El teorema de Vieta (más precisamente, el teorema recíproco del teorema Vieta) te permite reducir el tiempo para resolver ecuaciones cuadráticas. Sólo necesitas saber cómo usarlo. ¿Cómo aprender a resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta? No es difícil si lo piensas un poco.

Ahora solo hablaremos de la solución mediante el teorema de Vieta de la ecuación cuadrática reducida. ecuación cuadrática es una ecuación en la que a, es decir, el coeficiente de x², es igual a uno. También es posible resolver ecuaciones cuadráticas que no están dadas usando el teorema de Vieta, pero al menos una de las raíces no es un número entero. Son más difíciles de adivinar.

El teorema inverso al teorema de Vieta dice: si los números x1 y x2 son tales que

entonces x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática

Al resolver una ecuación cuadrática usando el teorema de Vieta, solo son posibles 4 opciones. Si recuerdas la línea de razonamiento, podrás aprender a encontrar raíces completas muy rápidamente.

I. Si q es un número positivo,

esto significa que las raíces x1 y x2 son números del mismo signo (ya que sólo multiplicar números con el mismo signo produce un número positivo).

I a. Si -p es un número positivo, (respectivamente, pág.<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Si p - un numero negativo, (respectivamente, p>0), entonces ambas raíces son números negativos (sumamos números del mismo signo y obtuvimos un número negativo).

II. Si q es un número negativo,

esto significa que las raíces x1 y x2 tienen signos diferentes (al multiplicar números, se obtiene un número negativo solo cuando los signos de los factores son diferentes). En este caso, x1+x2 ya no es una suma, sino una diferencia (después de todo, al sumar números con diferentes signos restamos el módulo más pequeño del más grande). Por lo tanto, x1+x2 muestra cuánto difieren las raíces x1 y x2, es decir, cuánto es mayor una raíz que la otra (en valor absoluto).

II.a. Si -p es un número positivo, (es decir, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Si -p es un número negativo, (p>0), entonces la raíz más grande (módulo) es un número negativo.

Consideremos resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta usando ejemplos.

Resuelve la ecuación cuadrática dada usando el teorema de Vieta:

Aquí q=12>0, entonces las raíces x1 y x2 son números del mismo signo. Su suma es -p=7>0, por lo que ambas raíces son números positivos. Seleccionamos números enteros cuyo producto es igual a 12. Estos son 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4. La suma es 7 para el par 3 y 4. Esto significa que 3 y 4 son las raíces de la ecuación.

En este ejemplo, q=16>0, lo que significa que las raíces x1 y x2 son números del mismo signo. Su suma es -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Aquí q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, entonces el número mayor es positivo. Entonces las raíces son 5 y -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

En matemáticas existen técnicas especiales con las que se pueden resolver muchas ecuaciones cuadráticas muy rápidamente y sin discriminantes. Además, con la formación adecuada, muchos empiezan a resolver ecuaciones cuadráticas de forma oral, literalmente "a primera vista".

Desafortunadamente, en el curso moderno de matemáticas escolares, estas tecnologías casi no se estudian. ¡Pero necesitas saberlo! Y hoy veremos una de estas técnicas: el teorema de Vieta. Primero, introduzcamos una nueva definición.

Una ecuación cuadrática de la forma x 2 + bx + c = 0 se llama reducida. Tenga en cuenta que el coeficiente para x 2 es 1. No existen otras restricciones sobre los coeficientes.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 es una ecuación cuadrática reducida;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - también reducido;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - pero esto no se da en absoluto, ya que el coeficiente de x 2 es igual a 2.

Por supuesto, cualquier ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0 se puede reducir; simplemente divida todos los coeficientes por el número a. Siempre podemos hacer esto, ya que la definición de ecuación cuadrática implica que a ≠ 0.

Es cierto que estas transformaciones no siempre serán útiles para encontrar raíces. A continuación nos aseguraremos de que esto se haga sólo cuando en la ecuación final dada por el cuadrado todos los coeficientes sean números enteros. Por ahora, veamos los ejemplos más simples:

Tarea. Convierte la ecuación cuadrática a la ecuación reducida:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Dividamos cada ecuación por el coeficiente de la variable x 2. Obtenemos:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - dividió todo entre 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - dividido por −4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - dividido por 1,5, todos los coeficientes se convirtieron en números enteros;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x − 5,5 = 0 - dividido por 2. En este caso, aparecieron coeficientes fraccionarios.

