Mikset voi jakaa nollalla? Havainnollistava esimerkki. Mikset voi jakaa nollalla?

Matemaatikoilla on erityinen huumorintaju, ja joitain laskelmiin liittyviä asioita ei ole otettu vakavasti pitkään aikaan. Ei ole aina selvää, yrittävätkö he selittää sinulle täysin vakavissaan, miksi nollalla jakaminen on mahdotonta, vai onko tämä toinen vitsi. Mutta itse kysymys ei ole niin ilmeinen, jos alkematiikassa sen ratkaisu on mahdollista saavuttaa puhtaasti loogisesti, niin korkeammassa matematiikassa voi hyvinkin olla muita alkuehtoja.

Milloin nolla ilmestyi?

Numero nolla on täynnä monia mysteereitä:

• SISÄÄN Antiikin Rooma tätä numeroa ei tiedetty, viitejärjestelmä alkoi kirjaimella I.
• Oikeudesta tulla kutsutuksi nollan esivanhemmiksi pitkään aikaan Arabit ja intiaanit väittelivät.
• Maya-kulttuurin tutkimukset ovat osoittaneet, että tämä muinainen sivilisaatio voisi hyvinkin olla ensimmäinen nollan käytön suhteen.
• Nollalla ei ole numeerinen arvo, jopa minimaalisesti.
• Se ei merkitse kirjaimellisesti mitään, laskettavien asioiden puuttumista.

SISÄÄN primitiivinen järjestys sellaiselle hahmolle ei ollut erityistä tarvetta, jonkin puuttuminen voitiin selittää sanojen avulla. Mutta sivilisaatioiden nousun myötä ihmisten tarpeet ovat lisääntyneet myös arkkitehtuurin ja tekniikan suhteen.

Monimutkaisempien laskelmien tekeminen ja uusien funktioiden johtaminen vei numero, joka ilmaisee jonkin täydellisen puuttumisen.

Onko mahdollista jakaa nollalla?

Tällä tilillä on kaksi täysin vastakkaista mielipidettä:

Koulussa, jopa ala-asteella, opetetaan, että nollalla jakaminen on joka tapauksessa mahdotonta. Tämä selitetään hyvin yksinkertaisesti:

1. Kuvittele, että sinulla on 20 tangeriiniviipaletta.
2. Jakamalla ne viidellä, jaat 4 siivua viidelle ystävälle.
3. Nollalla jakaminen ei toimi, koska jonkun välinen jakoprosessi ei toimi.

Tietenkin tämä on kuvaannollinen selitys, suurelta osin yksinkertaistettu ja ei täysin vastaa todellisuutta. Mutta se selittää helpoimmalla tavalla jonkin nollalla jakamisen merkityksettömyyden.

Loppujen lopuksi tällä tavalla on mahdollista ilmaista jakautumisen puuttuminen. Ja miksi monimutkaistaa matemaattisia laskelmia ja kirjoittaa muistiin myös jaon puuttuminen?

Voidaanko nolla jakaa luvulla?

Sovellettavan matematiikan näkökulmasta millään jaolla, johon nolla osallistuu, ei ole paljon järkeä. Mutta koulukirjat ovat heidän mielestään yksiselitteisiä:

• Nolla voidaan jakaa.
• Mitä tahansa numeroa tulisi käyttää jakamiseen.
• Nollaa ei voi jakaa nollalla.

Kolmas kohta saattaa aiheuttaa pientä hämmennystä, koska vain muutaman kappaleen edellä todettiin, että tällainen jako on täysin mahdollinen. Itse asiassa kaikki riippuu kurinalaisuudesta, jolla teet laskelmia.

Tässä tapauksessa koululaisten on todella parempi kirjoittaa se ilmaisua ei voi määrittää ja siksi siinä ei ole järkeä. Mutta joillakin algebratieteen aloilla on sallittua kirjoittaa tällainen lauseke, jossa nolla jaetaan nollalla. varsinkin kun me puhumme tietokoneista ja ohjelmointikielistä.

