Formulación del problema

Se considera el flujo estacionario de un fluido incompresible con viscosidad constante en un tubo cilíndrico delgado de sección circular bajo la influencia de una diferencia de presión constante. Si suponemos que el flujo será laminar y unidimensional (teniendo sólo una componente de velocidad dirigida a lo largo del canal), entonces la ecuación se resuelve analíticamente y se obtiene un perfil parabólico (a menudo llamado Perfil de Poiseuille) - distribución de velocidades en función de la distancia al eje del canal:

• v- velocidad del fluido a lo largo de la tubería, m/s;
• r- distancia desde el eje de la tubería, m;
• pag 1 − pag
• yo- longitud de la tubería, m.

Dado que el mismo perfil (en la notación apropiada) tiene una velocidad cuando fluye entre dos planos infinitos paralelos, dicho flujo también se llama flujo de Poiseuille.

Ley de Poiseuille (Hagen - Poiseuille)

La ecuacion o ley de poiseuille(Ley de Hagen-Poiseuille o ley de Hagen-Poiseuille) es una ley que determina el flujo de fluido durante el flujo constante de un fluido viscoso e incompresible en una tubería cilíndrica delgada de sección transversal circular.

Formulado por primera vez por Gotthilf Hagen (alemán). Gotthilf Hagen, A veces Hagen) en 1839 y pronto fue criado nuevamente por J. L. Poiseuille (inglés) (francés. JL Poiseuille) en 1840. Según la ley, el segundo caudal volumétrico de un líquido es proporcional a la caída de presión por unidad de longitud del tubo y a la cuarta potencia del diámetro de la tubería:

• q- caudal de líquido en la tubería, m³/s;
• d- diámetro de la tubería, m;
• r- radio de la tubería, m;
• pag 1 − pag 2 - diferencia de presión en la entrada y salida de la tubería, Pa;
• μ - viscosidad del líquido, N s/m²;
• yo- longitud de la tubería, m.

La ley de Poiseuille es aplicable sólo para flujo laminar y siempre que la longitud del tubo exceda la llamada longitud de la sección inicial necesaria para el desarrollo del flujo laminar en el tubo.

Propiedades

• El flujo de Poiseuille se caracteriza por una distribución de velocidad parabólica a lo largo del radio del tubo.
• En cada sección transversal del tubo, la velocidad media es la mitad de la velocidad máxima en este tramo.

ver también

• Couette actual
• Corriente Couette-Taylor

Literatura

• Kasatkin A.G. Procesos y aparatos básicos de la tecnología química. - M.: GHI, - 1961. - 831 p.

Fundación Wikimedia. 2010.

Vea qué es “Corriente de Poiseuille” en otros diccionarios:

Distribución de velocidad parabólica en flujo de Poiseuille. Las hélices muestran que este flujo tiene vorticidad distinta de cero. El flujo de Poiseuille es un flujo laminar de líquido a través de canales en forma de cilindro circular recto o capa entre ... ... Wikipedia

Mecánica continua ... Wikipedia

Mecánica continua Mecánica clásica continua Ley de conservación de la masa Ley de conservación del momento ... Wikipedia

Tabla de contenido

1. Planteamiento del problema

2. Ecuación de continuidad

4. Flujo laminar constante entre planos paralelos

5. Corriente de Couette

6. Corriente de Poiseuille

7. Caso general de flujo entre paredes paralelas

8. Problema de ejemplo

Formulación del problema

Los flujos laminares, algunos de los cuales se analizan en este proyecto de curso, se encuentran en una variedad de problemas técnicos, en particular, en huecos y pequeñas cavidades de máquinas. En particular, durante el flujo de líquidos viscosos como el petróleo, el petróleo y diversos fluidos para transmisiones hidráulicas, se forman flujos laminares estables, para cuya descripción las ecuaciones de Navier-Stokes pueden servir como base fiable. El flujo Hartmann, similar al flujo Poiseuille, se utiliza, por ejemplo, en las bombas MHD. En este caso, se considera un flujo plano estacionario de un fluido eléctricamente conductor entre dos placas aisladas en un campo magnético transversal.