Como puedes ver, las ecuaciones cuadráticas anteriores pueden tener coeficientes enteros incluso si la ecuación original contenía fracciones.

Ahora formulemos el teorema principal, para el cual, de hecho, se introdujo el concepto de ecuación cuadrática reducida:

Teorema de Vieta. Considere la ecuación cuadrática reducida de la forma x 2 + bx + c = 0. Suponga que esta ecuación tiene raíces reales x 1 y x 2. En este caso, las siguientes afirmaciones son ciertas:

1. x 1 + x 2 = −b. En otras palabras, la suma de las raíces de la ecuación cuadrática dada es igual al coeficiente de la variable x, tomado con el signo opuesto;
2. x 1 x 2 = c. El producto de las raíces de una ecuación cuadrática es igual al coeficiente libre.

Ejemplos. Por simplicidad, consideraremos sólo las ecuaciones cuadráticas anteriores que no requieren transformaciones adicionales:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x1x2 = 20; raíces: x 1 = 4; x2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; raíces: x 1 = 3; x2 = −5;
3. x2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x 1 x 2 = 4; raíces: x 1 = −1; x2 = −4.

El teorema de Vieta nos brinda información adicional sobre las raíces de una ecuación cuadrática. A primera vista, esto puede parecer difícil, pero incluso con un mínimo de formación aprenderás a “ver” las raíces y literalmente a adivinarlas en cuestión de segundos.

Tarea. Resuelve la ecuación cuadrática:

1. x2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Intentemos escribir los coeficientes usando el teorema de Vieta y "adivinar" las raíces:

1. x 2 − 9x + 14 = 0 es una ecuación cuadrática reducida.
   Según el teorema de Vieta tenemos: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Es fácil ver que las raíces son los números 2 y 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - también reducido.
   Según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. De ahí las raíces: 3 y 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - esta ecuación no se reduce. Pero ahora corregiremos esto dividiendo ambos lados de la ecuación por el coeficiente a = 3. Obtenemos: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Resolvemos usando el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ raíces: −10 y −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - nuevamente el coeficiente para x 2 no es igual a 1, es decir ecuación no dada. Dividimos todo por el número a = −7. Obtenemos: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Según el teorema de Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x1x2 = 30; A partir de estas ecuaciones es fácil adivinar las raíces: 5 y 6.

Del razonamiento anterior queda claro cómo el teorema de Vieta simplifica la solución de ecuaciones cuadráticas. Sin cálculos complicados, sin raíces aritméticas ni fracciones. Y ni siquiera necesitábamos un discriminante (ver la lección “Resolver ecuaciones cuadráticas”).

Por supuesto, en todas nuestras reflexiones partimos de dos supuestos importantes que, en general, no siempre se cumplen en los problemas reales:

1. La ecuación cuadrática se reduce, es decir el coeficiente para x 2 es 1;
2. La ecuación tiene dos raíces diferentes. Desde un punto de vista algebraico, en este caso el discriminante es D > 0; de hecho, inicialmente asumimos que esta desigualdad es cierta.

Sin embargo, en problemas matemáticos típicos se cumplen estas condiciones. Si el cálculo da como resultado una ecuación cuadrática "mala" (el coeficiente de x 2 es diferente de 1), esto se puede corregir fácilmente; mire los ejemplos al comienzo de la lección. Generalmente guardo silencio sobre las raíces: ¿qué clase de problema es éste que no tiene respuesta? Por supuesto que habrá raíces.

Así, el esquema general para resolver ecuaciones cuadráticas utilizando el teorema de Vieta es el siguiente:

1. Reducir la ecuación cuadrática a la dada, si esto aún no se ha hecho en el planteamiento del problema;
2. Si los coeficientes de la ecuación cuadrática anterior son fraccionarios, los resolvemos usando el discriminante. Incluso puedes volver a la ecuación original para trabajar con números más "útiles";
3. En el caso de coeficientes enteros, resolvemos la ecuación usando el teorema de Vieta;
4. Si no puedes adivinar las raíces en unos segundos, olvídate del teorema de Vieta y resuelve usando el discriminante.

Tarea. Resuelve la ecuación: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Entonces, tenemos ante nosotros una ecuación que no se reduce, porque coeficiente a = 5. Dividimos todo por 5, obtenemos: x 2 − 7x + 10 = 0.

Todos los coeficientes de la ecuación cuadrática son números enteros; intentemos resolverlos usando el teorema de Vieta. Tenemos: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. En este caso, las raíces son fáciles de adivinar: son 2 y 5. No es necesario contar usando el discriminante.