Tarve jakaa nolla luvulla voi syntyä minkä tahansa yhtäläisyyden ratkaisun ja alkuarvojen etsimisen aikana. Mutta siinä tapauksessa vastaus on aina nolla. Tässä, kuten kertolaskussa, riippumatta siitä, millä luvulla jaat nollan, et päädy enempää kuin nolla. Siksi, jos tämä arvostettu luku havaitaan valtavassa kaavassa, yritä nopeasti "arvioida", pelkistyvätkö kaikki laskelmat hyvin yksinkertaiseksi ratkaisuksi.

Jos ääretön jaetaan nollalla

Äärettömän suuret ja äärettömän pienet arvot piti mainita hieman aikaisemmin, koska tämä avaa myös porsaanreikiä jakoa varten, mukaan lukien nollan käyttäminen. Se on totta, ja siinä on pieni pulma, koska äärettömän pieni arvo ja arvon täydellinen puuttuminen ovat eri käsitteitä.

Mutta tämä pieni ero olosuhteissamme voidaan jättää huomiotta, loppujen lopuksi laskelmat suoritetaan käyttämällä abstrakteja määriä:

• Osoittajassa on oltava ääretön merkki.
• Nimittäjät ovat symbolinen kuva arvosta, joka pyrkii nollaan.
• Vastaus on ääretön, joka edustaa äärettömän suurta funktiota.

On huomattava, että puhumme edelleen äärettömän pienen funktion symbolisesta näyttämisestä, emme nollan käyttämisestä. Mikään ei ole muuttunut tämän merkin kanssa, sitä ei edelleenkään voida jakaa siihen, vain hyvin, hyvin harvinaisina poikkeuksina.

Suurimmaksi osaksi nollaa käytetään ongelmien ratkaisemiseen puhtaasti teoreettinen taso. Ehkä vuosikymmenten tai jopa vuosisatojen jälkeen kaikki nykyaikainen tietojenkäsittely on käytännön käyttöä, ja ne tarjoavat jonkinlaisen suurenmoisen läpimurron tieteessä.

Sillä välin useimmat matemaattiset nerot haaveilevat vain maailman tunnustamisesta. Poikkeuksena näihin sääntöihin on maanmiehimme, Perelman. Mutta hänet tunnetaan todella käänteentekevän ongelman ratkaisun ansiosta Poinqueren arveluiden todisteiden ja ylellisen käytöksen ansiosta.

Paradokseja ja nollalla jakamisen merkityksettömyyttä

Nollalla jakamisessa ei ole suurimmaksi osaksi mitään järkeä:

• jako on edustettuna funktio kertolaskulle käänteinen.
• Voimme kertoa minkä tahansa luvun nollalla ja saada vastauksessa nolla.
• Samalla logiikalla mikä tahansa luku voitaisiin jakaa nollalla.
• Tällaisissa olosuhteissa ei olisi vaikeaa päätellä, että mikä tahansa luku kerrottuna tai jaettuna nollalla on yhtä suuri kuin mikä tahansa muu luku, jolle tämä operaatio suoritettiin.
• Hylkäämme matemaattisen toiminnon ja saamme mielenkiintoisen johtopäätöksen - mikä tahansa luku on yhtä suuri kuin mikä tahansa luku.

Tällaisten tapausten luomisen lisäksi nollalla jaolla ei ole käytännön arvoa, sanasta yleensä. Vaikka voit suorittaa tämän toiminnon, et saa mitään uutta tietoa.

Alkeismatematiikan näkökulmasta nollalla jakamisen aikana koko objekti jaetaan nolla kertaa, eli ei edes kerran. Yksinkertaisesti sanottuna - ei jakoprosessia, joten tämän tapahtuman tulos ei voi olla.

Matemaatikon kanssa samassa yhteiskunnassa voit aina kysyä pari banaalia kysymystä, esimerkiksi miksi et voi jakaa nollalla ja saada mielenkiintoisen ja ymmärrettävän vastauksen. Tai ärtyneisyys, koska tämä ei todennäköisesti ole ensimmäinen kerta, kun henkilöltä kysytään tätä. Eikä edes kymmentä. Pidä siis huolta matemaatikkoystävistäsi, äläkä pakota heitä toistamaan yhtä selitystä satoja kertoja.