El objetivo de este proyecto de curso es considerar y encontrar las principales características de un flujo laminar estacionario plano de un fluido viscoso incompresible con una distribución de velocidades parabólica (flujo de Poiseuille).

Ecuación de continuidad

La ley de conservación de la masa de un fluido que se mueve de manera arbitraria se expresa mediante la ecuación de continuidad o continuidad, que es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos. Para derivarlo, dibujemos una superficie cerrada S fija en el espacio del líquido, limitando el volumen W, y seleccionemos sobre ella un área elemental dS. Sea n el vector unitario de la normal externa a S. Entonces el producto cV n dS representará la masa que sale del volumen W o entra en él por unidad de tiempo, dependiendo de la dirección de la velocidad en el sitio dS. Dado que n es la normal externa, entonces V p > 0 en esos sitios dS donde el líquido sale del volumen W, y V p< 0 на той части поверхности S, через которую она втекает в этот объем. Следовательно, интеграл представляет собой разность масс жидкости, вытекшей из объема и поступившей в него за единицу времени.

Este cambio de masa se puede calcular de otra forma. Para ello, seleccionamos el volumen elemental dW. La masa de líquido en este volumen puede variar debido a diferencias en la entrada y salida. El segundo cambio de masa en volumen dW será igual a y el segundo cambio de masa en volumen W se expresará mediante la integral.

Las expresiones resultantes se pueden equiparar, ya que dan el mismo valor. Hay que tener en cuenta que la primera integral es positiva si por la superficie S sale más fluido del que entra, y la segunda, en las mismas condiciones, es negativa, ya que debido a la continuidad del flujo en el caso considerado , la densidad disminuye con el tiempo.

Según el teorema de Ostrogradsky-Gauss:

En el análisis vectorial, la suma de las derivadas parciales de las proyecciones vectoriales a lo largo de las mismas coordenadas se llama divergencia o divergencia vectorial. En este caso

por lo tanto, la ecuación (1) se puede reescribir como

Dado que el volumen W es arbitrario, la función integrando es igual a cero, es decir

(2)

La ecuación (2) es una ecuación de continuidad en forma diferencial para el movimiento arbitrario de un fluido compresible. La relación (1) puede considerarse como una forma integral de la ecuación de continuidad.

Si consideramos la condición de conservación de la masa de un volumen de líquido en movimiento, también llegaremos a la ecuación (2), a la que en este caso se le puede dar una forma diferente.

Dado que c = c (x, y, z, t) y cuando el volumen del líquido se mueve x = x(t),

y = y (t), z = z (t), entonces

es decir, la ecuación (2) tendrá la forma

(3)

donde dc/dt es la derivada total de la densidad.

Para el movimiento estacionario de un fluido compresible, ∂c/∂t = 0 y. por lo tanto, de la ecuación (2) obtenemos

Para cualquier movimiento de un fluido incompresible c = constante y, por tanto,

(5)

3. Ecuación de movimiento de un fluido viscoso en forma de Navier-Stokes

Ecuación del movimiento de fluidos en tensiones:

Según la ley de Newton, las tensiones viscosas durante el movimiento rectilíneo de un fluido son proporcionales a las tasas de deformación angular. Una generalización de este hecho al caso de movimiento arbitrario es la hipótesis de que las tensiones tangenciales, así como partes de las tensiones normales que dependen de la orientación de las áreas, son proporcionales a las tasas de deformación correspondientes. En otras palabras, en todos los casos de movimiento de fluidos, se supone una relación lineal entre las tensiones viscosas y las tasas de deformación. En este caso, el coeficiente de proporcionalidad en las fórmulas que expresan esta relación debe ser el coeficiente de viscosidad dinámica m, partiendo de la hipótesis de que en un punto del líquido (se confirma indirectamente en la práctica), podemos escribir expresiones para tensiones normales y cortantes en un fluido viscoso:

(7)

Introduciendo las expresiones (7) en la ecuación (6), obtenemos

Agrupando términos con segundas derivadas, dividiendo por c y utilizando el operador de Laplace, escribimos:

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Navier-Stokes; se utilizan para describir los movimientos de líquidos y gases viscosos compresibles.

Las ecuaciones de movimiento de líquidos y gases no viscosos se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes como un caso especial con m=const; para fluidos incompresibles, se debe tomar c = const.

