12.10.2019

Kartion kokonaispinta-ala ja tilavuus. Kartion sivuttaisen ja koko pinnan pinta-ala

Takaisin eteenpäin

Huomio! Dian esikatselu on tarkoitettu vain tiedoksi, eikä se välttämättä edusta esityksen koko laajuutta. Jos olet kiinnostunut tästä työstä, lataa täysversio.

Oppitunnin tyyppi: oppitunti uuden materiaalin opiskelusta ongelmaa kehittävän opetusmenetelmän elementeillä.

Oppitunnin tavoitteet:

kognitiivinen:
- tutustuminen uuteen matemaattiseen käsitteeseen;
- uuden ZUN:n muodostuminen;
- käytännön taitojen muodostuminen ongelmien ratkaisemiseksi.
kehitetään:
- opiskelijoiden itsenäisen ajattelun kehittäminen;
- taitojen kehitys oikea puhe koulu lapset.
koulutuksellinen:
- ryhmätyötaitojen kehittäminen.

Oppitunnin varusteet: magneettitaulu, tietokone, valkokangas, multimediaprojektori, kartiomalli, oppituntiesitys, moniste.

Oppitunnin tavoitteet (opiskelijoille):

tutustu uuteen geometriseen käsitteeseen - kartioon;
johda kaava kartion pinta-alan laskemiseksi;
oppia soveltamaan hankittua tietoa käytännön ongelmien ratkaisussa.

Tuntien aikana

lavastan. Organisatorinen.

Muistikirjojen lähettäminen käsitellystä aiheesta kotitestityöllä.

Opiskelijoita pyydetään selvittämään tulevan oppitunnin aihe ratkaisemalla rebus (dia 1):

Kuva 1.

Oppilaille tiedottaminen oppitunnin aiheesta ja tavoitteista (dia 2).

II vaihe. Uuden materiaalin selitys.

1) Opettajan luento.

Taululla on pöytä, jossa on kartiokuva. uutta materiaalia selitetään oheisessa ohjelmamateriaalissa "Stereometria". Näyttöön tulee kolmiulotteinen kuva kartiosta. Opettaja määrittelee kartion, puhuu sen elementeistä. (dia 3). Sanotaan, että kartio on kappale, joka muodostuu suorakulmaisen kolmion kiertymisestä jalkaan nähden. (diat 4, 5). Näkyviin tulee kuva kartion sivupinnan kehityksestä. (dia 6)

2) Käytännön työ.

Päivittää perustieto: toista kaavat ympyrän alueen, sektorin alueen, ympyrän kehän, ympyrän kaaren pituuden laskemiseksi. (diat 7-10)

Luokka on jaettu ryhmiin. Jokainen ryhmä saa skannauksen paperista leikatun kartion sivupinnasta (ympyräsektori, jolla on määrätty numero). Opiskelijat suorittavat tarvittavat mittaukset ja laskevat tuloksena olevan sektorin pinta-alan. Näytölle ilmestyvät työnteko-ohjeet, kysymykset - ongelmalausekkeet (diat 11-14). Jokaisen ryhmän edustaja kirjoittaa laskelmien tulokset taululle laadittuun taulukkoon. Jokaisen ryhmän osallistujat liimaavat kartion mallin omasta kehitystyöstään. (dia 15)

3) Ongelman selvitys ja ratkaisu.

Kuinka laskea kartion sivupinta-ala, jos tunnetaan vain kartion kannan säde ja generatrixin pituus? (dia 16)

Jokainen ryhmä tekee tarvittavat mittaukset ja yrittää saada kaavan tarvittavan pinta-alan laskemiseksi käytettävissä olevien tietojen perusteella. Tätä työtä tehdessään opiskelijoiden tulee huomata, että kartion pohjan ympärysmitta on yhtä suuri kuin sektorin kaaren pituus - tämän kartion sivupinnan kehitys. (diat 17-21) Tarvittavia kaavoja käyttämällä johdetaan haluttu kaava. Opiskelijoiden päättelyn pitäisi näyttää suunnilleen tältä:

Sektorin säde - pyyhkäisy on yhtä suuri kuin l, kaaren astemitta on φ. Sektorin pinta-ala lasketaan kaavalla: tätä sektoria rajoittavan kaaren pituus on yhtä suuri kuin kartion R kannan säde. Kartion pohjalla olevan ympyrän pituus on C = 2πR . Huomaa, että koska kartion sivupinnan pinta-ala on yhtä suuri kuin sen sivupinnan kehitysalue, niin

Joten kartion sivupinnan pinta-ala lasketaan kaavalla S BOD = πRl.