Video: jaa nollalla

Tällä videolla matemaatikko Anna Lomakova kertoo, mitä tapahtuu, jos luku jaetaan nollalla ja miksi näin ei voi tehdä matematiikan näkökulmasta:

Jevgeni Shiryaev, luennoitsija ja ammattikorkeakoulun matematiikan laboratorion johtaja, kertoi AiF.ru:lle nollalla jaosta:

1. Asian toimivalta

Samaa mieltä, kielto antaa säännölle erityisen provokatiivisuuden. Miten se on mahdotonta? Kuka kielsi? Mutta entä kansalaisoikeutemme?

Venäjän federaation perustuslaki, rikoslaki tai edes koulusi peruskirja eivät vastusta meitä kiinnostavaa henkistä toimintaa. Tämä tarkoittaa, että kiellolla ei ole laillista voimaa, eikä mikään estä täällä, AiF.ru:n sivuilla, yrittämästä jakaa jotain nollalla. Esimerkiksi tuhat.

2. Jaa opetuksen mukaan

Muista, että kun opit jakamaan, ensimmäiset esimerkit ratkaistiin kertolaskulla: jakajalla kerrotun tuloksen piti vastata jaettavaa. Ei vastannut - ei päättänyt.

Esimerkki 1 1000: 0 =...

Unohdetaanpa kielletty sääntö hetkeksi ja yritetään useita kertoja arvata vastaus.

Väärä katkaisee shekin. Toista vaihtoehtoja: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Jokaiselle niistä testi antaa saman tuloksen:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0

Nolla kertomalla muuttaa kaiken itsestään eikä koskaan tuhanneksi. Johtopäätös on helppo muotoilla: mikään numero ei läpäise koetta. Toisin sanoen mikään luku ei voi olla seurausta nollasta poikkeavan luvun jakamisesta nollalla. Tällainen jako ei ole kiellettyä, mutta sillä ei yksinkertaisesti ole tulosta.

3. Vivahde

Melkein jäi yksi tilaisuus kumota kielto. Kyllä, ymmärrämme, että nollasta poikkeava luku ei ole jaollinen nollalla. Mutta ehkä 0 itse voi?

Esimerkki 2 0: 0 = ...

Ehdotuksiasi yksityiselle? 100? Ole hyvä: 100:n osamäärä kerrottuna 0:n jakajalla on yhtä suuri kuin 0:n jaollinen.

Lisää vaihtoehtoja! 1? Myös sopiva. Ja -23 ja 17 ja kaikki-kaikki. Tässä esimerkissä tuloksen tarkistus on positiivinen mille tahansa numerolle. Ja ollakseni rehellinen, tämän esimerkin ratkaisua ei pitäisi kutsua numeroksi, vaan numerosarjaksi. Kaikki. Eikä kestä kauan olla samaa mieltä siitä, että Alice ei ole Alice, vaan Mary Ann, ja molemmat ovat kanin unelma.

4. Entä korkeampi matematiikka?

Ongelma on ratkaistu, vivahteet huomioidaan, pisteet on sijoitettu, kaikki on selvää - mikään numero ei voi olla vastaus esimerkkiin, jossa on jako nollalla. Tällaisten ongelmien ratkaiseminen on toivotonta ja mahdotonta. Niin... mielenkiintoista! Tupla kaksi.

Esimerkki 3 Mieti kuinka jakaa 1000 nollalla.

Mutta ei mitenkään. Mutta 1000 voidaan helposti jakaa muilla luvuilla. No, tehdään ainakin mikä toimii, vaikka muutammekin tehtävää. Ja siellä, näet, me lähdemme mukaan, ja vastaus ilmestyy itsestään. Unohda nolla minuutiksi ja jaa sadalla:

Sata on kaukana nollasta. Otetaan askel sitä kohti pienentämällä jakajaa:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Ilmeinen dynamiikka: mitä lähempänä jakaja on nollaa, sitä suurempi osamäärä. Suuntausta voidaan tarkkailla edelleen siirtymällä murtolukuihin ja jatkamalla osoittajan pienentämistä:

On vielä huomattava, että voimme lähestyä nollaa niin lähelle kuin haluamme, jolloin osamäärästä tulee mielivaltaisen suuri.

