Se voidaan määrittää eri tavoin (yksi piste ja vektori, kaksi pistettä ja vektori, kolme pistettä jne.). Tämä mielessä pitäen tason yhtälöllä voi olla erilaisia ​​muotoja. Tietyissä olosuhteissa tasot voivat myös olla yhdensuuntaisia, kohtisuorassa, leikkaavia jne. Puhumme tästä tässä artikkelissa. Opimme kirjoittamaan tason yleisen yhtälön eikä vain.

Yhtälön normaalimuoto

Oletetaan, että on avaruus R 3, jolla on suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä XYZ. Asetamme vektorin α, joka vapautuu alkupisteestä O. Piirretään vektorin α pään läpi taso P, joka on kohtisuorassa sitä vastaan.

Merkitse P:llä mielivaltainen piste Q=(x, y, z). Merkitsemme pisteen Q sädevektorin kirjaimella p. Vektorin α pituus on p=IαI ja Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Tämä on yksikkövektori, joka osoittaa sivuttain, aivan kuten vektori α. α, β ja γ ovat kulmia, jotka muodostuvat vektorin Ʋ ja avaruusakselien x, y, z positiivisten suuntien välille, vastaavasti. Jonkin pisteen QϵП projektio vektoriin Ʋ on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin р: (р,Ʋ) = р(р≥0).

Tämä yhtälö on järkevä, kun p = 0. Ainoa asia on, että taso P tässä tapauksessa leikkaa pisteen O (α=0), joka on origo, ja pisteestä O irrotettu yksikkövektori Ʋ on kohtisuorassa P:tä vastaan, riippumatta sen suunnasta, mikä tarkoittaa että vektori Ʋ määritetään etumerkkitarkkuudesta. Edellinen yhtälö on P-tasomme yhtälö ilmaistuna vektorimuodossa. Mutta koordinaateissa se näyttää tältä:

P tässä on suurempi tai yhtä suuri kuin 0. Olemme löytäneet avaruuden tason yhtälön normaalimuodossaan.

Yleinen yhtälö

Jos kerromme yhtälön koordinaateissa millä tahansa luvulla, joka ei ole yhtä suuri kuin nolla, saadaan yhtälö, joka vastaa annettua yhtälöä, joka määrittää saman tason. Se näyttää tältä:

Tässä A, B, C ovat lukuja, jotka ovat samanaikaisesti erilaisia ​​kuin nolla. Tätä yhtälöä kutsutaan yleistasoyhtälöksi.

Tasoyhtälöt. Erikoistapaukset

Yhtälöä yleisessä muodossa voidaan muuttaa lisäehtojen läsnä ollessa. Tarkastellaanpa joitain niistä.

Oletetaan, että kerroin A on 0. Tämä tarkoittaa, että annettu taso on yhdensuuntainen annetun akselin Ox kanssa. Tässä tapauksessa yhtälön muoto muuttuu: Ву+Cz+D=0.

Samalla tavalla yhtälön muoto muuttuu seuraavissa olosuhteissa:

• Ensinnäkin, jos B = 0, niin yhtälö muuttuu muotoon Ax + Cz + D = 0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden Oy-akselin kanssa.
• Toiseksi, jos С=0, niin yhtälö muunnetaan muotoon Ах+Ву+D=0, mikä osoittaa yhdensuuntaisuuden annetun akselin Oz kanssa.
• Kolmanneksi, jos D=0, yhtälö näyttää muotoa Ax+By+Cz=0, mikä tarkoittaa, että taso leikkaa O:n (origo).
• Neljänneksi, jos A=B=0, yhtälö muuttuu muotoon Cz+D=0, mikä osoittautuu rinnakkaiseksi Oxyn kanssa.
• Viidenneksi, jos B=C=0, yhtälöstä tulee Ax+D=0, mikä tarkoittaa, että taso Oyz:ään on yhdensuuntainen.
• Kuudenneksi, jos A=C=0, yhtälö saa muotoa Ву+D=0, eli se raportoi rinnakkaisuuden Oxz:lle.

Yhtälön tyyppi segmenteissä

Jos luvut A, B, C, D eivät ole nollia, yhtälön (0) muoto voi olla seuraava:

x/a + y/b + z/c = 1,

jossa a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Saamme tuloksena On syytä huomata, että tämä taso leikkaa Ox-akselin pisteessä, jonka koordinaatit (a,0,0), Oy - (0,b,0) ja Oz - (0,0,c) .

Kun otetaan huomioon yhtälö x/a + y/b + z/c = 1, on helppo esittää visuaalisesti tason sijainti suhteessa annettuun koordinaattijärjestelmään.

Normaalivektorikoordinaatit

Tason P normaalivektorilla n on koordinaatit, jotka ovat annetun tason yleisen yhtälön eli n (A, B, C) kertoimia.

Normaalin n:n koordinaattien määrittämiseksi riittää, että tunnetaan tietyn tason yleinen yhtälö.

Käytettäessä yhtälöä segmenteissä, jonka muoto on x/a + y/b + z/c = 1, sekä yleistä yhtälöä käytettäessä voidaan kirjoittaa minkä tahansa tietyn tason normaalivektorin koordinaatit: (1 /a + 1/b + 1/ Kanssa).

On huomattava, että normaalivektori auttaa ratkaisemaan erilaisia ​​​​ongelmia. Yleisimpiä ovat tehtävät, jotka koostuvat tasojen kohtisuoran tai yhdensuuntaisuuden osoittamisesta, ongelmista tasojen välisten kulmien tai tasojen ja suorien välisten kulmien löytämisessä.

Näkymä tason yhtälöstä pisteen ja normaalivektorin koordinaattien mukaan

Nollasta poikkeavaa vektoria n, joka on kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden, kutsutaan normaaliksi (normaaliksi) tietylle tasolle.

Oletetaan, että koordinaattiavaruudessa (suorakulmainen koordinaattijärjestelmä) Oxyz on annettu:

• piste Mₒ koordinaattein (xₒ,yₒ,zₒ);
• nollavektori n=A*i+B*j+C*k.

On tarpeen laatia yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen Mₒ kautta kohtisuorassa normaaliin n nähden.

Avaruudessa valitsemme minkä tahansa mielivaltaisen pisteen ja merkitsemme sitä M (x y, z). Olkoon minkä tahansa pisteen M (x, y, z) sädevektori r=x*i+y*j+z*k ja pisteen Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) sädevektori - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Piste M kuuluu annettuun tasoon, jos vektori MₒM on kohtisuorassa vektoria n vastaan. Kirjoitamme ortogonaalisuusehdon käyttämällä skalaarituloa:

[MₒM, n] = 0.

Koska MₒM \u003d r-rₒ, tason vektoriyhtälö näyttää tältä:

Tämä yhtälö voi saada toisen muodon. Tätä varten käytetään skalaaritulon ominaisuuksia ja yhtälön vasen puoli muunnetaan. = -. Jos merkitään c:llä, saadaan seuraava yhtälö: - c \u003d 0 tai \u003d c, joka ilmaisee projektioiden pysyvyyden tasoon kuuluvien annettujen pisteiden sädevektoreiden normaalivektoriin.

