostró que la longitud de una sombra está relacionada con la longitud de otra sombra, así como la altura de la pirámide está relacionada con la altura del bastón. Esto es lo que sorprendió al propio faraón Amasis.

Gracias a Thales, todo el conocimiento conocido en ese momento fue transferido al campo. interés científico. Pudo transmitir los resultados a un nivel adecuado para el consumo científico, destacando un determinado conjunto de conceptos. Y quizás con la ayuda de Tales comenzó el posterior desarrollo de la filosofía antigua.

El teorema de Tales juega uno roles importantes en matemáticas. Ella era famosa no sólo en Antiguo Egipto y Babilonia, pero también en otros países y fue la base para el desarrollo de las matemáticas. Si y en La vida cotidiana, durante la construcción de edificios, estructuras, carreteras, etc., no se puede prescindir del teorema de Tales.

El teorema de Tales en la cultura

El teorema de Tales se hizo famoso no sólo en matemáticas, sino que también se introdujo en la cultura. Érase una vez argentino grupo musical Les Luthiers (español) presentaron al público una canción que dedicó al famoso teorema. Los miembros de Les Luthiers, en su videoclip específico para esta canción, demostraron el teorema directo de los segmentos proporcionales.

Preguntas

1. ¿Qué rectas se llaman paralelas?
2. ¿Dónde se aplica prácticamente el teorema de Tales?
3. ¿Qué dice el teorema de Tales?

Lista de fuentes utilizadas

1. Enciclopedia para niños. T.11. Matemáticas/Editor jefe M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
2. “Examen del Estado Unificado 2006. Matemáticas. Materiales educativos y didácticos para la preparación de estudiantes / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometría, 7 – 9: libro de texto para instituciones educativas”

Plan:

Introducción

• 1 Teorema inverso
• 2 El teorema de Tales en la cultura
• 3 Datos interesantes
Notas

Introducción

teorema de tales- uno de los teoremas de la planimetría.

El teorema no tiene restricciones sobre la posición relativa de las secantes (es válido tanto para rectas que se cruzan como para rectas paralelas). Tampoco importa dónde estén los segmentos de las secantes.

Prueba en el caso de secantes

Prueba del teorema de Tales

Consideremos la opción con pares de segmentos no conectados: dejemos que el ángulo se cruce con líneas rectas. AA 1 | | BB 1 | | CC 1 | | DD 1 y donde AB = CD .

Prueba en el caso de rectas paralelas.

Dibujemos una línea recta antes de Cristo. Los ángulos ABC y BCD son iguales como transversales internos con las rectas paralelas AB y CD y secante BC, y los ángulos ACB y CBD son iguales como transversales internos con las rectas paralelas AC y BD y secante BC. Entonces, según el primer criterio de igualdad de triángulos, los triángulos ABC y DCB son congruentes. De ello se deduce que AC = BD y AB = CD. ■

También hay teorema de Tales generalizado:

El teorema de Tales es un caso especial teorema generalizado Tales, ya que segmentos iguales pueden considerarse segmentos proporcionales con un coeficiente de proporcionalidad igual a 1.

1. Teorema inverso

Si en el teorema de Tales segmentos iguales comienzan desde el vértice (esta formulación se usa a menudo en la literatura escolar), entonces el teorema inverso también será cierto. Para secantes que se cruzan se formula de la siguiente manera:

En el teorema inverso de Tales, es importante que segmentos iguales comiencen desde el vértice

Así (ver figura) de lo que sigue son líneas rectas.

Si las secantes son paralelas, entonces es necesario exigir que los segmentos de ambas secantes sean iguales entre sí; de lo contrario, esta afirmación se vuelve falsa (un contraejemplo es un trapezoide cortado por una línea que pasa por los puntos medios de las bases).

2. El teorema de Tales en la cultura

Grupo de música argentino Les Luthiers ( Español) presentó una canción dedicada al teorema. El vídeo de esta canción proporciona una prueba del teorema directo de segmentos proporcionales.

