13.10.2021
Análisis matemático para principiantes. ¿Cómo resolver límites para dummies? El concepto de límite en matemáticas.
Un montón de fórmulas terribles, manuales de matemáticas superiores que abres y cierras de inmediato, la dolorosa búsqueda de una solución a un problema aparentemente muy simple... Esta situación no es infrecuente, especialmente cuando se abrió por última vez un libro de texto de matemáticas en el distante 11.° grado. Mientras tanto, en las universidades, los planes de estudios de muchas especialidades contemplan el estudio de las matemáticas superiores favoritas de todos. Y en esta situación, a menudo te sientes como una tetera completa frente a un montón de terribles tonterías matemáticas. Es más, una situación similar puede darse en el estudio de cualquier materia, especialmente del ciclo de ciencias naturales.
¿Qué hacer? Para un estudiante de tiempo completo, todo es mucho más sencillo, a menos que, por supuesto, el tema no esté muy descuidado. Puede consultar a un maestro, compañeros de clase y simplemente escribir a un vecino en el escritorio. Incluso una tetera llena de matemáticas superiores sobrevivirá a la sesión en tales escenarios.
Y si una persona está estudiando en el departamento de correspondencia de una universidad, y es poco probable que se requieran matemáticas superiores, por decirlo suavemente, en el futuro. Además, no hay tiempo para clases. Así es, en la mayoría de los casos, así, pero nadie canceló la realización de las pruebas y la aprobación del examen (la mayoría de las veces, escrito). Con las pruebas en matemáticas superiores, todo es más fácil, ya seas una tetera o no una tetera. se puede pedir examen de matematicas. Por ejemplo, tengo. También se pueden pedir otros artículos. Ya no aquí. Pero la implementación y el envío de documentos de prueba para su revisión aún no conducirán a la codiciada entrada en el libro de calificaciones. A menudo sucede que una obra de arte, hecha por encargo, necesita ser defendida, y es necesario explicar por qué de estas cartas se sigue esa fórmula. Además, se acercan los exámenes, y ahí ya tendrás que resolver determinantes, límites y derivadas DE FORMA INDEPENDIENTE. A menos, por supuesto, que el maestro no acepte obsequios valiosos, o que no haya un simpatizante contratado fuera del aula.
Déjame darte un consejo muy importante. En las pruebas, exámenes de ciencias exactas y naturales, ES MUY IMPORTANTE ENTENDER ALGO. Recuerda, AL MENOS ALGO. La ausencia total de procesos de pensamiento simplemente enfurece al maestro, conozco casos en los que los estudiantes a tiempo parcial estaban envueltos 5-6 veces. Recuerdo que un joven pasó la prueba 4 veces y, después de cada repetición, recurrió a mí para una consulta de garantía gratuita. Al final, noté que en la respuesta escribió la letra “pe” en lugar de la letra “pi”, lo que fue seguido de severas sanciones por parte del revisor. El estudiante NI SIQUIERA QUERÍA MIRAR la tarea, que casualmente reescribió
Puedes ser un tonto completo en matemáticas superiores, pero es muy deseable saber que la derivada de una constante es igual a cero. Porque si responde alguna estupidez a una pregunta elemental, entonces existe una alta probabilidad de que sus estudios en la universidad terminen para usted. Los profesores son mucho más favorables al alumno que AL MENOS INTENTA comprender el tema, al que, aunque sea por error, trata de resolver, explicar o probar algo. Y esta afirmación es cierta para todas las disciplinas. Por lo tanto, la posición "No sé nada, no entiendo nada" debe ser resueltamente rechazada.
El segundo consejo importante es ASISTIR A LAS CONFERENCIAS, aunque no sean muchas. Ya mencioné esto en la página principal del sitio. Matemáticas para estudiantes por correspondencia. No tiene sentido repetir por qué es MUY importante, lea allí.
Entonces, ¿qué hacer si hay una prueba en la nariz, un examen de matemáticas superiores y las cosas son deplorables: el estado de una tetera llena o, más bien, vacía?