Nyt voit saada tasomme vektoriyhtälön kirjoittamisen koordinaattimuodon = 0. Koska r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, ja n = A*i+B *j+C*k, meillä on:

Osoittautuu, että meillä on yhtälö tasolle, joka kulkee kohtisuorassa normaaliin n:ään nähden:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Näkymä tasoyhtälöstä kahden pisteen koordinaattien ja tasoon nähden kollineaarisen vektorin mukaan

Määrittelemme kaksi mielivaltaista pistettä M′ (x′,y′,z′) ja M″ (x″,y″,z″) sekä vektorin a (a′,a″,a‴).

Nyt voidaan muodostaa yhtälö annetulle tasolle, joka kulkee käytettävissä olevien pisteiden M′ ja M″ kautta sekä minkä tahansa pisteen M, jonka koordinaatit (x, y, z) ovat yhdensuuntaiset annetun vektorin a kanssa.

Tässä tapauksessa vektorien M'M=(x-x';y-y';z-z') ja M'M=(x'-x';y'-y';z'-z') on oltava samassa tasossa vektorin kanssa a=(a′,a″,a‴), mikä tarkoittaa, että (M′M, M″M, a)=0.

Joten yhtälömme tasosta avaruudessa näyttää tältä:

Kolmen pisteen leikkaavan tason yhtälön tyyppi

Oletetaan, että meillä on kolme pistettä: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), jotka eivät kuulu samaan suoraan. On tarpeen kirjoittaa annettujen kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö. Geometrian teoria väittää, että tällainen taso on todella olemassa, mutta se on ainoa ja jäljittelemätön. Koska tämä taso leikkaa pisteen (x′, y′, z′), sen yhtälön muoto on seuraava:

Tässä A, B, C eroavat nollasta samanaikaisesti. Lisäksi annettu taso leikkaa vielä kaksi pistettä: (x″,y″,z″) ja (x‴,y‴,z‴). Tässä suhteessa seuraavat ehdot on täytettävä:

Nyt voimme muodostaa homogeenisen järjestelmän tuntemattomilla u, v, w:

Meidän tapauksessamme x, y tai z on mielivaltainen piste, joka täyttää yhtälön (1). Kun otetaan huomioon yhtälö (1) ja yhtälöjärjestelmä (2) ja (3), yllä olevassa kuvassa esitetty yhtälöjärjestelmä tyydyttää vektorin N (A, B, C), joka on ei-triviaali. Siksi tämän järjestelmän determinantti on nolla.

Yhtälö (1), jonka olemme saaneet, on tason yhtälö. Se kulkee tarkalleen 3 pisteen läpi, ja tämä on helppo tarkistaa. Tätä varten meidän on laajennettava determinanttiamme ensimmäisen rivin elementtien päälle. Determinantin olemassa olevista ominaisuuksista seuraa, että tasomme leikkaa samanaikaisesti kolme alun perin annettua pistettä (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Eli olemme ratkaisseet meille asetetun tehtävän.

Tasojen välinen dihedraalinen kulma

Dihedraalinen kulma on spatiaalinen geometrinen kuvio, jonka muodostaa kaksi puolitasoa, jotka lähtevät yhdestä suorasta. Toisin sanoen tämä on se osa tilaa, jota nämä puolitasot rajoittavat.

Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa, joilla on seuraavat yhtälöt:

Tiedämme, että vektorit N=(A,B,C) ja N1=(A1,B1,C1) ovat kohtisuorassa annettujen tasojen mukaan. Tässä suhteessa vektorien N ja N¹ välinen kulma φ on yhtä suuri kuin kulma (dihedral), joka on näiden tasojen välillä. Skalaaritulolla on muoto:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

juuri siksi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Riittää, kun otetaan huomioon, että 0≤φ≤π.

Itse asiassa kaksi tasoa, jotka leikkaavat, muodostavat kaksi (dihedral) kulmaa: φ 1 ja φ 2 . Niiden summa on yhtä suuri kuin π (φ 1 + φ 2 = π). Mitä tulee kosineihin, niiden absoluuttiset arvot ovat samat, mutta ne eroavat etumerkeissä, eli cos φ 1 =-cos φ 2. Jos yhtälössä (0) korvataan A, B ja C numeroilla -A, -B ja -C, niin saatu yhtälö määrittää saman tason, ainoan kulman φ yhtälössä cos φ= NN 1 /| N||N 1 | korvataan π-φ:lla.

Kohtisuoran tason yhtälö

Tasoja kutsutaan kohtisuoraksi, jos niiden välinen kulma on 90 astetta. Yllä hahmoteltua materiaalia käyttämällä voimme löytää toista kohti kohtisuoran tason yhtälön. Oletetaan, että meillä on kaksi tasoa: Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Voimme sanoa, että ne ovat kohtisuorassa, jos cosφ=0. Tämä tarkoittaa, että NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Yhdensuuntaisen tason yhtälö

Yhdensuuntaisia ​​ovat kaksi tasoa, jotka eivät sisällä yhteisiä pisteitä.

Ehto (niiden yhtälöt ovat samat kuin edellisessä kappaleessa) on, että vektorit N ja N¹, jotka ovat kohtisuorassa niihin nähden, ovat kollineaarisia. Tämä tarkoittaa, että seuraavat suhteellisuusedellytykset täyttyvät:

A/A1=B/B1=C/C1.

Jos suhteellisuusehtoja laajennetaan - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

tämä osoittaa, että nämä tasot osuvat yhteen. Tämä tarkoittaa, että yhtälöt Ax+By+Cz+D=0 ja A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 kuvaavat yhtä tasoa.

Etäisyys koneeseen pisteestä

Oletetaan, että meillä on taso P, joka saadaan yhtälöllä (0). On tarpeen löytää etäisyys siihen pisteestä, jonka koordinaatit (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Tätä varten sinun on saatettava tason P yhtälö normaalimuotoon:

(ρ,v)=p (p≥0).

Tässä tapauksessa ρ(x,y,z) on pisteemme Q sädevektori, joka sijaitsee P:llä, p on nollapisteestä vapautetun kohtisuoran pituus P:tä vastaan, v on yksikkövektori, joka sijaitsee a suunta.

Jonkin P:hen kuuluvan pisteen Q \u003d (x, y, z) sädevektorin ero ρ-ρº sekä tietyn pisteen sädevektorin Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ero on sellainen vektori, jonka projektion itseisarvo v:llä on yhtä suuri kuin etäisyys d, joka on löydettävä paikasta Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) P:hen:

D=|(ρ-ρ 0,v)|, mutta

(ρ-ρ0,v)= (ρ,v)-(ρ0,v) =р-(ρ0,v).

Joten se käy ilmi

d=|(ρ0,v)-p|.

Siten löydämme tuloksena olevan lausekkeen itseisarvon, eli halutun d:n.

Parametrien kieltä käyttämällä saamme ilmeisen:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Jos annettu piste Q 0 on tason P toisella puolella, samoin kuin origo, niin vektorien ρ-ρ 0 ja v välillä on siis:

d=-(ρ-ρ0,v)=(ρ0,v)-p>0.

Siinä tapauksessa, että piste Q 0 yhdessä origon kanssa sijaitsee P:n samalla puolella, luotu kulma on terävä, eli:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Tuloksena käy ilmi, että ensimmäisessä tapauksessa (ρ 0 ,v)> р, toisessa (ρ 0 ,v)<р.