Kun kartiomallin sivupinta-ala on laskettu itsenäisesti johdetun kaavan mukaan, kunkin ryhmän edustaja kirjoittaa laskelmien tuloksen taululle mallinumeroiden mukaisesti. Laskentatulosten on oltava kullakin rivillä yhtä suuret. Tämän perusteella opettaja määrittää kunkin ryhmän päätelmien oikeellisuuden. Tulostaulukon pitäisi näyttää tältä:

Malli nro.	minä tehtävänä	II tehtävä

	(125/3)π ~ 41,67π

	(425/9)π ~ 47,22π
	(539/9)π ~ 59,89π

Mallin parametrit:

l = 12 cm, φ = 120°
l = 10 cm, φ = 150°
l = 15 cm, φ = 120°
l = 10 cm, φ = 170°
l = 14 cm, φ = 110°

Laskelmien approksimaatio liittyy mittausvirheisiin.

Kun tulokset on tarkistettu, näytölle ilmestyy kartion sivu- ja täyspintojen pinta-alojen kaavojen tulos. (diat 22-26) opiskelijat tekevät muistiinpanoja vihkoissa.

III vaihe. Tutkitun materiaalin konsolidointi.

1) Opiskelijoille tarjotaan valmiiden piirustusten suullisen ratkaisun tehtävät.

Etsi kuvissa esitettyjen kartioiden kokonaispintojen pinta-alat (diat 27-32).

2) Kysymys: Ovatko yhden suorakulmaisen kolmion eri jalkojen ympäri kiertämällä muodostuneiden kartioiden pintojen pinta-alat yhtä suuret? Oppilaat tekevät hypoteesin ja testaavat sen. Hypoteesin testaus suoritetaan tehtäviä ratkaisemalla ja opiskelija kirjoittaa sen taululle.

Annettu:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

BAA", ABV" - vallankumouksen elimet.

Löytö: S PPC 1 , S PPC 2 .

Kuva 5 (dia 33)

Ratkaisu:

1) R = BC = a; S PPC 1 = S BOD 1 + S pää 1 = π a c + π a 2 \u003d π a (a + c).

2) R = AC = b; S PPC 2 = S BOD 2 + S pää 2 = π b c + π b 2 \u003d π b (b + c).

Jos S PPC 1 = S PPC 2, niin a 2 + ac \u003d b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc \u003d 0, (a-b) (a + b + c) \u003d 0. Koska a, b, c positiiviset luvut (kolmion sivujen pituudet), tore-yhtälö on tosi vain jos a =b.

Johtopäätös: Kahden kartion pintojen pinta-alat ovat yhtä suuret vain, jos kolmion jalat ovat yhtä suuret. (dia 34)

3) Tehtävän ratkaisu oppikirjasta: nro 565.

IV vaihe. Yhteenveto oppitunnista.

Kotitehtävät: s. 55, 56; nro 548, nro 561. (dia 35)

Arvosanojen ilmoitus.

Johtopäätökset oppitunnin aikana, oppitunnilla saadun tärkeimmän tiedon toisto.

Kirjallisuus (dia 36)

Geometrian arvosanat 10–11 - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., Enlightenment, 2008.
"Matemaattiset palapelit ja charades" - N.V. Udaltsov, kirjasto "Syyskuun ensimmäinen", sarja "MATEMATIIKA", numero 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Koulussa opitut vallankumouksen ruumiit ovat sylinteri, kartio ja pallo.

Jos matematiikan USE-tehtävässä sinun on laskettava kartion tilavuus tai pallon pinta-ala, pidä itseäsi onnekas.

Käytä kaavoja sylinterin, kartion ja pallon tilavuudelle ja pinta-alalle. Kaikki ne ovat pöydässämme. Oppia ulkoa. Tästä stereometrian tuntemus alkaa.

Joskus on hyvä piirtää ylhäältä katsottuna. Tai, kuten tässä ongelmassa, alhaalta.

2. Kuinka monta kertaa suurempi on säännöllisen nelikulmaisen pyramidin lähellä olevan kartion tilavuus kuin tähän pyramidiin piirretyn kartion tilavuus?

Kaikki on yksinkertaista - piirrämme näkymän alhaalta. Näemme, että suuremman ympyrän säde on useita kertoja suurempi kuin pienemmän. Molempien kartioiden korkeus on sama. Siksi suuremman kartion tilavuus on kaksi kertaa suurempi.