Tarea. Resuelve la ecuación: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Miremos: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - esta ecuación no se reduce, dividamos ambos lados por el coeficiente a = −5. Obtenemos: x 2 − 1,6x + 0,48 = 0 - una ecuación con coeficientes fraccionarios.

Es mejor volver a la ecuación original y contar hasta el discriminante: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x2 = 0,4.

Tarea. Resuelve la ecuación: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Primero, dividamos todo por el coeficiente a = 2. Obtenemos la ecuación x 2 + 5x − 300 = 0.

Esta es la ecuación reducida, según el teorema de Vieta tenemos: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. En este caso, es difícil adivinar las raíces de una ecuación cuadrática; personalmente, me quedé muy atascado al resolver este problema.

Tendrás que buscar raíces a través del discriminante: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Si no recuerdas la raíz del discriminante, solo señalaré que 1225: 25 = 49. Por lo tanto, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Ahora que se conoce la raíz del discriminante, resolver la ecuación no es difícil. Obtenemos: x 1 = 15; x2 = −20.

El teorema de Vieta se utiliza a menudo para comprobar raíces que ya se han encontrado. Si has encontrado las raíces, puedes usar las fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular los valores de \(p \) y \(q\ ). Y si resultan ser iguales que en la ecuación original, entonces las raíces se encuentran correctamente.

Por ejemplo, usando , resolvamos la ecuación \(x^2+x-56=0\) y obtengamos las raíces: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Comprobemos si cometimos un error en el proceso de solución. En nuestro caso, \(p=1\), y \(q=-56\). Por el teorema de Vieta tenemos:

\(\begin(casos)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(casos)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(casos)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Ambas afirmaciones convergieron, lo que significa que resolvimos la ecuación correctamente.

Esta verificación se puede realizar de forma oral. Te llevará 5 segundos y te salvará de errores estúpidos.

Teorema inverso de Vieta

Si \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), entonces \(x_1\) y \(x_2\) son las raíces de la ecuación cuadrática \ (x^ 2+px+q=0\).

O de forma sencilla: si tienes una ecuación de la forma \(x^2+px+q=0\), entonces resolviendo el sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) encontrarás sus raíces.

Gracias a este teorema, puedes encontrar rápidamente las raíces de una ecuación cuadrática, especialmente si estas raíces son . Esta habilidad es importante porque ahorra mucho tiempo.

Ejemplo . Resuelve la ecuación \(x^2-5x+6=0\).

Solución : Usando el teorema inverso de Vieta, encontramos que las raíces satisfacen las condiciones: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Mira la segunda ecuación del sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). ¿En qué dos se puede descomponer el número \(6\)? En \(2\) y \(3\), \(6\) y \(1\) o \(-2\) y \(-3\), y \(-6\) y \(- 1\). La primera ecuación del sistema te dirá qué par elegir: \(x_1+x_2=5\). \(2\) y \(3\) son similares, ya que \(2+3=5\).
Respuesta : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Ejemplos . Usando el recíproco del teorema de Vieta, encuentra las raíces de la ecuación cuadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solución :
a) \(x^2-15x+14=0\) – ¿en qué factores se descompone \(14\)? \(2\) y \(7\), \(-2\) y \(-7\), \(-1\) y \(-14\), \(1\) y \(14\ ). ¿Qué pares de números suman \(15\)? Respuesta: \(1\) y \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – ¿en qué factores se descompone \(-4\)? \(-2\) y \(2\), \(4\) y \(-1\), \(1\) y \(-4\). ¿Qué pares de números suman \(-3\)? Respuesta: \(1\) y \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – ¿en qué factores se descompone \(20\)? \(4\) y \(5\), \(-4\) y \(-5\), \(2\) y \(10\), \(-2\) y \(-10\ ), \(-20\) y \(-1\), \(20\) y \(1\). ¿Qué pares de números suman \(-9\)? Respuesta: \(-4\) y \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – ¿en qué factores se descompone \(780\)? \(390\) y \(2\). ¿Suman \(88\)? No. ¿Qué otros multiplicadores tiene \(780\)? \(78\) y \(10\). ¿Suman \(88\)? Sí. Respuesta: \(78\) y \(10\).

No es necesario expandir el último término a todos los factores posibles (como en el último ejemplo). Puedes comprobar inmediatamente si su suma da \(-p\).