El sistema de ecuaciones de Navier-Stokes no es cerrado, ya que contiene seis incógnitas: V x, V y, V z, p, s y m. Otra ecuación que conecta estas incógnitas es la ecuación de continuidad (3).

Como ecuaciones que cierran el sistema se utilizan las ecuaciones de estado del medio y la dependencia de la viscosidad de los parámetros de estado. En muchos casos, también es necesario aplicar otras relaciones termodinámicas.

Para un fluido incompresible divV = 0, obtenemos expresiones que se derivan directamente del sistema (8)

En forma vectorial, la ecuación de Navier-Stokes para un fluido incompresible toma la forma:

Flujo laminar estacionario entre planos paralelos.

Dejemos fluir un fluido viscoso por un canal formado por dos paredes paralelas, una de las cuales se mueve en su plano a velocidad constante (ver figura).

a – diagrama de flujo; b – distribución de velocidad en ausencia de gradiente de presión (flujo de Couette); c – distribución de velocidad en el caso de planos límite estacionarios (flujo en un canal plano).

Consideramos que el tamaño del canal en la dirección normal al plano de dibujo (a lo largo del eje z) es lo suficientemente grande como para que se pueda ignorar la influencia de las paredes paralelas al plano xOy. Además, suponemos que el movimiento es causado no sólo por el movimiento de una de las paredes del canal, sino también por la diferencia de presión (o gradiente) en la dirección del eje x. Despreciamos la influencia de las fuerzas de masas, porque el número de Froude es pequeño debido a la pequeñez de h, y consideramos que las líneas de corriente son rectas, paralelas al eje x.

Luego expresamos las condiciones iniciales del problema en la forma:

De la ecuación de continuidad concluimos inmediatamente que y dado que esto será cierto en todos los puntos, entonces debido a la ausencia de movimiento a lo largo del eje z, todas las derivadas a lo largo de esta coordenada también desaparecerán, y la ecuación de Navier-Stokes en proyección sobre z No es necesario escribir el eje.

Entonces el sistema de ecuaciones de movimiento se reducirá a dos ecuaciones:

La primera se obtiene de la proyección de la ecuación de Navier-Stokes sobre el eje de coordenadas x, y la segunda de estas ecuaciones indica que la presión depende sólo de x, es decir p(y)=p(z)=0, y desde entonces podemos pasar de derivadas parciales a derivadas totales:

Denotemos e integremos esta ecuación dos veces, obtenemos:

Dado que, de acuerdo con la figura y los supuestos aceptados, la presión depende únicamente de la coordenada x. Para encontrar las constantes de integración, usamos las condiciones de contorno:

Así, la ley de distribución de velocidades en un canal plano se escribirá como:

(10)

Couette actual

El flujo Couette es un flujo libre de gradientes, en este caso la única razón del movimiento es el movimiento de la placa. El flujo se caracteriza por una ley de distribución de velocidad lineal (Fig. b).

Esfuerzo cortante (viscoso) será constante a lo largo del espesor de la capa y el caudal específico, es decir El caudal a través del flujo vivo S=h·1, arrastrado por la placa móvil, es igual a:

6. Corriente de Poiseuille

Este es el caso del flujo de presión en un canal plano con una distribución de velocidad parabólica (Fig. c). De acuerdo con la ecuación (10) obtenemos:

Velocidad máxima en el eje (en y=h/2) debido a la distribución parabólica de velocidades:

(12)

Dividiendo (11) por (12), obtenemos la ley de distribución de velocidades.

No es difícil calcular otras características del flujo. Esfuerzo cortante

En las paredes, es decir en y=0 y en y=h, toma valores máximos

Y en el eje en y=h/2 se vuelve cero. Como puede verse en estas fórmulas, existe una ley lineal de distribución de tensiones tangenciales sobre el espesor de la capa.

El consumo específico de líquido está determinado por la fórmula.

velocidad media

(13)

La velocidad media será una vez y media menor que la máxima.