Una opción es contratar a un tutor. La mayor base de datos de tutores se puede encontrar (principalmente Moscú) o (principalmente San Petersburgo). Usando un motor de búsqueda, es muy probable que encuentre un tutor en su ciudad, o busque en los periódicos locales de publicidad. El precio de los servicios de un tutor puede variar de 400 o más rublos por hora, según las calificaciones del maestro. Cabe señalar que barato no significa malo, especialmente si tienes una buena formación matemática. Al mismo tiempo, por 2-3K rublos obtendrás MUCHO. En vano nadie toma tal dinero, y en vano nadie paga tal dinero ;-). El único punto importante: trate de elegir un tutor con una educación pedagógica especializada. Y de hecho, no vamos al dentista por ayuda legal.
Recientemente, el servicio de tutoría en línea está ganando popularidad. Es muy conveniente cuando necesitas resolver urgentemente uno o dos problemas, comprender un tema o prepararte para un examen. La ventaja indudable son los precios, que son varias veces más bajos que los de un tutor fuera de línea + ahorro de tiempo en los viajes, lo cual es especialmente importante para los residentes de las megaciudades.
En el curso de matemáticas superiores, es muy difícil dominar algunas cosas sin un tutor, solo necesita una explicación "en vivo".
Sin embargo, es bastante posible comprender muchos tipos de problemas por su cuenta, y el propósito de esta sección del sitio es enseñarle cómo resolver ejemplos y problemas típicos que casi siempre se encuentran en los exámenes. Además, para una serie de tareas existen algoritmos "duros", donde no hay escapatoria de la solución correcta. Y, según mi leal saber y entender, intentaré ayudarlo, especialmente porque tengo una educación pedagógica y experiencia laboral en mi especialidad.
Vamos a empezar a rastrillar el galimatías matemático. Está bien, incluso si eres una tetera, las matemáticas superiores son realmente simples y realmente accesibles.
Y debe comenzar repitiendo el curso escolar de matemáticas. La repetición es la madre del dolor.
Antes de comenzar a estudiar mis materiales metodológicos y, en general, comenzar a estudiar cualquier material en matemáticas superiores, RECOMIENDO ENCARECIDAMENTE que lea lo siguiente.
Para resolver con éxito problemas en matemáticas superiores, DEBE:
CONSIGA UNA MICROCALCULADORA.
De los programas - Excel (¡una excelente elección!). Subí el manual para "dummies" a la biblioteca.
¿Comer? Ya bueno.
– De la reordenación de los términos - la suma no cambia: .
Pero estas son cosas completamente diferentes:
Es simplemente imposible reorganizar "x" y "cuatro". Al mismo tiempo, recordamos la letra icónica "x", que en matemáticas significa un valor desconocido o variable.
– Al reorganizar los factores, el producto no cambia: .
Con la división, tal truco no funcionará, y estas son dos fracciones completamente diferentes, y reorganizar el numerador con el denominador no está exento de consecuencias.
También recordamos que el signo de multiplicación ("puntos") a menudo no se escribe:,
– Recuerde las reglas para expandir corchetes:
- aquí los signos de los términos no cambian
- y aquí están al revés.
Y para la multiplicación: 
En general, basta recordar que DOS MENOS DA UN MÁS, A TRES MENOS - DAR MENOS. Y, procura no confundirte en esto a la hora de resolver problemas de matemáticas superiores (un error muy frecuente y molesto).
– Recuerde la reducción de términos semejantes, Debe tener una buena comprensión de la siguiente operación:
– Recuerda lo que es un grado:
, , 
, 
.
Un grado es solo una multiplicación ordinaria.
–Recuerda que las fracciones se pueden reducir: (reducido por 2), (reducido por cinco), (reducido por ).
– Recuerda acciones con fracciones:
y también, una regla muy importante para reducir fracciones a un denominador común: 
Si estos ejemplos no son claros, consulte los libros de texto escolares.
Sin esto, será DIFÍCIL.
CONSEJO: todos los cálculos INTERMEDIOS en matemáticas superiores se realizan mejor en FRACCIONES ORDINARIAS CORRECTAS E IRREGULARES, incluso si son fracciones aterradoras como . Esta fracción NO DEBE representarse como , y, además, NO divida el numerador por el denominador en la calculadora, obteniendo 4.334552102 ....
La EXCEPCIÓN a la regla es la respuesta final de la tarea, entonces es mejor escribir o.