Tangenttitaso ja sen yhtälö

Pinnan tangenttitaso kosketuspisteessä Mº on taso, joka sisältää kaikki mahdolliset tangentit tämän pinnan pisteen läpi piirretyille käyrille.

Tällä pintayhtälön F (x, y, z) \u003d 0 muodolla tangenttitason yhtälö tangenttipisteessä Mº (xº, yº, zº) näyttää tältä:

F x (xº, yº, zº)(x-xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Jos määrität pinnan eksplisiittisessä muodossa z=f (x, y), tangenttitasoa kuvataan yhtälöllä:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Kahden tason leikkauspiste

Koordinaatistossa (suorakulmainen) Oxyz sijaitsee, on annettu kaksi tasoa П′ ja П″, jotka leikkaavat eivätkä ole samat. Koska mikä tahansa suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa sijaitseva taso määräytyy yleisen yhtälön avulla, oletetaan, että P' ja P' on annettu yhtälöillä A'x+B'y+C'z+D'=0 ja A'x +B″y+ С″z+D″=0. Tässä tapauksessa meillä on P′-tason normaali n' (A', B', C') ja P'-tason normaali n' (A', B', C'). Koska tasomme eivät ole yhdensuuntaisia ​​eivätkä täsmää, nämä vektorit eivät ole kollineaarisia. Matematiikan kieltä käyttämällä voimme kirjoittaa tämän ehdon seuraavasti: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Merkitään P′:n ja P″:n leikkauspisteessä olevaa suoraa kirjaimella a, tässä tapauksessa a = P′ ∩ P″.

a on suora, joka koostuu (yhteisten) tasojen П′ ja П″ kaikkien pisteiden joukosta. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa suoralle a kuuluvan pisteen koordinaattien tulee samanaikaisesti täyttää yhtälöt A′x+B′y+C′z+D′=0 ja A″x+B″y+C″z+D″= 0. Tämä tarkoittaa, että pisteen koordinaatit ovat erityinen ratkaisu seuraavalle yhtälöjärjestelmälle:

Tuloksena käy ilmi, että tämän yhtälöjärjestelmän (yleinen) ratkaisu määrittää jokaisen suoran pisteen koordinaatit, joka toimii П′:n ja П″:n leikkauspisteenä ja määrittää suoran. viiva a koordinaattijärjestelmässä Oxyz (suorakulmainen) avaruudessa.

Tasoyhtälö. Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle?
Lentokoneiden keskinäinen järjestely. Tehtävät

Tilageometria ei ole paljon monimutkaisempaa kuin "litteä" geometria, ja lentomme avaruudessa alkavat tästä artikkelista. Aiheen ymmärtämiseksi on oltava hyvä käsitys aiheesta vektorit, lisäksi on toivottavaa tuntea tason geometria - siellä on monia yhtäläisyyksiä, monia analogioita, joten tiedot sulautuvat paljon paremmin. Oppituntieni sarjassa 2D-maailma avautuu artikkelilla Tason suoran yhtälö. Mutta nyt Batman on poistunut taulutelevisiosta ja lähtee liikkeelle Baikonurin kosmodromista.

Aloitetaan piirustuksista ja symboleista. Kaavamaisesti taso voidaan piirtää suunnikkaana, joka antaa vaikutelman avaruudesta:

Taso on ääretön, mutta meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä. Käytännössä suunnikkaan lisäksi piirretään myös soikea tai jopa pilvi. Teknisistä syistä minun on helpompi kuvata kone tällä tavalla ja tässä asennossa. Todelliset tasot, joita tarkastelemme käytännön esimerkeissä, voidaan järjestää haluamallasi tavalla - ota piirustus henkisesti käsiisi ja kierrä sitä avaruudessa antamalla tasolle minkä tahansa kaltevuuden, minkä tahansa kulman.

Merkintä: on tapana merkitä lentokoneet pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla, ilmeisesti, jotta niitä ei sekoitettaisi suoraan lentokoneessa tai kanssa suoraan avaruuteen. Olen tottunut käyttämään kirjainta. Piirustuksessa se on kirjain "sigma", eikä ollenkaan reikä. Vaikka reikäinen lentokone, se on varmasti erittäin hauska.

Joissakin tapauksissa on kätevää käyttää samoja kreikkalaisia ​​kirjaimia alaindeksien kanssa osoittamaan tasoja, esimerkiksi .

On selvää, että tason määrittää yksiselitteisesti kolme erilaista pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla. Siksi lentokoneiden kolmikirjaiminen nimitykset ovat melko suosittuja - esimerkiksi niihin kuuluvien pisteiden mukaan jne. Usein kirjaimet on suljettu suluissa: jotta tasoa ei sekoitettaisi toiseen geometriseen kuvioon.

Kokeneille lukijoille annan pikavalikko:

• Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja kahden vektorin avulla?
• Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja normaalivektorin avulla?

emmekä joudu pitkiin odotuksiin:

Tason yleinen yhtälö

Tason yleinen yhtälö on muotoa , jossa kertoimet ovat samanaikaisesti nollasta poikkeavia.

Useat teoreettiset laskelmat ja käytännön ongelmat pätevät sekä tavanomaiseen ortonormaaliin kantaan että avaruuden affiiniseen kantaan (jos öljy on öljyä, palaa oppitunnille Vektorien lineaarinen (ei) riippuvuus. Vektoripohjalta). Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että kaikki tapahtumat tapahtuvat ortonormaalilla pohjalla ja suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Ja nyt harjoitellaan vähän avaruudellista mielikuvitusta. Ei hätää, jos sinulla on se huono, nyt kehitetään sitä hieman. Myös hermoilla pelaaminen vaatii harjoittelua.

Yleisimmässä tapauksessa, kun luvut eivät ole yhtä suuria kuin nolla, taso leikkaa kaikki kolme koordinaattiakselia. Esimerkiksi näin:

Toistan vielä kerran, että kone jatkaa loputtomiin kaikkiin suuntiin, ja meillä on mahdollisuus kuvata vain osa siitä.

Harkitse yksinkertaisimpia tasojen yhtälöitä:

Kuinka ymmärtää tämä yhtälö? Ajattele sitä: "Z" AINA, kaikille "X":n ja "Y":n arvoille on nolla. Tämä on "natiivi" koordinaattitason yhtälö. Itse asiassa muodollisesti yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , josta on selvästi nähtävissä, että emme välitä, mitkä arvot "x" ja "y" ottavat, on tärkeää, että "z" on nolla.

Samalla lailla:
on koordinaattitason yhtälö ;
on koordinaattitason yhtälö.

Monimutkaistaan ​​ongelmaa hieman, harkitsemme tasoa (tässä ja edelleen kappaleessa oletetaan, että numeeriset kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla). Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon: . Kuinka se ymmärtää? "X" on AINA, koska mikä tahansa "y":n ja "z":n arvo on yhtä suuri kuin tietty luku. Tämä taso on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa. Esimerkiksi taso on yhdensuuntainen tason kanssa ja kulkee pisteen läpi.

Samalla lailla:
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa;
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa.