3. Datos interesantes

• El teorema de Tales todavía se utiliza en la navegación marítima como regla de que una colisión entre barcos que se mueven a una velocidad constante es inevitable si los barcos mantienen un rumbo uno hacia el otro.
• Fuera de la literatura en lengua rusa, el teorema de Tales a veces se denomina otro teorema de la planimetría, es decir, la afirmación de que el ángulo inscrito basado en el diámetro de un círculo es recto. De hecho, el descubrimiento de este teorema se atribuye a Tales, como lo demuestra Proclo.
• Tales aprendió los conceptos básicos de la geometría en Egipto.

Notas

1. El Teorema de Thales por Les Luthiers en You Tube - www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY
2. 3. Viajar a Egipto / Inicio / literatura antigua y filosofía. Tales de Mileto - www.fales-iz-mileta.narod.ru/3_puteshestvie_v_egipet

Teorema de planimetría sobre paralelas y secantes.

Fuera de la literatura en lengua rusa, el teorema de Tales a veces se denomina otro teorema de la planimetría, es decir, la afirmación de que el ángulo inscrito subtendido por el diámetro de un círculo es un ángulo recto. De hecho, el descubrimiento de este teorema se atribuye a Tales, como lo demuestra Proclo.

Formulaciones [ | ]

Si en una de dos líneas se colocan varios segmentos iguales uno tras otro y en sus extremos se trazan líneas paralelas que cortan la segunda línea, se cortarán segmentos iguales en la segunda línea.

Una formulación más general, también llamada teorema del segmento proporcional

Las rectas paralelas cortan segmentos proporcionales en las secantes:

Notas [ | ]

• El teorema de Tales es un caso especial del teorema de los segmentos proporcionales, ya que segmentos iguales pueden considerarse segmentos proporcionales con un coeficiente de proporcionalidad igual a 1.

Prueba en el caso de secantes

Consideremos la opción con pares de segmentos no conectados: dejemos que el ángulo se cruce con líneas rectas. Un Un 1 | | Si Si 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) y donde A B = C D (\displaystyle AB=CD).

Prueba en el caso de rectas paralelas.

hagamos un directo ANTES DE CRISTO.. Anglos A B C Y BCD igual que interno transversalmente con líneas paralelas AB Y CD y secante ANTES DE CRISTO. y los ángulos ACB Y CDB igual que interno transversalmente con líneas paralelas C.A. Y BD y secante ANTES DE CRISTO.. Entonces, según el segundo criterio para la igualdad de triángulos, los triángulos A B C Y DCB son iguales. Resulta que C.A. = BD Y AB = CD. ■

Variaciones y generalizaciones.[ | ]

Teorema inverso[ | ]

Si en el teorema de Tales segmentos iguales comienzan desde el vértice (esta formulación se usa a menudo en la literatura escolar), entonces el teorema inverso también será cierto. Para secantes que se cruzan se formula de la siguiente manera:

En el teorema inverso de Tales, es importante que segmentos iguales comiencen desde el vértice

Así (ver figura) del hecho de que C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), sigue que A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Si las secantes son paralelas, entonces es necesario exigir que los segmentos de ambas secantes sean iguales entre sí; de lo contrario, esta afirmación se vuelve falsa (un contraejemplo es un trapezoide cortado por una línea que pasa por los puntos medios de las bases).

Este teorema se utiliza en navegación: una colisión entre barcos que se mueven a velocidad constante es inevitable si se mantiene la dirección de un barco a otro.

El lema de Sollertinsky[ | ]

La siguiente afirmación es dual con el lema de Sollertinsky:

En el caso del teorema de Tales, la cónica será el punto en el infinito, correspondiente a la dirección de las rectas paralelas.

Esta afirmación, a su vez, es un caso límite de la siguiente afirmación:

Dejar f (displaystyle f)- transformación proyectiva de una cónica. Entonces la envolvente del conjunto de rectas X f (X) (\displaystyle Xf(X)) será una cónica (posiblemente degenerada). | ] Vida 1 0 0 Si encuentra un error, seleccione un fragmento de texto y presione Ctrl+Entrar. Selección del editor Recuperación de unidades flash Silicon Power Recuperación de Silicon Power 16gb Información contable 1s empresa agregar usuario Un ejemplo sencillo del uso de campos personalizados en un informe DCS Nuevas funciones para trabajar con cadenas. Error de subdb: la base de datos no se puede utilizar Aspecto y características del uso del intercambio universal de datos Concesión del “derecho de uso”