Toinen tärkeä pointti. Muista, että osan B tehtävissä KÄYTÄ vaihtoehtoja matematiikassa vastaus kirjoitetaan kokonaislukuna tai äärellisenä desimaaliluku. Siksi sinun ei pitäisi olla mitään tai vastauksessasi osassa B. Numeron likimääräisen arvon korvaaminen ei myöskään ole välttämätöntä! Sitä on vähennettävä! Juuri tätä varten joissakin tehtävissä tehtävä muotoillaan esimerkiksi seuraavasti: "Etsi sylinterin sivupinnan pinta-ala jaettuna".

Ja missä muualla käytetään kaavoja pyörimiskappaleiden tilavuuden ja pinta-alan suhteen? Tietysti tehtävässä C2 (16). Kerromme sinulle myös siitä.

Tiedämme mikä kartio on, yritetään löytää sen pinta-ala. Miksi tällainen ongelma on ratkaistava? Sinun on esimerkiksi ymmärrettävä, kuinka paljon taikinaa menee vohvelikartion tekemiseen? Tai kuinka monta tiiliä tarvitaan linnan tiilikaton laskemiseen?

Kartion sivupinta-alan mittaaminen ei ole helppoa. Mutta kuvittele sama sarvi kankaaseen käärittynä. Kangaspalan alueen löytämiseksi sinun on leikattava se ja asetettava se pöydälle. Saamme litteän hahmon, voimme löytää sen alueen.

Riisi. 1. Kartion leikkaus generatriisia pitkin

Tehdään sama kartion kanssa. Leikkaa se sivupinta esimerkiksi mitä tahansa generaattoria pitkin (katso kuva 1).

Nyt "rullaamme" sivupinnan tasolle. Saamme sektorin. Tämän sektorin keskipiste on kartion yläosa, sektorin säde on yhtä suuri kuin kartion generaattori ja sen kaaren pituus on sama kuin kartion pohjan kehän. Tällaista sektoria kutsutaan kartion sivupinnan kehitykseksi (katso kuva 2).

Riisi. 2. Sivupinnan kehitys

Riisi. 3. Kulman mittaus radiaaneina

Yritetään löytää sektorin alue saatavilla olevien tietojen mukaan. Ensin otetaan käyttöön merkintä: olkoon sektorin yläosassa oleva kulma radiaaneina (katso kuva 3).

Kohtaamme usein tehtävien pyyhkäisyn yläosassa olevan kulman. Sillä välin yritetään vastata kysymykseen: eikö tämä kulma voi olla yli 360 astetta? Eli eikö käy ilmi, että pyyhkäisy asettuu päällekkäin? Ei tietenkään. Todistetaan se matemaattisesti. Anna pyyhkäisyn "päällekkäin" itsensä. Tämä tarkoittaa, että pyyhkäisykaaren pituus on suurempi kuin säteen ympärysmitta. Mutta kuten jo mainittiin, pyyhkäisykaaren pituus on säteen ympärysmitta. Ja kartion pohjan säde on tietysti pienempi kuin esimerkiksi generatrix, koska suorakulmaisen kolmion jalka on pienempi kuin hypotenuusa

Muistetaan sitten kaksi kaavaa planimetrian kurssista: kaaren pituus. Toimialan alue: .

Meidän tapauksessamme roolia esittää generatrix , ja kaaren pituus on yhtä suuri kuin kartion pohjan ympärysmitta, eli. Meillä on:

Lopulta saamme:

Sivupinta-alan lisäksi voidaan löytää myös kokonaispinta-ala. Voit tehdä tämän lisäämällä pohjan sivupinta-alaan. Mutta kanta on ympyrä säde , jonka pinta-ala kaavan mukaan on .

Lopulta meillä on: , missä on sylinterin pohjan säde, on generatrix.

Ratkaistaan pari tehtävää annetuilla kaavoilla.

Riisi. 4. Haluttu kulma

Esimerkki 1. Kartion sivupinnan kehitys on sektori, jonka kärjessä on kulma. Määritä tämä kulma, jos kartion korkeus on 4 cm ja pohjan säde on 3 cm (katso kuva 4).

Riisi. 5. Suorakulmainen kolmio muodostaen kartion

Ensimmäisellä toiminnolla Pythagoraan lauseen mukaan löydämme generatriisin: 5 cm (katso kuva 5). Lisäksi tiedämme sen .

Esimerkki 2. Kartion aksiaalisen leikkauksen pinta-ala on , korkeus on . Etsi kokonaispinta-ala (katso kuva 6).