Lisää jäseniä: . Yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti: , eli "Z" voi olla mikä tahansa. Mitä se tarkoittaa? "X" ja "Y" on yhdistetty suhteella, joka piirtää tietyn suoran tasoon (tunteat tasossa olevan suoran yhtälö?). Koska Z voi olla mikä tahansa, tämä viiva "toistetaan" millä tahansa korkeudella. Siten yhtälö määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa

Samalla lailla:
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa;
- tason yhtälö, joka on yhdensuuntainen koordinaattiakselin kanssa.

Jos vapaat termit ovat nolla, tasot kulkevat suoraan vastaavien akselien läpi. Esimerkiksi klassinen "suora suhteellisuus":. Piirrä suora viiva tasoon ja kerro se henkisesti ylös ja alas (koska "z" on mikä tahansa). Johtopäätös: yhtälön antama taso kulkee koordinaattiakselin läpi.

Päätämme tarkastelun: tason yhtälö kulkee alkuperän läpi. No, tässä on aivan ilmeistä, että piste täyttää annetun yhtälön.

Ja lopuksi tapaus, joka näkyy piirustuksessa: - taso on ystävä kaikkien koordinaattiakseleiden kanssa, samalla kun se "leikkaa" aina kolmion, joka voi sijaita missä tahansa kahdeksasta oktantista.

Lineaariset epäyhtälöt avaruudessa

Tietojen ymmärtämiseksi on opiskella hyvin lineaariset epäyhtälöt tasossa koska monet asiat ovat samanlaisia. Kappale on lyhyt katsaus muutaman esimerkin kera, koska materiaali on käytännössä melko harvinaista.

Jos yhtälö määrittelee tason, niin epäyhtälöt
kysyä puolivälit. Jos epäyhtälö ei ole tiukka (luettelon kaksi viimeistä), niin epäyhtälön ratkaisu sisältää puoliavaruuden lisäksi itse tason.

Esimerkki 5

Etsi tason yksikkönormaalivektori .

Ratkaisu: Yksikkövektori on vektori, jonka pituus on yksi. Merkitään tämä vektori merkillä . On aivan selvää, että vektorit ovat kollineaarisia:

Ensin poistetaan normaalivektori tason yhtälöstä: .

Kuinka löytää yksikkövektori? Yksikkövektorin löytämiseksi tarvitset joka vektorikoordinaatti jaettuna vektorin pituudella.

Kirjoitetaan normaalivektori muotoon ja selvitetään sen pituus:

Yllä olevan mukaan:

Vastaus:

Tarkista: , joka oli tarkistettava.

Lukijat, jotka ovat tutkineet huolellisesti oppitunnin viimeistä kappaletta, luultavasti huomasivat sen yksikkövektorin koordinaatit ovat täsmälleen vektorin suuntakosinit:

Poistutaanpa puretun ongelman sisällöstä: kun sinulle annetaan mielivaltainen nollasta poikkeava vektori, ja ehdon mukaan sen on löydettävä sen suuntakosinit (katso oppitunnin viimeiset tehtävät Vektorien pistetulo), niin löydät itse asiassa myös yksikkövektorin, joka on kollineaarinen annetun vektorin kanssa. Itse asiassa kaksi tehtävää samassa pullossa.

Tarve löytää yksikkönormaalivektori syntyy joissakin matemaattisen analyysin ongelmissa.

Selvitimme normaalin vektorin kalastuksen, nyt vastaamme päinvastaiseen kysymykseen:

Kuinka kirjoittaa yhtälö tasolle pisteen ja normaalivektorin avulla?

Tikkataulu tuntee hyvin tämän normaalivektorin ja pisteen jäykän rakenteen. Ojenna kätesi eteenpäin ja valitse mielivaltaisesti mielivaltainen piste avaruudesta, esimerkiksi pieni kissa senkkissä. Ilmeisesti tämän pisteen kautta voit piirtää yhden tason, joka on kohtisuorassa käteesi nähden.

Vektoriin nähden kohtisuorassa olevan pisteen läpi kulkevan tason yhtälö ilmaistaan ​​kaavalla:

Pisteet M 1 , M 2 , M 3 eivät ole yhdellä suoralla. Kuten tiedetään, kolme tällaista pistettä määrittävät yksiselitteisesti tietyn tason p (kuva 199).

Johdamme tason yhtälön R. Olkoon M mielivaltainen piste avaruudessa. Ilmeisesti piste M kuuluu tasoon R jos ja vain jos vektorit

\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) ovat samassa tasossa. Kolmen vektorin komplanaarisuuden välttämätön ja riittävä ehto on niiden sekatuotteen katoaminen (§ 23*, Lause 2). Siksi kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö, jotka eivät ole yhdellä suoralla, voidaan kirjoittaa seuraavasti:

(\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)

Jos pisteet M 1 , M 2 ja M 3 on annettu koordinaatteina jossain suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa, niin yhtälö (1) voidaan kirjoittaa koordinaatteina.

Olkoon M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 ( X 2 ; klo 2 ; z 2), M 3 ( X 3 ; klo 3 ; z 3) - annetut pisteet. Merkitään mielivaltaisen pisteen M koordinaatit tason p kautta x, y Ja z. Etsi yhtälöön (1) sisältyvien vektorien koordinaatit:

\(\overrightarrow(M_(1)M)\) = ( x - x 1 ; u - u 1 ; z - z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_2)\) = ( x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) = ( x 3 -x 1 ; klo 3 -y 1 ; z 3 -z 1).

Kolmen vektorin sekatulo on yhtä suuri kuin kolmannen kertaluvun determinantti, jonka riveillä on vektorien koordinaatit. Siksi yhtälöllä (1) koordinaateissa on muoto

$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0 \;\; (2) $$

Etsitään kolmen pisteen A kautta kulkevan tason yhtälö ( A; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; Kanssa), joka A =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. Nämä pisteet sijaitsevat koordinaattiakseleilla (kuva 200).

Olettaen yhtälössä (2) x 1 = A, klo 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, klo 2 = b, z 2 = 0, x 3 = 0, klo 3 = 0, z 3 = Kanssa, saamme

$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$

Laajentamalla determinanttia ensimmäisen rivin elementtien päälle, saadaan yhtälö

eKr(x - a) + acy + abz = 0

bcx + acu + abz = abc,

x / a + y / b + z / c = 1. (3)

Yhtälöä (3) kutsutaan tasoyhtälö segmenteissä, numeroista lähtien a, b Ja Kanssa osoittavat, mitkä segmentit taso leikkaa koordinaattiakseleilta.

Tehtävä. Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee pisteiden M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12) kautta. Yksinkertaista tuloksena oleva yhtälö. Hanki annetun tason yhtälö segmenteinä.

Yhtälö (2) kirjoitetaan tässä tapauksessa seuraavasti:

$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$

Tämä on tämän tason yhtälö. Laajentamalla determinanttia ensimmäisen rivin yli, saamme

62(X+ 1) +93(y- 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2x + 3y + 2z - 12 = 0.

Jakamalla termi termillä 12 ja siirtämällä yhtälön vapaa termi oikealle puolelle saadaan tämän tason yhtälö segmenteissä

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

Yhtälöstä voidaan nähdä, että tämä taso katkaisee koordinaattiakseleilta segmenttejä, joiden pituudet ovat vastaavasti 6, 4 ja 6. Axis vai niin leikkaa tason pisteessä, jossa on negatiivinen abskissa, akseli OU- pisteessä, jossa on positiivinen ordinaatta, akseli Oz- kohdassa, jolla on myönteinen hakemus.

