Треугольник – плоская геометрическая фигура с одним углом равным 90 °. При этом в геометрии очень часто требуется вычислить площадь такой фигуры. Как это сделать, мы расскажем далее.

Самая простая формула определения площади прямоугольного треугольника

Исходные данные, где: a и b – стороны треугольника, выходящие из прямого угла.

То есть, площадь равна половине произведения двух сторон, которые выходят из прямого угла. Конечно, существует формула Герона, используемая для вычисления площади обычного треугольника, но для определения величины необходимо знать длину трех сторон. Соответственно, вам придется рассчитать гипотенузу, а это лишнее время.

Найти площадь прямоугольного треугольника через формулу Герона

Это всем известная и исходная формула, но для этого вам придется посчитать гипотенузу по двум катетам, используя Теорему Пифагора.

В этой формуле: a, b, c – стороны треугольника, а p – полупериметр.

Найти площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Если в вашей задаче не известен ни один из катетов, то воспользоваться самым простым способом вы не сможете. Для определения величины вам нужно рассчитать длину катетов. Это сделать просто по гипотенузе и косинусу прилежащего угла.

b=c×cos(α)

Узнав длину одного из катетов, по теореме Пифагора вы сможете рассчитать вторую сторону, выходящую из прямого угла.

b 2 =c 2 -a 2

В этой формуле c и a – гипотенуза и катет соответственно. Теперь можете рассчитать площадь по первой формуле. Точно так же можно вычислить один из катетов, имея второй и угол. В таком случае одна из искомых сторон будет равна произведению катета на тангенс угла. Существуют и другие способы вычисления площади, но зная основные теоремы и правила, вы сможете легко найти искомую величину.

Если у вас нет ни одной из сторон треугольника, а имеется лишь медиана и один из углов, то вы сможете вычислить длину сторон. Для этого используйте свойства медианы делить прямоугольный треугольник на два. Соответственно, она может выступать гипотенузой, если выходит из острого угла. Воспользуйтесь теоремой Пифагора и определите длину сторон треугольника, выходящих из прямого угла.

Как видите, зная основные формулы и Теорему Пифагора, вы сможете рассчитать площадь прямоугольного треугольника, имея лишь один из углов и длину одной из сторон.

Прямоугольный треугольник встречается в реальности практически на каждом углу. Знание о свойствах данной фигуры, а также умение вычислять ее площадь, несомненно пригодится вам не только для решения задач по геометрии, но и в жизненных ситуациях.

Геометрия треугольника

В элементарной геометрии прямоугольный треугольник - это фигура, которая состоит из трех соединенных отрезков, формирующих три угла (два острых и один прямой). Прямоугольный треугольник - оригинальная фигура, характеризующаяся рядом важных свойств, которые составляют фундамент тригонометрии. В отличие от обычного треугольника стороны прямоугольной фигуры имеют собственные названия:

• Гипотенуза - самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
• Катеты - отрезки, образующие прямой угол. В зависимости от рассматриваемого угла катет может быть прилежащим к нему (образующий этот угол с гипотенузой) или противолежащим (лежащим напротив угла). Для непрямоугольных треугольников катетов не существуют.

Именно соотношение катетов и гипотенузы составляет основу тригонометрии: синусы, тангенсы и секансы определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник в реальности

Данная фигура получила широкое распространение в реальности. Треугольники находят применение в проектировании и технике, поэтому расчет площади фигуры приходится выполнять инженерам, архитекторам и проектировщикам. Форму треугольника имеют основания тетраэдров или призм - трехмерных фигур, которые легко встретить в повседневности. Кроме того, угольник - наиболее простое представление «плоского» прямоугольного треугольника в реальности. Угольник - это слесарный, чертежный, строительный и столярный инструмент, который используется для построения углов как школьниками, так и инженерами.

Площадь треугольника

Площадь геометрической фигуры - это количественная оценка того, какая часть плоскости ограничена сторонами треугольника. Площадь обычного треугольника можно найти пятью способами, используя формулу Герона или оперируя при расчетах такими переменными, как основание, сторона, угол и радиус вписанной или описанной окружности. Самая простая формула площади выражается как:

где a – сторона треугольника, h – его высота.

Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника еще проще:

где a и b – катеты.

Работая с нашим онлайн-калькулятор, вы можете вычислить площадь треугольника, используя три пары параметров:

• два катета;
• катет и прилежащий угол;
• катет и противолежащий угол.