– La ecuacion. Tiene un lado izquierdo y un lado derecho. Por ejemplo:
Puede transferir cualquier término a otra parte cambiando su signo:
Movamos, por ejemplo, todos los términos al lado izquierdo:
O a la derecha:
Un montón de fórmulas terribles, manuales de matemáticas superiores que abres y cierras de inmediato, la dolorosa búsqueda de una solución a un problema aparentemente muy simple... Esta situación no es infrecuente, especialmente cuando se abrió por última vez un libro de texto de matemáticas en el distante 11.° grado. Mientras tanto, en las universidades, los planes de estudios de muchas especialidades contemplan el estudio de las matemáticas superiores favoritas de todos. Y en esta situación, a menudo te sientes como una tetera completa frente a un montón de terribles tonterías matemáticas. Es más, una situación similar puede darse en el estudio de cualquier materia, especialmente del ciclo de ciencias naturales.
¿Qué hacer? Para un estudiante de tiempo completo, todo es mucho más sencillo, a menos que, por supuesto, el tema no esté muy descuidado. Puede consultar a un maestro, compañeros de clase y simplemente escribir a un vecino en el escritorio. Incluso una tetera llena de matemáticas superiores sobrevivirá a la sesión en tales escenarios.
Y si una persona está estudiando en el departamento de correspondencia de una universidad, y es poco probable que se requieran matemáticas superiores, por decirlo suavemente, en el futuro. Además, no hay tiempo para clases. Así es, en la mayoría de los casos, así, pero nadie canceló la realización de las pruebas y la aprobación del examen (la mayoría de las veces, escrito). Con las pruebas en matemáticas superiores, todo es más fácil, ya seas una tetera o no una tetera. se puede pedir examen de matematicas. Por ejemplo, tengo. También se pueden pedir otros artículos. Ya no aquí. Pero la implementación y el envío de documentos de prueba para su revisión aún no conducirán a la codiciada entrada en el libro de calificaciones. A menudo sucede que una obra de arte, hecha por encargo, necesita ser defendida, y es necesario explicar por qué de estas cartas se sigue esa fórmula. Además, se acercan los exámenes, y ahí ya tendrás que resolver determinantes, límites y derivadas DE FORMA INDEPENDIENTE. A menos, por supuesto, que el maestro no acepte obsequios valiosos, o que no haya un simpatizante contratado fuera del aula.
Déjame darte un consejo muy importante. En las pruebas, exámenes de ciencias exactas y naturales, ES MUY IMPORTANTE ENTENDER ALGO. Recuerda, AL MENOS ALGO. La ausencia total de procesos de pensamiento simplemente enfurece al maestro, conozco casos en los que los estudiantes a tiempo parcial estaban envueltos 5-6 veces. Recuerdo que un joven pasó la prueba 4 veces y, después de cada repetición, recurrió a mí para una consulta de garantía gratuita. Al final, noté que en la respuesta escribió la letra “pe” en lugar de la letra “pi”, lo que fue seguido de severas sanciones por parte del revisor. El estudiante NI SIQUIERA QUERÍA MIRAR la tarea, que casualmente reescribió
Puedes ser un tonto completo en matemáticas superiores, pero es muy deseable saber que la derivada de una constante es igual a cero. Porque si responde alguna estupidez a una pregunta elemental, entonces existe una alta probabilidad de que sus estudios en la universidad terminen para usted. Los profesores son mucho más favorables al alumno que AL MENOS INTENTA comprender el tema, al que, aunque sea por error, trata de resolver, explicar o probar algo. Y esta afirmación es cierta para todas las disciplinas. Por lo tanto, la posición "No sé nada, no entiendo nada" debe ser resueltamente rechazada.
El segundo consejo importante es ASISTIR A LAS CONFERENCIAS, aunque no sean muchas. Ya mencioné esto en la página principal del sitio. Matemáticas para estudiantes por correspondencia. No tiene sentido repetir por qué es MUY importante, lea allí.
Entonces, ¿qué hacer si hay una prueba en la nariz, un examen de matemáticas superiores y las cosas son deplorables: el estado de una tetera llena o, más bien, vacía?
Una opción es contratar a un tutor. La mayor base de datos de tutores se puede encontrar (principalmente Moscú) o (principalmente San Petersburgo). Usando un motor de búsqueda, es muy probable que encuentre un tutor en su ciudad, o busque en los periódicos locales de publicidad. El precio de los servicios de un tutor puede variar de 400 o más rublos por hora, según las calificaciones del maestro. Cabe señalar que barato no significa malo, especialmente si tienes una buena formación matemática. Al mismo tiempo, por 2-3K rublos obtendrás MUCHO. En vano nadie toma tal dinero, y en vano nadie paga tal dinero ;-). El único punto importante: trate de elegir un tutor con una educación pedagógica especializada. Y de hecho, no vamos al dentista por ayuda legal.