¡Importante! El teorema de Vieta y el teorema inverso solo funcionan con , es decir, uno para el cual el coeficiente de \(x^2\) es igual a uno. Si inicialmente nos dieron una ecuación no reducida, entonces podemos reducirla simplemente dividiendo por el coeficiente delante de \(x^2\).

Por ejemplo, sea dada la ecuación \(2x^2-4x-6=0\) y queremos usar uno de los teoremas de Vieta. Pero no podemos, ya que el coeficiente de \(x^2\) es igual a \(2\). Eliminémoslo dividiendo toda la ecuación por \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Listo. Ahora puedes usar ambos teoremas.

Respuestas a preguntas frecuentes

Pregunta: Usando el teorema de Vieta, ¿puedes resolver cualquiera?
Respuesta: Lamentablemente no. Si la ecuación no contiene números enteros o no tiene ninguna raíz, entonces el teorema de Vieta no ayudará. En este caso es necesario utilizar discriminante . Afortunadamente, el 80% de las ecuaciones de matemáticas escolares tienen soluciones enteras.

El discriminante, al igual que las ecuaciones cuadráticas, comienza a estudiarse en un curso de álgebra en octavo grado. Puedes resolver una ecuación cuadrática mediante un discriminante y usando el teorema de Vieta. El método de estudiar ecuaciones cuadráticas, así como fórmulas discriminantes, se enseña sin éxito a los escolares, como muchas cosas en la educación real. Por lo tanto, pasan los años escolares, la educación en los grados 9-11 es reemplazada por la "educación superior" y todos miran de nuevo. “¿Cómo resolver una ecuación cuadrática?”, “¿Cómo encontrar las raíces de la ecuación?”, “¿Cómo encontrar el discriminante?” Y...

Fórmula discriminante

El discriminante D de la ecuación cuadrática a*x^2+bx+c=0 es igual a D=b^2–4*a*c.
Las raíces (soluciones) de una ecuación cuadrática dependen del signo del discriminante (D):
D>0 – la ecuación tiene 2 raíces reales diferentes;
D=0 - la ecuación tiene 1 raíz (2 raíces coincidentes):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
La fórmula para calcular el discriminante es bastante simple, por lo que muchos sitios web ofrecen una calculadora de discriminante en línea. Aún no hemos descubierto este tipo de scripts, así que si alguien sabe cómo implementarlos, escríbanos por correo electrónico. Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Debe tener JavaScript habilitado para verlo. .

Fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática.:

Encontramos las raíces de la ecuación usando la fórmula.
Si el coeficiente de una variable al cuadrado está emparejado, entonces es recomendable calcular no el discriminante, sino su cuarta parte.
En tales casos, las raíces de la ecuación se encuentran usando la fórmula

La segunda forma de encontrar raíces es el teorema de Vieta.

El teorema se formula no sólo para ecuaciones cuadráticas, sino también para polinomios. Puede leer esto en Wikipedia u otros recursos electrónicos. Sin embargo, para simplificar, consideremos la parte que concierne a las ecuaciones cuadráticas anteriores, es decir, ecuaciones de la forma (a=1)
La esencia de las fórmulas de Vieta es que la suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente de la variable, tomado con el signo opuesto. El producto de las raíces de la ecuación es igual al término libre. El teorema de Vieta se puede escribir en fórmulas.
La derivación de la fórmula de Vieta es bastante sencilla. Escribamos la ecuación cuadrática mediante factores simples.
Como puedes ver, todo lo ingenioso es sencillo al mismo tiempo. Es efectivo utilizar la fórmula de Vieta cuando la diferencia de módulos de las raíces o la diferencia de módulos de las raíces es 1, 2. Por ejemplo, las siguientes ecuaciones, según el teorema de Vieta, tienen raíces




Hasta la ecuación 4, el análisis debería verse así. El producto de las raíces de la ecuación es 6, por lo tanto las raíces pueden ser los valores (1, 6) y (2, 3) o pares con signos opuestos. La suma de las raíces es 7 (el coeficiente de la variable de signo opuesto). De aquí concluimos que las soluciones de la ecuación cuadrática son x=2; x=3.
Es más fácil seleccionar las raíces de la ecuación entre los divisores del término libre, ajustando su signo para cumplir con las fórmulas de Vieta. Al principio, esto parece difícil de hacer, pero con la práctica de varias ecuaciones cuadráticas, esta técnica resultará más efectiva que calcular el discriminante y encontrar las raíces de la ecuación cuadrática de la manera clásica.
Como puede ver, la teoría escolar sobre el estudio del discriminante y los métodos para encontrar soluciones a la ecuación carece de significado práctico. "¿Por qué los escolares necesitan una ecuación cuadrática?", "¿Cuál es el significado físico del discriminante?"