В задачах или бытовых ситуациях вам будут даны разные комбинации переменных, поэтому такая форма калькулятора позволяет вычислить площадь треугольника несколькими способами. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол - это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Заключение

Прямоугольные треугольники встречаются в нашей жизни буквально на каждом углу. Определение площади таких фигур пригодится вам не только при решении школьных заданий по геометрии, но и повседневной и профессиональной деятельности.

В зависимости от вида треугольника выделяют сразу несколько вариантов нахождения его площади. К примеру, для вычисления площади прямоугольного треугольника используется формула S= a * b / 2, где а и b - это его катеты. Если же требуется узнать площадь равнобедренного треугольника, то необходимо делить на два произведение его основания и высоты. То есть, S= b*h / 2, где b – это основание треугольника, а h – его высота.

Далее, может понадобиться расчет площади равнобедренного прямоугольного треугольника. Здесь приходит на помощь следующая формула: S= a* а / 2, где катеты «а» и «а» – обязательно должны быть с одинаковыми значениями.

Также, нам часто приходится вычислять площадь равностороннего треугольника. Она находится по формуле: S= a * h/ 2, где a – сторона треугольника, и h – его высота. Или по этой формуле: S= √3/ 4 *a^2, где a - сторона.

Как находить площадь прямоугольного треугольника

Вам нужно найти площадь прямоугольного треугольника, но при этом в условии задачи не указаны размеры сразу двух его катетов? Тогда этой формулой (S= a * b / 2) мы не сможем воспользоваться напрямую.

Рассмотрим несколько возможных вариантов решения:

• Если Вам неизвестна длина одного катета, но даны размеры гипотенузы и второго катета, то обращаемся к великому Пифагору и по его теореме (a^2+b^2=c^2) высчитываем длину неизвестного катета, затем используем ее для расчета площади треугольника.
• Если дана длина одного катета и градусный наклон угла противолежащего ему: находим длину второго катета по формуле - a=b*ctg(C).
• Дано: длина одного катета и градусный наклон угла прилежащего к нему: для нахождения длины второго катета применяем формулу - a=b*tg(C).
• И последнее, дано: угол и длина гипотенузы: вычисляем длину обеих его катетов, по таким формулам - b=c*sin(C) и a=c*cos(C).

Как находить площадь равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника можно очень легко и быстро найти по формуле S= b*h / 2, но, при отсутствии одного из показателей, задача значительно усложняется. Ведь необходимо выполнять дополнительные действия.

Возможные варианты задач:

• Дано: длина одной из боковых сторон и длина основания. Находим через теорему Пифагора высоту, то есть длину второго катеты. При условии, что длина основания, разделенная на два, является катетом, а изначально известная боковая сторона – гипотенузой.
• Дано: основание и угол между боковой стороной и основанием. Вычисляем по формуле h=c*ctg(B)/2 высоту (не забываем сторону «c» разделить на два).
• Дано: высота и угол, который был образован основанием и боковой стороной: применяем формулу c=h*tg(B)*2 для нахождения высоты, и полученный результат умножаем на два. Далее вычисляем площадь.
• Известна: длина боковой стороны и угол, который образовался между ним и высотой. Решение: используем формулы - c=a*sin(C)*2 и h=a*cos(C) для нахождения основания и высоты, после чего считаем площадь.

Как найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Если все данные известны, то по стандартной формуле S= a* a / 2 вычисляем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если же в задаче не указаны некоторые показатели, то выполняются дополнительные действия.

Например: нам не известны длины обеих сторон (мы помним, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике они равны), но дана длинна гипотенузы. Применим теорему Пифагора для нахождения одинаковых сторон «a» и «a». Формула Пифагора: a^2+b^2=c^2. В случае с равнобедренным прямоугольным треугольником она преобразовывается в такую: 2a^2 = c^2. Получается, чтобы найти катет «а», нужно длину гипотенузы поделить на корень из 2. Результат решения и будет длинной обеих катетов равнобедренного прямоугольного треугольника. Далее находим площадь.

Как найти площадь равностороннего треугольника

С помощью формулы S= √3/ 4*a^2 можно легко высчитать площадь равностороннего треугольника. Если известен радиус описанной окружности треугольника, то площадь можно найти по формуле: S= 3√3/ 4*R^2, где R - радиус окружности.