Recientemente, el servicio de tutoría en línea está ganando popularidad. Es muy conveniente cuando necesitas resolver urgentemente uno o dos problemas, comprender un tema o prepararte para un examen. La ventaja indudable son los precios, que son varias veces más bajos que los de un tutor fuera de línea + ahorro de tiempo en los viajes, lo cual es especialmente importante para los residentes de las megaciudades.
En el curso de matemáticas superiores, es muy difícil dominar algunas cosas sin un tutor, solo necesita una explicación "en vivo".
Sin embargo, es bastante posible comprender muchos tipos de problemas por su cuenta, y el propósito de esta sección del sitio es enseñarle cómo resolver ejemplos y problemas típicos que casi siempre se encuentran en los exámenes. Además, para una serie de tareas existen algoritmos "duros", donde no hay escapatoria de la solución correcta. Y, según mi leal saber y entender, intentaré ayudarlo, especialmente porque tengo una educación pedagógica y experiencia laboral en mi especialidad.
Vamos a empezar a rastrillar el galimatías matemático. Está bien, incluso si eres una tetera, las matemáticas superiores son realmente simples y realmente accesibles.
Y debe comenzar repitiendo el curso escolar de matemáticas. La repetición es la madre del dolor.
Antes de comenzar a estudiar mis materiales metodológicos y, en general, comenzar a estudiar cualquier material en matemáticas superiores, RECOMIENDO ENCARECIDAMENTE que lea lo siguiente.
Para resolver con éxito problemas en matemáticas superiores, DEBE:
CONSIGA UNA MICROCALCULADORA.
De los programas - Excel (¡una excelente elección!). Subí el manual para "dummies" a la biblioteca.
¿Comer? Ya bueno.
– De la reordenación de los términos - la suma no cambia: .
Pero estas son cosas completamente diferentes:
Es simplemente imposible reorganizar "x" y "cuatro". Al mismo tiempo, recordamos la letra icónica "x", que en matemáticas significa un valor desconocido o variable.
– Al reorganizar los factores, el producto no cambia: .
Con la división, tal truco no funcionará, y estas son dos fracciones completamente diferentes, y reorganizar el numerador con el denominador no está exento de consecuencias.
También recordamos que el signo de multiplicación ("puntos") a menudo no se escribe:,
– Recuerde las reglas para expandir corchetes:
- aquí los signos de los términos no cambian
- y aquí están al revés.
Y para la multiplicación: 
En general, basta recordar que DOS MENOS DA UN MÁS, A TRES MENOS - DAR MENOS. Y, procura no confundirte en esto a la hora de resolver problemas de matemáticas superiores (un error muy frecuente y molesto).
– Recuerde la reducción de términos semejantes, Debe tener una buena comprensión de la siguiente operación:
– Recuerda lo que es un grado:
, , , 
.
Un grado es solo una multiplicación ordinaria.
–Recuerda que las fracciones se pueden reducir: (reducido por 2), (reducido por cinco), (reducido por ).
– Recuerda acciones con fracciones:
y también, una regla muy importante para reducir fracciones a un denominador común: 
Si estos ejemplos no son claros, consulte los libros de texto escolares.
Sin esto, será DIFÍCIL.
CONSEJO: todos los cálculos INTERMEDIOS en matemáticas superiores se realizan mejor en FRACCIONES ORDINARIAS CORRECTAS E IRREGULARES, incluso si son fracciones aterradoras como . Esta fracción NO DEBE representarse como , y, además, NO divida el numerador por el denominador en la calculadora, obteniendo 4.334552102 ....
La EXCEPCIÓN a la regla es la respuesta final de la tarea, entonces es mejor escribir o.
– La ecuacion. Tiene un lado izquierdo y un lado derecho. Por ejemplo:
Puede transferir cualquier término a otra parte cambiando su signo:
Movamos, por ejemplo, todos los términos al lado izquierdo:
O a la derecha:
Para los que quieran aprender a encontrar los límites en este artículo hablaremos de ello. No profundizaremos en la teoría, generalmente se da en conferencias por parte de los profesores. Entonces, la "teoría aburrida" debe estar delineada en sus cuadernos. Si este no es el caso, puede leer libros de texto tomados de la biblioteca de la institución educativa o en otros recursos de Internet.