Habiendo integrado (13) sobre x, bajo el supuesto de que en x = 0 la presión p = p 0 *, obtenemos la diferencia de presión requerida:

También es fácil calcular la intensidad del componente de vórtice del movimiento. Como en este caso V y =V z =0 y V x =V, entonces

Teniendo en cuenta que dp/dx<0, мы получи:

· en y< h/2, щ z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· para y > h/2, ы z > 0, es decir las partículas giran en sentido antihorario (Fig. c).

Por lo tanto, el flujo bajo consideración es un vórtice en todos los puntos; las líneas de vórtice ordenadas representan planos de flujo rectos y normales.

Caso general de flujo entre paredes paralelas.

Este caso es típico

La distribución de velocidades está determinada por la ecuación (10), donde el gradiente de presión dp/dx puede ser negativo o positivo. En el primer caso, la presión cae en la dirección de la velocidad de la placa V 0, en el segundo caso aumenta. La presencia de un gradiente de presión positivo puede provocar corrientes de resaca. La ecuación (10) se puede representar convenientemente en forma adimensional

que se representa gráficamente por una familia de curvas con un parámetro

Perfiles de velocidad adimensionales para el caso general de flujo entre paredes paralelas.

Tarea de muestra

Consideremos el flujo de Poiseuille en relación con un generador MHD.

Generador magnetohidrodinámico, generador MHD: una planta de energía en la que la energía de un fluido de trabajo (medio conductor eléctrico líquido o gaseoso) que se mueve en un campo magnético se convierte directamente en energía eléctrica. La velocidad de movimiento de un medio viscoso puede ser subsónica o supersónica; elegimos una velocidad igual a V max = 300 m/s. Sea la longitud del canal lineal de 10 metros. La distancia entre las placas por las que fluye el plasma es de 1 metro. Consideremos que el valor máximo de la viscosidad del plasma es 3·10 -4 Pa·Hs=8,3·10 -8 Pa·s.

Sustituyendo los datos en la fórmula de la diferencia de presión, teniendo en cuenta que la velocidad media es una vez y media menor que la máxima, obtenemos:

Esta es la pérdida de presión cuando el fluido de trabajo pasa a través del canal lineal del generador MHD.

Bibliografía

1. Beknev V.S., Pankov O.M., Yanson R.A. – M.: Ingeniería Mecánica, 1973. – 389 p.

2. Emtsev B.T. Hidromecánica técnica. – M.: Ingeniería Mecánica, 1978. – 458 págs.

3. Emtsev B.T. Hidromecánica técnica. – M.: Ingeniería Mecánica, 1987. – 438 p.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm

Corriente de Poiseuille- flujo laminar de líquido a través de canales en forma de cilindro circular recto o de capa entre planos paralelos. El flujo de Poiseuille es una de las soluciones exactas más simples de las ecuaciones de Navier-Stokes. Descrito ley de poiseuille(Hagen - Poiseuille).

Formulación del problema

Se considera el flujo estacionario de un fluido incompresible con viscosidad constante en un tubo cilíndrico delgado de sección circular bajo la influencia de una diferencia de presión constante. Si suponemos que el flujo será laminar y unidimensional (teniendo sólo una componente de velocidad dirigida a lo largo del canal), entonces la ecuación se resuelve analíticamente y se obtiene un perfil parabólico (a menudo llamado Perfil de Poiseuille) - distribución de velocidades en función de la distancia al eje del canal:

• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): v- velocidad del fluido a lo largo de la tubería;
• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): r- distancia desde el eje de la tubería;
• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): R- radio de la tubería;
• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): p_1-p_2- diferencia de presión en la entrada y salida de la tubería;
• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración.): \eta- viscosidad del fluido;
• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): L- longitud de la tubería.

El mismo perfil en la notación correspondiente tiene la velocidad de flujo entre dos infinitos planos paralelos. Este flujo también se llama flujo de Poiseuille.

Ley de Poiseuille (Hagen - Poiseuille)

La ecuacion o ley de poiseuille(Ley de Hagen-Poiseuille o ley de Hagen-Poiseuille) es una ley que determina el flujo de fluido durante el flujo constante de un fluido viscoso e incompresible en un tubo cilíndrico delgado de sección transversal circular.

