¿Cuál es el momento de un cuerpo?Fórmula. Proyección de impulso de ahorro

Legumbres (Cantidad de movimiento) es una cantidad física vectorial que es una medida del movimiento mecánico de un cuerpo. En mecánica clásica, el momento de un cuerpo es igual al producto de la masa. metro de este cuerpo a su velocidad v, la dirección del impulso coincide con la dirección del vector velocidad:

Impulso del sistema partículas es la suma vectorial de los momentos de sus partículas individuales: p=(suma) Pi, Dónde Pi – impulso yo partículas.

Teorema sobre el cambio de impulso de un sistema: el impulso total del sistema sólo puede cambiarse mediante la acción de fuerzas externas: Fext=dp/dt(1), es decir la derivada del impulso del sistema con respecto al tiempo es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas externas que actúan sobre las partículas del sistema. Como en el caso de una partícula, de la expresión (1) se deduce que el incremento en el impulso del sistema es igual al impulso de la resultante de todas las fuerzas externas durante el período de tiempo correspondiente:

p2-p1= t & 0 F text dt.

En mecánica clásica, completo. impulso sistema de puntos materiales se llama cantidad vectorial, igual a la suma de los productos de las masas de puntos materiales y su velocidad:

en consecuencia, la cantidad se llama impulso de un punto material. Esta es una cantidad vectorial dirigida en la misma dirección que la velocidad de la partícula. La unidad de impulso está en Sistema internacional unidades (SI) es kilogramo-metro por segundo(kg m/s).

Si se trata de un cuerpo de tamaño finito, que no consta de puntos materiales discretos, para determinar su momento es necesario dividir el cuerpo en partes pequeñas, que pueden considerarse puntos materiales y sumarlas, como resultado se obtiene:

El impulso de un sistema que no se ve afectado por ningún Fuerzas externas(o son compensados) salvado a tiempo:

La conservación del impulso en este caso se deriva de la segunda y tercera leyes de Newton: al escribir la segunda ley de Newton para cada uno de los puntos materiales que componen el sistema y sumando todos los puntos materiales que componen el sistema, en virtud de la tercera ley de Newton obtenemos la igualdad (* ).

En mecánica relativista, el momento tridimensional de un sistema de puntos materiales que no interactúan es la cantidad

,

Dónde yo yo- peso iº punto material.

Para un sistema cerrado de puntos materiales que no interactúan, este valor se conserva. Sin embargo, el impulso tridimensional no es una cantidad relativista invariante, ya que depende del sistema de referencia. Una cantidad más significativa será el impulso de cuatro dimensiones, que para un punto material se define como

En la práctica, se suelen utilizar las siguientes relaciones entre masa, momento y energía de una partícula:

En principio, para un sistema de puntos materiales que no interactúan, se suman sus 4 momentos. Sin embargo, para que las partículas interactúen en la mecánica relativista, es necesario tener en cuenta no sólo el momento de las partículas que forman el sistema, sino también el momento del campo de interacción entre ellas. Por lo tanto, una cantidad mucho más significativa en la mecánica relativista es el tensor de energía-momento, que satisface plenamente las leyes de conservación.

Propiedades del impulso

· Aditividad. Esta propiedad significa que el impulso sistema mecánico, que consta de puntos materiales, igual a la suma impulsos de todos los puntos materiales incluidos en el sistema.

· Invariancia respecto a la rotación del sistema de referencia.

· Preservación. El impulso no cambia durante las interacciones que cambian sólo las características mecánicas del sistema. Esta propiedad es invariante bajo transformaciones galileanas. Las propiedades de conservación de la energía cinética, conservación del momento y la segunda ley de Newton son suficientes para derivar la fórmula matemática del momento.

Ley de conservación del impulso. (Ley de conservación del impulso)- la suma vectorial de los impulsos de todos los cuerpos del sistema es un valor constante si la suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre el sistema es igual a cero.