Tässä prosessissa ei ole nollaa eikä viimeistä osamäärää. Osoitimme liikkeen niitä kohti korvaamalla luvun sekvenssillä, joka lähentyy meitä kiinnostavaan numeroon:

Tämä tarkoittaa samanlaista osingon korvaamista:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Nuolet ovat kaksipuolisia syystä: jotkin sekvenssit voivat konvergoida numeroiksi. Sitten voimme liittää sekvenssin sen numeeriseen rajaan.

Katsotaanpa osamäärän järjestystä:

Se kasvaa loputtomiin tavoittelematta lukua ja ylittäen yhtään. Matemaatikko lisää symboleja numeroihin ∞ voidaksesi laittaa kaksipuolisen nuolen tällaisen sekvenssin viereen:

Sekvenssien lukumäärän vertaaminen rajaan antaa meille mahdollisuuden ehdottaa ratkaisua kolmanteen esimerkkiin:

Jakamalla 1000:aan suppenevan jonon alkioittain positiivisten lukujen jonolla, joka suppenee nollaan, saadaan sekvenssi, joka suppenee arvoon ∞.

5. Ja tässä on vivahde kahdella nollalla

Mikä on tulos, kun jaetaan kaksi positiivisten lukujen sarjaa, jotka konvergoivat nollaan? Jos ne ovat samat, niin sama yksikkö. Jos sekvenssi-osinko konvergoi nollaan nopeammin, niin tietyssä sekvenssissä nollarajalla. Ja kun jakajan elementit pienenevät paljon nopeammin kuin osinko, osamäärä kasvaa voimakkaasti:

Epävarma tilanne. Ja niin sitä kutsutaan: muodon epävarmuus 0/0 . Kun matemaatikot näkevät sekvenssejä, jotka kuuluvat tällaisen epävarmuuden piiriin, he eivät kiirehdi jakamaan kahta identtistä lukua keskenään, vaan selvittävät, kumpi sarjoista juoksee nollaan nopeammin ja miten. Ja jokaisella esimerkillä on oma täsmällinen vastaus!

6. Elämässä

Ohmin laki koskee virtaa, jännitettä ja resistanssia piirissä. Se kirjoitetaan usein tässä muodossa:

Jättäkäämme huomioimatta tarkka fyysinen ymmärrys ja katsokaamme muodollisesti oikeaa puolta kahden luvun osamääränä. Kuvittele, että ratkaisemme koulun sähköongelman. Ehto on annettu voltteina ja vastus ohmeina. Kysymys on ilmeinen, päätös yhdellä toimella.

Katsotaanpa nyt suprajohtavuuden määritelmää: tämä on tiettyjen metallien ominaisuus olla nolla sähkövastus.

No, ratkaistaanko suprajohtavan piirin ongelma? Laita se vain niin R= 0 ei toimi, fysiikka nostaa esiin mielenkiintoisen ongelman, jonka takana ilmeisesti on tieteellinen löytö. Ja ihmiset, jotka onnistuivat jakamaan nollalla tässä tilanteessa, saivat Nobel palkinto. On hyödyllistä pystyä ohittamaan kaikki kiellot!

Joten lapset olivat ymmällään, minun piti sukeltaa tyrneteihin, löytää joukko ilmeisen harhaanjohtavia selityksiä ja sokeuttaa omani, myös ilmeisen epätäydellinen, onnistuneesti testattu nuoremmalla kymmenenvuotiaalla. Saattaa olla hyötyä jollekin:
"Kaikki tietävät koulusta, että nollalla ei voi jakaa. Ja miksi? Eikö opettaja salli?

Ehkä sinun on toimittava vitsillä:

Miksi juot konjakkia? Lääkäri käski olla tekemättä.

Annoin hänelle rahaa ja hän antoi minun.

On yllättävää, miksi koulu ei heti selitä, että nollalla jako on matemaattinen operaatio korkeamman matematiikan alalta, mutta perusmatematiikassa mahdotonta tässä tapauksessa syntyvän epävarmuuden vuoksi. Muuten klonollalla kertominen on myös korkeammasta matematiikasta, eli taas sarjasta "lapset, tätä ei voi ymmärtää, se pitää vain muistaa."