Formulado por primera vez por Gotthilf Hagen (alemán). Gotthilf Hagen, A veces Hagen) en 1839 sobre la base de datos experimentales y pronto fue re-derivado por J. L. Poiseuille (fr. JL Poiseuille) en 1840 (también basado en un experimento). Según la ley, el segundo caudal volumétrico de líquido es proporcional a la caída de presión por unidad de longitud del tubo (gradiente de presión en la tubería) y a la cuarta potencia del radio (diámetro) de la tubería:

• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Consulte matemáticas/README para obtener ayuda con la configuración): Q- flujo de fluido en la tubería;
• No se puede analizar la expresión (archivo ejecutable texvc extraviado; Ver matemáticas/README - ayuda con la configuración.): D- diámetro de la tubería;

La ley de Poiseuille funciona sólo para flujo laminar y siempre que la longitud del tubo exceda la llamada longitud de la sección inicial, necesaria para el desarrollo de un flujo laminar con un perfil de velocidad parabólico en el tubo.

Propiedades

• El flujo de Poiseuille se caracteriza por una distribución de velocidad parabólica a lo largo del radio del tubo.
• En cada sección transversal del tubo, la velocidad media es la mitad de la velocidad máxima en este tramo.

ver también

Escribe una reseña sobre el artículo "Corriente de Poiseuille"

Literatura

• Kasatkin A.G. Procesos y aparatos básicos de la tecnología química. - M.: GHI, - 1961. - 831 p.

Enlaces

Un extracto que caracteriza la corriente de Poiseuille

8.5. Viscosidad. Corriente de Poiseuille

Hasta ahora no hemos dicho nada sobre el esfuerzo cortante en un líquido o gas, limitándonos únicamente a la presión isotrópica en el marco de la ley de Pascal. Sin embargo, resulta que la ley de Pascal sólo es exhaustiva en hidrostática, y en el caso de flujos espacialmente no homogéneos entra en juego el efecto disipativo: la viscosidad, como resultado del cual surgen tensiones tangenciales.

Supongamos que en una determinada región del flujo de fluido dos capas de fluido infinitamente cercanas, que se mueven en la dirección del eje x, entran en contacto entre sí sobre una superficie horizontal con área S (figura 8.14). La experiencia muestra que la fuerza de fricción F entre las capas en este sitio es mayor cuanto mayor es el área S y más rápido cambia la velocidad del flujo v en este lugar en la dirección perpendicular al sitio S, es decir, en la dirección de la y. eje. La tasa de cambio de la velocidad v en función de y se caracteriza por la derivada dv/dy.

Finalmente, el resultado obtenido del experimento se puede escribir como:

F = ηS dv/dy. (8.27)

Aquí F es la fuerza que actúa desde la capa superpuesta sobre la subyacente, η es el coeficiente de proporcionalidad, llamado coeficiente

viscosidad del fluido (abreviada simplemente como viscosidad del fluido). Su dimensión se desprende de la fórmula (8.27) [η] = [m]/[l][t]; La unidad de medida suele expresarse como 1 Pa s. La dirección de la fuerza F (hacia la derecha o hacia la izquierda en la figura 8.14) depende de si la capa suprayacente se mueve más rápido o más lento en relación con la capa subyacente. De (8.27) se sigue la expresión para tensiones tangenciales:

τ = η dv/dy.(8.28)

El coeficiente de viscosidad η tiene diferentes valores para diferentes líquidos y para un líquido en particular depende de las condiciones externas, principalmente de la temperatura. Por su naturaleza, las fuerzas de fricción en un líquido son fuerzas de interacción intermolecular, es decir, fuerzas electromagnéticas, al igual que las fuerzas de fricción entre cuerpos sólidos. Pasemos a considerar el problema de calcular el caudal de un fluido incompresible que fluye a través de una tubería recta, redonda y horizontal con un área de sección transversal constante a una diferencia de presión dada. El flujo es la masa de líquido que fluye por unidad de tiempo a través de una sección de tubería. Esta tarea es extremadamente importante.

Arroz. 8.15

importancia práctica: la organización del funcionamiento de los oleoductos e incluso el suministro ordinario de agua ciertamente requiere su solución. Supondremos que tenemos dada la longitud de la tubería l, su radio R, las presiones en los extremos de la tubería P 1 y P 2 (P 1 >P 2), así como la densidad del líquido ρ y su viscosidad η (figura 8.15).