En la mecánica clásica, la ley de conservación del momento suele derivarse de las leyes de Newton. A partir de las leyes de Newton se puede demostrar que cuando se mueve en el espacio vacío, el impulso se conserva en el tiempo y, en presencia de interacción, la velocidad de su cambio está determinada por la suma de las fuerzas aplicadas.

Como cualquiera de las leyes fundamentales de conservación, la ley de conservación del impulso está asociada, según el teorema de Noether, con una de las simetrías fundamentales: la homogeneidad del espacio.

El cambio en el momento de un cuerpo es igual al momento de la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Esta es una formulación diferente de la segunda ley de Newton.

Deja que la masa corporal metro durante un corto período de tiempo Δ t fuerza actuada Bajo la influencia de esta fuerza, la velocidad del cuerpo cambió en Por lo tanto, durante el tiempo Δ t el cuerpo se movía con aceleración

De la ley básica de la dinámica ( Segunda ley de Newton) sigue:

Una cantidad física igual al producto de la masa de un cuerpo por la velocidad de su movimiento se llama impulso corporal(o cantidad de movimiento). El momento de un cuerpo es una cantidad vectorial. La unidad SI de impulso es kilogramo metro por segundo (kg m/s).

Una cantidad física igual al producto de una fuerza por el tiempo de su acción se llama impulso de fuerza . El impulso de fuerza también es una cantidad vectorial.

En nuevos términos Segunda ley de Newton se puede formular de la siguiente manera:

YEl cambio en el impulso del cuerpo (cantidad de movimiento) es igual al impulso de fuerza..

La segunda ley de Newton, que denota el impulso de un cuerpo con una letra, se puede escribir en la forma

exactamente en esto vista general El propio Newton formuló la segunda ley. La fuerza en esta expresión representa la resultante de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo. Esta igualdad vectorial se puede escribir en proyecciones sobre los ejes de coordenadas:

Por tanto, el cambio en la proyección del impulso del cuerpo sobre cualquiera de los tres ejes mutuamente perpendiculares es igual a la proyección del impulso de fuerza sobre el mismo eje. Tomemos como ejemplo unidimensional movimiento, es decir, el movimiento de un cuerpo a lo largo de uno de los ejes de coordenadas (por ejemplo, el eje oy). Deje que el cuerpo caiga libremente desde velocidad inicialυ 0 bajo la influencia de la gravedad; el tiempo de caída es t. Dirigamos el eje oy verticalmente hacia abajo. impulso de gravedad F t= mg durante t es igual mgt. Este impulso es igual al cambio en el impulso del cuerpo.

Este simple resultado coincide con la cinemática.fórmulapara la velocidad del movimiento uniformemente acelerado. En este ejemplo, la magnitud de la fuerza permaneció sin cambios durante todo el intervalo de tiempo. t. Si la fuerza cambia en magnitud, entonces el valor promedio de la fuerza debe sustituirse en la expresión del impulso de la fuerza. F cf durante el período de su acción. Arroz. 1.16.1 ilustra el método para determinar el impulso de fuerza dependiente del tiempo.

Elijamos un pequeño intervalo Δ en el eje del tiempo. t, durante el cual la fuerza F (t) permanece prácticamente sin cambios. fuerza de impulso F (t) Δ t en el tiempo Δ t será igual al área de la columna sombreada. Si todo el eje de tiempo está en el intervalo de 0 a t dividir en pequeños intervalos Δ ti, y luego sumar los impulsos de fuerza en todos los intervalos Δ ti, entonces el impulso total de fuerza será igual al área formada por la curva escalonada con el eje del tiempo. En el límite (Δ ti→ 0) esta área es igual al área limitada por el gráfico F (t) y eje t. Este método para determinar el impulso de fuerza a partir de un gráfico. F (t) es general y aplicable a cualquier ley de fuerza que cambie a lo largo del tiempo. Matemáticamente, el problema se reduce a integración funciones F (t) en el intervalo .