Itse asiassa tämä kaikki ei ole niin vaikea ymmärtää. Alkeismatematiikassa saadaan melko varmoja tuloksia, esim. 2x3=6, ja jos jaamme tuloksen yhdellä tekijöistä, niin saadaan selkeästi toinen tekijä: 6:3=2 tai 6:2=3.

Mutta toimet nollalla eivät ole niin yksiselitteisiä. Mikä tahansa luku "y" kerrotaan nollalla: Yх0=0. Nyt jaetaan tulos yhdellä tekijöistä 0:Y=0 tai 0:0=Y, jolloin saadaan mikä tahansa luku, eli epämääräinen tulos.

Miksi tämä tapahtuu? Voit päästä lähemmäksi tämän ymmärtämistä joutumatta edes korkeamman matematiikan viidakkoon joukkoteorioiden, äärettömyyden operaatioiden, kompleksilukujen ja niin edelleen.

Yllättäen aivan kuten väärän "kertotaulukon" kanssa, alkeisasioita ei jostain syystä selitetä koulussa: on kvantitatiivisia (kardinaali) ja järjestyslukuja (järjestyslukuja). Esimerkiksi, käsitteet" 10 asuntoa" - määrällinen ja "huoneisto numero 10" - järjestys, aivan ilmeisestieroavat jyrkästi. Kvantitatiivinen "10 asuntoa" voidaan jakaa, lisätä ja suorittaa muita toimintoja alkeismatematiikan sääntöjen mukaisesti, mikä antaa täysin selvän kvantitatiivisen tuloksen.

Mutta järjestysnumero 10 (asunto nro 10) samoilla toimilla ei anna mitään määrällistä tulosta, asunto on silti yksi, vain toinen. Matemaattiset toiminnot järjestysnumeroita tarvitaan esimerkiksi silloin, kun sinun on välittömästi laskettava, missä kerroksessa tarvitsemasi asunto sijaitsee, eikä ajaa hissillä "satunnaisesti". Katsomme edellisen sisäänkäynnin viimeistä asuntonumeroa, vähennämme tarvitsemamme asunnon numerosta ja jaamme tuloksen kerroksen asuntojen lukumäärällä. Voitto!

Kuvaannollisesti sanottuna, jos et ymmärrä eroa määrällisten ja järjestyslukujen välillä, niin kun lisäät 10 asuntoa ja asunnon numero 10, saat 20 asuntoa ja asunto numero 20.

Nolla on siis hyvin erikoinenjärjestysnumero, joka määritelmän mukaan ei voi olla määrällinen.Nolla on tärkein vertailupiste, raja, jolla ei ole kokoa.Lisäksi se on piste, ei segmentti.

Luonnollisten ja kuvitteellisten (negatiivisten) lukujen geometrinen esitys on segmenttejä eli suoran osia, joita rajoittavat pisteet, joilla ei ole kokoa. Jos ne, kuten segmentit, voidaan jakaa mielivaltaisen pieniksi segmenteiksi, niin alkeismatematiikan pistettä ei ole enää mahdollista jakaa sen määritelmän mukaan, että sillä ei ole kokoa.

Tästä syystä vivahteet ajan myötä. Pitäisierottaa hetken nimeäminen, aika-asteikon piste ja aikaväli - tällä asteikolla oleva segmentti nollan ja määrätyn ajanhetken pisteen välillä. Esimerkiksi kun puhumme iästä, tarkoitamme samaakuinka monta vuotta hän eli ja mikä vuosi jatkuu, minkä vuoden elinvuotena. Mutta kysymään nykyinen aika tarpeellista" paljonko kello nyt on " (järjestys), eikä "kuinka kauan" (määrällinen), koska "kuinka kauan" tarkoittaa joidenkin prosessien kestoa - ruoanlaitto, liikkuminen jne.

"Et voi jakaa nollalla!" - useimmat opiskelijat muistavat tämän säännön ulkoa, kysymättä kysymyksiä. Kaikki lapset tietävät, mitä "ei" on ja mitä tapahtuu, jos kysyt vastauksena siihen: "Miksi? Mutta itse asiassa on erittäin mielenkiintoista ja tärkeää tietää, miksi se on mahdotonta.