Tason yleisen yhtälön saamiseksi analysoimme tietyn pisteen läpi kulkevaa tasoa.

Olkoon kolme meille jo tuttua koordinaattiakselia avaruudessa - Härkä, Oy Ja Oz. Pidä paperiarkkia niin, että se pysyy tasaisena. Taso on itse arkki ja sen jatko kaikkiin suuntiin.

Antaa P mielivaltainen taso avaruudessa. Mitä tahansa sitä vastaan ​​kohtisuoraa vektoria kutsutaan normaali vektori tähän koneeseen. Luonnollisesti puhumme nollasta poikkeavasta vektorista.

Jos jokin tason piste tunnetaan P ja jokin sen normaalin vektori, niin näillä kahdella ehdolla taso avaruudessa on täysin määrätty(tietyn pisteen kautta on vain yksi taso, joka on kohtisuorassa annettuun vektoriin nähden). Tason yleinen yhtälö näyttää tältä:

Joten on olemassa ehtoja, jotka asettavat tason yhtälön. Saadakseen sen itse tasoyhtälö, jolla on yllä oleva muoto, otamme lentokoneeseen P mielivaltainen kohta M vaihtelevilla koordinaatteilla x, y, z. Tämä piste kuuluu tasolle vain, jos vektori kohtisuorassa vektoriin nähden(Kuva 1). Tätä varten vektorien kohtisuoran ehdon mukaan on välttämätöntä ja riittävää, että näiden vektorien skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla, eli

Vektori on annettu ehdolla. Löydämme vektorin koordinaatit kaavasta :

.

Nyt käyttämällä vektoreiden pistetulokaavaa , ilmaisemme skalaaritulon koordinaattimuodossa:

Kohdasta lähtien M(x; y; z) valitaan mielivaltaisesti tasossa, niin viimeinen yhtälö täyttyy minkä tahansa tasossa olevan pisteen koordinaatilla P. Pisteeksi N, ei makaa tietyssä tasossa, ts. tasa-arvoa (1) rikotaan.

Esimerkki 1 Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee pisteen läpi ja on kohtisuorassa vektoria vastaan.

Ratkaisu. Käytämme kaavaa (1), katso se uudelleen:

Tässä kaavassa numerot A , B Ja C vektorin koordinaatit ja numerot x0 , y0 Ja z0 - pisteen koordinaatit.

Laskelmat ovat hyvin yksinkertaisia: korvaamme nämä luvut kaavassa ja saamme

Kerromme kaiken kerrottavan ja laskemme yhteen vain numerot (jotka ovat ilman kirjaimia). Tulos:

.

Tässä esimerkissä vaadittu tason yhtälö ilmaistaan ​​ensimmäisen asteen yleisellä yhtälöllä muuttuvien koordinaattien suhteen x, y, z tason mielivaltainen piste.

Siis muodon yhtälö

nimeltään tason yleinen yhtälö .

Esimerkki 2 Muodosta suorakaiteen muotoiseen suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään yhtälön antama taso .

Ratkaisu. Tason rakentamiseksi on välttämätöntä ja riittävää tietää mitkä tahansa kolme sen pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla, esimerkiksi tason leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

Kuinka löytää nämä pisteet? Löytääksesi leikkauspisteen akselin kanssa Oz, sinun on korvattava nollia x:n ja y:n sijasta ongelmalausekkeessa annetussa yhtälössä: x = y= 0. Siksi saamme z= 6. Siten annettu taso leikkaa akselin Oz pisteessä A(0; 0; 6) .

Samalla tavalla löydämme tason leikkauspisteen akselin kanssa Oy. klo x = z= 0 saamme y= −3 , eli piste B(0; −3; 0) .

Ja lopuksi löydämme tasomme ja akselin leikkauspisteen Härkä. klo y = z= 0 saamme x= 2 eli piste C(2; 0; 0). Ratkaisussamme saatujen kolmen pisteen mukaan A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) ja C(2; 0; 0) rakennamme annetun tason.

Harkitse nyt tason yleisen yhtälön erikoistapaukset. Nämä ovat tapauksia, joissa tietyt yhtälön (2) kertoimet katoavat.

1. Milloin D= 0 yhtälö määrittää tason, joka kulkee origon kautta, koska pisteen koordinaatit 0 (0; 0; 0) täyttävät tämän yhtälön.

2. Milloin A= 0 yhtälö määrittää tason, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa Härkä, koska tämän tason normaalivektori on kohtisuorassa akseliin nähden Härkä(sen projektio akselille Härkä on yhtä kuin nolla). Samoin kun B= 0 kone akseli yhdensuuntainen Oy, ja milloin C= 0 kone yhdensuuntainen akselin kanssa Oz.

3. Milloin A=D= 0 yhtälö määrittelee tason, joka kulkee akselin läpi Härkä koska se on yhdensuuntainen akselin kanssa Härkä (A=D= 0). Vastaavasti taso kulkee akselin läpi Oy, ja akselin läpi kulkeva taso Oz.

4. Milloin A=B= 0-yhtälö määrittelee tason, joka on yhdensuuntainen koordinaattitason kanssa xOy koska se on yhdensuuntainen akselien kanssa Härkä (A= 0) ja Oy (B= 0). Samoin taso on yhdensuuntainen tason kanssa yOz, ja kone - kone xOz.

5. Milloin A=B=D= 0 yhtälö (tai z= 0) määrittää koordinaattitason xOy, koska se on yhdensuuntainen tason kanssa xOy (A=B= 0) ja kulkee alkuperän ( D= 0). Samoin yhtälö y= 0 avaruudessa määrittää koordinaattitason xOz, ja yhtälö x= 0 - koordinaattitaso yOz.

Esimerkki 3 Laadi tason yhtälö P kulkee akselin läpi Oy ja piste.

Ratkaisu. Taso siis kulkee akselin läpi Oy. Joten hänen yhtälössään y= 0 ja tällä yhtälöllä on muoto . Kertoimien määrittämiseksi A Ja C käytämme sitä tosiasiaa, että piste kuuluu tasoon P .

Siksi sen koordinaattien joukossa on niitä, jotka voidaan korvata tason yhtälöllä, jonka olemme jo johtaneet (). Katsotaanpa uudelleen pisteen koordinaatit:

M0 (2; −4; 3) .

Heidän joukossa x = 2 , z= 3. Korvaamme ne yleiseen yhtälöön ja saamme yhtälön erityistapauksellemme:

2A + 3C = 0 .

Jätämme 2 A yhtälön vasemmalla puolella siirrämme 3 C oikealle puolelle ja hanki

A = −1,5C .

Korvaa löydetyn arvon A yhtälöön, saamme

tai .

Tämä on esimerkkiehdon vaatima yhtälö.

Ratkaise ongelma itse tason yhtälöillä ja katso sitten ratkaisua

Esimerkki 4 Määritä taso (tai tasot, jos useampi kuin yksi) suhteessa koordinaattiakseleihin tai koordinaattitasoihin, jos taso(t) on annettu yhtälöllä .