El impulso de fuerza, cuya gráfica se presenta en la Fig. 1.16.1, en el intervalo de t 1 = 0 s a t 2 = 10 s es igual a:

En este sencillo ejemplo

En algunos casos, fuerza media. F cp se puede determinar si se conocen el momento de su acción y el impulso impartido al cuerpo. Por ejemplo, golpe fuerte un jugador de fútbol que golpea una pelota con una masa de 0,415 kg puede darle una velocidad de υ = 30 m/s. El tiempo de impacto es de aproximadamente 8·10 –3 s.

Legumbres pag, adquirido por la pelota como resultado de un golpe es:

Por lo tanto, la fuerza promedio F el promedio con el que el pie del futbolista actuó sobre el balón durante el tiro es:

Esto es muy gran fuerza. Es aproximadamente igual al peso de un cuerpo que pesa 160 kg.

Si el movimiento de un cuerpo durante la acción de una fuerza se produjo a lo largo de una determinada trayectoria curvilínea, entonces los impulsos inicial y final del cuerpo pueden diferir no solo en magnitud, sino también en dirección. En este caso, para determinar el cambio de impulso es conveniente utilizar diagrama de pulso , que representa los vectores y , así como el vector Construido según la regla del paralelogramo. Como ejemplo en la Fig. La figura 1.16.2 muestra un diagrama de impulsos de una pelota que rebota en una pared rugosa. Masa de bola metro Golpear la pared con una velocidad que forma un ángulo α con la normal (eje BUEY) y rebotó en él con una velocidad en un ángulo β. Durante el contacto con la pared, actuó sobre la pelota una cierta fuerza, cuya dirección coincide con la dirección del vector.

Durante una caída normal de una pelota con una masa metro en una pared elástica con velocidad, tras el rebote la pelota tendrá velocidad. Por lo tanto, el cambio en el impulso de la pelota durante el rebote es igual a

En proyecciones sobre el eje. BUEY este resultado se puede escribir en forma escalar Δ pagX = –2metroυ X. Eje BUEY dirigido lejos de la pared (como en la Fig. 1.16.2), por lo tanto υ X < 0 и ΔpagX> 0. Por lo tanto, el módulo Δ pag el cambio de impulso está relacionado con el módulo υ de la velocidad de la bola mediante la relación Δ pag = 2metroυ.

Impulso(cantidad de movimiento) de un cuerpo es una cantidad vectorial física, que es una característica cuantitativa del movimiento de traslación de los cuerpos. El impulso está designado. R. El impulso de un cuerpo es igual al producto de la masa del cuerpo por su velocidad, es decir se calcula mediante la fórmula:

La dirección del vector impulso coincide con la dirección del vector velocidad del cuerpo (dirigido tangente a la trayectoria). La unidad de impulso es kg∙m/s.

Momento total de un sistema de cuerpos. es igual vector la suma de los impulsos de todos los cuerpos del sistema:

Cambio de impulso de un cuerpo. se encuentra mediante la fórmula (tenga en cuenta que la diferencia entre los impulsos final e inicial es vectorial):

Dónde: pag n – impulso corporal en el momento inicial, pag k – al final. Lo principal es no confundir los dos últimos conceptos.

Impacto absolutamente elástico– un modelo abstracto de impacto, que no tiene en cuenta las pérdidas de energía por fricción, deformación, etc. No se tienen en cuenta otras interacciones distintas al contacto directo. Con un impacto absolutamente elástico sobre una superficie fija, la velocidad del objeto después del impacto es igual en magnitud a la velocidad del objeto antes del impacto, es decir, la magnitud del impulso no cambia. Sólo su dirección puede cambiar. En este caso, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Impacto absolutamente inelástico- un golpe, como resultado del cual los cuerpos se conectan y continúan su movimiento como un solo cuerpo. Por ejemplo, cuando una bola de plastilina cae sobre cualquier superficie, detiene por completo su movimiento; cuando dos coches chocan, se activa el enganche automático y además siguen avanzando juntos.

Ley de conservación del impulso.