На уроках геометрии в средней школе всем нам говорили о том, треугольника. Однако в рамках школьной программы мы получаем только самые необходимые знания и учимся наиболее распространенным и стандартным способам вычислений. Существуют ли необычные способы нахождения этой величины?

В качестве введения вспомним, какой треугольник считается прямоугольным, а также обозначим понятие площади.

Прямоугольным треугольником называют замкнутую геометрическую фигуру, один из углов которой равен 90 0 . Неотъемлемыми понятиями в определении являются катеты и гипотенуза. Под катетами подразумевают две стороны, которые в точке соединения образуют прямой угол. Гипотенуза - сторона, противоположная прямому углу. Прямой треугольник может быть равнобедренным (две его стороны будут иметь одинаковую величину), но никогда не будет равносторонним (все стороны одной длины). Определения высоты, медианы, векторов и прочих математических терминов подробно разбирать не будем. Их легко найти в справочниках.

Площадь прямого треугольника. В отличие от прямоугольников, правило о

произведении сторон в определении не действует. Если говорить сухим языком терминов, то под площадью треугольника понимают свойство этой фигуры занимать часть плоскости, выраженное числом. Довольно сложно к восприятию, согласитесь. Не будем пытаться глубоко вникнуть в определение, наша цель не в этом. Перейдем к главному - как найти площадь прямоугольного треугольника? Сами вычисления производить не будем, укажем только формулы. Для этого определимся с обозначениями: A,B,C - стороны треугольника, катеты - AB, BC. Угол ACB - прямой. S - площадь треугольника, h n n - высота треугольника, где nn - сторона, на которую она опущена.

Способ 1. Как найти площадь прямоугольного треугольника, если известна величина его катетов

Способ 2. Находим площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Способ 3. Вычисление площади через прямоугольник

Достраиваем прямоугольный треугольник до квадрата (если треугольник

равнобедренный) или прямоугольника. Получим простой четырехугольник, составленный из 2-х идентичных прямоугольных треугольников. В этом случае значение площади одного из них будет равно половине площади полученной фигуры. S прямоугольника вычисляем произведением сторон. Обозначим эту величину M. Искомое значение площади будет равно половине M.

Способ 4. «Пифагоровы штаны». Знаменитая теорема Пифагора

Мы все помним ее формулировку: «сумма квадратов катетов...». Но не все могут

сказать, причем тут некие «штаны». Дело в том, что изначально Пифагор изучал взаимосвязь построенных на сторонах прямого треугольника. Выявив закономерности в соотношении сторон квадратов, он смог вывести и известную всем нам формулу. Ее можно применять в случае, когда неизвестна величина одной из сторон.

Способ 5. Как найти площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Тоже достаточно простой способ расчета. Формула предполагает выражение площади треугольника через числовые значения его сторон. Для расчетов необходимо знать величины всех сторон треугольника.

S = (p-AC)*(p-BC), где p = (AB+BC+AC)*0.5

Кроме приведенных, существует множество других способов найти величину такой загадочной фигуры, как треугольник. Среди них: вычисление методом вписанной или описанной окружности, вычисление при помощи координат вершин, использование векторов, абсолютной величины, синусов, тангенсов.

Инструкция

Задача 1.
Найдите длины всех сторон треугольника, если известно, что одного катета превышает длину другого на 1 см, а треугольника равна 28 см.

Решение.
Запишите основную формулу площади S = (a*b)/2 = 28. Известно, что b = a + 1, подставьте это значение в формулу: 28 = (a*(a+1))/2.
Раскройте скобки, получите квадратное уравнение с одной неизвестной a^2 + a - 56 = 0.
Найдите этого , для чего посчитайте дискриминант D = 1 + 224 = 225. Уравнение имеет два решения: a_1 = (-1 + √225)/2 = (-1 + 15)/2 = 7 и a_2 = (-1 - √225)/2 = (-1 - 15)/2 = -8.
Второй не имеет смысла, поскольку длина отрезка не может быть отрицательной величиной, так что a = 7 (см).
Найдите длину второго катета b = a + 1 = 8 (см).
Осталось длину третьей стороны. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника c^2 = a^2 + b^2 = 49 + 64, отсюда c = √(49 + 64) = √113 ≈ 10.6 (см).

Задача 2.
Найдите длины всех сторон прямоугольного треугольника, если известно, что его площадь равна 14 см, а угол ACB равен 30°.