Ratkaisuja tyypillisiin testeissä esiintyviin ongelmiin - käsikirjassa "Ongelmia tasossa: yhdensuuntaisuus, kohtisuora, kolmen tason leikkaus yhdessä pisteessä" .

Kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö

Kuten jo mainittiin, välttämätön ja riittävä ehto tason rakentamiselle on yhden pisteen ja normaalivektorin lisäksi myös kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla.

Olkoon annetaan kolme eri pistettä , Ja , Ei makaa samalla suoralla. Koska nämä kolme pistettä eivät ole yhdellä suoralla, vektorit ja eivät ole kollineaarisia, ja siksi mikä tahansa tason piste sijaitsee samassa tasossa pisteiden kanssa, ja jos ja vain jos vektorit , ja koplanaarinen, ts. jos ja vain jos näiden vektorien sekatulo on yhtä kuin nolla.

Käyttämällä sekatulolauseketta koordinaateissa saamme tasoyhtälön

(3)

Determinantin laajentamisen jälkeen tästä yhtälöstä tulee muotoa (2) oleva yhtälö, ts. tason yleinen yhtälö.

Esimerkki 5 Kirjoita yhtälö tasolle, joka kulkee kolmen tietyn pisteen kautta, jotka eivät ole suoralla:

ja määrittää tietyn tapauksen suoran yleisestä yhtälöstä, jos sellainen on.

Ratkaisu. Kaavan (3) mukaan meillä on:

Tason normaaliyhtälö. Etäisyys pisteestä tasoon

Tason normaaliyhtälö on sen yhtälö, joka on kirjoitettu muotoon

1. Etsi yhtälö tasolle, joka kulkee tietyn pisteen kautta yhdensuuntaisesti kahden annetun (ei-kollineaarisen) vektorin kanssa

Huomautus: yksisuuntainen . Otetaan mielivaltainen piste tasosta M (x, y, z). Vektorit ovat samantasoisia, koska ne ovat yhdensuuntaisissa tasoissa. Siksi heidän sekoitettu tuote
Kirjoittamalla tämä ehto koordinaatteina, saamme halutun tason yhtälön:

Tämä determinantti on helpompi laskea laajentamalla ensimmäisellä rivillä.

2 tapa . Vektorit
yhdensuuntainen halutun tason kanssa. Siksi vektori, joka on yhtä suuri kuin vektorien vektoritulo
kohtisuorassa tähän tasoon nähden , eli
Ja
. Vektori on tason normaalivektori . Jos
Ja
, sitten vektori löytyy kaavan mukaan:

Tasoyhtälö löytää pisteen mukaan
ja normaalivektori

2. Etsi yhtälö tasolle, joka kulkee kahden tietyn vektorin suuntaisen pisteen kautta
.(
ei-kollineaarinen).

Huomautus: 1 tapa. Olkoon M (x, y, z) tason mielivaltainen piste. Sitten vektorit ja
sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa, joten ne ovat samantasoisia, ts. heidän sekoitettu tuote
Kirjoittamalla tämä ehto koordinaatteina saamme halutun tason yhtälön .

2 tapa . Normaalivektori haluttuun tasoon on yhtä suuri kuin vektorien vektoritulo
, eli
tai koordinaateissa:

Haluttu tasoyhtälö löytyy normaalivektorilta ja kohta
(tai piste
) kaavalla (2.1.1)

(katso esimerkki 1, kohta 2.2).

3. Etsi pisteen läpi kulkevan tason yhtälö
yhdensuuntainen tason kanssa 2x – 6y – 3z +5 =0.

Huomautus: normaali vektori löydämme annetun tason yleisyhtälöstä 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vektori on kohtisuorassa annettua tasoa vastaan, joten se on kohtisuorassa mihin tahansa sen suuntaiseen tasoon. Vektori voidaan pitää halutun tason normaalivektorina. Laadi halutun tason yhtälö pisteen mukaan
ja normaalivektori
(katso esimerkki 1, kohta 2.2).

Vastaus:

4. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
kohtisuorassa tasojen 2x + y - 2z + 1 = 0 leikkausviivaa vastaan ​​ja

x + y + z - 5 = 0.

Huomautus: 1 tapa. Kuhunkin tasoonsa nähden kohtisuorassa olevat vektorit (vektorien koordinaatit löytyvät tasojen yleisistä yhtälöistä, kaava (2.2.1)) ovat kohtisuorassa leikkausviivansa kanssa ja ovat siten yhdensuuntaisia ​​halutun tason kanssa. Haluttu taso kulkee pisteen läpi
yhdensuuntainen kahden vektorin kanssa
(ks. tehtävä 1 kohta 5).

Halutun tason yhtälöllä on muoto:

Laajentamalla kolmannen kertaluvun determinanttia ensimmäisessä rivissä saamme halutun yhtälön.

2 tapa. Laadi tason yhtälö pisteen mukaan
ja normaalivektori kaavan (2.2.1) mukaan. normaali vektori on yhtä suuri kuin vektorien ristitulo
,nuo.
Vektoreista lähtien
ovat kohtisuorassa tasojen leikkausviivaa vastaan, sitten vektori yhdensuuntainen tasojen leikkausviivan kanssa ja kohtisuorassa haluttuun tasoon nähden.

Vektorit (katso kaava 2.2.1), sitten

Laadi tason yhtälö pisteen mukaan
ja normaalivektori

(katso esimerkki 1, kohta 2.2)

Vastaus:

5. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö
Ja
kohtisuorassa tasoon nähden 3x – y + 3z +15 = 0.

Huomautus: 1 tapa. Kirjoitetaan annetun n:n normaalivektorin koordinaatit tasaisuus

3x - y + 3z +15 = 0:
Koska tasot ovat kohtisuorassa, vektori yhdensuuntainen halutun tason kanssa Laadi halutun tason yhtälö
joka on yhdensuuntainen vektorin kanssa ja menee pisteiden läpi
(ks. tehtävän 2 ratkaisu, kohta 5; 1 menetelmä).

Laskemalla determinantin saamme halutun tason yhtälön

10x + 15y - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2 tapa. Laadi halutun tason yhtälö pisteen mukaan
ja normaalivektori
Vektori

Muodostamme halutun tason yhtälön .

10(x-2)+15(y-3)-5(z+1) = 0;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (katso tehtävä 2, kohta 5; 2. menetelmä). Jaa yhtälön molemmat puolet viidellä.

2x + 3y - z - 14 = 0.

Vastaus: 2x + 3y - z - 14 = 0.

6. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle

Ja

Huomautus: Muodostetaan kolmen pisteen läpi kulkevan tason yhtälö (katso esimerkki 1, lause 2.3, kaava 2.3.1).

Laajentamalla determinanttia saamme

Vastaus:

Kommentti. Determinantin laskennan oikeellisuuden tarkistamiseksi on suositeltavaa korvata näiden pisteiden koordinaatit, joiden kautta taso kulkee tuloksena olevaan yhtälöön. Täytyy olla identiteetti; muuten laskelmissa on tehty virhe.

7. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
yhdensuuntainen x-tason kanssa – 4y + 5z + 1 = 0.