Cuando los cuerpos interactúan, el impulso de un cuerpo puede transferirse total o parcialmente a otro cuerpo. Si sobre un sistema de cuerpos no actúan fuerzas externas de otros cuerpos, dicho sistema se llama cerrado.

En un sistema cerrado, la suma vectorial de los impulsos de todos los cuerpos incluidos en el sistema permanece constante para cualquier interacción de los cuerpos de este sistema entre sí. Esta ley fundamental de la naturaleza se llama ley de conservación del impulso (LCM). Sus consecuencias son las leyes de Newton. La segunda ley de Newton en forma de momento se puede escribir de la siguiente manera:

Como se desprende de esta fórmula, si no hay ninguna fuerza externa que actúe sobre un sistema de cuerpos, o si se compensa la acción de fuerzas externas (igual a fuerza efectiva es cero), entonces el cambio en el momento es cero, lo que significa que el momento total del sistema se conserva:

De manera similar, se puede razonar sobre la igualdad de la proyección de fuerza en el eje seleccionado a cero. Si las fuerzas externas no actúan solo a lo largo de uno de los ejes, entonces se conserva la proyección del impulso sobre este eje, por ejemplo:

Se pueden realizar registros similares para otros ejes de coordenadas. De una forma u otra, es necesario comprender que los impulsos mismos pueden cambiar, pero es su suma la que permanece constante. La ley de conservación del impulso en muchos casos permite encontrar las velocidades de los cuerpos que interactúan incluso cuando se desconocen los valores de las fuerzas actuantes.

Proyección de impulso de ahorro

Son posibles situaciones en las que la ley de conservación del impulso se cumple solo parcialmente, es decir, solo cuando se proyecta sobre un eje. Si una fuerza actúa sobre un cuerpo, entonces su momento no se conserva. Pero siempre puedes elegir un eje de modo que la proyección de fuerza sobre este eje sea igual a cero. Entonces se conservará la proyección del impulso sobre este eje. Como regla general, este eje se elige a lo largo de la superficie a lo largo de la cual se mueve el cuerpo.

Caso multidimensional de FSI. Método vectorial

En los casos en que los cuerpos no se mueven a lo largo de una línea recta, en el caso general, para aplicar la ley de conservación del momento, es necesario describirla a lo largo de todos los ejes de coordenadas involucrados en el problema. Pero resolver un problema de este tipo se puede simplificar enormemente si se utiliza el método vectorial. Se utiliza si uno de los cuerpos está en reposo antes o después del impacto. Entonces la ley de conservación del momento se escribe de una de las siguientes maneras:

De las reglas para sumar vectores se deduce que los tres vectores en estas fórmulas deben formar un triángulo. Para los triángulos se aplica el teorema del coseno.

Los problemas con los cuerpos en movimiento en física, cuando la velocidad es mucho menor que la de la luz, se resuelven utilizando las leyes de la mecánica clásica o newtoniana. Uno de los conceptos importantes en él es el impulso. Los básicos en física se dan en este artículo.

¿Impulso o impulso?

Antes de dar las fórmulas para el momento de un cuerpo en física, familiaricémonos con este concepto. Por primera vez, la cantidad llamada impeto (impulso) fue utilizada en la descripción de sus obras por Galileo a principios del siglo XVII. Posteriormente, Isaac Newton le dio otro nombre: motus (movimiento). Dado que la figura de Newton tuvo una mayor influencia en el desarrollo de la física clásica que la figura de Galileo, inicialmente se acostumbraba hablar no del momento de un cuerpo, sino de la cantidad de movimiento.

Se entiende por cantidad de movimiento el producto de la velocidad de movimiento de un cuerpo por el coeficiente de inercia, es decir, por la masa. La fórmula correspondiente es:

Aquí p¯ es un vector cuya dirección coincide con v¯, pero el módulo es m veces mayor que el módulo v¯.