La presencia de fuerzas de fricción conduce al hecho de que a diferentes distancias del centro de la tubería, el líquido fluye a diferentes velocidades. En particular, directamente en la pared el líquido debe estar inmóvil; de lo contrario, de (8.28) se derivarían infinitas tensiones tangenciales. Para calcular la masa de fluido que fluye cada segundo a través de toda la sección transversal de la tubería, dividimos esta sección transversal en áreas anulares infinitesimales con un radio interno r y un externo r + dr y primero calculamos el flujo de fluido a través de cada una de estas. secciones infinitesimales en las que la velocidad

Masa de fluido dm que fluye cada segundo a través de un cuerpo infinitesimal

sección transversal 2nrdr con velocidad v(r), es igual a

dm/dt = 2πr drρv(r). (8.29)

Obtenemos el flujo total de fluido Q integrando la expresión (8.29)

por r de 0 a R:

Q = dm/dt = 2πρ rv(r) dr, (8.30)

donde el valor constante 2πρ se quita del signo de integración. Para calcular la integral en (8.30), es necesario conocer la dependencia de la velocidad del fluido con el radio, es decir, la forma específica de la función v(r). Para determinar v(r), utilizaremos las leyes de la mecánica que ya conocemos. Consideremos en algún momento un volumen cilíndrico de líquido de algún radio arbitrario r y longitud l (figura 8.15). El líquido que llena este volumen puede considerarse como una colección de partículas líquidas infinitesimales que forman un sistema de puntos materiales que interactúan. Durante el flujo de fluido estacionario en una tubería, todos estos puntos materiales se mueven a velocidades independientes del tiempo. En consecuencia, el centro de masa de todo este sistema también se mueve a una velocidad constante. La ecuación para el movimiento del centro de masa de un sistema de puntos materiales tiene la forma (ver Capítulo 6)

donde M es la masa total del sistema, V cm - velocidad del centro de masa,

∑F BH es la suma de fuerzas externas aplicadas en un momento seleccionado al sistema considerado. Como en nuestro caso V cm = const, entonces de (8.31) obtenemos

Las fuerzas externas son fuerzas de presión F presión que actúan sobre las bases del volumen cilíndrico seleccionado y fuerzas de fricción F tr que actúan sobre la superficie lateral del cilindro debido al líquido circundante; consulte (8.27):

Como hemos demostrado, la suma de estas fuerzas es cero, es decir

Esta relación después de transformaciones simples se puede escribir en la forma

Integrando ambos lados de la igualdad escrita arriba, obtenemos

La constante de integración se determina a partir de la condición de que cuando r = Rsk-

la velocidad v debe desaparecer. Esto da

Como podemos ver, la velocidad del fluido es máxima en el eje de la tubería y, a medida que se aleja del eje, cambia según una ley parabólica (ver Fig. 8.15).

Sustituyendo (8.32) en (8.30), encontramos el flujo de fluido requerido

Esta expresión para el flujo de fluidos se llama fórmula de Poiseuille. Una característica distintiva de la relación (8.33) es la fuerte dependencia del caudal del radio de la tubería: el caudal es proporcional a la cuarta potencia del radio.

(El propio Poiseuille no dedujo una fórmula para el caudal, sino que investigó el problema sólo de forma experimental, estudiando el movimiento del líquido en los capilares). Uno de los métodos experimentales para determinar los coeficientes de viscosidad de líquidos se basa en la fórmula de Poiseuille.

Y
Los líquidos y gases se caracterizan por su densidad.

- la densidad del líquido depende en general de las coordenadas y del tiempo

- La densidad es una función termodinámica y depende de la presión y la temperatura.

El elemento de masa se puede expresar a partir de la definición de densidad.

A través de un área seleccionada, puede determinar el vector de flujo de fluido como la cantidad de líquido que pasa perpendicular al área por unidad de tiempo.

Vector cuadrado.

En un determinado volumen elemental hay micropartículas y él mismo es una macropartícula.

Las líneas que convencionalmente pueden mostrar el movimiento de un fluido se llaman líneas actuales.

función actual.

Flujo laminar– un flujo en el que no hay mezcla del líquido ni superposición de funciones de flujo, es decir, un flujo en capas.