Huomautus: Tietyn tason yleisestä yhtälöstä
x – 4y + 5z + 1 = 0 etsi normaalivektori
(kaava 2.2.1). Vektori kohtisuorassa haluttuun tasoon nähden
Laadi tason yhtälö pisteen mukaan
ja normaalivektori
(katso esimerkki 1; kohta 2.2):

x - 4y + 5z + 15 = 0.

Vastaus: x - 4y + 5z + 15 = 0.

8. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
yhdensuuntainen vektorien kanssa

Huomautus: Katso tehtävän ratkaisu 1 piste 5. Ratkaisemme tehtävän jollakin annetuista tavoista.

Vastaus: x - y - z - 1 = 0.

9. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
kohtisuorassa tasojen 3x - 2y - z + 1 = 0 ja x - y - z = 0 leikkausviivaa vastaan.

Huomautus: Katso tehtävän 4 ratkaisu kohta 5. Ratkaisemme tehtävän jollakin annetuista tavoista.

Vastaus: x + 2y - z - 8 = 0.

10. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

kohtisuorassa tasoon nähden 3x – y – 4z = 0.

Huomautus: Katso tehtävän 5 ratkaisu, kohta 5.

Vastaus: 9x - y + 7z - 40 = 0.

11. Etsi pisteiden läpi kulkevan tason yhtälö

yhdensuuntainen pisteiden A (5; –2; 3) ja B (6; 1; 0) määrittämän suoran kanssa.

Huomautus: Haluttu taso on yhdensuuntainen suoran AB kanssa, joten se on yhdensuuntainen vektorin kanssa
Haluttu tasoyhtälö löydämme, kuten tehtävässä 2, kappaleen 5 (yksi tavoista).

Vastaus: 3x - 4y - 3z +4 = 0.

12. Piste P (2; -1; -2) toimii origosta tasoon pudotetun kohtisuoran kantana. Kirjoita yhtälö tälle tasolle.

Huomautus: Normaali vektori haluttuun tasoon on vektori
Etsi sen koordinaatit. P (2; -1; -2) ja O(0; 0; 0)

nuo.
Laadi tason yhtälö pisteen ja normaalivektorin mukaan
(katso esimerkki 1, kohta 2.2).

Vastaus: 2x - y - 2z - 9 = 0.

13. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
yhdensuuntainen tason kanssa: a) xoy; b) yoz; c) xoz.

Huomautus: Vektori
- akselin yksikkövektori oz on kohtisuorassa xoy-tasoon nähden, joten se on kohtisuorassa haluttua tasoa vastaan
Muodostamme tason yhtälön pisteessä A (0; -1; 2) ja

= (0; 0; 1), koska
(katso tehtävän 3 ratkaisu, kohta 5).
z - 2 = 0.

Ratkaisemme tehtävät b) ja c) samalla tavalla.

b)
Missä
(1; 0; 0).

V)
Missä (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Vastaus: a) z-2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle
Ja

B (2; 1; –1) kohtisuorassa tasoon nähden: a) xoy; b) xoz.

Huomautus: Xoy-tason normaalivektori on vektori

= (0; 0; 1) on oz-akselin yksikkövektori. Laadi kahden pisteen läpi kulkevan tason yhtälö
ja B (2; 1; –1) ja kohtisuorassa normaalivektorin omaavaan tasoon nähden
(0; 0; 1), jollakin kappaleen 5 tehtävän 5 ratkaisumenetelmistä.
y - 1 = 0.

Sama ongelma b):
jossa = (0; 1; 0).

Vastaus: a) y-1 = 0; b) x + z - 1 = 0.

15. Kirjoita yhtälö pisteiden läpi kulkevalle tasolle
Ja

B (2; 3; –1) yhdensuuntainen oz-akselin kanssa.

Huomautus: oz-akselilla voit ottaa yksikkövektorin = (0; 0; 1). Tehtävän ratkaisu on samanlainen kuin tehtävän 2 ratkaisu 5 kohta (millä tahansa tavalla).

Vastaus: x - y + 1 = 0.

16. Kirjoita yhtälö ox-akselin ja pisteen kautta kulkevalle tasolle

Huomautus: Lentokone
kulkee x-akselin ja siten myös pisteen O(0; 0; 0) läpi. Härkäakselilla voimme ottaa yksikkövektorin = (1; 0; 0). Muodostamme halutun tason yhtälön käyttämällä kahta pistettä A(2; –1; 6) ja O(0; 0; 0) sekä vektoria yhdensuuntainen tason kanssa. (Katso tehtävän 2 ratkaisu, kohta 5).

Vastaus: 6y + z = 0.

17. Millä A:n arvolla tasot Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 ja 2x - y + 2z \u003d 0 ovat kohtisuorassa?

Huomautus: Tasojen yleisistä yhtälöistä

Ax + 2y - 7z - 1 = 0 ja
2x – y + 2z = 0 normaalivektoria

= (A; 2; -7) ja
= (2; –1; 2) (2.2.1). Kahden tason kohtisuoran ehto (2.6.1).

Vastaus: A = 8.

18. Millä tason A arvolla 2x + 3y - 6z - 23 = 0 ja

4x + Ay - 12z + 7 = 0 on rinnakkainen?

Huomautus:
2x + 3y - 6z - 23 = 0 ja
4x + Ay - 12v + 7 = 0

= (2; 3; -6) ja
= (4;A; –12) (2.2.1). Koska
(2.5.1)

Vastaus: A = 6.

19. Etsi kahden tason 2x + y + z + 7 = 0 ja x - 2y + 3z = 0 välinen kulma.

Huomautus:
2x + y + z + 7 = 0 ja
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) ja
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Vastaus:

20. Laadi kanoniset yhtälöt pisteen läpi kulkevalle suoralle

A (1; 2; -3) yhdensuuntainen vektorin kanssa =(1; –2; 1).

Huomautus: Katso kohdan 3.1 esimerkin ratkaisu.

Vastaus:

21. Laadi parametriyhtälöt pisteen läpi kulkevasta suorasta

A (–2; 3; 1) yhdensuuntainen vektorin kanssa =(3; –1; 2).

Huomautus: Katso kohdan 3.2 esimerkin ratkaisu.

Vastaus:
.

22. Laadi kanoniset ja parametriset yhtälöt pisteiden A (1; 0; -2) ja B (1; 2; -4) kautta kulkevalle suoralle.

Huomautus: Katso lauseen 3.3 esimerkin 1 ratkaisu.

Vastaus: A)
b)

23. Laadi kanoniset ja parametriset yhtälöt suoralle, joka on määritelty kahden tason x - 2y + 3z - 4 = 0 ja 3x + 2y - 5z - 4 = 0 leikkauspisteenä.

Huomautus: Katso esimerkin 1 kohta 3.4. Olkoon z = 0, sitten pisteen x- ja y-koordinaatit
löytää järjestelmän ratkaisusta

Tästä se pointti
, joka makaa halutulla rivillä, on koordinaatit

(2; -1; 0). Halutun suoran suuntavektorin löytäminen tasojen yleisistä yhtälöistä
x – 2y +3z – 4 = 0 ja
3x + 2y - 5z - 4 = 0

löytää normaalivektorit =(1; -2; 3) ja
=(3; 2; –5).

Suoran kanoniset yhtälöt löytyvät pisteestä
(2; -1; 0) ja suuntavektori

(Katso kaava (3.1.1)).