Intentemos resolverlo ¿Qué describe el discriminante?

En el curso de álgebra se estudian funciones, esquemas para estudiar funciones y construir una gráfica de funciones. De todas las funciones, un lugar importante lo ocupa la parábola, cuya ecuación se puede escribir en la forma
Entonces, el significado físico de la ecuación cuadrática son los ceros de la parábola, es decir, los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas Ox.
Te pido que recuerdes las propiedades de las parábolas que se describen a continuación. Llegará el momento de realizar exámenes, test o pruebas de acceso y agradecerás el material de referencia. El signo de la variable al cuadrado corresponde a si las ramas de la parábola en la gráfica subirán (a>0),

o una parábola con ramas hacia abajo (una<0) .

El vértice de la parábola se encuentra a medio camino entre las raíces.

Significado físico del discriminante:

Si el discriminante es mayor que cero (D>0) la parábola tiene dos puntos de intersección con el eje Ox.
Si el discriminante es cero (D=0), entonces la parábola en el vértice toca el eje x.
Y el último caso, cuando el discriminante es menor que cero (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. La guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática", la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (esa misma x) al cuadrado, y no debe haber xes a la tercera (o mayor) potencia.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a resolver ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que se trata de una ecuación cuadrática y no de otra ecuación.

Ejemplo 1.

Eliminemos el denominador y multipliquemos cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y ordenemos los términos en orden descendente de potencias de X.

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2.

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

¡Esta ecuación, aunque estaba originalmente en ella, no es cuadrática!

Ejemplo 3.

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? El cuarto y segundo grado... Sin embargo, si hacemos una sustitución, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4.

Parece estar ahí, pero echemos un vistazo más de cerca. Movamos todo hacia el lado izquierdo:

Mira, se ha reducido y ¡ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado;
4. no cuadrado;
5. no cuadrado;
6. cuadrado;
7. no cuadrado;
8. cuadrado.

Los matemáticos convencionalmente dividen todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

• Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas hay dado- estas son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo es completa, ¡sino también reducida!)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡¡¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado!!! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Esta división está determinada por los métodos de solución. Veamos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, centrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Hay tipos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

1. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
2. , en esta ecuación el término libre es igual a.
3. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo. Como sabemos sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene soluciones.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal es que debes saber y recordar siempre que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora solo queda extraer la raíz de los lados izquierdo y derecho. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Respuesta:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Oh! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡sin raíces!

Para este tipo de ecuaciones que no tienen raíces, los matemáticos crearon un icono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Respuesta:

Por tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. Aquí no hay restricciones, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Respuesta:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿verdad?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que una ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más difícil (sólo un poco) que éstas.

Recordar, ¡Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

Los otros métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas usando un discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas con este método es muy sencillo, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene raíz, debes prestar especial atención al paso. Discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula del paso se reducirá a. Por tanto, la ecuación sólo tendrá raíz.
• Si es así, no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3.

Respuesta:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que la ecuación tiene una raíz.

Respuesta:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación se presenta en forma estándar, por lo que Paso 1 saltamos.

Paso 2.

Hallamos el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir correctamente esas respuestas.

Respuesta: sin raíces

2. Resolver ecuaciones cuadráticas usando el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuación que se llama reducida (cuando el coeficiente a es igual a):

Estas ecuaciones son muy fáciles de resolver utilizando el teorema de Vieta:

suma de raices dado la ecuación cuadrática es igual y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque .

La suma de las raíces de la ecuación es igual, es decir. obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es igual a:

Compongamos y resolvamos el sistema:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Respuesta: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Respuesta:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

Se da la ecuación, lo que significa:

Respuesta:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - algunos números y.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, A - miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si la ecuación se vuelve inmediatamente lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En esta silla la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Primero, veamos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: son más simples.

Podemos distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I., en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

III. , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora veamos la solución para cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raíces

No es necesario memorizar estas fórmulas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces.

Para anotar brevemente que un problema no tiene solución utilizamos el icono de conjunto vacío.

Respuesta:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Respuesta:

Saquemos el factor común de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factoricemos el lado izquierdo de la ecuación y encontremos las raíces:

Respuesta:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta forma es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerde, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando un discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula de raíces? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Necesitamos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene raíces:
• Si, entonces la ecuación tiene las mismas raíces y, de hecho, una raíz:

  Estas raíces se llaman raíces dobles.

• Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué son posibles diferentes números de raíces? Pasemos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso especial, que es una ecuación cuadrática, . Esto significa que las raíces de una ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje de abscisas (eje). Una parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede cruzarlo en uno (cuando el vértice de la parábola se encuentra en el eje) o dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Respuesta:

Respuesta: .

Respuesta:

Esto significa que no hay soluciones.

Respuesta: .

2. Teorema de Vieta

Es muy fácil utilizar el teorema de Vieta: basta con elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta sólo se puede aplicar en ecuaciones cuadráticas reducidas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación se puede resolver usando el teorema de Vieta porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es igual a:

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y comprobemos si su suma es igual:

• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual a;
• Y. La cantidad es igual.

y son la solución al sistema:

Por tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Respuesta: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionemos pares de números que dan el producto y luego verifiquemos si su suma es igual:

y: dan en total.

y: dan en total. Para obtenerlo, basta con cambiar los signos de las supuestas raíces: y, al fin y al cabo, el producto.

Respuesta:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto sólo es posible si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Por lo tanto la suma de las raíces es igual a diferencias de sus módulos.

Seleccionemos pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es igual - no encaja;

y: - no apto;

y: - no apto;

y: - adecuado. Sólo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, la raíz con el módulo menor debe ser negativa: . Verificamos:

Respuesta:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

El término libre es negativo y, por tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto sólo es posible cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual y luego determinemos qué raíces deben tener un signo negativo:

Evidentemente, sólo las raíces y son aptas para la primera condición:

Respuesta:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Se da la ecuación, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces tienen un signo menos.

Seleccionemos pares de números cuyo producto sea igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Respuesta:

De acuerdo, es muy conveniente encontrar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Intente utilizar el teorema de Vieta con la mayor frecuencia posible.

Pero el teorema de Vieta es necesario para facilitar y acelerar la búsqueda de las raíces. Para que puedas beneficiarte de su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes utilizar un discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones a tareas para el trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como es habitual, comenzamos la selección con la pieza:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es justo lo que necesitas.

Respuesta: ; .

Tarea 2.

Y nuevamente nuestro teorema favorito de Vieta: la suma debe ser igual y el producto debe ser igual.

Pero como no debe ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Respuesta: ; .

Tarea 3.

Mmmm... ¿Dónde es eso?

Debes mover todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Está bien, detente! La ecuación no está dada. Pero el teorema de Vieta sólo es aplicable en las ecuaciones dadas. Entonces primero necesitas dar una ecuación. Si no puedes liderar, abandona esta idea y resuélvela de otra manera (por ejemplo, a través de un discriminante). Permítanme recordarles que dar una ecuación cuadrática significa igualar el coeficiente principal:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual a y el producto.

Aquí elegir es muy fácil: después de todo, es un número primo (perdón por la tautología).

Respuesta: ; .

Tarea 4.

El miembro gratuito es negativo. ¿Qué tiene de especial esto? Y es que las raíces tendrán signos diferentes. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia en sus módulos: esta diferencia es igual, pero es un producto.

Entonces, las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un signo menos: y desde entonces.

Respuesta: ; .

Tarea 5.

¿Qué deberías hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales a y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que el menos tendrá una raíz mayor.

Respuesta: ; .

Déjame resumir:

1. El teorema de Vieta se utiliza sólo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, de forma oral.
3. Si no se da la ecuación o no se encuentra un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y es necesario resolverla de otra manera (por ejemplo, mediante un discriminante).

3. Método para seleccionar un cuadrado completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan en forma de términos de fórmulas de multiplicación abreviadas (el cuadrado de la suma o la diferencia), luego de reemplazar las variables, la ecuación se puede presentar en forma de una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Respuesta:

En general, la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No te recuerda a nada? ¡Esto es algo discriminatorio! Así es exactamente como obtuvimos la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Ecuación cuadrática- esta es una ecuación de la forma donde - la incógnita, - los coeficientes de la ecuación cuadrática, - el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente yo el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación se ve así: ,
• si hay un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
• si y, la ecuación se ve así: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas.

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Expresemos la incógnita: ,

2) Verifique el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

1) Saquemos el factor común de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando discriminante

1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,

2) Calculemos el discriminante usando la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene raíces, que se encuentran mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (ecuación de la forma donde) es igual y el producto de las raíces es igual, es decir , A.

2.3. Solución por el método de selección de un cuadrado completo.