Entonces, el concepto de límite es bastante importante en el estudio del curso de matemáticas superiores, especialmente cuando te encuentras con el cálculo integral y comprendes la relación entre el límite y la integral. En el material actual, se considerarán ejemplos simples, así como formas de resolverlos.
Ejemplos de solución
| Ejemplo 1 |
| Calcula a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Solución |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ A menudo nos envían estos límites pidiendo ayuda para resolverlos. Decidimos resaltarlos como un ejemplo separado y explicar que estos límites simplemente deben recordarse, como regla. Si no puede resolver su problema, envíenoslo. Proporcionaremos una solución detallada. Podrá familiarizarse con el progreso del cálculo y recopilar información. ¡Esto lo ayudará a obtener un crédito del maestro de manera oportuna! |
| Respuesta |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \to \to 0) \frac (1)(x) = 0 $$ |
Qué hacer con la incertidumbre de la forma: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Ejemplo 3 |
| Resolver $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Solución |
|
Como siempre, comenzamos sustituyendo el valor de $ x $ en la expresión debajo del signo de límite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ ¿Que sigue? ¿Cuál debería ser el resultado? Como esto es una incertidumbre, esto todavía no es una respuesta y continuamos con el cálculo. Como tenemos un polinomio en los numeradores, lo descomponemos en factores usando la fórmula familiar $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. ¿Recordado? ¡Excelente! Ahora ve y aplícalo con la canción :) Obtenemos que el numerador $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Seguimos resolviendo dada la transformación anterior: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Respuesta |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Llevemos el límite de los dos últimos ejemplos al infinito y consideremos la incertidumbre: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Ejemplo 5 |
| Calcula $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Solución |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ ¿Qué hacer? ¿Cómo ser? No entres en pánico, porque lo imposible es posible. Es necesario quitar los corchetes tanto en el numerador como en el denominador X, y luego reducirlo. Después de eso, trata de calcular el límite. Intentando... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Usando la definición del Ejemplo 2 y sustituyendo infinito por x, obtenemos: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Respuesta |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Algoritmo para el cálculo de límites
Entonces, resumamos brevemente los ejemplos analizados y hagamos un algoritmo para resolver los límites:
- Sustituye el punto x en la expresión que sigue al signo de límite. Si se obtiene un cierto número, o el infinito, entonces el límite se resuelve por completo. De lo contrario, tenemos incertidumbre: "cero dividido por cero" o "infinito dividido por infinito" y pasamos a los siguientes párrafos de la instrucción.
- Para eliminar la incertidumbre "cero dividido por cero" necesitas factorizar el numerador y el denominador. Reducir similares. Sustituye el punto x en la expresión debajo del signo de límite.
- Si la incertidumbre es "infinito dividido por infinito", entonces sacamos tanto en el numerador como en el denominador x de mayor grado. Acortamos las x. Sustituimos los valores de x por debajo del límite en la expresión restante.
En este artículo, te familiarizaste con los conceptos básicos de resolución de límites, que se usan a menudo en el curso de Cálculo. Por supuesto, estos no son todos los tipos de problemas que ofrecen los examinadores, sino solo los límites más simples. Hablaremos sobre otros tipos de tareas en futuros artículos, pero primero debe aprender esta lección para poder continuar. Discutiremos qué hacer si hay raíces, grados, estudiaremos funciones equivalentes infinitesimales, límites maravillosos, la regla de L'Hopital.
Si no puede descubrir los límites por su cuenta, no entre en pánico. ¡Siempre estamos felices de ayudar!
La categoría Cálculo contiene lecciones gratuitas en video en línea sobre este tema. El análisis matemático es un conjunto de ramas de las matemáticas que se ocupan del estudio de funciones y sus generalizaciones utilizando los métodos de cálculo diferencial e integral. Estos incluyen: análisis funcional, incluida la teoría de la integral de Lebesgue, análisis complejo (TFKP), que estudia funciones definidas en el plano complejo, la teoría de series e integrales multidimensionales, análisis no estándar, que estudia números infinitesimales e infinitamente grandes, análisis vectorial y cálculo de variaciones. Aprender cálculo a partir de lecciones en video será útil tanto para principiantes como para matemáticos más experimentados. Puede ver lecciones en video de la sección Análisis matemático de forma gratuita en cualquier momento conveniente. Algunas lecciones en video sobre análisis matemático tienen materiales adicionales que se pueden descargar. ¡Feliz aprendizaje!