En la figura, flujo laminar alrededor de un obstáculo, en forma de cilindro.

Flujo turbulento– un flujo en el que se mezclan diferentes capas. Un ejemplo típico de estela turbulenta al rodear un obstáculo.

Casi con arroz tubo actual. Para un tubo de corriente, las líneas de corriente no tienen desviaciones pronunciadas.

A partir de la definición de densidad, la masa elemental se determina a partir de la expresión

El volumen elemental se calcula como el producto del área de la sección transversal y el camino recorrido por el fluido.

Entonces la masa elemental (masa del elemento líquido) se encuentra a partir de la relación

dm = dV = VSdt

1) Ecuación de continuidad

En el caso más general, la dirección del vector de velocidad puede no coincidir con la dirección del vector de área de la sección transversal del flujo.

- el vector de área tiene una dirección

El volumen ocupado por un líquido por unidad de tiempo se determina teniendo en cuenta las reglas del producto escalar de vectores.

V Scos

Determinemos el vector de densidad de corriente del líquido.

j =  V,j– densidad de flujo - la cantidad de líquido que fluye a través de una unidad de sección por unidad de tiempo

De la ley de conservación de la masa líquida.

,

m hilo = constante

Dado que el cambio de masa de un líquido en una sección seleccionada se define como el producto del cambio de volumen por la densidad del líquido, de la ley de conservación de la masa obtenemos

VS = constante VS = constante

V 1 S 1 =V 2 S 2

aquellos. el caudal en diferentes secciones del flujo es el mismo

2) Teorema de Ostrogradsky-Gauss

Considere el balance de masa de fluido para un volumen cerrado.

el flujo elemental a través del sitio es igual a

donde j es la densidad de flujo.

En el caso general, es imposible resolver un sistema de ecuaciones que describa el comportamiento de un fluido viscoso mediante métodos analíticos. Sólo en el caso de algunos de los tipos de flujos más simples estas ecuaciones tienen soluciones analíticas. Los problemas de importancia práctica se resuelven principalmente utilizando métodos numéricos aproximados en una computadora. La principal dificultad para resolver analíticamente estas ecuaciones se debe al término no lineal. En esta sección consideraremos los flujos estacionarios más simples cuyo término es idénticamente igual a cero. Este Corrientes de Couette y Poiseuille.

Hay dos formas de provocar el movimiento de un líquido viscoso: utilizando fuerzas externas (fuerzas volumétricas o fuerzas de presión, por ejemplo, creando una diferencia de presión en los extremos de un tubo horizontal o retirando el tubo de una posición horizontal), o moviendo las paredes que confinan el líquido.

Un flujo constante causado por fuerzas de presión externas se llama flujo de Poiseuille, y un flujo causado por paredes en movimiento se llama flujo de Couette. Los flujos descritos en el párrafo anterior son ejemplos de dichos flujos.

1 . Flujo de Couette plano-paralelo. Estudiemos la distribución de velocidades y presiones en el flujo que se muestra en la Fig. 19.13a. Vincular el plano de coordenadas XY con la placa inferior, para las condiciones de contorno obtenemos:

. (19.64)

Para un flujo estacionario de un fluido incompresible, la ecuación de continuidad tomará la siguiente forma:

(19.65)

y la ecuación de Navier-Stokes

. (19.66)

Con base en la simetría del flujo, se puede argumentar que solo un componente de la velocidad es distinto de cero. También es obvio que la velocidad (al igual que la presión) no puede depender de la coordenada. En este caso, de la ecuación de continuidad (19.65) se deduce que =0, es decir, tampoco depende de la coordenada X . Medio, . En estas condiciones es obvio que

. (19.67)

Proyectando la ecuación (19.66) sobre el eje X y Z , teniendo en cuenta que en el flujo Couette no hay caída de presión a lo largo del flujo, es decir p = p(z), obtenemos

. (19.68)

La segunda ecuación da la distribución de la presión hidrostática en el líquido, que no tiene efecto sobre la dinámica del flujo, y de la primera ecuación obtenemos la ley

Las constantes de integración A y B se determinan a partir de las condiciones de contorno (19.64): . En consecuencia, en un flujo de Couette plano paralelo, la velocidad tiene la siguiente distribución:

, (19.69)

presentado en la figura 19.13 b (perfil de velocidad lineal). La tensión de fricción en el líquido es la misma en todas partes e igual en magnitud.