Решение.
Запишите основную формулу S = (a*b)/2 = 14.
Теперь выразите длины катетов через произведение гипотенузы и тригонометрических функций по свойству прямоугольного треугольника:
a = c*cos(ACB) = c*cos(30°) = c*(√3/2) ≈ 0.87*c.
b = c*sin(ACB) = c*sin(30°) = c*(1/2) = 0.5*c.

Подставьте полученные значения в формулу площади:
14 = (0.87*0.5*c^2)/2, откуда:
28 ≈ 0.435*c^2 → c = √64.4 ≈ 8 (см).
Вы нашли длину гипотенузы, теперь найдите длины двух других сторон:
a = 0.87*c = 0.87*8 ≈ 7 (см), b = 0.5*c = 0.5*8 = 4 (см).

Видео по теме

Для начала договоримся об обозначениях. Катетом называют сторону прямоугольного треугольника, которая прилежит к прямому углу (т.е. составляет с другой стороной угол 90 градусов). Длины катетов условимся обозначать a и b. Величины острых углов прямоугольного треугольника, противолежащих катетам, назовём A и B соответственно. Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, которая противолежит прямому углу (т.е. находится напротив прямого угла, с другими сторонами треугольника образует острые углы). Длину гипотенузы обозначим через с. Искомую площадь обозначим через S.

Инструкция

Примените формулу S = (a^2)/(2*tg(A)) в том случае, если вам задан только один из катетов (a), но также известен и противолежащий этому катету угол (A). Знаком "^2" обозначена возведения в квадрат.

Используйте формулу S=(a^2)*tg(B)/2 d случае, если вам задан только один из катетов (a), но также известен и прилежащий этому катету угол (B).

Видео по теме

Источники:

• "Пособие по математике для поступающих в вузы", под ред. Г.Н. Яковлева, 1982.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника рассматриваются в разделе математики, который называется тригонометрией. Для нахождения сторон прямоугольного треугольника достаточно знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, и иметь какое-либо средство для нахождения значений тригонометрических функций, например, калькулятор или таблицы Брадиса. Рассмотрим ниже основные случаи задач нахождения сторон прямоугольного треугольника.

Вам понадобится

• Калькулятор, таблицы Брадиса.

Инструкция

Если задан один из острых углов, например, A, и один из катетов, например, a, то гипотенуза и другой катет вычисляются из соотношений: b=a*tg(A), c=a*sin(A).

Полезный совет

В том случае, если вам не известно значение синуса или косинуса какого-то из необходимых для расчёта углов, вы можете воспользоваться таблицами Брадиса, в них приводятся значения тригонометрических функций для большого числа углов. Кроме того, большинство современных калькуляторов способны рассчитывать синусы и косинусы углов.

Источники:

• как вычислить сторону прямоугольного треугольника в 2019

Совет 4: Как найти основание прямоугольного треугольника

В такой фигуре как прямоугольный треугольник обязательно существует четкое соотношение сторон относительно друг друга. Зная две из них, всегда можно найти третью. То, каким образом это возможно сделать, вы узнаете из инструкции, предложенной ниже.

Вам понадобится

• - калькулятор.

Инструкция

Возведите в квадрат оба катета, а сложите их между собой a2+b2. Полученный результат является гипотенузой (основанием ) в квадрате c2. Далее нужно лишь извлечь корень из последнего , и гипотенуза найдена. Данный метод является простым и удобным в применении на . Главное в процессе нахождения сторон треугольника таким образом - не забывать извлекать корень из предварительного результата, чтобы избежать самой распространенной ошибки. Формула выведена, благодаря самой известной в мире теореме Пифагора, которая во всех источниках имеет вид: a2+b2 = c2.

Разделите один из катетов a на синус противолежащего ему угла sin α. В том случае, если в условии известны стороны и синусы, этот вариант нахождения гипотенузы будет приемлемым. Формула в данном случае будет иметь совсем простой вид: c=a/sin α. Будьте внимательны при всех вычислениях.

Умножьте сторону a на два. Гипотенуза вычислена. Это, пожалуй, самый элементарный способ нахождения нам стороны. Но, к сожалению, этот метод применяется только в одном случае - если сторона, которая лежит напротив угла в градусную меру, равную числу тридцать. При наличии таковой вы можете быть уверены, что она всегда будет являть собой ровно половину гипотенузы. Соответственно, вам остается лишь увеличить ее в два раза и готов.