Materiales totales: 12
Materiales mostrados: 1-10
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Análisis matemático para dummies. Lección 1. Conjuntos.
El concepto de un conjunto
Un montón de es una colección de algunos objetos. ¿Qué pueden ser conjuntos? Primero, finito o infinito. Por ejemplo, el conjunto de fósforos en una caja es un conjunto finito, se pueden tomar y contar. La cantidad de granos de arena en la playa es mucho más difícil de contar, pero, en principio, posible. Y esta cantidad está expresada por algún número finito. Tantos granos de arena en la playa, por supuesto. Pero el conjunto de puntos de una recta es un conjunto infinito. Ya que, en primer lugar, la línea en sí es infinita y puedes ponerle tantos puntos como quieras. El conjunto de puntos en un segmento de línea también es infinito. Porque teóricamente un punto puede ser arbitrariamente pequeño. Por supuesto, no podemos dibujar físicamente un punto, por ejemplo, más pequeño que el tamaño de un átomo, pero, desde el punto de vista de las matemáticas, un punto no tiene tamaño. Su tamaño es cero. ¿Qué sucede cuando divides un número por cero? Así es, infinito. Y aunque el conjunto de puntos de una recta y de un segmento tiende a infinito, esto no es lo mismo. Un conjunto no es una cantidad de algo allí, sino una colección de cualquier objeto. Y solo aquellos conjuntos que contienen exactamente los mismos objetos se consideran iguales. Si un conjunto contiene los mismos objetos que otro conjunto, pero más un objeto "izquierdo", entonces estos ya no son conjuntos iguales.
Considere un ejemplo. Digamos que tenemos dos conjuntos. El primero es la colección de todos los puntos en la línea. El segundo es el conjunto de todos los puntos de un segmento de línea recta. ¿Por qué no son iguales? En primer lugar, es posible que un segmento de línea y una línea recta ni siquiera se crucen. Entonces ciertamente no son iguales, ya que contienen puntos completamente diferentes. Si se cruzan, entonces solo tienen un punto en común. Todos los demás son igual de diferentes. ¿Qué pasa si el segmento se encuentra en una línea recta? Entonces todos los puntos del segmento son también puntos de la recta. Pero no todos los puntos de una recta son puntos de un segmento de recta. Entonces, en este caso, los conjuntos no pueden considerarse iguales (idénticos).
Cada conjunto está definido por una regla que determina de forma única si un elemento pertenece a este conjunto o no. ¿Cuáles podrían ser estas reglas? Por ejemplo, si el conjunto es finito, puedes enumerar tontamente todos sus objetos. Puede establecer un rango. Por ejemplo, todos los números enteros del 1 al 10. Este también será un conjunto finito, pero aquí no enumeramos sus elementos, sino que formulamos una regla. O la desigualdad, por ejemplo, todos los números son mayores que 10. Esto ya será un conjunto infinito, ya que es imposible nombrar el número más grande; no importa a qué número llamemos, siempre existe este número más 1.
Por regla general, los conjuntos se denotan con letras mayúsculas del alfabeto latino A, B, C, etc. Si el conjunto consta de elementos específicos y queremos definirlo como una lista de estos elementos, podemos encerrar esta lista entre llaves, por ejemplo A=(a, b, c, d). Si a es un elemento del conjunto A, entonces esto se escribe de la siguiente manera: a Î A. Si a no es un elemento del conjunto A, entonces escribe un Ï A. Uno de los conjuntos importantes es el conjunto N de todos los números naturales N=(1,2,3,...,) . También hay un conjunto especial llamado vacío, que no contiene un solo elemento. El conjunto vacío se denota con el símbolo Æ .
Definición 1 (definición de igualdad de conjuntos). Conjuntos A y B son iguales si constan de los mismos elementos, es decir, si de xí A sigue a x í B y viceversa, de x í B sigue a x í A.