(19.70)

Además, en la placa inferior tiene el sentido del flujo, y en la placa superior tiene el sentido contrario. Por lo tanto, para que la placa inferior no se mueva, se le debe aplicar una fuerza, donde está el área de superficie de la placa.

2 . Flujo de Poiseuille plano-paralelo. En este caso, las placas están inmóviles, pero a lo largo del eje. X se mantiene una diferencia de presión constante:

. (19.71)

Y nuevamente, basándonos en consideraciones de simetría, usando la ecuación de continuidad, obtenemos la condición. Entonces las relaciones (19.67) también son verdaderas. Proyectando la ecuación de Navier-Stokes sobre el eje X y Z, obtenemos

. (19.72)

De la primera ecuación obtenemos: Sustituyéndolo en la segunda ecuación, obtenemos

(19.73)

cuyo lado izquierdo depende sólo de X, y el de la derecha es de z. . Esto es posible si los lados izquierdo y derecho de la ecuación son iguales a la misma constante A, que se expresa en (19.73). Usando la condición (19.71), obtenemos

(19.74)

Dónde. Integrando la ecuación (19.73) sobre z dará

. (19.74)

Constantes B y C La integración se determinará en función de la condición de “acoplamiento”.

. (19.75)

Habiendo determinado las constantes ANTES DE CRISTO y sustituyéndolos en (19.74), obtenemos:

. (19.76)

Figura 19.14

Como podemos ver, un flujo de Poiseuille plano paralelo se caracteriza por un perfil parabólico del campo de velocidades (figura 19.14). La tensión de fricción sobre las paredes se dirige a lo largo del eje. X e igual.

3 . Flujo de Poiseuille en un tubo cilíndrico redondo. Dado que el flujo en un tubo recto es simétrico con respecto al cilindro, es conveniente dirigir el eje a lo largo de este eje y conectar el plano de coordenadas con la base (figura 19.15). El flujo se crea y se mantiene mediante una diferencia de presión constante:

. (19.77)

Está claro que la velocidad en el cilindro sólo tiene una componente. Debido a la simetría axial del flujo, las cantidades serán independientes de la coordenada (en este problema no se tiene en cuenta la gravedad). De la ecuación de continuidad se deduce que no puede depender también de:

. (19.78)

En este caso

Teniendo en cuenta esto último, las componentes y ecuaciones de Navier-Stokes darán

. (19.79)

De la primera ecuación se deduce que los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, al depender de diferentes variables independientes, deben ser iguales al mismo valor constante. De la condición (19.77) determinamos

Figura 19.15

Sustituyendo esto en (19.79) e integrando, obtenemos:

De la finitud de la velocidad sobre el eje se deduce que a se determina a partir de la condición límite de la velocidad:

(19.80)

¿Dónde está el radio del cilindro? Esto significa que el perfil de velocidad es nuevamente parabólico.

(19.81)

en el que la velocidad alcanza su valor máximo en el eje del cilindro:

La masa de líquido que fluye a través de la sección transversal del tubo por unidad de tiempo será

(19.82)

es decir, es directamente proporcional al producto de la cuarta potencia del radio del tubo y la caída de presión e inversamente proporcional a la viscosidad cinética del líquido.

La tensión de fricción en la pared del tubo en este caso es igual a

y dirigido a lo largo de la corriente.

Los flujos considerados en esta sección son idealizaciones, ya que se supone que los cuerpos sólidos (placas, tubos) son infinitos. Sin embargo, los resultados obtenidos se utilizan en la práctica si, por ejemplo, la longitud y el ancho de las placas son mucho mayores que la distancia entre ellas o si la longitud del cilindro es mucho mayor que su radio. Los experimentos realizados en cilindros similares llevaron a Hagen (1839) y Poiseuille (1840) al resultado (19,82), que posteriormente obtuvo teóricamente Stokes (1845). Es significativo que Hagen también argumentó que el resultado (19.82) ocurre experimentalmente a bajas velocidades y valores de viscosidad no muy bajos.