Разделите катет a на косинус прилежащего к нему угла cos α. Такой метод подойдет исключительно в том случае, если вам известен один из катетов и косинус угла к нему прилежащего. Этот способ напоминает уже представленный вам ранее, в котором используется также катет, но вместо косинуса - синус противолежащего угла. Только вот в этом случае будет иметь несколько другой измененный внешний вид: с=a/ cos α. Вот и все.

Совет 5: Как найти угол, если известны стороны прямоугольного треугольника

Треугольник , один из углов которого является прямым (равен 90°), называют прямоугольным. Его самая длинная сторона всегда лежит напротив прямого угла и называется гипотенузой, а две другие стороны называют катетами. Если длины этих трех сторон известны, то найти величины всех углов треугольник а не составит труда, так как фактически потребуется вычислить всего один из углов. Сделать это можно несколькими способами.

Инструкция

Используйте для вычисления величин (α, β, γ) определения тригонометрических функций через прямоугольный тре. Такое , например, для синуса острого угла как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Значит, если длины катетов (A и B) и гипотенузы (C), то найти, например, синус угла α, лежащего напротив катета A можно, разделив длину стороны А на длину стороны C (гипотенузы): sin(α)=A/C. Узнав значение синуса этого угла можно найти его величину в градусах, использовав обратную синусу функцию - арксинус. То есть α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). Таким же способом можно найти и величину острого угла в треугольник е, но в этом нет необходимости. Так как сумма всех углов треугольник а составляет 180°, а в треугольник е один из углов равен 90°, то величину третьего угла можно посчитать как разность между 90° и величиной найденного угла: β=180°-90°-α=90°-α.

Вместо определения синуса можно использовать определение косинуса острого угла, которое формулируется как отношение длины прилежащего к искомому углу катета к длине гипотенузы: cos(α)=B/C. И здесь задействуйте обратную тригонометрическую функцию (арккосинус), чтобы найти величину угла в градусах: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). После этого, как и в предыдущем шаге, останется найти величину недостающего угла: β=90°-α.

Можно воспользоваться аналогичным тангенса - он выражается соотношением длины противолежащего искомому углу катета к длине катета прилежащего: tg(α)=A/B. Величину угла в градусах снова определяйте через обратную тригонометрическую функцию - : α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Формула величины недостающего угла останется без изменений: β=90°-α.

Видео по теме

Совет 6: Как найти длину стороны прямоугольного треугольника

Прямоугольным считается такой треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона треугольника , расположенная напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника , можно воспользоваться несколькими способами.

Инструкция

1. Известны значения двух катетов

В таком случае площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
S= 0.5ab

2. Известен один катет и гипотенуза

При подобных условиях логичнее всего воспользоваться теоремой Пифагора и вышеизложенной формулой:
S = 0.5∙sqrt(c^2-a^2) ∙a,
где sqrt –квадратный корень, c^2-a^2 – подкоренное выражение, обозначающее разность квадрата гипотенузы и катета.

3. Даны значения всех сторон треугольника

Для таких задач можно использовать формулу Герона:
S = (p-a)(p-b),
где p – полупериметр, который находится по следующему выражению: p = 0.5∙ (a+b+c)

4. Известен один катет и угол

Тут стоит обратиться к тригонометрическим функциям. Например, tg(1) = 1/сtg (1) = b/a. То есть, благодаря этому соотношению можно определить значение неизвестного катета. Далее задача сводится к первому пункту.

5. Известна гипотенуза и угол

В данном случае также используются тригонометрические функции синуса и косинуса: сos(2)=1/sin(2) = b/c. Затем решение задачи сводится ко второму пункту статьи.

Видео по теме

Совет 11: Как называются стороны прямоугольного треугольника

Гипотенуза и катеты

Соотношения между гипотенузой и катетами

c2=a2+b2, где с – гипотенуза, a и b – катеты. То есть, гипотенуза будет равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Чтобы найти любой из катетов, достаточно из квадрата гипотенузы вычесть квадрат другого катета и извлечь из полученной разности квадратный корень.

Прилежащий и противолежащий катет

Таким образом, зная угол и одну из сторон, можно по этим формулам вычислить другую сторону. Тригонометрическими соотношениями связаны и оба катета. Отношение противолежащего к прилежащему называется тангенсом, а прилежащего к противолежащему – котангенсом. Выразить эти соотношения можно формулами tgA=a/b или ctgA=b/a.