Suoran parametriset yhtälöt löytyvät kaavasta (3.2.1) tai kanonisista yhtälöistä:
Meillä on:

Vastaus:
;
.

24. Pisteen läpi
(2; -3; -4) piirrä suoran kanssa yhdensuuntainen viiva

.

Huomautus: Vaaditun rivin kanoniset yhtälöt löytää pisteen mukaan
ja suuntavektori Koska
sitten suuntavektorille suoraan voit ottaa suuntavektorin suora L. Katso lisäksi tehtävän 23 ratkaisu, kappale 5 tai esimerkin 1 kohta 3.4.

Vastaus:

25. Kolmion kärjet A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) ja C (–1; 3; 5) on annettu. Etsi kolmion ABC mediaanin yhtälö, joka on piirretty kärjestä B.

Huomautus: Löydämme pisteen M koordinaatit ehdosta AM = MC (BM on kolmion ABC mediaani).

KANSSA jätämme suoran BM kanoniset yhtälöt kahteen pisteeseen B (2; 4; –1) ja
(Katso esimerkin 1 kohta 3.3).

Vastaus:

26. Laadi kanoniset ja parametriset yhtälöt pisteen läpi kulkevasta suorasta
(–1; –2; 2) yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Huomautus: Vektori
– x-akselin yksikkövektori on yhdensuuntainen vaaditun suoran kanssa. Siksi sitä voidaan pitää suoran suuntausvektorina
= (1; 0; 0). Laadi pisteen suoran yhtälöt

(–1; –2: 2) ja vektori = (1; 0; 0) (katso esimerkkikohta 3.1 ja esimerkki 1 kohta 3.2).

Vastaus:
;

27. Laadi kanoniset yhtälöt pisteen läpi kulkevasta suorasta
(3; –2; 4) kohtisuorassa tasoon 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Huomautus: Tason yleisestä yhtälöstä
5x + 3y – 7z + 1 = 0 etsi normaalivektori = (5; 3; -7). Kunnon mukaan haluttu linja
siis vektori
nuo. vektori on suoran L suuntavektori: = (5; 3; -7). Muodostamme suoran kanoniset yhtälöt pisteen mukaan
(3; –2; 4) ja suuntavektori

= (5; 3; -7). (Katso esimerkki kohta 3.1).

Vastaus:

28. Muodosta origosta tasoon 4x - y + 2z - 3 = 0 pudotetun kohtisuoran parametriset yhtälöt.

Huomautus: Muodostetaan halutun kohtisuoran yhtälö, ts. suora viiva kohtisuorassa tasoon nähden
4x – y + 2z – 3 = 0 ja kulkee pisteen O kautta (0; 0; 0). (Katso tehtävän 27 ratkaisu 5 kohta ja esimerkki 1 kohta 3.2).

Vastaus:

29. Etsi suoran leikkauspiste
ja lentokone

x - 2y + z - 15 = 0.

Huomautus: Löytää suoran leikkauspisteen M

L:
ja lentokone

x - 2y + z - 15 = 0, on tarpeen ratkaista yhtälöjärjestelmä:

;

Järjestelmän ratkaisemiseksi muunnamme suoran kanoniset yhtälöt parametrisiksi yhtälöiksi. (Katso tehtävä 23 kohta 5).

Vastaus:

30. Etsi pisteen M (4; -3; 1) projektio tasolle x + 2y - z - 3 = 0.

Huomautus: Pisteen M projektio tasolle on piste P - piste p pisteestä M tasoon pudotetun kohtisuoran leikkauspiste
ja lentokoneita Muodostetaan MP:n kohtisuoraan parametriset yhtälöt (katso tehtävän 28 ratkaisu, kappale 5).

Etsitään piste P - suoran MP ja tason leikkauspiste (Katso tehtävän 29 ratkaisu, kohta 5).

Vastaus:

31. Etsi pisteen A (1; 2; 1) projektio suoralla

Huomautus: Pisteen A projektio suoralle L:
on t pisteet Suoran L ja tason leikkauspisteessä
joka kulkee pisteen A kautta ja on kohtisuorassa linjaa L vastaan. Suoran L kanonisista yhtälöistä kirjoitetaan suuntavektori =(3; -1; 2). Lentokone kohtisuorassa suoraa L vastaan, joten
Siis vektori voidaan pitää tason normaalivektorina
= (3; -1; 2). Laadi tason yhtälö kohta A(1; 2; 1) ja = (3; –1; 2) (katso esimerkki 1, kohta 2.2):
3 (x - 1) - 1 (y - 2) + 2 (z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. Etsi piste B suoran ja tason leikkauspisteestä (katso tehtävä 29, kappale 5):

Vastaus:

32. Piirrä pisteen M (3; -1; 0) läpi viiva, joka on yhdensuuntainen kahden tason x - y + z - 3 = 0 ja x + y + 2z - 3 = 0 kanssa.

Huomautus: lentokoneita
x – y + z – 3 = 0 ja
x + y + 2z - 3 = 0 eivät ole rinnakkaisia, koska ehto (2.5.1) ei täyty:
lentokoneita
leikkaavat. Haluttu suora L, yhdensuuntainen tasojen kanssa
yhdensuuntainen näiden tasojen leikkausviivan kanssa. (Katso tehtävien 24 ja 23 ratkaisu, kohta 5).

Vastaus:

33. Kirjoita yhtälö kahden suoran läpi kulkevalle tasolle

Huomautus:1 tapa. Laadi halutun tason yhtälö pisteen mukaan
makaa suoralla linjalla , ja normaalivektori . Vektori on yhtä suuri kuin viivojen suuntaavien vektoreiden vektoritulo
, jonka löydämme suorien kanonisista yhtälöistä
(kaava 3.1.1): = (7; 3; 5) ja

= (5; 5; –3)

Pistekoordinaatit
löytää suoran kanonisista yhtälöistä

Muodostamme tason yhtälön pisteen mukaan
ja normaalivektori =(–34; 46; 20) (katso esimerkki 1, kohta 2.2)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

2 tapa. Suuntavektorien löytäminen = (7; 3; 5) ja = (5; 5; –3) suorien kanonisista yhtälöistä
kohta
(0; 2; –1) saamme yhtälöstä

. Ota mielivaltainen piste koneessa

M (x; y; z). Vektorit
ovat siis samassa tasossa
Tästä ehdosta saadaan tason yhtälö:

Vastaus: 17x - 23y - 10z +36 = 0.

34. Kirjoita yhtälö pisteen läpi kulkevalle tasolle
(2; 0; 1) ja suora

Huomautus: Varmista ensin, että asia
tällä suoralla linjalla Ezhit:
kohta
ja suuntavektori löydämme suoran kanonisista yhtälöistä
:
(1; -1; -1) ja

= (1; 2; -1). Halutun tason normaalivektori
Löydämme normaalivektorin koordinaatit tietäen koordinaatit =(1; 2; -1) ja

= (1; 1; 2):

Muodostamme tason yhtälön pisteen mukaan
(2; 0; 1) ja normaalivektori = (–5; 3; 1):

–5 (x – 2) + 3 (y – 0) + 1 (z – 1) = 0.

Vastaus: 5x - 3y - z - 9 = 0.