Asia on siinä, että aritmeettiset neljä operaatiota - yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku - ovat itse asiassa eriarvoisia. Matemaatikot tunnustavat niistä vain kaksi täysimittaiseksi - yhteen- ja kertolasku. Nämä operaatiot ja niiden ominaisuudet sisältyvät jo lukukäsitteen määritelmään. Kaikki muut toiminnot rakentuvat tavalla tai toisella näistä kahdesta.

Harkitsemme esimerkiksi vähentämistä. Mitä 5-3 tarkoittaa? Opiskelija vastaa tähän yksinkertaisesti: sinun on otettava viisi esinettä, otettava pois (poistettava) niistä kolme ja katsottava kuinka monta on jäljellä. Mutta matemaatikot tarkastelevat tätä ongelmaa täysin eri tavalla. Ei vähennystä, on vain yhteenlaskua. Siksi 5 - 3 kirjoittaminen tarkoittaa lukua, joka, kun se lisätään numeroon 3, antaa luvun 5. Eli 5 - 3 on vain yhtälön lyhennetty merkintä: x 3 \u003d 5. Ei vähennyslaskua. tämä yhtälö. On vain tehtävä - löytää sopiva numero.

Sama pätee kerto- ja jakolaskuihin. Tietue 8: 4 voidaan ymmärtää tuloksena kahdeksan esineen jakamisesta neljään yhtä suureen kasaan. Mutta todellisuudessa tämä on vain yhtälön 4 * x = 8 lyhennetty muoto.

Tässä tulee selväksi, miksi on mahdotonta (tai pikemminkin mahdotonta) jakaa nollalla. Tietue 5: 0 on lyhenne luvusta 0 * x = 5. Tämä tehtävä on siis löytää luku, joka kerrottuna 0:lla antaa 5. mutta tiedämme, että kun kerrotaan 0:lla, se on aina 0 Tämä on nollan luontainen ominaisuus, tarkasti ottaen osa sen määritelmää.

Sellaista lukua ei yksinkertaisesti ole, joka kerrottuna 0:lla antaisi jotain muuta kuin nollan. Eli ongelmallamme ei ole ratkaisua. (Kyllä, niin tapahtuu, ei jokaiseen ongelmaan ole ratkaisua.) Joten 5:0 kirjoittaminen ei vastaa mitään tiettyä numeroa, eikä se yksinkertaisesti tarkoita mitään, joten siinä ei ole järkeä. Tämän merkinnän merkityksettömyys ilmaistaan ​​lyhyesti sanomalla, että nollalla ei voi jakaa.

Tarkkaimmat lukijat kysyvät tässä vaiheessa varmasti: onko mahdollista jakaa nolla nollalla? Todellakin, yhtälö 0 * x = 0 on ratkaistu onnistuneesti. Voit esimerkiksi ottaa x = 0, ja sitten saamme 0 * 0 = 0. Eli 0: 0=0? Mutta älkäämme kiirettäkö. Yritetään ottaa x = 1. saamme 0 * 1 = 0. eikö? Eli 0:0 = 1? Mutta voit ottaa minkä tahansa luvun tällä tavalla ja saada 0: 0 = 5, 0: 0 = 317 jne.

Mutta jos mikä tahansa numero on sopiva, meillä ei ole mitään syytä valita yhtäkään niistä. Eli emme voi sanoa, mitä numeroa merkintä 0: 0 vastaa. Ja jos on, niin meidän on pakko myöntää, ettei tämäkään merkintä ole järkevä. Osoittautuu, että edes nollaa ei voida jakaa nollalla. (Matemaattisessa analyysissä on tapauksia, joissa ongelman lisäehtojen vuoksi voidaan antaa etusija jollekin vaihtoehtoja yhtälön ratkaisu 0 * x = 0; sellaisissa tapauksissa matemaatikot puhuvat "epävarmuuden paljastamisesta", mutta aritmetiikassa tällaisia ​​tapauksia ei esiinny. Tässä on ominaisuus jakotoiminnasta. Tarkemmin sanottuna kertolaskuoperaatiossa ja siihen liittyvässä luvussa on nolla.