Cambio en el valor de p¯

Actualmente, el concepto de impulso se utiliza con menos frecuencia que el de impulso. Y este hecho está directamente relacionado con las leyes de la mecánica newtoniana. Escribámoslo en la forma que figura en los libros de texto de física de la escuela:

Reemplacemos la aceleración a¯ con la expresión correspondiente para la derivada de la velocidad, obtenemos:

Transfiriendo dt del denominador del lado derecho de la igualdad al numerador de la izquierda, obtenemos:

Obtuvimos un resultado interesante: además del hecho de que la fuerza actuante F¯ conduce a la aceleración del cuerpo (ver la primera fórmula de este párrafo), también cambia la magnitud de su movimiento. El producto de la fuerza por el tiempo, que está en el lado izquierdo, se llama impulso de fuerza. Resulta ser igual al cambio en p¯. Por lo tanto, la última expresión también se llama fórmula del momento en física.

Tenga en cuenta que dp¯ también lo es, pero, a diferencia de p¯, no se dirige como velocidad v¯, sino como fuerza F¯.

Un ejemplo sorprendente de un cambio en el vector de impulso (impulso) es la situación en la que un jugador de fútbol golpea la pelota. Antes del golpe la pelota se movía hacia el jugador, después del golpe se alejaba de él.

Ley de conservación del impulso.

Las fórmulas en física que describen la conservación del valor p¯ se pueden dar en varias versiones. Antes de escribirlas, respondamos la pregunta de cuándo se conserva el impulso.

Volvamos a la expresión del párrafo anterior:

Dice que si la suma de fuerzas externas que actúan sobre el sistema es cero (sistema cerrado, F¯= 0), entonces dp¯= 0, es decir, no ocurrirá ningún cambio en el momento:

Esta expresión es común al momento de un cuerpo y a la ley de conservación del momento en física. Notemos dos puntos importantes, que debes conocer para aplicar con éxito esta expresión en la práctica:

• El impulso se conserva a lo largo de cada coordenada, es decir, si antes de algún evento el valor de p x del sistema era 2 kg*m/s, luego de este evento será el mismo.
• El momento se conserva independientemente de la naturaleza de las colisiones de cuerpos sólidos en el sistema. Hay dos casos ideales de este tipo de colisiones: impactos absolutamente elásticos y absolutamente plásticos. En el primer caso, la energía cinética también se conserva, en el segundo, parte de ella se gasta en la deformación plástica de los cuerpos, pero el impulso aún se conserva.

Interacción elástica e inelástica de dos cuerpos.

Un caso especial del uso de la fórmula del momento en física y su conservación es el movimiento de dos cuerpos que chocan entre sí. Consideremos dos fundamentalmente diferentes casos, que fueron mencionados en el párrafo anterior.

Si el impacto es absolutamente elástico, es decir, la transferencia de impulso de un cuerpo a otro se realiza mediante deformación elástica, entonces la fórmula de conservación p se escribirá de la siguiente manera:

m 1 *v 1 + m 2 *v 2 = m 1 *u 1 + m 2 *u 2

Es importante recordar aquí que el signo de la velocidad debe sustituirse teniendo en cuenta su dirección a lo largo del eje considerado (las velocidades opuestas tienen diferentes signos). Esta fórmula muestra que, dado el estado inicial conocido del sistema (valores m 1, v 1, m 2, v 2), en el estado final (después de la colisión) existen dos incógnitas (u 1, u 2) . Puedes encontrarlos si utilizas la correspondiente ley de conservación de la energía cinética:

m 1 *v 1 2 + m 2 *v 2 2 = m 1 *u 1 2 + m 2 *u 2 2

Si el impacto es absolutamente inelástico o plástico, después de la colisión los dos cuerpos comienzan a moverse como un todo. En este caso se produce la expresión:

metro 1 *v 1 + metro 2 *v 2 = (metro 1 + metro 2)*u

Como se vio, estamos hablando acerca de sólo hay una incógnita (u), por lo que esta igualdad es suficiente para determinarla.

Momento de un cuerpo mientras se mueve en círculo.