Formalmente, la igualdad de dos conjuntos se escribe de la siguiente manera:
(A=B) := " X (( X Î A ) Û (X Î B )),
Esto significa que para cualquier objeto x las relaciones xÎ a y xО B son equivalentes.
Aquí " es el cuantificador universal (" Xdice "para cada X").
Definición 2 (definición de subconjunto). Un montón de A es un subconjunto del conjunto EN Si alguna X perteneciente al conjunto A, pertenece al conjunto EN. Formalmente, esto se puede expresar como una expresión:
(A Ì B) := " X((X Î A) Þ (X Î B))
si un Ì B pero A ¹ B, entonces A es un subconjunto propio del conjunto EN. Como ejemplo, nuevamente, se pueden citar una línea recta y un segmento. Si un segmento se encuentra en una recta, entonces el conjunto de sus puntos es un subconjunto de los puntos de esta recta. O, otro ejemplo. El conjunto de números enteros que son divisibles por 3 es un subconjunto del conjunto de números enteros.
Comentario. El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto.
Operaciones sobre conjuntos
Las siguientes operaciones son posibles en conjuntos:
Una asociación. La esencia de esta operación es combinar dos conjuntos en uno que contenga elementos de cada uno de los conjuntos combinados. Formalmente, se ve así:
C=AÈ B:= {x:x Î A o xÎ B}
Ejemplo. Resolvamos la desigualdad | 2 X+ 3 | > 7.
Implica o bien la desigualdad 2x+3 >7, para 2x+3≥0, entonces x>2
o desigualdad 2x+3<-7, для 2x+3 <0, тогда x<-5.
El conjunto de soluciones de esta desigualdad es la unión de conjuntos (-∞,-5) È (2, ∞).
Vamos a revisar. Calculemos el valor de la expresión | 2 X+ 3 | para varios puntos, mentir y no mentir en el rango dado:
| X | | 2 X+ 3 | |
| -10 | 17 |
| -6 | 9 |
| -5 | 7 |
| -4 | 5 |
| -2 | 1 |
| 0 | 3 |
| 1 | 5 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Como puede ver, todo se decidió correctamente (los rangos de borde están marcados en rojo).
intersección. La intersección es la operación de crear un nuevo conjunto de dos elementos que contienen que están incluidos en ambos conjuntos. Para visualizar esto, imaginemos que tenemos dos conjuntos de puntos en el plano, a saber, la figura A y la figura B. Su intersección denota la figura C; este es el resultado de la operación de intersección de conjuntos:
Formalmente, la operación de intersección de conjuntos se escribe de la siguiente manera:
C=A ÇB:= (x:x Î A y x О B )
Ejemplo. Tengamos un conjunto Entonces C=A ÇB = {5,6,7}
Sustracción. La resta de conjuntos es la exclusión del conjunto sustraído de aquellos elementos que están contenidos en el sustraendo y el restador:
Formalmente, la resta de un conjunto se escribe de la siguiente manera:
A\B:={x:x Î a y xÏ B}
Ejemplo. Que tengamos muchos A=(1,2,3,4,5,6,7), B=(5,6,7,8,9,10). Entonces C=A\ B = { 1,2,3,4}
Suma. El complemento es una operación unaria (una operación no en dos, sino en un conjunto). Esta operación es el resultado de restar el conjunto dado del conjunto universal completo (el conjunto que incluye a todos los demás conjuntos).
A := (x:x О U y x П A) = U \ A
Gráficamente, esto se puede representar como:
diferencia simétrica. A diferencia de la diferencia habitual, con una diferencia simétrica de conjuntos, solo quedan aquellos elementos que están presentes en uno u otro conjunto. O, en términos simples, se crea a partir de dos conjuntos, pero aquellos elementos que están en ambos conjuntos están excluidos de él:
Matemáticamente, esto se puede expresar de la siguiente manera:
A D B:= (A\B) È ( LICENCIADO EN LETRAS) = (A È B) \ (A Ç B)
Propiedades de las operaciones sobre conjuntos.
De las definiciones de unión e intersección de conjuntos se sigue que las operaciones de intersección y unión tienen las siguientes propiedades:
- conmutatividad.
A
È
B=BÈ
A
AÇ
B=BÇ
A
- Asociatividad.
(A
È
B)
È
C=AÈ
( B
È
C)
(A
Ç
B)
Ç
do = unÇ
( B
Ç
C)