No, tarkimmat, tähän asti lukeneet, voivat kysyä: miksi et voi jakaa nollalla, mutta voit vähentää nollasta? Tietyssä mielessä todellinen matematiikka alkaa tästä. Siihen voidaan vastata vain tutustumalla numeeristen joukkojen muodollisiin matemaattisiin määritelmiin ja niiden operaatioihin. Se ei ole niin vaikeaa, mutta jostain syystä sitä ei opeteta koulussa. Mutta yliopiston matematiikan luennoilla he ensinnäkin opettavat sinulle juuri tämän.

Kouluaritmetiikassa kaikki matemaattiset operaatiot suoritetaan reaaliluvuilla. Näiden lukujen joukolla (tai jatkuvalla järjestetyllä kentällä) on useita ominaisuuksia (aksioomia): kerto- ja yhteenlaskujen kommutatiivisuus ja assosiaatio, nolla-, yksi-, vasta- ja käänteisalkioiden olemassaolo. Myös järjestyksen ja jatkuvuuden aksioomat soveltuvat vertaileva analyysi, voit määrittää reaalilukujen kaikki ominaisuudet.

Koska jako on kertolaskujen käänteinen, syntyy väistämättä kaksi ratkaisematonta ongelmaa, kun reaaliluvut jaetaan nollalla. Ensinnäkin nollalla jakamisen tuloksen tarkistamisessa kertolaskulla ei ole numeerista lauseketta. Olipa osamäärä mikä tahansa luku, jos se kerrotaan nollalla, osinkoa ei saada. Toiseksi, 0:0-esimerkissä täysin mikä tahansa luku voi toimia vastauksena, joka jakajalla kerrottuna muuttuu aina nollaksi.

Jako nollalla korkeammassa matematiikassa

Luetteloidut vaikeudet nollalla jakamisessa johtivat tämän operaation tabuun, ainakin koulukurssin puitteissa. Kuitenkin sisään korkeampaa matematiikkaa löytää keinoja kiertää tämä kielto.

Esimerkiksi rakentamalla toinen algebrallinen rakenne, joka eroaa tutusta lukujonosta. Esimerkki tällaisesta rakenteesta on pyörä. Täällä on lakeja ja määräyksiä. Erityisesti jakoa ei ole sidottu kertolaskuun ja se muunnetaan binäärioperaatiosta (kahdella argumentilla) unaarioperaatioksi (yhdellä argumentilla), jota merkitään symbolilla /x.

Reaalilukukentän laajeneminen johtuu hyperreaalilukujen käyttöönotosta, joka kattaa äärettömän suuria ja äärettömän pieniä määriä. Tämä lähestymistapa antaa meille mahdollisuuden pitää termiä "ääretön" tiettynä lukuna. Lisäksi tämä numero, kun numeroviiva laajenee, menettää merkkinsä ja muuttuu idealisoiduksi pisteeksi, joka yhdistää tämän viivan kaksi päätä. Tätä lähestymistapaa voidaan verrata päivämäärän vaihtoriville, jolloin kahden aikavyöhykkeen UTC + 12 ja UTC-12 välillä liikkuessa voit löytää itsesi seuraavasta tai edellisestä päivästä. Samalla siitä tulee oikea väite x/0=∞ mille tahansa x≠0:lle.

Epävarmuuden 0/0 poistamiseksi pyörä otetaan käyttöön uusi elementti⏊=0/0. Samaan aikaan tällä algebrallisella rakenteella on omat vivahteensa: 0 x≠0; x-x≠0 yleisessä tapauksessa. Myös x·/x≠1, koska jakoa ja kertolaskua ei pidetä enää käänteisoperaatioina. Mutta nämä pyörän ominaisuudet selitetään hyvin distributiivisen lain identiteetin avulla, joka toimii tällaisessa algebrallisessa rakenteessa hieman eri tavalla. Tarkempia selityksiä löytyy erikoiskirjallisuudesta.

Algebra, johon kaikki ovat tottuneet, on itse asiassa enemmän erikoistapaus monimutkaiset järjestelmät esimerkiksi sama pyörä. Kuten näet, korkeammassa matematiikassa on mahdollista jakaa nollalla. Tämä edellyttää tavanomaisten lukujen, algebrallisten operaatioiden ja niiden noudattamien lakien rajojen ylittämistä. Vaikka tämä on täysin luonnollinen prosessi, joka liittyy kaikkiin uuden tiedon etsimiseen.