Todo lo dicho anteriormente sobre el impulso se aplica a los movimientos lineales de los cuerpos. ¿Qué hacer si los objetos giran alrededor de un eje? Para ello se ha introducido en física otro concepto similar al de momento lineal. Se llama momento angular. La fórmula en física toma la siguiente forma:

Aquí r¯ es un vector igual a la distancia desde el eje de rotación a una partícula con momento p¯ que realiza movimientos circulares alrededor de este eje. La cantidad L¯ también es un vector, pero es algo más difícil de calcular que p¯, ya que estamos hablando de un producto vectorial.

Ley de conservación L¯

La fórmula para L¯, que se proporciona arriba, es la definición de esta cantidad. En la práctica, prefieren utilizar una expresión ligeramente diferente. No entraremos en detalles de cómo obtenerlo (no es difícil y cada uno puede hacerlo por su cuenta), pero se lo damos ahora mismo:

Aquí I es el momento de inercia (para un punto material es igual a m*r 2), que describe las propiedades de inercia de un objeto en rotación, ω¯ es la velocidad angular. Como puedes ver, esta ecuación tiene una forma similar a la del momento lineal p¯.

Si no actúan fuerzas externas sobre el sistema giratorio (de hecho, par), entonces el producto de I y ω¯ se conservará independientemente de los procesos que ocurran dentro del sistema. Es decir, la ley de conservación para L¯ tiene la forma:

Un ejemplo de su manifestación es la actuación de los deportistas de patinaje artístico cuando realizan giros sobre el hielo.

Cambian porque sobre cada uno de los cuerpos actúan fuerzas de interacción, pero la suma de los impulsos permanece constante. Se llama ley de conservación del impulso.

Segunda ley de Newton se expresa mediante la fórmula. Se puede escribir de otra manera, si recordamos que la aceleración es igual a la tasa de cambio en la velocidad de un cuerpo. Para un movimiento uniformemente acelerado, la fórmula será:

Si sustituimos esta expresión en la fórmula, obtenemos:

,

Esta fórmula se puede reescribir como:

El lado derecho de esta igualdad registra el cambio en el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. El producto de la masa corporal por la velocidad es cantidad física, Lo que es llamado impulso corporal o cantidad de movimiento corporal.

Impulso corporal Se llama producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. Esta es una cantidad vectorial. La dirección del vector momento coincide con la dirección del vector velocidad.

En otras palabras, un cuerpo de masa. metro, moverse con velocidad tiene impulso. La unidad SI de impulso es el impulso de un cuerpo que pesa 1 kg que se mueve a una velocidad de 1 m/s (kg m/s). Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, si el primero actúa sobre el segundo con una fuerza, entonces, según la tercera ley de Newton, el segundo actúa sobre el primero con una fuerza. Denotemos las masas de estos dos cuerpos por metro 1 y metro 2, y sus velocidades relativas a cualquier sistema de referencia a través de y. Con el tiempo t como resultado de la interacción de los cuerpos, sus velocidades cambiarán y se volverán iguales y . Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos:

,

,

Por eso,

Cambiemos los signos de ambos lados de la igualdad a sus opuestos y escribámoslos en la forma

En el lado izquierdo de la ecuación está la suma de los impulsos iniciales de dos cuerpos, en el lado derecho está la suma de los impulsos de los mismos cuerpos a lo largo del tiempo. t. Las cantidades son iguales. Entonces, a pesar de eso. que el impulso de cada cuerpo cambia durante la interacción, el impulso total (la suma de los impulsos de ambos cuerpos) permanece sin cambios.

Válido también cuando interactúan varios cuerpos. Sin embargo, es importante que estos cuerpos interactúen sólo entre sí y no se vean afectados por fuerzas de otros cuerpos no incluidos en el sistema (o que las fuerzas externas estén equilibradas). Un grupo de cuerpos que no interactúan con otros cuerpos se llama sistema cerrado Válido sólo para sistemas cerrados.